时间：2022-04-24 02:46:20
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摘要：企业的规模化发展是企业的经营格局达到了一定的水平和标准，要想实现企业规模化发展的不断优化，理论指导必不可少，其中数学分析又是理论指导的重要组成部分，为此，将以边际成本和机会成本为例浅析数学分析对于企业规模化发展的优化作用。
关键词：边际成本；机会成本；数学分析；企业规模化发展；优化发展
0引言
随着我国经济的飞速发展，各个行业的迅速崛起，企业面临的竞争和压力越来越大，想要在众多的企业当中脱颖而出力争上游，必须实现企业的规模化发展，并在发展中不断优化自己的经营模式和格局。而企业的规模化发展和优化离不开正确的理论指导，这时通过正确的数学分析来降低成本和增加收益是一条很重要的途径，下面本文将以边际成本和机会成本为例简单介绍数学分析在实现企业的规模化发展中的优化作用。
1边际成本和机会成本概述
1.1边际成本概述
所谓边际成本，是指在经济学和金融学范围内，每个企业或者单位生产新产品或者购买新产品所造成的总体成本的增加量。这样的概述表明每个企业或者单位生产或者购买的新产品的成本和总产品量是直接相关的。比如，某个电子产品公司仅仅设计和生产一部手机的成本是极其巨大的，而如果设计和生产一万部手机的话，成本就会大大降低，收益却比设计和生产一部手机增加了很多，这就是规模化生产所带来的效益。
1.2机会成本概述
在经济学和金融学中，所谓机会成本，就是指想要得到某种东西而所要放弃的另一种或者另外几种东西中的最大价值，或者说在对多种方案进行决策时，所舍弃的方案中的最高价值就是这次决策的机会成本；还指厂商把相同的生产投入到其他的行业当中时可以获得的最高收益。比如，一袋面粉如果用来做馒头就不能做面包，做馒头的成本就是放弃做面包的收益。在企业的发展过程中，当利用一定的资源或时间来生产一种产品时，就失去了一定的机会，利用这些时间和资源来生产其他的能产生收益的另外的产品的机会，这就是机会成本。
1.3边际成本和机会成本的关系
企业想要高收益，于是想增加产量来降低边际成本，但是在降低边际成本的同时，机会成本却有可能增加。比如，生产一部新的手机时，所使用的材料可能有更好的用处，这时机会成本就会增加，所以要尽量用最少的材料生产出最多的手机，这样才能在降低边际成本的同时也减少了降低机会成本。
2数学分析在企业规模化发展中的优化作用
每个领导者都希望自己的企业能越做越大，效益越来越好，因此在企业发展到一定水平时就要考虑企业的规模化发展及其优化了，这时就应该对企业的发展进行规划，实现边际成本和机会成本的最小化和收益的最大化，即经济学中常说的规模经济，通过扩大生产规模而引起经济效益增加的现象。
2.1边际成本法中的数学分析在企业规模化发展中的优化作用
利用边际成本法对企业的生产和销售进行规划时，更有利于企业的管理者对企业的短期产量进行决策，避免操纵短期利润，克服了完全成本法的缺点。下面用一个实例进行说明：
在某企业的生产过程中要制造一种零部件产品，其中生产用费用包括：每件12元的材料使用费，每件7元的人工加工费，每件8元的变动制造费用（水电等能源），固定制造费（机器的折旧与损耗）6000元，额外的非生产性附加费用包括：管理费用（保险公积金等）800元，该零件的销售费用包括：每件6元的变动费（促销），以及1000元的广告固定费用。期初库存0件，本月生产3000件，销售2800件，售价为每件50元。
2.1.1用完全成本法计算该件商品的利润
单位生产成本：12+7+8+6000/3000=29元
销售收入：2800件×50=140000元
减去销售成本：2800×29=81200元
毛利：58800元
减去期间成本：2800×6+800+1000=18600元
净利：40200元
在该算法下，虚增了资产和当期的利润。而且不难看出在该算法下，该零件生产厂商无法判断出是否应该增产或者应该减产，因为该零件的吸收成本中有着固定的成本要素，而且固定成本的多少与企业的产量并无关联。
2.1.2用边际成本法计算该件商品的利润
12+7+8=27元
销售2800×50=140000元
减：2800×（22+6）=78400元
贡献毛益：61600元
全部固定6000+800+1000=7800元
净利润53800元
由此可见，利用边际成本法计算某件产品的利润时，利润与该产品的产量没有直接关系，而与该件产品的销售量直接相关。利用这两种方法对产品的利润进行计算所得的差额刚好是完全成本下库存产品中所含的固定费用数。由这两种计算的比较可以知道，因为固定成本和产量的增减没有直接的关系，在短期内要进行增减产量的决策时，不需要考虑固定成本这个因素。由此可见边际成本法能更准确地反映出短期内企业的实际利润，边际成本法中的数学分析对于企业的短期规模化生产有着至关重要的优化作用。
2.2机会成本递增法则中的数学分析在企业规模化发展中的优化作用
在经济学和金融学中，所谓机会成本的递增法则，
指的是在某企业的生产资源和生产技术条件一定的情况下，每生产一件产品就意味着要放弃生产另一种产品，那么每生产一件这种产品所产生的机会成本就会增加。从机会成本角度来看企业的生产和发展能更准确地从社会观点出发看到把有限的Y源用于某项经济活动时所产生的代价，促使企业的决策者把有限的资源合理地分配和应用，实现效益最大化。下面用一个实例说明机会成本的递增法则：
某企业生产A、B两种产品。生产A产品每件总成本为5元，销售价格为9元，净利润4元；生产B产品每件总成本为3元，销售价格8元，净利润5元。该企业每月可生产A、B两种商品共10000件，原每月生产A产品4000件，B产品6000件。A产品的机会成本为30000元，B产品的机会成本为16000元。每月可盈利46000元；现每月增加B产品产量2000件，A产品的机会成本增加为40000元，B产品的机会成本减少为8000元，每月可盈利48000元。
由上述例子可见，当该企业产能优化改革后，总盈利额上升2000元，所以合理利用机会成本的递增法则，可以使企业将资源分配应用的更加合理，获取最大的经济效益。
2.3利用数学分析降低边际成本和机会成本实现企业的规模经济
实现企业的规模经济是每个企业发展的目标，要想实现规模经济必须把握好生产要素的集中程度和企业的经济效益之间的关系。随着产量的增加，产品的生产边际成本就会越来越低，但是这并不意味着产量越大生产规模越大越好，企业追求的经济效益的最大化，在产量增加的同时产品的机会成本也会越来越大。当产量增加到一定的程度，企业的边际效益就会开始下降，甚至趋向于零，乃至变为负值，导致规模不经济现象，如图1所示。图1净利润增长率由此可见，要想实现企业经济的规模化发展并不断优化，必须要有正确的数学分析做理论指导，降低边际成本和机会成本。根据上文的分析，扩大生产规模的同时会降低边际成本，但是也会增加机会成本，所以不能一味地增大企业的生产量，应根据企业的实际状况，对企业的规模进行如上文提到的数学分析，确定它的最佳济规模，降低企业的边际成本，但是也使生产资源得到合理地配置和使用，同时降低了机会成本，按照这样的经济规模进行企业的生产经营活动，实现企业的经济效益最大化。
3结束语
降低生产的边际成本和机会成本，增高企业的经济效益，在规模化发展过程中越做越强，并不断优化，增强企业的竞争力，是每个企业的目标。综合上文的阐述，这时企业应从边际成本和机会成本的角度出发，通过正确的数学理论分析，降低企业生产的边际成本和机会成本，找到企业的最佳经济规模，使企业获得最高经济效益，实现企业的规模经济。
摘要：在高校数学分析课程的教学中，融入数学文化，使学生可以更好地掌握数学分析的知识体系和思维方法。文章首先叙述了数学文化的内涵，之后论述在教学中融入数学文化的意义，最后以教学案例的方式，从四个不同的角度阐述在数学分析课程中融入数学文化的方法。
关键词：教学改革；数学分析；数学文化；教学案例
高校数学分析课程，作为数学、统计学、金融学、保险精算学等专业一门重要的专业基础课，是学生后续课程的基础，对于培养学生良好的专业素养非常重要。进行高校数学分析课程的教学改革，在教学中融入数学文化，既可使学生体会到数学的独特文化内涵，又可激发学生的学习兴趣，更好地掌握数学分析的知识体系和思维方法，更为高效地完成学习。
一、数学文化的内涵
所谓数学文化，狭义的是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展。广义指除这些之外，还包含数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系[1]。
数学文化是一个开放、多元、动态的系统。研究学者视角的多元化，导致数学文化的界定并不一致。Wilder R.L.[2]指出数学家拥有的文化内含一个共享的带有数学特征的部分；Bishop A.J.[3]认为数学文化是文化视角下的数学，既包含Wilder精英主义的数学亚文化，即数学知识背后的隐性成分或观念性成分，也包含人类文化中的数学成分。张奠宙[4]认为数学知识不是数学文化的内容，背后隐性存在的观念才是；王宪昌[5]认为数学文化是数学现象背后的文化传统流变的文化分析；孙宏安[6]认为数学文化是人类适应数学活动的环境与创造数学活动自身及其成果的综合。
二、在数学分析课程中，融入数学文化的意义
1.数学分析理论体系完整，逻辑思维严密，课程具有无穷魅力。在这些有趣的数学知识和数学现象之外，数学分析还蕴含着数学思维，蕴含着“有限与无限”“变中有不变”等数学哲学，有着微积分发展中丰富的历史故事，有着数学先驱勇攀科学高峰的精神。数学分析课程实质上也是在传播一种文化，一种有趣的数学文化。在教学过程中应当有效地体现其文化价值。
2.著名数学教育家张奠宙先生在《数学文化的一些新视角》[7]中指出：“数学文化必须走进课堂，在实际数学教学中使得学生在学习数学的过程真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位和世俗的人情味。”在传统的数学分析教学中，只是局限于其知识成分，抽取了理性的定理、公式、结构等骨架，而舍去了其中数学文化、实践创新等丰富血肉。这种“茧氏”的课程文化丢失了数学的思想、精神，也丢失了课程的许多精华和其中的乐趣。数学分析课程不但具有科学的价值，而且还具有文化的价值。数学文化有其独立思考、勇于批判的理性精神；有其浓厚的文化积淀，以及踏实细微的人文精神；有其在生产生活中的实际应用性；有其相对稳定性和延续性，有其世界性等[8]。在教学过程中，从教学内容、教学方式、评价方式等诸方面体现数学的文化价值，将数学文化渗透到数学分析教学的全过程之中。
3.数学分析课程理论性强，其逻辑推理的严密严谨性，需要教师和学生投入很多的精力。而且，作为大学入学的第一门数学专业课，学生需从初等数学向高等数学转变，学习和适应不同的思考和解决问题的角度与方法，这也进一步增加了教学和学习的难度。教学中在严谨推导的同时，融入数学文化，一方面让学生了解数学文化，另一方面，增强教学的趣味性，提高学生学习的兴趣，使学生可以更好地汲取知识。
三、在数学分析课程中融入数学文化的方法
数学文化的渗透。学生理解与感悟数学是一种自然渗透、逐步深化的过程。不可将知识孤立、零散地分割开，最终只让学生学到了一个个孤立的知识点，却无法学到纵横联系的知识结构与网络，这也无法使学生最终获得数学理性观的升华直至感悟。
在将数学文化融入数学分析教学的过程中，需要教师与学生一起感受数学文化的内涵、领会数学文化的真谛。更需要教师在深刻而丰富的数学文化观的引导下，引发课堂教学行为的改变，从而提高教师的教学质量和学生的学习水平。
1.以数学文化作为课程新知识的引入点。以有趣的数学现象、数学史料等作为数学分析课程新知识引入时的切入点。
教学案例：以“无穷悖论”这一“奇怪”的数学现象，作为数项级数收敛和发散，以及条件收敛时数项级数的加法交换律和结合律不成立这两个知识点的引子。
捷克哲学家Bolzano在《无穷悖论》（1781-1848）中提到一个例子：1和-1交替出现的级数，即1-1+1-1+1-1+…。为了计算这个级数，通过三种不同的方法会得出三种不同的答案。方法一：一开始就进行相邻两数的归纳计算，则有1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0，答案是0。方法二：牡诙个数开始再进行相邻两数的归纳计算，则有1-1+1-1+1-1+…=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1，答案是1。方法三：Grundy用代数方法，设级数和为x，则有x=1-1+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-…）=1-x，解方程知x=1/2，因此答案是1/2。
利用这一悖论首先激发学生的好奇心和兴趣，之后自然引出数项级数的和，以及数项级数的收敛和发散。柯西发现，无穷级数的求和运算也可能没有答案。若以方法三假定它存在，其结果必会引起混乱。从而引出数项级数的敛散性。
另外，有限个数相加时，不管相加的顺序如何变化，答案相同。但柯西发现这一加法法则在无穷个数的加法运算中已经不成立了，这便是方法一和方法二悖论产生的原因之一。从而引出无穷级数的加法交换律和结合律不一定成立这一知识点，进而引出数项级数条件收敛的知识。
2.以“项目”为导向，加强“问题解决”的教学设计。数学文化中一个重要的方面，就是数学在生产生活中的应用。为了增强学生学习的自主性，采用以项目为导向，加入让学生研究实际案例、解决问题这一教学环节，进行数学分析知识的讲授。所谓项目，在夏德斯的教学方法体系下是指：为了解决技术与实践中的生活问题而设计的问题解决过程。在数学分析的教学中，融入数学应用，这样既可以体现数学分析课程的应用价值，让学生理解数学的产生背景与发展，体会生活中的数学，揭开数学的神秘面纱，又可在应用中进一步渗透数学分析的思想方法，帮助学生加深理解。
教学案例：在数学分析“多元函数极值问题”的教学中，提出有实际应用背景方面的例题，比如销售收入和广告费用支出之间的关系。学生通过数学建模的方法，发现这一问题所对应的模型为一元线性回归模型参数的最小二乘估计问题，也就是数学分析中的多元函数极值问题。之后，我们再开始进行课程相关知识点的教学。
3.以数学史为载体，体现数学分析的人文性。我国老一辈数学家余介石等人主张“历史之于数学，不仅在名师大家之遗言轶事，阻生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可想成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”[9]将数学史融入数学分析的教学中，激发学生学习兴趣，以及对数学史知识的渴求，加深对数学相关知识的理解。另外从数学史的整个发展趋势中，学生可以初步了解微积分知识的基本框架。
而且，在教学中，谈谈数学界的名人轶事，使其成为课堂上严谨的证明推导之余的兴奋剂。通过在知识点处闪现数学家为了追求真理，坚持不懈的精神，帮助学生正确看待学习过程中遇到的困难，执着追求。
教学案例：三次数学危机。在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决，当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
在教学中，引入数学发展的三次关于基础理论的危机。以华东师范大学版《数学分析》教材为例，在第一章“实数集与函数”的教学中，引入第一次数学危机的故事：有理数。危机的产生――希帕索斯悖论（边长为1的正方形，其对角线长度为多少呢）；危机的缓解――两百年后，欧多克索斯建立的比例论，巧妙地避开无理数这一逻辑上的危机；危机的解决――直到19世纪下半叶，实数理论的建立，无理数的本质被彻底搞清。通过了解第一次危机，既可提高学生的学习兴趣，鼓励学生开展创新，又使学生对无理数有了更深刻的理解，增加了对实数性质学习的兴趣。
在“无穷小量”的教学中，引入第二次数学危机的故事：无穷小是零吗。危机的产生――贝克莱悖论（无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零）；危机的缓解――实数理论基础上，建立起极限论的基本定理；危机的解决――在实数论的问题，导致了集合论的诞生。通过第二次数学危机，学生可以加深理解：无穷小是一类趋向于零的常数，而常数零数列是一类特殊的无穷小量。
之后，可继续给学生讲第三次数学危机的故事：集合论中自相矛盾的理发师问题。危机产生――罗素悖论（理发师只给所有不给自己理发的人理发，不给那些给自己理发的人理发，那么他要不要给自己理发呢）；危机的缓解――哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论，宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。
4.在教学中体现数学分析之美。大数学家克莱因说过：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵独特的创作。音乐能激发或抚慰人的情怀，绘画使人赏心目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”在教学中，利用图案、录像，让学生以数学欣赏为切入点，发现数学之美，为数学的魅力所吸引，增强学习动力。
教学案例：在定积分、重积分的应用中，辅以图形加以讲解，在教学中让学生感受数与形的调和，感受几何学的优雅。在傅里叶级数的教学中，如果按传统方式教学，傅里叶公式及其推导证明的严肃复杂性，会使学生望而生畏。我们配以生动的图像来讲解，既使学生易于理解，又可增加学生学习的兴趣和乐趣。
总之，通过将数学文化融入数学分析的教学之中，让学生可以更好地掌握数学分析的知识体系和思维方法，了解数学文化，激发学习兴趣，使其更为高效地学习。
【摘 要】高中数学有着较强的逻辑性和严谨性，帮助学生掌握数学思考方式，能拓宽学生的数学思维，丰富学习方式。高中数学常用的数学分析思想有类比与归纳、逆向思维、化归思想、整体思想四种，研究分析这四种数学分析思想，加强数学思想教育，帮助学生将其实践运用到解题中，能有效提高学生解题效率，提升学生数学学习效果，促进高中数学教育的进步。
【关键词】高中数学；数学分析思想；解题技巧；应用研究
数学分析思想是高中数学解题教学的关键，能够帮助学生合理运用数学知识解决实际问题，逐渐形成完善的认知结构，培养学生数学观念和创新思维。高中数学的学习离不开解题，而目前很多高中学生只会做题，对题目背后的数学思想和数学方法理解不够透彻，同一题型盲目套用同一种解题方法，缺乏创新能力。所以，为了提高学生数学能力，培养有创新意识、逻辑思维能力强的人才，必须加强对学生数学分析思想的教育。
一、高中数学解题中运用数学分析思想的意义
（一）开拓学生的思维潜能
通过运用数学分析思想，充分发散思维，灵活运用数学知识，解决引申、变通出来的习题，真正将知识为己所用，从而拓宽学生的解题思路，开发学生的思维潜能，让学生的思维更灵活，更有创造性。
（二）提高学生的观察能力
数学学习也需要学生要有较强的观察能力，数学分析思想能让学生养成好的观察习惯，透过数学习题表面，挖掘其中潜藏的数学原理，将理论知识与实践联系起来，继而解决实际问题，认清事物的本质。
（三）提高学生的数学学习效果
在高中数学解题中运用数学分析思想能够激发出学生学习数学的兴趣，有效促进学生解题效率的提升和数学学习效果的进一步提高。
二、数学分析思想在高中数学解题中的实践运用
高中数学解题常用的数学分析思想有类比与归纳、逆向思维、化归思想、整体思想四种。
（一）类比与归纳思想
类比与归纳思想是指在解题时通过对比形式或本质相近的事物，从中归纳、总结出共同点，训练解题技能，是高中数学解题最常用的一种数学思想。函数题计算中运用类比与归纳思想，可以让学生发现其中隐含的数学规律，避免学生盲目做题。比如题目cosx/2・cosx/22・cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n・sinx/2n），分析题目可以发现，等式的左边有一定规律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根据规律进一步分析，发现左边等式可以变形为2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，继续替换、计算后，等式左边与原等式右边一样，都是sinx/（2n・sinx/2n），可以证明出cosx/2・cosx/22・cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n・sinx/2n）。
（二）逆向思维
逆向思维是数学思维中最重要的思维方式之一，适用于题型比较复杂，正面解题困难，运算量较大的题目中。以题目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”为例，学生在解这道题时往往会通过配方消元的方法来解出c的值，但这道题目含有许多未知元素，用配方消元来解的话需要大量运算，运算过程也相对比较复杂，这时可以运用逆向思维分析题目，提高解题效率。题目中已经有了a，b，c的等量关系，从逆向思考一元二次方程的定义，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通过韦达定理可以得出a与b的和为1，a与b的积为-c/2，题干中已经给出条件a-b=c，此时就能快速计算出这道题的答案。高中数学题中也比较常遇见这种题型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的结果，在计算此类型题目时，一个数一个数的计算既浪费时间，也很容易算错，而运用逆向思维， 从右到左利用5n-5n-1=5n-1的规律来计算，可以快速得出结果，大大提高做题效率。
（三）化归思想
化归思想是指在解题时将一些复杂的、难解决的问题转化成容易解决的问题，其核心观点就是化难为易，将未知的问题转换为已知的。化归思想最重要的就是如何寻求化归方法，确定明确化归目标，以2010年江苏理科高考数学题“设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”为例，直接解题时会发现问题形式不易构造，计算很花时间，所以需要等价转化，将x3/y4转换为（x2/y）2・1/xy2，由题目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值为27。也就是指，化归思想要将高次转为低次，多元转为一元，三维转向二维，以实现由难到易的转换。
（四）整体思想
高中数学题经常会整合课本知识，从另一角度考察学生对知识的掌握情况，整体思想就是让学生立足整体，综合运用已经学到的知识解决未知问题。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，课本没有直接给出tan15°的值是多少，但根据三角函数公式，可以计算将题目整体变形，计算出答案。
三、总结
高中数学题看似复杂，计算困难，但归根究底仍是对课本知识的变相考察，这就需要学生充分掌握数学分析思想，并在解题时能综合运用整体思想、化归思想、类比与归纳思想、逆向思维等数学分析思想，加快解题速度，提高学习效率。
分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。分析和解决问题的能力是逻辑思维能力、运算能力、空g想象能力等基本数学能力的综合体现。高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调综合性。这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性。下面笔者就分析和解决问题能力的组成及培养策略谈几点看法。
一、分析和解决问题能力的组成
（一）审题能力
审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。要快捷、准确地解决问题，掌握题目的数形特点，能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。由此可见，审题能力是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。
（二）合理应用知识、思想和方法解决问题的能力
高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法。只有理解和掌握数学基本知识、思想和方法，才能解决高中数学中的一些基本问题；而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。
（三）数学建模能力
近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题。这给学生分析和解决问题的能力提出了挑战。而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心。
二、培养和提高分析和解决问题能力的策略
（一）重视通性通法教学，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有概括了数学思想与方法，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本上的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。
每一种数学思想与方法都有其适用的特定环境和依据的基本理论。如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，像等比数列的求和公式中对公比口的分类和直线方程中对斜率k的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论，解不等式组中解集的讨论等，又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种思想或方法的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效，从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。
（二）加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力
高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点。而高考中的应用题就着重考查这方面的能力。这从新版的《考试说明》与旧版的《考试说明》的对比中可见一斑（新版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”）。
数学是充满模式的。就应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。在高中数学教学中，教师不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型。这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。
（三）适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面
要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题。近年来，社会的飞速发展要求数学教育培养出具有更高数学素质、更强创造能力的人才。这一点体现在高考中，就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重能力的考查。由于开放题的特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，而新背景题的背景新，这给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦，导致学生失分率较高。因此，在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面，是提高学生分析和解决问题能力的必要补充。
（四）重视解题的回顾
解决问题以后，再回过头来对解题过程加以回顾与探讨、分析与研究，是解题教学非常重要的一个环节。这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段。解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，而是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神。而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题教学来实现。所以，教师在数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器。
【内容摘要】与其他课程相较，高中数学的逻辑性较强，且对学生自身的要求较高，要想做到准确、快速的解题，较强的分析能力与扎实的数学基础缺一不可，同样灵活的应用能力及多角度思维能力也十分关键。分析是解题的首要前提，通过学生分析问题的过程可很好的反映出其自身的数学能力，因此提升学生数学分析能力非常必要。以下本文将简单分析提高高中学生数学分析能力的关键因素，重点就提升高中学生数学分析能力的有效途径展开详细论述。
【关键词】高中学生 数学 分析能力 提升途径 关键因素
高中数学具有较为鲜明的特点，如复杂性、关联性、逻辑性等，作为一名高中生具备较强的分析能力可以帮助其提高学习效率，做到举一反三、一题多解，反之，则会出现解题效率低、数学难等不良情绪。大部分的数学学困生在分析能力上都比^弱，究其根本与数学基础薄弱、应用能力不强有着直接的关联，为了更好的帮助学生积极应战高考，提升高中学生数学分析能力势在必行，需要学生从自我做起，有意识的进行改进。
一、提高高中学生数学分析能力的关键因素
影响高中学生数学分析能力非常之多，要想提升学生的分析能力应抓住主要因素进行强化，这样可起到较强的促进作用。
首先，培养思考习惯。数学学困生其最明显的特点是思维懒惰，对数学知识的理解仅停留在表面上，稍微提高点难度就会望而却步，长此以往，数学成绩将远远落后于他人。具备良好思考习惯的学生会积极主动去解决问题、思考问题，通过长期持续性的问题思考，其自身的分析能力将会明显提高。其次，培养分析观察能力。在数学学习中，较强的分析观察能力可以帮助学生快速提炼重要信息，分析解题的效率也会大大提升。第三，注重基础知识累积。数学知识学习是一个逐步递增的学习过程，基础不牢靠必然会影响到后续能力的提升，扎实的数学基础也是进行数学问题分析的重要影响因素。第四，学会灵活应用。数学题目分析的途径多种多样，敢于创新、勤于思考对学生分析能力的提升意义重大。上述几种因素都会影响到学生分析能力的形成，需要学生自发的进行改进。
二、提升高中学生数学分析能力的有效途径
1.转变学习观念，主动积极参与课堂活动
数学是一门应用型学科，学生只有做到真正理解才能提升学习效率及质量。新课标实施背景下，教师普遍认可学生的主体地位，学生自身也要充分把握机会，在课堂上积极主动参与，充分发挥出自身的主体作用去学习和探讨，提升自身的综合素养。数学分析能力的提升是一个循序渐进的过程，首先学生应从基础做起，由浅入深的去提高学习的自信心，养成锲而不舍的解题意识，积极去解决、克服学习中的困难，从学习中找到学习的乐趣，真正爱上数学。
2.明确自身的优缺点
数学分析能力提升需要学生自发的去培养和重视，作为一个独立的个体――学生在学习中应充分认知自我，抓住自己的学习特点去进行管理，认真听取教师的讲解及分析，去模仿和分析教师的解题思路，从中找寻出适合自己的解题途径，通过日积月累学生自身的分析能力必然有所提高。学生可以从例题分析开始，抓住各知识点之间的内在联系，灵活运用解题方法，有意识的提升自己的分析理解能力。
3.重视基础，逐步深化学习难度
数学知识内在联系较强，分析能力提升不可急于求成，学生和教师都应正视这一点，慢慢的去改进和提升。如在二次函数的复习中，学生可采用逐层深化难度的方式去实现。
第一阶段：求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：（1）y=（x -1）2+1；（2）y=（x+1）2+1；（3） y=（x-4）2+1。
第二阶段：求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。
第三阶段：求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
通过层层递进，每做完一题，学生应正确说出分析这类问题的要点，如此既可检验自己基础能力，同时还能提高学习的效率。
4.在理解题意上下工夫，把已知条件与所学知识点联系起来
由数学学科特点所决定，要学好数学，需以“理解”二字为先，只有把题意理解清楚了，才能找到合适的解题思路。同时，理解的过程，也就是把新知识纳入旧知识体系，在推理中结合新旧知识的运用条件，顺利地由条件转化得出结论的过程，随着理解能力的增强，数学分析能力也有所提高。
5.总结规律，有利于提高分析能力
任何一门知识的获取，都遵循认识规律，即由浅入深，由简单到复杂，逻辑思维的推理也遵循一定的规律，这些规律蕴涵于已知与求证之间，因此，在学习过程中，要不断地总结规律，从千变万化的图形变换中，分析找出一般的、常用的推理方法，为解答综合性题目打下基础，通过不断地总结，使数学分析能力进一步加强。
总结
新时期，高中学生需要时刻提高自我要求，积极主动的参与到数学学习中，转变不良思想，努力克服学习中的困难，力求通过与教师的及时沟通、自我分析及提升来提高数学学习质量，真正做到学以致用。数学分析能力提升的途径多种多样，学生应正视自身的不足与优势，正确选择适合自己的途径去提升和改进，从根本上强化自己的数学素养，为高考储蓄更多的能量。
（作者单位：山东省滨州市惠民县第一中学2014级部）
【摘要】本文分析了本科院校数学专业基础课“数学分析”绪论在课程教学中的重要地位和重要性.针对地方本科院校数学专业学生的特点，给出了“数学分析”绪论的教学过程设计.该教学过程设计一方面能够给学生初步搭建起“数学分析”课程体系的框架，让学生明白这门课要学习的主要内容及其相互关系；另一方面，该课程设计从数学发展史的角度给学生阐述高等数学和初等数学的联系与区别，使学生能够尽快从高中的公式恒等变形的初等数学思方式转换到以变化的观点分析和研究问题的高等数学思维方式中来.
【关键词】数学分析；绪论；教学设计；地方院校
一、引言
“数学分析”是数学专业的最重要的必修基础课，“数学分析”中体现的数学思想、数学方法、数学能力是数学在实际中应用和进行数学理论研究的基石，通过数学分析课程教学要使学生受到基本和严格的数学训练[1].“数学分析”绪论的教学是整个数学分析教学过程的序幕，其重要性不言而喻.一方面，“数学分析”绪论是“数学分析”课程的第一次课，其重要作用在于给学生初步搭建起“数学分析”课程体系的“森林”，让学生明白这门课要学习的主要内容及其相互关系，让学生先见到“森林”，能够纵观数学分析的大致面貌，这样在以后认识“树木”，也就是学习各章节的知识点的时候，学生心里才会知道这个知识点表示的“树木”处于森林中的什么地位，这样才能做到“既见树木又见森林”.另一方面，“数学分析”绪论也是学生由初等数学（从幼儿园到高中所学的数学）阶段进入高等数学（大学所学的数学）阶段的第一堂课，因此，“数学分析”绪论也承担着从数学发展史的角度给学生阐述高等数学和初等数学的联系与区别的重要任务.
然而，很多地方高校对于“数学分析”绪论的教学重视程度远远不够.有的教师在绪论课上只介绍了“数学分析”课程的主要内容，而忽略了初、高等数学的区别与联系.有的教师侧重于介绍数学发展史，而忽略了给学生搭建“数学分析”课程体系的框架.更有甚者，只把对学生的要求简单说罢便开始单个知识点的讲解，完全忽略了“数学分析”绪论的重要性，这样教出来的学生对“数学分析”的体系框架根本没有了解，学完课程也不知道学了些什么，只有各知识点，但是缺乏一条串起这些知识点的主线.本文作者多年从事“数学分析”课程教学，对“数学分析”绪论的重要性有深刻的认识，经过多年的探索，已经形成了“数学分析”绪论教学的特色，既给学生搭建起笛Х治龅目蚣芴逑担让学生了解数学分析各部分之间的关系，又让学生明白从幼儿园开始到高中所学的数学课程与进入大学中要学的高等数学课程的区别，使学生在学习过程当中不至于感到迷茫.以下详细给出“数学分析”绪论的教学过程.
二、“数学分析”绪论教学过程
同学们来到大学，选择了数学专业，要学习很多数学课程，“数学分析”就是其中第一门，同时也是最重要的数学基础课之一.在开始学习这门课的时候，大家自然要问，数学分析与中学已经学过的初等数学有什么不同？它的研究对象与基本思想方法是什么？下面就来简要地讲一讲这些问题.
总的说来，初等数学研究的是离散量的运算体系，包括加法与乘法以及它们的逆运算――减法与除法.而“数学分析”提供的是连续量的运算体系及其数学理论.“数学分析”的主要内容是微积分，研究对象是函数，立论数域是实数连续统，采用的研究工具是极限.
大家知道，现实世界中的万事万物，无一不在一定的空间中运动变化，在运动变化过程中都存在一定的数量关系.按照恩格斯的说法，数学就是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学.简略地说，就是研究数和形的科学.时至今日，虽然数学的内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛，但是关于数学的上述说法大体上还是正确的.只是随着人们对事物认识的逐渐深化，作为研究对象的“数”和“形”，在数学发展的不同阶段，它们的内涵和表现形式也不相同罢了！
历史上，数学的发展可以划分为三个阶段.
第一阶段是从古希腊时代（公元前5世纪―公元前3世纪）到17世纪中叶.在这长达两千多年的时期内，由于生产力的落后，人们把客观世界中各种事物看成是孤立的、静止不变的，因而，数学中研究的“数”基本上是常数或常量（即在某一运动变化过程中保持不变或相对保持不变、可以看作取固定值的量），研究的“形”也主要是简单的、不变的、规则的几何形体（例如，直线段、直边形与直面形等）.研究常量间的代数运算和规则几何形体内部及相互间的关系，分别形成了初等代数和初等几何，统称为初等数学.因此，这个阶段常被称为初等数学阶段或常量数学阶段.
第二阶段是从1637年法国著名哲学家、数学家笛卡尔（R.Descartes，1596―1650）建立解析几何到19世纪末.在这个阶段中，由于工业革命的兴起，推动了机械、造船、采矿、航海和修建铁路等新兴工业的建立和发展，大大拓宽了人们的视野.加深了人类对自然界的认识.意大利数学家、现代物理学奠基人伽利略（G.Galileo，1564―1642）和德国天文学家开普勒（J.Kepler，1571―1630）的一系列发现，导致了数学从古典数学向现代数学的转折.在25岁以前，伽利略就开始做了一系列实验，发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实.开普勒在1619年前后归纳出著名的行星运动三定律.这些成就对后来的绝大部分的数学分支都产生了巨大影响.伽利略的发现导致了现代动力学的诞生，开普勒的发现则产生了现代天体力学.物理、力学和天文学等学科的迅速发展，产生了以下四类问题：
1.已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度.反过来，已知物体运动的加速度和速度，求物体在任意时刻的速度和路程.
困难在于17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离.但对瞬时速度，运动的距离和时间都是0，这就碰到了0比0的问题.这是人类第一次碰到这样的问题.
2.求曲线的切线.这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义.例如，在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识.在运动中也遇到曲线的切线问题.运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向.
3.求函数的最大值和最小值问题.在弹道学中涉及炮弹的射程问题.在天文学中涉及行星和太阳的最近和最远距离问题.
4.求积问题.求曲线的弧长、曲线所围区域的面积、曲面所围的体积、物体的重心等.这些问题在古希腊就已经开始研究，但他们的方法缺乏一致性.
这些问题要求建立新的数学工具研究物体的运动变化规律，研究曲线和曲面的性质.在这种形势下，天才的英国物理学家、理学家、天文学家和数学家牛顿（I.Newton，1642―1727）和德国数学家、哲学家莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646―1716）总结并发展了前人的成果，建立了连续量变化率的直观概念和计算方法，发现了求连续量累积综合的问题刚巧是求变化率的逆运算，从而各自独立地创立了微积分的运算体系.
牛顿建立了微积分的演算体系以后，受开普勒三定律和重力的启发，想到了行星间所受的力为万有引力.他最后成功地运用微积分，从开普勒三定律推导出万有引力定律，又反过来从万有引力定律推导出开普勒三定律，这就是人类历史上最伟大的自然科学著作之一――牛顿的《自然哲学的数学原理》的主要内容.从此，微积分逐渐应用到一切科学技术领域.像达朗贝尔（DAlembert，1717―1783）、拉格朗日（Lagrange，1736―1813）、欧拉（Euler，1707―1783）、拉普拉斯（Laplace，1749―1827）、高斯（Gauss，1777―7855），都是运用微积分在开拓新领域方面最卓越的数学家的代表.
牛顿与莱布尼兹当时建立的微积分概念与演算，是以直观为基础的，概念并不准确，推导公式有明显的逻辑矛盾.在微积分广泛应用的17―18世纪，人们没顾得及（也许是还不可能）解决这些题.到19世纪，矛盾已积累到非解决不可的程度，这就是第二次数学危机.经过人们的长期努力，最后由柯西（Cauchy，1789―1857）、波尔查诺（Bolzano，1781―1848）、威尔斯特拉斯（Weierstrass，1815―1897）等人，用极限把微积分的概念澄清.但随后极限的存在性问题开始出现，最终，戴德金（Dedekind，1831―1916）、康托（Cantor，1845―1918）、威尔斯特拉斯等人，又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论，把极限理论建立在坚实的基础上.微积分基础的建立，和群论、非欧几何一起，被誉为19世纪数学的三大发现，它们改变了整个数学发展的进程，形成了近代数学与现代数学.
此后，数学的发展呈现出一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何与数学分析三大分支，并出现了一些其他的相关分支，它们被统称为高等数学.在这个阶段，数学中研究的“数”是变数或变量（即在某一运动变化过程中不断变化、可以取不同数值的量），研究的“形”是复杂的不规则的几何形体（例如，曲线、曲面、曲线形与曲面形等）.而且，由于Descartes直角坐标系的引入，使“数”与“形”紧密地联系起来，平面上的点可以用有序数偶表示，平面曲线（动点的轨迹）可以用代数方程来表示，因此，“运动和辩证法便进入了数学”（恩格斯著《自然辩证法》）.这个阶段被称为高等数学阶段或变量数学阶段.同学们在大学本科阶段学习的数学课程大多属于这个阶段的内容.
第三个阶段是从19世纪末开始，即现代数学阶段.至今，这个阶段还在发展之中.由于集合论的创立，不但为数学的发展奠定了坚实的基础，而且使得数学的研究对象――“数”与“形”，具有了更丰富的内涵和更广泛的外延，表现形式也更加抽象.
从研究常量到研究变量，从研究规则的几何形体到研究不规则的几何形体，是人类对自然界认识的一大飞跃，是数学发展中的一个转折点.由于研究的对象不同，研究的方法也不同.初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止地、一个一个问题孤立地进行研究，而数学分析却不然，它是以极限为工具对连续量进行研究.
连续量在生活中随处可见，时间和位移是最基本的两个连续量，其他当然还有许多.一天中，气温随时间（连续）变化，这就是（连续）函数的概念.我们研究连续量，还要进一步研究一个连续量随另外一个连续量连续地变化的规律，这里涉及两个最基本的问题，即微分运算和积分运算.
问题之一是一个连续量随另一个连续量变化的“瞬时”变化率，这就是微分运算.
牛顿是以力学为背景来研究微积分的，他所建立的导数计算法则称为“流数术”.按照这种方法，我们来求自由落体运动在某一时刻的瞬时速度.
摘 要：最近几年，随着我国教育体制的不断变革，高校越来越重视高等数学教育问题。数学文化是人类文化的一个重要组成部分，也是数学教育与人文思想的总和。高校要想提高自身的数学教育水平，就必须重视数学文化特征。本文主要分析了数学文化概念和特征，并重点讲述了基于数学文化观视角的高校数学教育有效措施，以期能够提高高校数学教育的水平。
关键词：数学文化；高校数学教育；特征；有效措施
0 引言
目前，随着我国社会经济的不断发展，我国高等数学教育也发生了很大的变化。高等数学教育不仅是高校教育中的重点，也是高校教育中的难点，高等数学属于基础性的一个重要学科，它对高校其他课程都有一定的影响。数学文化对高等数学教育有着非常重要的影响作用，它能够为高等数学教育提供一个崭新的视角。但是，从目前我国高校数学教育的现状来看，高等数学教育中依然存在很多问题亟待解决。因此，高校应该充分认识到高等数学的重要性，认真把握数学的文化特征，并改进教学方法，激发学生学习兴趣，不断提高数学教师的综合素质，从而提高高等数学教育的效率和质量[1]。
1 数学文化的概念和特征
1.1 数学文化的概念
数学文化主要指的就是在数学的教学过程中，把数学理论、思维等多方面知识进行的有效整合，然后用文化的观点来强调数学存在的文化价值。在数学文化中，它还注重对数学人文特点的分析，对高等数学教育的开展具有非常重要的意义。与此同时，与其他文化相比，数学文化具有独特性，它不受到任何国家和语言的限制，并且在我们的实际生活中发挥着不可替代的作用。除此之外，据相关数据调查显示，我国的数学发展是比较漫长的，而且数学也随着时间的变化也有了很大的进步[2]。最后，高校要想提高数学教育水平，就应该让学生熟练掌握数学基本知识，加深学生对数学知识的理解，从而提高学生的综合素质水平。
1.2 数学文化的特征
1.2.1 数学文化的系统性
针对数学文化来说，数学文化具有系统性特点。首先，数学知识没有民族限制，也没有国家限制，它属于全世界人类的文化财富，具有统一性。其次，数学文化是一种传递人类思想的方法，它有着独特的语言，比如，物理学科中的真理大都是通过数学语言以及系统来表达的，数学是其他学科的重要基础。由此可见数学文化的系统性。
1.2.2 数学文化的个性
数学文化是各个民族共同努力才形成的，是人类文明的重要组成部分。众所周知，不同的民族有着不一样的语言、文化、风俗等，从而使得数学文化具有很强的差异性和个性。与此同时，数学文化是人类文化发展中一项非常重要的内容，数学文化在各个民族中都有广泛的体现，由此可见数学文化的重要性[3]。
1.2.3 数学文化的再造性
要想保证数学文化能够长久稳定地发展下去，各大高校就应该重视数学教育活动。经过多年的实践经验可以看出，数学文化具有稳定性和再造性，我们能够通过数学教育活动来影响下一代人，把数学文化传承下去，从而体现数学文化的再造性。
2 基于数学文化观视角的高校数学教育意义
2.1 有利于激发学生学习数学的兴趣
众所周知，数学学科是一个比较难懂的学科，如果教师不采用一些合理的方法，那么就会使得学生缺乏对高等数学的学习兴趣。因此，很多高校的数学教师都在授课时，引用数学文化知识，通过讲数学小故事或者展示数学图片的方法来提高课堂学习的气氛，从而使得数学的公式、内容都不显得很枯燥[4]。总之，引用数学文化知识，能够有利于激发学生学习数学的兴趣，从而提高高等数学的教育质量。
2.2 有利于培养学生欣赏美的能力
数学文化的内涵是丰富多彩的，教师在传授数学知识时，应该不断挖掘数学文化，给学生展现出数学的美，让学生都能够充分认识到高等数学的重要性，不断培养学生的审美意识，从而提高学生的综合素养。
2.3 有利于促进学生素质教育的发展
从以往传统的高等数学教育来看，在高等数学教育的过程中，很多数学教师都只是重视学生的知识成分，重点培养了学生的高等数学分析能力，但是，忽视了数学文化素质的培养，没有传授给学生使用数学知识解决实际生活问题的能力，从而使得很多大学生都缺乏数学人文精神的教育。因此，为了改变这一现状，越来越多的高校注重数学文化的教育，给数学课堂教育带来了很多的生机和活力，有利于促进学生素质教育的发展。
3 基于数学文化观视角的高校数学教育有效措施
3.1 转变教学观念，提高数学教师素质
要想保证数学文化继续传承下去，高等数学教师就应该转变教学观念，不断提高自身的综合素质。高等数学教师是数学文化的主要传播者，数学教师的思想管理直接影响着高等数学的教育质量，只有提高了数学教师的数学文化知识水平，才能在具体的教学中把文化知识渗透到学生思想中。因此，高校应该重视高等数学教师综合素质的提高，不断转变教学观念，重视学生文化知识的渗透。
3.2 充实教学内容，渗透数学文化知识
针对高等数学教育来说，充实教学内容，渗透数学文化知识具有非常重要的意义。因此，高等数学教师在授课时，应该重点讲解数学知识，在数学知识中渗透数学文化，不断丰富高等数学文化背景知识，让所有学生能够得到笛文化的熏陶，从而提高学生学习高等数学的兴趣，最终提高高等数学的教学效果[5]。
3.3 改进教学方法，激发学生学习兴趣
学习数学的目的就是要把数学知识运用到实际生活中，因此，高等数学教师应该改进教学方法，把数学教学的内容和学生的日常生活有效地结合在一起，不断拓展数学文化知识，改进教学方法，从而激发学生学习兴趣。比如，在进行微积分等内容的讲解时，高等数学教师应该让学生提前做好课前预习，根据数学内容查找与之对应的数学文化知识，充分体会到数学计算的重要性，从而提高高等数学课堂教学的效率。
3.4 利用信息技术，全面展示数学文化
现如今，随着我国科学技术的不断发展，各行各业都在使用信息化技术，高校也不例外。很多高校都在逐渐使用多媒体技术，多媒体技术能够使得数学文化知识变得丰富多彩，高等数学教师可以使用视频、图片等方法来把数学知识传授给学生，提高学生对数学学习的主动性，保证教学内容变得更加生动形象，全面展示数学文化，从而提高数学教学的质量。
3.5 开设选修课程，提高学生文化素养
数学知识比较烦琐，所以学生学习数学的任务也比较繁重，因此，高校应该开设选修课程，学生可以根据自身的兴趣爱好进行选择。选修课程能够在很大程度上弥补课堂上遗留的数学文化知识，保证学生能够及时掌握课外知识，从而提高学生的数学文化素养。
4 结束语
总而言之，高等数学教育从整体上来说就是数学文化教育，它也是高校教育的一个难点。高校应该通过引入数学文化教育，让学生都能够在学习中熟练掌握数学知识，并能够运用数学知识解决生活中遇到的问题，同时，高校还应该不断提高数学教师的综合素质，改变数学教育方法，利用信息技术，全面展示数学文化，从而使得数学教育工作取得更好的效果。
【摘 要】研究性学习是一种受到广泛关注的学习模式，本文探讨了网络环境下数学分析研究性学习的优势，并提出了一种基于网络的数学分析教学改革的实践模式。
【关键词】网络环境 研究性学习 数学分析
研究性学习是指学生在教师指导下，从自然现象、社会现象和自我生活中选择和确定研究专题，并在研究过程中主动地获取知识，应用知识解决问题的学习活动。数学分析教学旨在培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。本文旨在探索如何利用网络技术开展研究性学习的方法，力求开辟一条数学分析教学的改革新路。
一、网络环境下数学分析的研究性学习
研究性学习是为学生构建的一种开放的学习环境，提供一个多渠道获取知识，并将学到的知识加以综合和应用于实践的机会。这种教学方式是把学生置于一种动态开放、主动、多元的学习环境中，积极发掘学生的潜力，充分发挥学生的主动性，这也是改变传统的数学分析教学模式的全新教学理念。计算机网络是巨大的知识与信息的资源库，它为数学分析教学改革提供了一个平等的、自由的、开放的环境，容易激发学生积极参与各个教学环节的主动性。网络的智能化、交互性特点使学生可以控制信息、改变信息组织过程，从而激发学生的想象力和创造力。因此，网上丰富的资源与多媒体网络环境为实施数学分析的研究性学习提供了重要的条件，其优势主要表现在：
1．网络为数学分析的研究性学习提供了丰富的信息资源
开放性是研究性学习内容选择上的主要特点。在同一主题下，研究视角的定位、研究目标的确定、切入口的选择、过程的设计、方法手段的运用以及结果和表达等，均有相当大的灵活度，为学习者（学生）、指导者（老师）留有巨大的个性特长和发挥才能的巨大空间。在数学分析学习过程中，伴随着情境性问题的产生和研究学习的深入，学生需要了解更多的、相关的、具体的信息，借助网络的巨大搜索引擎功能，学生可以快速查寻相关的信息，可以大大节省学习时间，提高学习效率。
2．网络虚拟环境为数学分析研究性学习提供了在现实中无法体验的情景
研究性学习的内容是通过需要探究的问题来实现的，大量的学习内容是学生在主动探究中或在教师的启发帮助下通过自主选择获得的，研究性学习强调学生的亲身经历，要求学生参与到各项教学活动中的每一个细节，在活动中自主选择问题进行探究，发展实践能力和创新能力。网络虚拟现实与虚拟的交往为研究性学习提供了一个丰富的信息世界，它汇集人工智能、计算机图形学等多项技术，通过多媒体技术与仿真技术相结合完成视、听、触觉一体化的虚拟环境，学习指导中把数学分析问题融合于具体的情境中，学生以自然方式与虚拟环境中的客体进行交流，从而给学生以逼真的感受与体验。
3．网络为数学分析研究性学习提供了交流平台
研究性学习的过程正是一个沟通与协作的过程。网络正好为研究性学习提供了一个交流的空间。
4．网络环境下的数学分析研究性学习有利于辩证思维和横纵思维的培养
横纵思维包括“横向搜索”和“纵向搜索”两方面。横向搜索用于解决“横向复杂性”，纵向搜索用于解决“纵向复杂性”。辩证思维从哲学上为解决高难度复杂问题提供指导策略，横纵思维则从心理学角度为解决复杂问题提供具体的操作策略。网络平台使得学生与学生之间、学生与教师之间、学生与相关专业人员之间进行交流，互相从问题的不同侧面进行辩论与探讨，可以使学生进行充分的研究、探索事物的来龙去脉，更加全面认识问题。网络环境为学生与学生之间、学生与教师之间、学生与其他社会力量的沟通协作提供了平台，通过对问题多方面的探究，可以使学生进行充分的调查研究，探索事物的来龙去脉，进而培养学生的辩证思维和横纵思维。
5．网络环境下的数学分析研究性学习有利于发散思维的培养
发散思维又叫求异思维、逆向思维或多向思维，它强调思维内容和思维成果应与传统观念或原有概念不同，甚至相反，其思维事先不能确定，可以是一个，也可以是多个。它是指人们沿着不同方面思考，得出大量不同或相同结论的思维。发散思维在数学分析学习上具有十分重要的作用。要想学到更多的知识，就必须强调发散思维，没有发散思维，就没有任何创造性的萌芽和创造性的成果。可以说，一切创造都起源于发散思维，数学分析学习中若没有发散思维，则容易造成学生对书本对教师对权威的迷信，使学生的认识停留在书本上，不敢提出半点怀疑，而没有疑问，是学不好数学分析的。网络上有大量的丰富的数学分析教学资源，这为网络环境下的研究性学习提供了极为有利的条件。在教学中，不少同学在网上与网友讨论学习问题，有的利用网络搜索，从网上下载了各类教学课件，这些课件均为各数学分析教学利用，各具特色，为学生的学习提供了全方位、多角度的支持，扩大了学生的视野，使他们不再局限于书本的知识，有利于发散思维的培养和创新思维的产生。
二、网络环境下数学分析研究性学习的实施
由于数学分析研究性学习的目标是使学生获得亲身参与研究性探索的体验，学会分享与合作，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生收集、分析和利用信息的能力，培养科学研究的兴趣、态度和社会使命感，它是一种基于项目的学习类型，强调尊重不同的观点和交流协作，因此笔者在实践教学中把它的教学程序划分为五步，即问题产生、立题、展开研究、分析讨论、得出结论。其中需要注意的是，每一个步骤都是由教师和学生共同参与完成的，必要时问题可以由教师先给出，再由师生共同讨论后确定：每一个步骤都会产生形成性评价信息；每一个步骤的完成时间并没有严格的限制，可以根据课时安排适当调整；在讨论分析中，可能会产生新的问题，或需要更充分的信息支持，因此学习可能要转到新的分析研究中。
1．选题是数学分析研究性学习教学的关键
选题是数学分析研究性学习教学成功与否的关键所在，题目不仅要是“可能”、“力所能及”，更重要的是对学生今后的学习和发展有帮助，亦即通过数学分析教学研究性学习，实现课程目标，并将所获得的知识技能运用于数学分析教学学习，切不可将“研究性学习”简单理解为在教室里用所学的“数学知识”解决几道“应用题”。
数学分析研究性学习的课题，可以根据学校的实际情况和学生的专业领域来选取，笔者在教学中采用“大课题”和“专题”相结合的形式进行数学分析的研究性的教学，效果较为明显。大课题每学期安排1～2个为宜，主要以小组的形式进行，课题在学习生活、日常生活与社会生活的交汇点产生，如煮粥中的积分。而专题是指在数学分析教学中，每一单元或每一阶段都确定一个研究题目，如产品利润中的极限问题、单位时间内血流量问题、转售机飞机俯冲时机翼影响的速度问题、飞机降落曲线问题等。为增强学生的参与积极性，可以将课题的研究作为期末成绩的一部分，让研究性学习中所获得的直接经验与数学分析课程所获得的间接经验交互作用，相辅相成，极大地调动了学生学习数学分析的积极性，有利于研究性学习与数学学科的应用功能的发挥。
2．研究的过程是整个研究性学习课程实施的重点
在研究性学习实施过程中，一方面，要给学生保留足够的时间和空间，另一方面，教师要及时了解学生开展研究活动时遇到的困难以及他们的需要，有针对性地进行指导，成为学生研究信息交汇的枢纽，成为交流的组织者和引导者，给学生适时的鼓励和指导，帮助他们建立自信心并进一步提高学习积极性。因此在数学分析研究性学习教学管理上，要做到外松内紧，督促、指导每位同学填写好每一次活动情况记录、活动体会等，每项工作落实到位，使学生更深刻的体会、理解开展研究性学习的意义，积极主动地参与研究，在研究过程中提高自身的综合素质。
3．采用有效的评价策略是数学分析研究性学习顺利进行的保障
在研究性学习评价策略方面，除了注重学生的自我评价、注重合作的作用外，还应该将数学分析研究性学习的评价整合进数学分析的课堂教学之中。研究性学习的评价更加注重学习过程，而不仅仅是结果，整个学习过程中学生处于一种积极、活跃、兴奋的状态，从选题到制定研究计划，再到收集资料，最后到结果的呈现，无不渗透着他们的辛勤劳动和积极的思考，由此丰富了学生学习的经验，进而促进学生获取知识和运用知识能力的提高，可见，评价应该围绕学生是否将研究性学习中所获得的获取知识的技能方法运用于数学分析学习，在数学分析学习中如何提问、如何收集信息、如何做出假设和解决问题，也就是数学分析研究性学习的评价与数学学科的学习进行整合。
数学分析研究性学习作为一种教学改革的尝试，既为学生提供了更广的学习空间和更加灵活的学习形式，又能使学生的能力、情感、态度、学习方法等方面的素质得到发展。学生经过收集、处理和加工信息资料，综合运用理论和实践知识，使学生的数学基础知识得到巩固，学科素质和实践能力得到提高，同时，增强了自我学习的意识。在课题研究的过程中，学生的个人兴趣、爱好和特长的发挥，激活了学生的创造潜能和学习积极性，培养了学生科学研究的志趣、态度和团队合作精神。
摘要：本文主要分析地方院校小学教育（数学方向）本科专业数学分析教学中存在的问题，基于专业的“师范性”与“应用性”及自身的教学体会，提出教学改革的几点建议：教师要更新教学理念，根据专业科学制定课程教学大纲，注重引导学生对本课程的价值认识和学法指导，确定教师讲授与学生自主探究相结合的教学方法。
关键词：地方院校;小学教育专业;数学分析;教学改革
一、引言
数学分析[1]是小学教育（数学方向）本科专业（以下简称“小教数学专业”）的一门重要基础课，具有“逻辑推理性强，抽象性高，应用性广”的特点。学习本课程，有利于提高学生的逻辑推理、抽象思维和运算能力，是他们学习各门数学课程的重要前提。因此，如何搞好数学分析教学，是任课教师长期探究的课题[2-4]。但有关地方院校小教数学专业数学分析课程教学改革的研究，鲜见被报道[5，6]。因此，在培养应用型高级人才的背景下，探究地方院校小教数学专业数学分析课程的教学改革，是一项迫切而重要的任务。本文主要分析当前地方院校小教数学专业数学分析教学中存在的一些问题，基于专业的“师范性”与“应用性”及个人的教学体会，提出教学改革的几点建议，以期与同行探讨。
二、地方院校小教数学专业数学分析教学中存在的问题及原因分析
（一）存在的主要问题
教学实践中，通过访谈、调查和考试质量分析等多种渠道，发现当前本专业数学分析教学中存在三个方面的问题：一是学生认为学习本课程的难度大，内容多学时少，每次课的学习内容量大且抽象难懂，学习任务重，心理压力大，信心不足，有畏难心理。二是学生学习方法不当，仍然局限于中学时的学习方法，过于依赖教师，偏重于既有结论和公式基础上的简单计算或论证，对数学思想和数学方法重视不够，缺乏数学证明中常用的化归思想，学习效率低。三是学生对本课程的价值和重要性认识不足，缺乏学习的内部动力，缺乏学习兴趣。
（二）主要原因分析
1.教师因素。（1）教师教学理念陈旧。教学中，仍然以教师为中心，忽视学生在教学活动中的主体地位，在培养应用型人才的背景下，学生是教学活动的主体，教师是教学活动的设计者，是学生参与教学活动的引导者和组织者。（2）教师教学忽视专业特点，没有能够真正做到“因材施教”。主要表现为两个方面：一是教学中把小教数学专业等同于数学与应用数学专业，教学要求高，难度大，结果达不到既定教学目标;二是把本专业数学分析教学等同于大学文科高等数学教学，降低教学要求，不符合小教数学专业的培养要求。（3）教学方法和手段单一。在教学方法上，受传统教学方式的影响，教师教学仍以讲授法为主，课堂上学生参与度较低。教学中，重理论知识讲授，轻数学思想和方法的传授与训练;重教师的主观想法，轻学生的自主探究学习安排;重具体的习题讲解，轻引导学生查阅资料和学法指导。在教学手段上，仍然局限于“粉笔+黑板”，不能借助多媒体辅助和丰富教学，从而促进教学质量的提高。
2.学生因素。（1）学生主观上存在不足。相当数量的学生，在主观上对数学分析课程的重要性认识不足，不重视数学分析的学习。以笔者所任教的班级为例，调查结果表明，本专业近50%的学生认为：“数学分析课程太难，过于抽象，和生活没有直接联系，对今后从事小学教育教学工作没有直接的促进作用和实际应用价值。”不想认真学习本课程。他们普遍认为，值得学习的主要课程有小学数学教学论、小学数学教学技能训练、三字一话、简笔画、音乐、美术和舞蹈等，因为这些课程与小学教学工作有直接的联系。（2）学生的数学素养不高。随着我国高等教育规模的不断扩大，地方院校尤其是新建本科院校的生源质量下滑是不争的事实。
首先，本专业学生的数学基础薄弱。例如，多数学生没有学习和掌握反三角函数、三角函数的积化和差公式与极坐标方程等与数学分析中的微积分学有直接联系的内容，在实际教学中，许多教师想当然地认为学生已经掌握了这些知识，导致学生在课堂上难以理解教师所讲授的内容，课外自主学习效率不高，影响教学质量。其次，多数学生没有养成良好的数学学习习惯，没有掌握正确的数学学习方法，主要表现为：没有养成良好的数学解题习惯，没有养成克服困难、专心思考的习惯，没有养成自主学习和与教师、同学相互讨论的习惯，没有养成向教师提问和敢于质疑的习惯，没有养成课前预习和课后总结复习的习惯，没有养成查阅资料的学习习惯。
三、小教数学专业数学分析教学的改革建议
在培养应用型人才的背景下，基于小教数学专业的“师范性”和“应用性”及笔者的教学体会，数学分析教学改革应注意以下方面。
1.教师要更新教学理念。教师必须具备正确的教学观和学生观，充分认识到教学过程既是课程传递和执行的过程，又是课程创生和开发的过程;教学是师生交往、积极互动和共同发展的过程，既重结论又重过程;清楚地认识到学生是发展的人，是独特的个体，是具有独立意义的人，在教学中必须建立良好的师生关系;教学中，既要关注学科，更要关注学生，在行为上应表现为尊重、欣赏、帮助和引导学生。
2.根据专业实际，科学制定教学大纲。教学大纲是课程教学实施的重要依据，制定数学分析课程教学大纲，总体上应从“了解、理解、掌握和综合运用”四个层面去规范课程要达到的目标;从“经历、体验和探索”三个层面，指导各章节内容的教学过程，以促进学生掌握“四基”为授课具体目标，即要求学生掌握数学分析课程的基础知识、基本技能、基本数学分析思想和基本高等数学活动经验。例如，对“定积分的应用”一节的教学要求，可表述为：使学生在进一步理解定积分几何意义的基础上，熟练应用定积分求相关平面图形的面积、曲线的弧长等几何问题，经历微元法的探究过程，掌握并熟练应用微元法求液体的静压力、引力和平均功率等物理问题;深刻体会定积分的价值，增强学习数学分析的热情和学科情感。
3.确定教师讲授与学生自主探究相结合的教学方法。和所有学科教学一样，小教数学专业数学分析课程教学方法的选择，必须遵循“因材施教”这一亘古不变的原则。综合考虑本课程“逻辑推理性强，抽象性高，应用性广”的特点和地方院校小教数学专业学生“数学基础薄弱、学习习惯不好”的实际，及遵循“教学中发挥教师主导作用和以学生为主体”的教学要求，教学中应确教师讲授与学生自主探究相结合的教学方法。在实际教学中，应根据教学内容，把握好教师讲授和学生自主探究的时间比例。例如，对函数的连续性、可微性、可积性等理论性强且抽象而复杂的内容，教师的讲授可多些，启发引导学生探究的内容所占比例要少些;对定积分的概念、基本性质及应用等内容，教师要减少讲授时间，增加启发引导学生自主探究的时间。值得注意的是，教学中，教师要注重数学思想方法的传授。
4.注重引导学生真正认识本课程的重要价值，重视学法指导。当学生真正认识到数学分析课程的重要理论价值时，学习积极性将会大大提高，有利于课程目标的实现。常言道：“良好的开始是成功的一半。”因此，教师要用绪论课引导学生深刻认识本课程的重要理论价值。在绪论课上，需要完成四个方面的任务：一是通过数学问题，引导学生认识数学分析的理论价值和应用，激发学生的学习兴趣，提高学习积极性和主动性。例如，可以抛出“曲边梯形的面积怎么算？”“sin31°的近似值怎么求？”及“e0.1=？”等问题，引导学生思考和讨论，然后由教师说明数学分析课程是解决此类实际问题的科学，学生自然会从内心深处真正感受到这一学科的重要价值，自觉端正学习态度。二是通过幽默风趣的语言与学生交流，内心真正尊重和欣赏学生，使他们感受到教师就是他们的“良师益友”，创建良好的师生关系，为今后的课堂教学奠定良好的师生关系基础。三是对本课程内容向学生做一个总体介绍，使他们有一个整体认识，对学习起到提纲挈领的作用。四是介绍数学分析课堂的基本特点、本课程的作业及考核要求及学生学习课程的基本方法，强调自主学习和合作学习的重要性。例如，让学生明白数学分析课程的学习，注重计算的同时更注重理论分析和逻辑推理及思想方法的掌握，要做到：课前认真预习，课上认真听课，课后对所学知识反复揣摩和自主探究，同时要养成与教师、学生讨论和查阅资料的良好学习习惯。
四、结语
本文主要分析地方院校小教数学本科专业数学分析课程教学中存在的问题及原因，提出进行数学分析课程教学改革的几点建议。教学实践表明，以上提出的教学改革措施是有效的。但在实际教学中，要全面提高教学质量，有许多具体问题需要讨论和解决，如编写小学教育专业数学分析教材就是一项具有挑战性的工作。
摘要：《数学分析》课程教学应打破传统教学模式，积极开展自主、合作和探究式教学.微分概念探究教学应从概念的形成、概念的理解与巩固、学生认知水平三个角度开展.通过实践分析和总结得到：数学分析课程探究式课堂教学要重视良好课堂氛围的营造，探究活动核心环节的掌控以及学生认知水平的发展三个环节，循序渐进地开展科学合理有效的课堂探究教学活动.
关键词：微分；探究教学；情境问题
一、引言
目前，很多从事高校数学课程教学的教育工作者，仍然采用教师教，学生学；教师讲，学生听的传统教学模式，导致学生学习积极性不高，学习兴趣逐渐丧失，因此，传统数学教学模式不利于学生形成良好的数学学习习惯和创造性思维能力.2015年国务院办公厅关于深化高等学校创新创业教育改革的实施意见中指出：“高校课程教学和考核方式要开展启发式、讨论式、参与式教学，……，注重考查学生分析、解决问题的能力.”针对这一要求，高校数学教师应结合数学课程自身特点积极开展探究式教学改革.近年来，有关数学探究教学的研究主要集中在中学数学教学领域[1-4]，然而高校数学探究教学的研究比较少，针对这一现状，本文以高师《数学分析》课程中微分概念探究教学为例，提出《数学分析》教学应积极开展自主、合作、探究的有效教学模式，为学生提供更多主动参与、合作交流、探究发现的教学活动，从而促进学生主体学习意识和能力的培养.
二、微分概念的教学探究实践与分析
Klausmeier指出概念是简化世界的类目，是将一系列物体、事件和思想进行分类的心智结构.概念是重要的，概念反应思想，但概念并不出思想，不是通过概念的变换产生思想的，相反，思想产生概念.[5]事实上，人类社会现有的数学概念都是在人类社会历史发展的过程中，随着劳动实践和社会经验的积累，在经验概括的基础上形成的.[6]因此，教师在微分概念教学过程中，应从微分概念知识起源中寻找切入点，根据学生的认知水平，创设合理情景，引导学生从具体事例抽象出微分的实质，自主构建微分概念，并感悟概念形成中蕴含的数学思想，逐步培养自身的数学概括能力.
1.注重学生从具体到抽象的思维能力的培养，体会概念形成过程.微分概念比较抽象，若教师直接引入，学生很难理解与接受，故可以结合微分在实际的生产生活领域中的应用来引入微分概念.在实际生活中，往往需要根据测量值来近似计算某些物理量，故教师可以设计如下教学情境引入课题.
教学片段1：教师拿出三个正方形纸板如下图1所示，展示三个正方形纸板的面积的变化情况，并提出如下问题：
问题一：观察三个图形中面积增量主要取决于哪一部分？
问题二：思考当边长增量Δx0时，ΔS，200Δx，（Δx）三者存在着怎样的关系？
设计意图：通过动态图形演示，创造教学情景，引导学生观察面积的变化规律，形成感官上的一种具体认知和判断.然后通过设置问题引导学生朝着预设的教学目标方向进行思考，并检测不同层次的学生对问题的分析理解能力.
学生在讨论后给出答案：当边长增量Δx0，故有
显然，学生能够利用已学导数的概念来分析问题，但是对问题的理解缺乏方向性，没有刻画ΔS，200Δx，（Δx）三者关系，此时教师可以做进一步补充：
说明边长增量越来越小时，面积增量的实际值主要决定于两个小长方形的面积.再借助高阶无穷小量可知
ΔS=200・Δx+ο（Δx）
从而使得微分概念的雏形自然而现.进而针对一般函数f（x），给出微分的一般定义形式
其中ο（Δx）是Δx的高阶无穷小量.
教学分析：好的教学情境的引入，往往能营造良好的教学氛围，提升学生参与教学活动的积极性和主动性.但是在这样的教学过程中，学生的初步认知往往是具体的，并且是不完整的，甚至是错误的，教师应引导学生多思考如下问题：我的理解方式与已有的概念是否存在联系？解决问题的关键在哪里？结论是否具有推广性？若不能推广，是否可通过修改条件实现结论的推广？等等.学生在反思过程中，会对已有的认知和理解进行深入思考，从而使得自己对数学知识的体验不断得以释放，思维能力不断提升，并逐步达到抽象思维的认知水平.
2.注重学生对概念深化理解，通过变练演编等方式巩固概念.王光明博士认为：理解是数学学习的重要环节，“懂而不会的”现象说明学生对数学知识的学习并未达到真正的理解[7].因此，当微分概念给出后，并不代表着学生能准确认识和理解概念，它需要教师进一步引导学生从不同的侧面和角度去挖掘概念，解释概念，深化学生对概念的理解.
教学分析：本题的解题过程充分展现用定义法验证函数在某点可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教师在对微分概念讲解时要循序渐进，对问题的探究思路和角度要多元化，对教材例题要进行剖析和演编，同时还要给学生一些与例题类似或演编的题目进行训练，这样可以进一步加深学生对微分概念的理解.
3.在概念教学中逐步提升学生的认知水平，帮助学生建立新的认知结构.教师对例题进行总结和归纳是加深学生对概念理解的一种有效方法，同时也是促使学生发现新问题或新规律的一个有效途径.著名教育家波利亚在其著作《数学与猜想》中写道：“数学的创造过程是与任何其他知识的创造一样的.在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你先得推测证明的思路.”[8]所以在教学活动中，教师应积极引导学生对已有结论进行反思、归纳和论证，促使学生的数学认知水平逐步提高，并在原有的认知水平上建立起新的认知结构.
教学片段3：教师请学生观察分析上述例题中给出的微分表达式的特征有哪些，并猜想在具备同样条件下的一般函数f（x）是否也有类似结论成立，若成立尝试证明你的结论.
设计意图：培养学生的观察分析能力，合情推理和归纳证明的能力等，通过对这些能力的培养，不断提升学生的认知水平，帮助学生建构新的认知结构.
学生通过相互讨论给出答案：（1）微分都是一个常数与自变量增量的乘积的结构模型；（2）算例表明常数恰巧是函数在该点处的导数值；（3）由导数定义形式可推知
-f′（x）=ο（1）？圯Δy=f′（x）Δx+ο（Δx），
表明函数f（x）在点x可导一定可以推出f（x）在点x=x可微.
在了解学生的认知情况后，教师可以对学生给出的答案做进一步补充说明：一元函数可导一定可微，反之，可微也一定可导，证明如下
显然根据导数的定义可知A=f′（x）.至此，教师可以带领学生对上述讨论内容进行总结，强调函数可导与可微是等价的，同时也找到了判断函数在某点是否可微的另外一种重要方法，此方法比微分定义法更容易证明.
教学分析：在课堂教学中，教师通过精心设置问题情境，引导学生进行演练、搜集数据和观察对比分析，并借助已有的经验知识进行大胆猜想，提出假说，进而论证假设的真伪性.在这一过程中，既发挥了教师在教学中主导作用，又体现了学生是课堂教学的主体.师生通过合作学习，共同探究，不仅增近了师生之间的情感交流，同时也让学生在学习过程中获得新的认知结构，提升了自身的认知水平，体验了数学创造的艰辛历程，并积累了丰富的数学素养.
三、数学分析课程探究教学的反思与建议
1.创设合理有效的问题情境，为学生营造良好的数学思维氛围.合理有效地创设问题情境，能够激发学生的学习积极性和主动性，让学生在解决问题的过程中学会思考，因此，数学分析课程教学应尽可能开展“情景―问题”探究式教学活动，教师通过设置一些能够与学生认知产生冲突的情境问题，将学生置身于探究未知问题的气氛中，激发学生的好奇心和求知欲，从而形成学生积极思考的良好课堂氛围.
2.开展探究教学活动要以教材为核心，做到循序渐进，问题解决方案多元化.数学分析课程教学由于学习内容比较抽象，学时又有限，所以在开展探究式教学活动中，教师要以教材为核心，重点突出基本概念与定理，并且教学过程中所设置的问题要适中，难度有层次性，能够形成问题链.问题提出循序渐进，能够体现思维水平由低到高的发展过程，此外，探究问题的解决方案尽可能多元化，学生在思考问题时可以从多角度、多方向、多途径寻找切入点，提出多种新颖的见解，进而促进学生发散思维能力的培养.
3.引导学生多回顾与反思，形成新的认知水平.回顾与反思有利于学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯，有利于发现数学问题及其解答的来龙去脉，有利于发现数学问题，方法和理论之间的广泛联系，有利于发现许多相关结果中的交汇点.[9]因此，教师在教学过程中，要多鼓励学生进行反思，多联系知识点之间的关系，通过反思与总结去改编，引申或者推广已有的问题和结论，进而产生新的问题，形成新的认知结构.
摘 要：数学分析课程是数学专业的核心基础课，该课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和科学的系统性，从而使得大部分大一新生在学习该课程时遇到较大的困难，导致难以达到很好的学习效果继而影响后继课程的学习。为更好地提高教育教学质量，实践以学生为主体的办学理念，选择一套适合该院学生的该课程教材是教学改革的重要环节之一。通过引入层次分析法，计算出数学分析教材选择中的指标权重，从而得到更合理、更科学的数学分析教材选择模型。
关键词：教材选择 层次分析法 指标体系
当前地方院校使用较广泛的数学分析教材有：华东师范大学数学系编《数学分析》，刘玉琏、傅沛仁编《数学分析》，王绵森、马知恩编《工科数学分析基础》，邓东皋、尹小玲编《数学分析简明教程》等。教材的评价是一项复杂的系统工程，涉及的因素较多，需要组织师生对教材的评价，还要考虑评价的公正、公平、客观、有效性原则以及评价的成本和效应等。利用层次分析法可以科学合理地选择应用型本科院校数学类专业的数学分析教材。
1 方法步骤
1.1 层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简记AHP）是由T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出的一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。该方法自提出之后，由于它在处理复杂的决策问题上的适应性和有效性已经在众多领域得到了成功的应用。
1.2 建立层次结构模型
根据应用型地方本科院校培养人才目标及数学分析教材选择时涉及到的因素进行充分分析，建立层次结构如图1所示。
第一层：目标层A，表示系统要达到的目标“最佳教材A”。
第二层：主准则层B，衡量达到目标的各项准则，包括知识体系B1、学生心理B2、质量体系B3。
第三层：子准则层C，是衡量达到主准则层的各项子准则，包括数学分析知识介绍C1、结构安排情况C2、难易程度C3、符合认识发展规律C4、学习兴趣C5、学习主动性C6、印刷水平C7、教材价格C8、读者服务C9。
第四层：方案层D，是实现目标可能采取的各种方案。对众多的数学分析教材进行筛选后选定了3套教材，即华东师大编写数学分析D1；刘玉莲、傅沛仁编数学分析D2；王绵森、马知恩编数学分析D3。
1.3 构造成对比较阵及计算权向量并做一致性检验
从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1～9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。由此得到主准则层B对目标层A的判断矩阵，利用Matlab软件对求出最大特征值。对做一致性检验，指标为，其中为判断矩阵的阶数。检验系数为，表明矩阵具有满意的一致性。其中为平均一致性指标，当时，。同时可求得的对应于的单位特征向量为。
2 结语
从层次分析模型可知，最佳教材选择应为D1，即华东师范大学数学系编《数学分析（第四版）》。D2所占比例与D1所占比例较接近，这也说明在实际工作中这两部教材被众多普通高校所选择使用的主要原因。应用层次分析法对数学分析教材进行选择，能够很好地反映教材的实际情况，具有一定的合理性，避免了凭感觉选择教材的局限性，从而能够更好地为教学工作提供支持。但是用此方法在构造判断矩阵时任具有一定的主观性，各项指标权重及测评指标的内涵的确定仍有待进一步的研究与探索。
摘 要：纵观世界，地铁由于建设投资大，运营成本高，多属公益性，一般都处于亏损状态，具有建成后不易更改的特性。但同时地铁运营所带来的时间效益、劳动效益、安全效益、投资效益、节约效益等直接效益及带动周边建筑业、服务业发展及改善居民生活质量等间接经济效益是巨大的。本文在充分调查青岛公共交通状况及经济发展现状及规划的情况下，针对地铁建设的规划方案通过模型的模拟和分析，分别从地铁线最优长度、站点分布指标、地铁站筛选等角度进行探究，用数学模型结合实际，得出对地铁规划方案的改进意见和建议。
关键词：地铁；长度；站点分布；数学模型
1 问题重述
青岛市地铁3号线及2号线地铁已开工建设，其它线路也已规划，但人们关注地铁站与自己工作或生活的地方是否较近，站点设置建设的合理化、人性化对地铁使命的长远有效完成起到关键性的作用。地铁建设考察因素多、投资大、周期长，决定了从规划设计、建设、实施运营的难以随意更改性，在规划线路和设置站点时，要以资源整合为前提，以实现各种效益的最大化为目标，以居民出行成本的最大化节约为依据，以方便最大多数人们出行为第一标准。在充分了解市内各区的情况下，做出如下的地铁站点分布优化方案的数学分析。
2 前题条件要素
（1）一定时间内当地的客流量保持不变。
（2）当地每天的公交交通资源保持不变。
（3）人们出行优先选择堵车几率低，可靠性高的地铁。
（4）假设每个站台上下车人数相等。
（5）假设建设成本只与路线长度有关，其他次要因素忽略不计。
3 符号说明
Qi：第i条线路的站点密度。T： 地铁单日工作时间。T1：地铁运输高峰时段。T2：地铁运输平峰时段。Ti：第i条线路单程总用时。Ni：第i条路线的站点数 。t1： 在小站停靠时间 。t2：在大站及换乘站的停靠时间。V：列车的平均运行速度。Si：第i条线路的长度。Γ：随机数组。N：列车最大载人量。
4 数学模型
4.1 地铁规划数学模型涉及因素
4.1.1 投资成本和获得的效益关系
因地铁的投资成本高，这里只选取最基本的线路长度来研究。由于距离较短时，起不到改善城市运力的作用；当距离较长时，地铁的运营要长期需要政府财政补贴，造成过重的财政压力，社会效益不佳，这样只有恰到好处、适宜的长度才能降低成本。
4.1.2 客流量
按基本假设（1），人口基数是客流量的多寡的本因，客流量越大，运营收入越大，经济效益越大。反之，社会效益小，亏损值越大。
4.2 模型建立
（1）模型一 ：地铁长度的合理性探究。
青岛市区轨道交通线网由8条线路组成，青岛城区有M1-5线，黄岛区有M6、M7线，红岛区设有M8线。
对目前地铁规划分析：地铁1号线：由青岛北站到达流亭机场，起点至终点时间为：T1=S1/v+（n-1）×t1+t2，地铁4.5.6.7.8号线运行时间为Ti（i=4，5，6，7，8）=Si/v+n×t1，第i条地铁上列车完整从起点到终点的次数：n=T/Ti。
按基本假设（3）、（4）；在线路各站下车的人数不定，创立相应数组，确定该站下车旅客数N×Γ，根据按基本假设（5），则第i条地铁线每日的总的最大客流量为： N+N×Γ×w（N（i）-2）。
经计算每条地铁的长度分别为：M1线为36.6km，M2线为55.3km，M3线为25.1km，M4线为22.3km，M5线为13.3km，M6线为30.6km，M7线为14.6km，M8线为33.7km。
（2）模型二：青岛地铁站点评价指标的建立。
模型求解：地铁1号线中山站，位于市中心，是连接黄岛区和城阳区的南北骨干线路。对此建模求解，分析其是否地铁站点的最优选择方案。将有关因素两两进行比较：
（3）模型三：站点筛选模型。
模型建立：
①模型的前期分析。地铁线路规划是地铁站点选择的指导依据，地铁站点选址是线路规划站点的修正。
②从地铁规划所选出的备选站点中确定最优站点，使连接站点的线路为最短，既降低建设成本，又保证乘车时间最短。
5 模型评价与改进
本模型分别从长度、评价标准、站点筛选分析了地铁规划问题，采取了多种科学运算方法，采集了较为客观的数据进行了运算与验证，与实际虽有所偏差，但考虑到现实复杂性与不可控因素，结果完全可以接受，属于较为成功的模型。
