时间：2023-02-20 11:05:24
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【中图分类号】G40-03 【文献标识码】 【文章编号】
[教学内容]苏教版五年级数学（上册）第12－13页例1、例2、例3。
[教材简析]平行四边形面积的计算共分两课时教学。第一课时主要是引导学生探索平行四边形的面积公式，第二课时主要是应用平行四边形的面积公式。本设计是第一课时。教材安排了三道例题。例1从比较方格纸上每组中的两个图形面积是否相等入手，引导学生把少复杂的图形转化成相对简单的熟悉的图形，让学生初步感受转化方法在图形面积计算中的作用，并为进一步的探索活动提供基本思路。例2引导学生通过平移把平行四边形转化为长方形，教材一方面突出了平移在转化过程中的应用，另一方面也鼓励学生用不同的方法实现转化的目的。例3的重点则放在探索平行四边形与转化成的长方形之间的联系上。
[教学目标]
1、懂得用转化的方法把平行四边形转化成长方形，探索出平行四边形面积计算公式，并能应用公式计算平行四边形的面积。
2、理解图形之间的内在联系，体验探究平行四边形面积公式的过程。
3、培养学生的操作、比较、抽象、概括能力。感受数学与生活的联系。
[教学重点]掌握平行四边形面积公式。能正确计算平行四边形的面积。
[教学难点]平行四边形面积公式的探究推导过程。
[教学过程]
一、谈话导入
同学们，上节课我们进行了《面积是多少》的动手操作实践活动。你们还记得求不规则图形面积的方法吗？（学生回顾并交流了上节课学习的“四种”不规则图形面积的计算方法）这节课，我们就运用这些方法来探究“平行四边形面积的计算”这个问题。板书课题：平行四边形面积的计算。
二、探究新知
1、课件出示例1插图。判断每组中的两个图形面积是否相等。
（1）观察每组的两个图形说一说自己判断的方法。
生1：我是通过数方格的方法知道每组的两个图形面积相等的。
生2：我是通过平移的方法知道每组的两个图形面积相等的。
根据学生的回答师板书：
方法一：数方格法。
方法二：平移法。
（2）师问：比较上面两种方法你们认为哪种方法比较简便呢？学生经过比较和交流，一致认为方法二比较简便。
（3）师小结：把每组左边的图形经过分割平移，就转化成了和右边一样的图形。转化法是我们以后经常要用到的方法。教师利用课件演示。
2、课件出示例2插图。你能把平行四边形转化成长方形吗？
（1）师问：怎样把平行四边形转化成长方形呢？（以小组为单位，拿出课前准备的方格纸、直尺和剪刀动手操作）。
（2）组织学生汇报。
①从平行四边形左边（或右边）剪下一个直角三角形，然后向右（或向左）平移，可以拼成一个长方形。
②将平行四边形沿高剪下，然后向右平移，也可以拼成一个长方形。
设计说明：学生可能想出很多方法，分割平移转化成长方形，让学生体验各种方法的合理性，并对各种方法进行比较，掌握简单、易于操作的方法，并且在头脑中形成表象
3、课件出示例3。
（1） 要求学生从教材第127页上剪下一个平行四边形。学生动手操作。
（2）组织学生把它转化成长方形，求出面积。完成例3中的表格（以小组为单位完成填表）。
（3）指导讨论：（课件出示讨论提纲）
① 转化成的长方形与平行四边形面积相等吗？
②长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系。
③根据长方形的面积公式，怎样求平行四边形的面积呢？
（4）、教师启发性小结：我们用割拼法把平行四边形转化成长方形，什么发生了变化？，从什么变成了什么？，什么没有变？。再想一想，平行四边形的底等于长方形的什么？，平行四边形的高等于什么?，长方形的面积＝长×宽，那么平行四边形的面积呢？板书：（略）。
如果用S.a.b分别表示平行四边形的面积、底和高。那么平行四边形的面积公式可以写成S＝ab
（5）教学“试一试”（先独立完成，集体反馈时指名说一说所应用的面积公式。）
设计说明：学生经过动手操作、转化、计算、填表、比较等一系列实验活动，沟通了新旧知识的内在联系，探究出了平行四边形的面积公式。
三、巩固练习
1、选择题、（把正确答案前的编号填在括号里）
右图的面积是（ ）
①15m ②15m2 ③15cm2
2、操作练习：（先画一个平行四边形，测量出有关数据，再计算平行四边形的面积。）
设计说明：练习为了培养学生的动手操作能力和应用公式计算面积的能力。
四、全课总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么不懂的问题？ 同桌交流自己的体会培养学生的抽象概括能力。
[资料链接]《新课标》九年义务教育学段的“空间与图形”部分，和平行四边形有关的知识有：
1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形面积＝底×高。
学生对这个问题几乎一致的回答是:“必须知道这个平行四边形的底和高。”
小学数学课堂上,这样的师生问答非常普遍。教师问得好,可以启发学生思维,使学生形成正确概念;问得不好,就可能禁锢学生的思维,甚至导致学生形成错误概念。
前面这一问一答,连起来说,就是:要想求出一个平行四边形的面积,就必须知道这个平行四边形的底和高。
这个结论或许会使学生形成这样一个思维定式:只要遇到求平行四边形面积的问题,就必须先求平行四边形的底和高。如果求不出底和高,自然就求不出平行四边形的面积。这样一来,学生如果遇到下面的问题,可能就无从下手了。
问题:在下图中,三角形ABE的面积为24平方厘米,求平行四边形ABCD的面积。
翻阅一些《小学数学教案选》发现,类似提问还比较普遍,比如:
要求出长方形的周长,就必须知道这个长方形的什么?(答:长和宽)
圆锥和圆柱的体积在什么条件下存在三分之一的倍数关系?(答:等底等高)
要求一个小数的倒数,就必须先把它化为分数。
为了说明这种语言的问题所在,下面我从逻辑和数学两个方面进行分析。
从逻辑的角度看,一个命题(在逻辑学中称为“判断”)与它的逆否命题是等价的,它的逆命题与它的否命题是等价的。但命题与它的逆命题和否命题并不等价。这就是说,一个真命题的逆命题和否命题未必是真的。根据平行四边形面积公式,可以知道命题——如果已知一个平行四边形的底和高,则可以求出这个平行四边形的面积——是真的。其逆命题和否命题分别是:如果可以求出一个平行四边形的面积,就一定知道这个平行四边形的底和高;如果不知道平行四边形的底和高,就无法求出这个平行四边形的面积。这样的结论与原来的命题并不等价。老师将求解面积的一条途径简单化为唯一途径,极容易给学生造成错误认识。事实上,能用公式求出面积的平面图形是很少的,更一般的方法是寻求图形面积之间的关系。比如在前图中,只要看出平行四边形ABCD的面积是三角形ABE面积的2倍,问题就可以迎刃而解了。
平行四边形面积公式“面积=底×高”,在数学中可以看作是一个函数关系。函数通常描述自变量和因变量之间的依赖与制约关系,体现的是当自变量确定的时候,因变量随之确定。反过来却不一定成立,就是说当因变量确定的时候,自变量未必随之确定。
在“面积=底×高”这一函数关系中,底和高是自变量,面积是因变量,当底和高确定的时候,则面积随之确定;反过来,当面积确定的情况下,底和高未必能够确定。
教师在课堂上提问,其根本目的在于促进学生思考。因此不妨把提问设计得宽泛一些,让学生有充分的思考空间。在教学平行四边形的面积公式之后,如果提出如下问题供学生思考,也许会得到更好的效果。
1.如果两个平行四边形等底等高,那么这两个平行四边形的面积具有什么样的关系?
2.如果两个平行四边形面积相等,那么这两个平行四边形的底和高具有什么样的关系?
一节课的教学目标，要从知识、能力、思想品德教育三方面进行考虑，以体现学科教学中的素质教育思想。本节课的教学目标是：
（1）使学生理解、掌握三角形面积的计算公式，并能运用它正确计算三角形的面积；
（2）通过指导实际操作，培养学生的抽象概括能力和思维的创造性；
（3）使学生明白事物之间是相互联系、可以转化和变换的。
完成这一教学目标，要根据学生的认识规律，在指导学生进行实践活动的过程中，把动手操作与动脑思考、动口表述结合起来。也就是说，首先把学习知识应有的思维活动“外化”为动手操作，然后通过这个“外化”的活动再“内化”为思维活动。因此在教学过程中，把操作、思维、表述紧密结合起来，才能完成这一教学目标。
本节课的教学重点是理解、掌握三角形面积的计算公式。
教学难点是理解面积公式的算理。
华罗庚说过，“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”要培养学生的空间观念和创造能力，就必须重视推导公式的过程教学，从学生的认知特点出发组织学生去大胆地操作实践，探求规律，推导出公式。
二
学生掌握新知识的过程是在老师的引导下，充分利用已有知识和学习经验，积极主动地参与探求的过程。把教材的间接经验通过自身的活动去重新发现、完善和建立新的认知结构。
1.抓住新知识的基础，做好学习新知识的准备
学习新知识的基础是选取复习内容的依据，新旧知识的连接点是复习的重点。三角形面积这个新知识的基础是长方形、正方形、平行四边形的面积公式及三角形底和高的认识。新旧知识的连接点是图形的转化和变换。在教学新知识之前除了要复习好以上的内容外，还要指导学生回忆平行四边形面积公式的推导过程，唤起“转化图形、建立联系、推导公式”的学习方法的认识。为新知识的学习做好知识的、能力的以至情感方面的准备。
2.新知识的教学可以分为4个层次进行
第一层，操作学具。启发学生用学具袋中的两个三角形拼成一个学过的图形。学生动手、动脑相互交流，得出“两个完全一样的（全等）三角形，可以拼成一个长方形、正方形或平行四边形。
第二层，观察与思考。提出问题引导学生观察拼成的正方形、长方形或平行四边形与三角形的关系。三角形的底和高与正方形的边长、长方形的长与宽，以及平行四边形底和高的关系？
第三层，推导公式。利用图形之间各部分的对应关系，思考它们面积之间的关系，最终推导出：因为，平行四边形面积＝底×高（平行四边形的面积是两个与它等底等高的三角形面积的2倍），所以，三角形的面积＝底×高÷2
第四层，深化认识。
为了使学生加深对三角形面积计算公式的理解，进一步启发学生，用一个三角形通过割补的办法推导出三角形的面积计算公式。学生再次动手，动脑，相互交流，得出（如下图）如下计算公式：
（附图{图}）
三角形面积＝底×（高÷2）
三角形面积＝（底÷2）×高
经过学生两次动手、动脑、交流，运用转化和变换多向探索，把求三角形面积这一探索过程充分展示出来。不仅深化了对公式的理解而且渗透了转化和变换的数学思想，培养了学生操作能力和分析概括的能力，发展了学生的空间观念。
3.新知识教学后要及时组织练习。
练习可从4个方面进行。口答题（理解算理的练习），（1）已知图形的底和高，可以求出这个图形的面积。那么，这个图形可能是什么形？这些图形之间有什么共同点？面积有什么关系？（2）三角形面积等于平行四边形面积的一半。对不对？为什么？看图口算（运用公式计算的练习）。下图中哪个三角形的面积可以用6×5÷2求出，为什么（选择条件的练习）？
（附图{图}）
已知三角形的面积是15平方厘米，高是5厘米。求它的底？如下图，在一个正方形和一个长方形中，有一个三角形（阴影部分），求三角形的面积（灵活运用知识的练习）。
（附图{图}）
新课后的练习一定要练在重点上和关键处，以加深学生对新知识的认识和提高运用知识的能力。
三
本节教学设计的基本思路是：
（1）发挥教师的主导作用，同时要为学生创造主动的发展空间，引导学生创造性地参与教学的全过程。通过操作，观察，推导和深化4个教学层次，使学生不仅在理解的基础上掌握新知识，而且进一步体会运用旧知识去研究新问题的学习方法，从“学会”逐步到“会学”，寻找到解决问题的正确方法。
（2）在教学过程中，有目的的不失时机地培养学生操作能力，观察能力，分析推理的能力。使课堂教学的过程成为既传授知识又培养能力的过程。
附三角形面积教案
一、教学内容：三角形的面积
二、教学目标：
1.使学生理解、掌握三角形面积计算公式，并能运用它正确计算三角形的面积；
2.通过指导实际操作，培养学生抽象、概括能力和思维的创造性，发展空间观念；
3.使学生明白事物之间是相互联系，可以转化和变换的。
三、教学过程：
（一）复习引入
1.出示平行四边形，复习它的计算公式。
2.投影锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，看图辨识三角形各条边上的高？
师：我们已经掌握了长方形、正方形、平行四边形面积的计算方法，那么怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就来解决这个问题。
（二）新授
1.操作学具。
师：你能用学具袋中的两个三角形拼成一个熟知的平面图形吗？
学生拿出学具动手操作拼成一个学过的图形。
（附图{图}）
出示学生拼出的图形。
2.观察与思考。
师提出问题引导学生观察：①用两个什么样的三角形才能拼成一个学过的平面图形？②平行四边形、长方形、正方形的面积与三角形的面积有什么关系？为什么？③三角形的底和高与平行四边形的底和高有什么关系？与长方形的长和宽有什么关系？与正方形的边长有什么关系？
学生观察、讨论、相互交流、弄清楚面积关系以及底、高之间的关系。
师小结板书：
平行四边形面积＝底×高
长方形面积＝长×宽
正方形面积＝边长×边长
2个三角形面积＝底×高
三角形面积＝底×高÷2
3.推导公式。
（1）怎么求平行四边形的面积？长方形面积？正方形面积？
（2）平行四边形面积，长方形面积，正方形面积都是由几个完全一样的三角形组成的？
（3）怎么求一个三角形的面积？
师随着完成上面的板书并引导学生小结：怎么求三角形面积？为什么？
4.深化认识。
师启发回忆
（附图{图}）
学习平行四边形面积时，我们运用割补的办法把平行四边形转化成了长方形，那么运用割补的办法能不能把一个三角形转化成一个平行四边形或长方形呢？
学生动手操作、研究、讨论、相互交流，教师辅导提示，得出下图。
（附图{图}）
积＝底×高的一半三角形面积＝底的一半×高
＝底×高÷2＝底×高÷2
（1）说一说你是怎么割补的？
（2）议一议平行四边形的面积、长方形面积与三角形面积的关系，平行四边形的底和高，长方形的长和宽与三角形底和高的关系？得出什么结论？
（3）师整理公式（完成上面的板书）
（4）师总结：三角形面积等于底乘以高除以2。（板书字母公式：S＝ah÷2），可以理解为底×高乘积的一半，也可以理解为底×高的一半，还可以理解为底的一半×高。
四、巩固练习
（一）理解性练习（口答）
1.三角形的底乘以高得到的是什么图形的面积？再怎么求才能得到三角形面积？
2.三角形面积等于平行四边形面积的一半；对不对？为什么？
（二）运用公式的练习（口答列式）
（附图{图}）
（三）选择条件的练习
（附图{图}）
哪个三角形的面积等于6×5÷2？其它两个为什么不是？
（四）灵活运用知识的练习
随着课程改革的不断深入，“预设”和“生成”这两个相互对立的概念融入到了我们的教学实践中。“预设”是指紧紧围绕教学目标、任务，预先对课堂环节，教学过程等一系列展望性的设计，“生成”是指实际教学过程的发生、发展与变化。课堂教学不是一个机械执行教案的过程，而是一个动态的、开放的、不断生成的过程，当教学预设与生成表现差异，甚至截然不同时，对教师而言将面临严峻的考验和艰难的抉择——课堂的尴尬与精彩，虚浮与真实。
如何让课堂亲近真实，用生成打造真实，我们必须要思考如何把握学习“预设”与“生成”。首先，预设既要备教材，又要备学生。教学需要预设，高质量的预设是教师发挥主导作用的重要保证，它有利于教师从宏观上、整体上把握教学过程，为了能在课堂上游刃有余，教师的课前预设就要尽量具体些，周密些。
那么如何进行高质量的教学预设呢？高质量的教学预设需要精心备教材，更需要备学生。教师课前钻研教材设计教案，本身就是应该的，特别是个性化地设计某个环节，是非常值得提倡的，问题是不能一味地钻研教材而忽视了学生这个主体。新课程标准明确指出：数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，这就要求教师在研究教材教法的同时要加强对学生的研究，教师要充分了解学生的认知基础及心理状态。根据学生的现实状况研究预设教学过程。那是一次苍白教学给予的顿悟，前些年上过的一节“平行四边形面积”的计算，其中的片段至今记忆犹新。
师：今天我一起来学习怎样计算平行四边形的面积，请同学们拿出老师发给你们的长方形和平行四边形（长方形长5厘米，宽3厘米，平行四边形底5厘米，高3厘米），请同学们想办法比较一下这两个图形的面积哪个大哪个小。
（学生开始以小组为单位比较，然后汇报）
生1：我把平行四边行沿着它的一条边剪开然后拼到平行四边形的右面，就变成了一个长方形，然后把长方形放在拼成的图形上一比，我发现这两个图开的面积一样大。
生2：我把平行四边形沿着它的一条高剪开然后平移到平行四边形的右面就变成了一个长方形，然后把长方形放在拼成的图形一比，我发现这个长方形和平行四边形的面积相等。
师：很好，我们今天就来学习平行四边形的面积计算公式。请同学们拿出老师发给你们的学具——一个平行四边形纸板。同学们动一下脑筋，看看可以把平行四边形转化成什么图形。
（学生开始以小组为单位操作，师巡视期间，曾多次询问能把平行四边形转化成什么图形）
接下来学生汇报自己的做法。大致和课的开始相同。我又用课件演示将平行四边形转化为长方形的过程，并强调什么叫平移，然后要求学生按课件演示的过程再做一遍。接下来就是讨论拼成的长方形和原来平行四边形之间的关系，总结面积计算公式。
课后我是这样反思的：我这样设计是想让学生通过数方格的方法比较出长方形和平行四边形的面积是相等的。然后说明，因为数方格求平行四边形的面积比较慢，也不方便，在此基础上激发学生学习平行四边形面积的欲望。谁知，学生并没有数方格，而是通过剪拼，比较的方法得出结论，还有一个学生居然说出了“平移”，觉得自己做的课件不就没用了吗？当时由于自己调控课堂的能力不足，教学机智的欠缺，导致课堂效率事倍功半，如今想想可以就着学生的回答，提出表扬和鼓励，然后，以学生的方法让还没有找到方法的学生试一试，必要时也可用课件，将教学的重点一下子转移到研究图形关系上来。让学生自己分析研究两种图形之间的内在关系，推导出平行四边形面积计算公式。使整个教学过程从有序（预设）到无序（生成），再到有序（采取相应的对策），主要是我们要转变教育观念，认识到课堂教学是一个师生互动、资源共生的过程，正确定位教师和学生的关系，树立以学生为主体的观念，放下“师道尊严”的架子，从讲台上走下来，加强自身的学习，与时俱进，提高自己的业务水平和教学策略，必能应对教学中出现的各种现象。
为了使新课程取得预期的效果，首先要更新观念，使先进的教育理念转化为广大教师的教育行为，落实到课堂教学中去. 在传统观念的影响下，教师过于偏重知识传授、接受学习、机械模仿. 有些课成了执行教案的过程，使课堂成为教案剧场演出的舞台，教师是主角，学生是配角，大多数学生是剧本的演员或是观众和听众. 这既忽视了作为独立生命个体的师生在课堂教学中的各种需要与有待开发的潜能，又忽视了师生在课堂教学中的双边多向及多种形式的师生互动、生生互动和创新能力. 这一切使我们越来越深切地感到要用动态生成的观念重新认识和评价课堂教学. 目前九年义务教育教材，在内容上的要求是基本的，绝大多数学生通过努力是可以达到的，但综合性、弹性不够，这在一个班级中不一定适合每一名学生. 因此，就要求老师必须根据课堂教学的需要，对旧教材进行适当的加工处理，将课本中的例题、文字说明和结论等书面的东西，转化为学生易于接受的信息. 为此，在教学设计时，应对下列问题引起注意：（1）旧教材内容是不是达成教学目标所必需的？应删去或从略哪些学生已学过或已经认识的内容？哪些数学知识的素材不够充分需要补充？（2）在校内外和网站上可利用哪些与旧教材内容密切的课程资源？（3）本节课的教学重点、难点是什么？从学生的实际情况看怎么定位比较恰当？（4）结合哪些内容进行数学思想和教学方法的教育？结合哪些内容培养学生的情感和态度？（5）在练习中如何处理好基本和提高的关系，为水平不同的学生得出不同的数量和质量要求？这样，教师以旧教材为基石，改变旧教材为新教材，不仅可以将更新的课程理念具体地落实到旧教材的处理中，而且也使自己成为新教材的积极实践者和创建者.
二、内容枯燥向富有情趣转变
由于旧教材具体一定的封闭性，有的教师又不能创造性地使用教材，仍是以书教书，势必让学生感到数学内容枯燥无味，产生厌学心理. 因此，教师应努力创设良好的学习情境，变抽象为形象，变无趣为有趣，使课堂永远对学生都有一定的魅力. 一些教师教学观念陈旧，仍把教材当成学生学习的唯一对象，照本宣科满堂灌，学生听得很乏味，“闷课”仍是较为普遍的现象. 现在，课程设计将“给予知识”转向“引起活动”，学生不再是被动地接受现成的知识，而是通过活动获取知识，获得体验. 如“年月日”一课让学生先看日历表再填写表格，从中找到一年中有多少个大月或多少个小月. 然后提出问题：拿出自己的拳头怎样帮助记忆大月或小月？学生自己数一数，然后讨论结论，学习效果都出乎意料的好. 这完全得益于课堂教学内容有情趣化的设计，使学生在良好的教学氛围中愉快地学习.
三、操作工向探索者转变
《数学课程标准》就如何实现学生动手实践、自主探索、合作交流的学习方式指出：学生是数学学习的主人，教师只是学生数学学习的组织者、引导者和合作者. 例如：小学数学五年级上册“平行四边形面积的计算”，首先给出长方形和平行四边形的图形，提问：这两个图形的面积是否相等？在小组里说说你准备怎样比较这两个图形的面积. 并让学生数一数它们各占几个小格子，分组交流. 老师帮他们验证一下. 然后动手数，自己找出长方形和平行四边形面积的关系. 接着提问：你能想办法把图中的平行四边形转化成长方形吗？让学生演示剪和拼的过程. 继续请学生演示，启发学生沿平行四边形的高剪开. 平行四边形拼成长方形后，让学生找出平行四边形和长方形的关系，即：第一，它的面积大小有没有变化？第二，长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系？第三，根据长方形的面积公式，怎样求平行四边形的面积？再从教科书的第127页上选一个平行四边形剪下来，先把它转化成长方形，并求出面积，再填写表格. 最后，通过反馈，交流推导出其面积公式.
可见，上述整个推导公式的过程全部由学生自主操作、观察、交流、总结. 学生积极主动地参与学习活动，真正成为了学习的主人――探究者，亲身经历探索知识的全过程，同时掌握了科学探究方法，既培养了科学探究方法的精神，又提高了自主获得知识解决问题的能力.
重庆市南川区隆化七校
挂 牌 专 家
鲜文玉
重庆市南川区教育科学研究所小学数学教研员，重庆市小学数学骨干教师，重庆市小学数学教学名师，拟推荐为重庆市教育专家资源库成员。长期从事小学数学教学研究，参编国家义务教育教科书小学数学教案选。执教录像课《长方体和正方体的复习》获市一等奖;20余篇论文获国家、市一二等奖，先后在《小学数学教育》《基础教育》《新课程实验研究》等刊物公开发表教学论文50余篇。
王：鲜老师，您好！小学阶段，学生学习了长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆的面积。这些内容的教学都要让学生经历面积计算公式的推导过程，而这些图形面积计算公式的推导都运用了转化的方法。我在教学中，力求让学生经历知识的形成过程，感悟数学的思想方法。学习了平面图形面积后，我感觉学生的空间观念不太强。
【课堂回放】
1.复习导入新课
（1）口算图形面积（如下图）。
（2）回忆推导方法。
想一想：平行四边形的面积公式是怎样推导出来的？
师相机板书：转化
（3）小结揭示课题。
2.合作探究公式
（1）引发认知需要
出示红领巾问：做这样一条红领巾，需要多大的布？
（2）合作推导公式
第一步：引导推导公式。
教师引导：拿出两个完全一样的直角三角形拼一拼，可以拼成什么图形来计算三角形的面积？拼后小组交流。
小组交流：
①口述拼的过程。②拼成的平行四边形的底与原三角形的底有什么关系？③拼成的平行四边形的高与原三角形的高有什么关系？④每个直角三角形的面积和拼成的平行四边形的面积有什么关系？⑤三角形的面积计算公式是怎样的？
师追问：直角三角形的面积=底 × 高 ÷ 2，是不是所有的三角形的面积都用“底 × 高 ÷ 2”计算？
第二步：自主验证公式
拿出两个完全一样的锐角三角形和钝角三角形拼一拼，验证所有三角形的面积都用“底 × 高 ÷ 2”计算。
第三步：抽象概括公式。
三角形的面积=底 × 高 ÷ 2
第四步：字母表示公式。
师：我们用拼一拼的方法把三角形转化成学过的图形，推导出了三角形的面积公式。如果用字母a表示三角形的底，h表示三角形的高，S表示三角形的面积，你能用字母表示三角形的面积公式吗？教师根据学生汇报并板书。
3.实践应用深化
（1）出示例题：红领巾的底是100cm，高是33cm ，红领巾的面积是多少？
（ 学生尝试完成并板演，再评价。）
（2）根据条件求三角形的面积（只列式不计算）
（3）测量并计算（数学书P86第2题。）
（4）做2个这样的标志牌需要多少平方分米的铁皮？（课件展示）
（5）拓展：教材第6题。
4.全课总结提高
通过这节课的学习，你有哪些收获？
在教学三角形面积中，我让学生经历了三角形面积计算公式的推导过程，可学生在计算三角形面积时，还是忘了除以2。我认为是学生空间观念不强造成的。怎样才能使学生空间观念的形成更有效？
【专家解惑】
鲜：这个问题是一线教师在教学图形与几何领域内容常常思考的问题。按照新课标的要求，图形与几何领域的教学应突出核心概念――空间观念。为使学生空间观念的形成更有效，可以从引导学生“善于质疑，勇于实践，勤于反思”三方面入手。
王：小疑则小进，大疑则大进。我也觉得学生应该带着问题学习，使得学习目标明确，学习效果更好。怎样引导学生质疑呢？
鲜：《三角形的面积》一课题中，“面积”二字是题眼，我们就可以引导学生从课题的题眼入手，联系学生已有的知识经验质疑。揭示课题后，可以提出这样一个问题：“看到课题，你想知道些什么？”当问题提出后，学生可能会提出如下问题：（1）三角形的面积怎样计算？（2）三角形的面积公式是怎样的？（3）三角形的面积公式是怎样推导出来的？以上三个问题，恰恰是本节课的重点问题。只要学生能自主解决这些问题，学生的空间观念的形成就不是一件难事。长期坚持这样引导学生质疑，学生学习的积极性和主动性增强了，更有利于学生空间观念的形成。
王：以上三个问题中，第三个问题既是本节课的重点，又是本节课的难点。怎么应对这一重难点，您有什么好的建议吗？
鲜：为突出重点，突破难点，我们在教学中应加强学生的动手操作，让学生在动手操作中培养空间观念。儿童心理学家皮亚杰说：“儿童的思维从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就得不到发展。”在推导三角形面积公式时，要给予学生独立操作的时空，把三角形转化成平行四边形，再观察拼成的平行四边形与原三角形有什么联系，从中发现规律，抽象概括三角形的面积公式，建立“s=ah÷2”的数学模型。
王：操作中，我发现学生拼平行四边形很困难。
鲜：观课中，我也发现有的学生拼平行四边形很困难。我们要遵循由易到难、由特殊到一般的原则教学。课前，让学生准备不同类的三角形各2个，标出每个三角形的底和高。课上，让学生独立选三角形，拼平行四边形，教师巡视。当发现学生不会拼平行四边形时，教师不要急于告知学生怎么拼，而要耐心等待，可以跟学生这样说：“再试一试，你能拼出来的？”学生仔细琢磨后，你可以欣喜地发现他们将两个完全一样的直角三角形拼成了一个长方形（特殊的平行四边形）;两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形;两个完全一样的钝角三角形拼成了一个平行四边形，由此得出：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。这遵循了由易到难、由特殊到一般的教学原则。
王：展学环节，我们往往是小组汇报，教师草草追问完事。参与汇报的学生和成绩好的学生空间观念比较强，而成绩较差的学生空间观念不强。
那么如何发挥“学为主体”呢？《数学课程标准》提出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”以上所阐述的学习理念，其核心就是在教学中要使学生积极主动地参与到有效的学习活动中来。
由此可见，教学中教师的主动引导与学生的主动学习，应该形成“两个为主”的关系。现在的问题是有些教师把主动引导理解为主动提问，没有创设更好的方式让学生在活动中自己去发现问题、提出问题，甚至把主动帮助变成了包办代替，剥夺了学生的思维空间。由于出现了这种情况，所以我们要倡导“以生为本”的课堂，并提出了“以学定教”的教学思想。但在推行这一教学思想的过程中，一些教师又片面地认为学生的“学”要比教师的“教”更重要。对于这一问题，我们只要认真地去解读新课标就会知道两者不能随意偏颇。《数学课程标准》在基本理念中提到：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”这段话也正好说明了教师“教”与学生“学”的关系，说明了“教”与“学”都是很重要的两个方面。浙江大学盛群力教授在《论有效教学的十大要义》一文中提到的其中一个要义就是“学教统一”。盛教授认为：“学习与教学究竟是一种怎样的关系呢？是学重要还是教重要，是学在先还是教在先呢？这确实难以简单、笼统地下结论。一般地说，学与教处于同等重要的地位，绝不能说倡导‘生本教学’就是将学生放在首要位置。学习与教学本来就是一体两面的事情，虽然我们都同意现代教学是以学习者为中心，是一种‘生本教学’，但是，这并不意味着可以轻视教学的作用，无视教师的存在，学习与教学、学生与教师，只有这两个方面协调平衡了，才是我们向往的境界，有两个积极性比只有一个积极性好。只讲一个主体，不管是以学生为主体还是以教师为主体，都是单方面甚至是片面的。”盛教授在文章中还提出了另一个要义是教学要做到“扶放有度”：“不要简单地说先学后教还是先教后学，学需要教的促进，没有教，也是可以学的，但是为了更高效地学，这就需要教了，问题是教什么、教多少、何时何地教，这就需要有一个‘扶放有度’的问题。”
现在大部分教师对以上教学理念都是非常赞同的，还努力朝着这一方向去实施。问题在于教师的解读程度存在着差异，所以部分教师在具体设计时就没有处理好教与学的关系，在教学的实施过程中没有把握好学生的参与度，甚至对怎样的教学才算是学生真正的自主学习，怎样的教学才算是教师做到了有效引导不是很清晰，因而造成教学效率的低下。这也说明教师要把先进的教学理念转化为自己的教学行为需要一定的过程，这一过程是不断学习与反思的过程，是长期实践与磨炼的过程。基于以上认识，本文想通过对几个教学案例的分析，揭示教师在设计教学素材和处理教与学的过程中出现的几个方面的缺失，并提出我们应如何去改进的一些做法，供大家教学时参考。
一、担心学生无法自主，导致教与学的失衡
教学方式的确定首先要分析学生是否能自主独立地进入学习活动，这是为了更好地引导学生自主学习必须思考的因素。但部分教师在分析“引导”与“自主”的权衡上有时把握不定，甚至对有些教学内容教师认为学生独立探究有困难，就没有更多地考虑引导对策，而出现了教师的“教”重于学生的“学”。
如教学《圆的面积计算》时，因为学生在这之前的转化都是直边形，所以学生要在没有预习的前提下能自己想到把圆等分成小扇形，并把它拼成近似的长方形或平行四边形，一般是不大容易做到的，而且更不会想到等分的份数越多拼出的图形就越接近长方形。教师在教学这一内容时作这样的分析是对的。可是有些老师认为学生完全自主有困难，所以干脆就不让学生去动手探究，只让学生观察媒体的动态演示，或观察教师的教具演示来说明剪拼的推导过程。这样的教学虽然学生看得很清楚，想得也很明白，但我们总觉得学生是完全处在被动的听讲上，没有让学生经历解决问题的思维过程。出于这样的思考，我们对此课作了如下改进。
教学片段一：
师：要想知道圆的面积的准确计算方法，我们应该用什么方法来探究呢？（这时学生迟疑了片刻）
师：我们在探究平行四边形、三角形、梯形的面积时都用了怎样的方法？
教师呈现预先设计好的投影，帮助学生回忆平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法，使学生说出：都是把它剪拼成已学过的图形，或用两个完全一样的图形拼成已学过的图形。
师：用两个完全一样的圆拼成已学过的图形，有可能吗？
学生同桌用两个圆片拼拼后回答：不可能。
师：那你们能把一个圆剪拼成已学过的图形吗？
通过投影的观察、想象，感知无限等分后化曲为直的思想。
以上教学片段给我们带来这样的思考：如果碰到学生完全自主有困难时，应该去研究如何调整活动方案，怎样放慢活动的速度，而不是简单地取消学生的活动机会。教师应该是在学生遇到困难时给予适当的帮助，在学生有一定感悟后再去呈现投影，引发进一步的想象。这样的教学才能达到更佳的学习效果。
二、固守某种教学方法，缺乏教与学的创新
所谓固守某种教法，就是大家在教同一内容时基本选定的一种方法。其原因有两个，一是这种教法确实有一定的优点，教师也认为这种教法没有什么可以改进的地方；二是执教者的设计思维惰性，满足现状，没有与时俱进的追求，不愿意对现成的方法作进一步思考。因此，在教与学的处理上比较平庸，缺乏教与学的创意。
如在教学《平行四边形的面积》一课时，见得最多的方法是让学生观察一个平行四边形和一个长方形，当学生一时难以区别它们的面积大小时，教师给学生提供每格是1平方厘米的格子纸，并把这个平行四边形和长方形画在格子纸上，引导学生数出平行四边形的底和高的长度，数出长方形的长和宽的长度，再数出这两个图形的面积，从中发现长方形的面积刚好与平行四边形的面积相等，平行四边形的底与长方形的长、平行四边形的高与长方形的宽也刚好相等，以此得出平行四边形的面积就是“底×高”，接着再引导学生操作验证。现行的一些教材也是按以上方式编写的，先让学生数格子也比较符合学生的认知规律，教师也确信这种教法比较成熟，似乎没有什么好改进的地方。但我们如果进一步深入思考学生数格子的过程，虽然在数面积时有许多方法可以启发学生下一步如何去探究，可是在数出数量后，只要对照数量就会得出“底×高”的结果。现在的问题是，当学生没有学习平行四边形面积的计算方法之前，面对一个平行四边形要计算它的面积，学生会怎样思考呢？它的面积与什么有关呢？它的面积应该怎样计算呢？我们的学生也许会误认为是邻边相乘，不能感受到它的面积与它的底和高有关。今天提供给学生的是数格子的素材，学生只要按要求数就可以了，这样教学，学生的好奇心、自主性会油然而生吗？出于这样的思考，我们对本课的开始环节作了以下改进。
教学片段二：
让学生拿出四根塑料棒搭成一个平行四边形（如图6），并向学生提出：你们可以轻轻地拉一拉、玩一玩这个平行四边形。
接着提出：你们在玩这个平行四边形时感受到什么数学问题了吗？（学生先分组交流后，再反馈）
生1：平行四边形容易变形。
生2：平行四边形的形状变了，面积也变了，但周长没有变。
师：这个平行四边形变成怎样的图形时，它的面积最大？
生：变成长方形时它的面积最大。
师：是吗？大家再慢慢地拉一拉，看一看是这样的吗？
让每位学生都感受到平行四边形变到长方形时它的面积最大。
师：假如这个平行四边形的两条邻边分别是7厘米、5厘米，那这个长方形的面积是多少平方厘米？
教师随手在黑板上画出一个长方形，借此复习“长方形的面积=长×宽”。
师又提出：这些图形的面积的大小变化与什么有关呢？
教师继续让学生拉一拉平行四边形的框架，先分小组说一说自己的发现，再集体交流。
生1：与角度有关。（指的是两条邻边的夹角，教师肯定他的想法有道理）
生2：平行四边形越扁，它的面积越小。
师：平行四边形越来越扁，你能想到与平行四边形的什么有关呢？
生：与平行四边形的高有关。
师：通过这个特殊的平行四边形的面积观察和计算，我们可以猜想到一般平行四边形的面积应该怎样计算呢？
生：平行四边形的面积=底×高。
接着引导操作探究，让学生任意拿出一张平行四边形纸片剪拼，探究如何把平行四边形转化成已学过的长方形，并注意不同方法的剪拼与说理。（过程略）
以上教学过程是学生在玩平行四边形塑料框架的过程中，围绕着教师引领的几个问题自主领悟到平行四边形的面积大小与底和对应的高有关。这样的教学是顺着学生原生态的感知过程组织学习的，打破了以往的一般教法，收到了较好的教学效果。
三、自主方式不够匹配影响教与学的本真
在平常的教学中我们经常发现，一些教师虽然具有引导学生自主学习的意识，可是没有较好地分析教学内容的特点与学生的认知规律，组织的自主学习活动与教学内容不够匹配，因此影响了教与学的本真。
比如，在教学《有余数的除法》一课中要求学生学法的笔算。教师在教学时可以从没有余数的除法开始，并设计活动素材提出活动要求：用12根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，可以搭几个正方形？让学生动手搭一搭后，写出算式“12÷4=3”。接着往往教师就会提出：今天还要学法竖式，你们觉得除法竖式应该怎么写？请同学们试一试好吗？由于有加法、减法、乘法竖式的基础，所以学生都会想到把被除数写在上面，除数写在下面，再在最下面写出商。当学生都写成这种形式后，教师无奈地提出：你们的想法有一定的道理，其实除法竖式不能这样写，接着教师介绍除法的竖式书写方式。由此可见，在这里要学生自主尝试写除法竖式，学生只能迁移之前的竖式形式。教师也知道学生迁移以前的竖式形式对除法竖式没有什么好处，所以马上给予否定。我觉得既然这样就不要让学生去尝试写竖式了，把学生自主学习的时机放在自己读懂除法竖式上，这样效果就会更好一些。具体教学可作如下改进。
教学片段三：
呈现问题：用12根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，可以搭几个正方形？
生：可以搭3个正方形。
师：你能写出除法算式吗？
生：12÷4=3。
再呈现问题：用13根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，结果会怎样？
生：可以搭3个正方形，还剩下1根小棒。
师：请同学们拿出13根小棒在桌上搭一搭。
学生操作后教师把它用草图画在黑板上： 。
师：把它写成除法算式怎样写呢？
这时学生独立尝试写算式：
13÷4=3（个）还剩1根
13÷4=3（个）……1（根）
师：这里的除法与以前学习的除法有点不一样，它是有余数的除法。以上两种算式写法都对，但觉得第二种更简洁一些。我们以后写有余数的除法算式时就要按照第二种方法写，请大家选择第二种再写一写。
继续呈现问题：用14根一样长的小棒，每4根搭一个正方形，结果会怎样？
师：请你继续拿出小棒摆一摆，再用除法算式表示结果。
等学生操作和表示之后，教师继续画出草图写出学生的算式：
师：有余数的除法也可以用竖式计算。请大家观察下面的竖式，并对照以上的除法算式和图，你能看懂什么？
此类试题首先提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，让学生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法，从而加以运用去解决实际问题。在教学中通过这类问题的训练，可以强化学生认识新知，让学生通过类比、联想，去分析转化、探索归纳等。
例1 （2013年山东菏泽中考题）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”。“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）。已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是__________（写出1个即可）。
本题侧重于考查学生的阅读理解能力和对知识的迁移能力。通过对新概念的理解，知道问题的关键点是“等分面积”。从分析图形，我们会发现符合条件的“面径”不止一条。为了解题方便，联系等边三角形的性质，不难发现以下两种比较简单的解题思路：一是利用等边三角形的轴对称性将其面积二等分；二是利用平行线构造相似三角形，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，可以将面积问题转化为边长之间的关系。
二、重视图形变换操作，开拓学生的空间想象能力
教师教学时应精心设计教案，要从简单的操作情形出发，认真比较、发现规律。通过联想、类比进行的简单应用，这样有利于提高学生的辨证观点，彰显了在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成。
例2 （2013年青海西宁中考题）在折纸这种传统手工艺术中，蕴含着许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形。把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开。（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；（2）请证明你所得到的数学猜想。
本题是一道操作探究题，主要考查了轴对称、平行四边形、菱形的判定。教学时教师应引导学生观察图形，学生易猜想四边形ABCD是平行四边形或菱形，再启发先怎样去判断你们的猜想，学生会利用平行四边形的定义证出该四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等证出该平行四边形是菱形。解决与图形的折叠有关的问题时，一般需要关注折叠中的对应角或对应边之间的相等关系，并利用这种关系解决问题。
三、注重知识的生成过程，提高学生的辨证能力
教师应当改变那种害怕浪费课堂时间，片面追求提高学生方法运用能力的做法，应当结合教学内容，设计出有利于学生参与动态知识生成过程认知的教学环节，把知识的形成过程、方法的探索过程、结论的推导过程、公式定理的归纳过程等充分暴露在学生面前，让学生的动态知识生成过程成为自己探索和发现的过程，从而提高辨证唯物主义的观点。
一、在儿童“个性化理解”处介入
笔者以为，很多时候，教师在课堂上往往不注意倾听儿童的回答，压根就是“假倾听”。在传统课堂中，教师逐字逐句地记教案，虽说有一定的优势，但也不排除它的弊端，因为教师往往会去想下一句教案是什么，而无法专注倾听学生的发言！
不妨先看一位年轻教师执教的“认识小数”教学片段。
师：这个分数是几分之一？（生议论二分之一、四分之一）
师：为什么不是二分之一？
生：因为它里面还藏着3个三角形。
师（没有搭理）另外喊人回答，终于听到“因为没有平均分成2份”的预设答案……
笔者以为，教师只顾着想听到预设的答案，而不注意倾听学生发言！其实，“藏”字，便是“奇音”，亦是儿童个性化的理解。这个字，无疑是学生对本题的深入理解，显然，这个学生已经意识到，下面的这个梯形里，还“藏”着3个三角形。如果教师能意识到这点，对学生给予必要的引导：“咦，孩子们，刚才他说里面还藏着3个三角形，你们明白他的意思吗？”“真好，你能画出藏着的3个三角形吗？就请你上来画”……
主张生本教育的郭思乐教授曾经说：“孩子的天性是活泼的、创造的，孩子是天生的学习者。”当课堂上学生呈现个性化的理解时，如果我们不及时地调整教学行为，而是“变了脸色”，硬是把学生拉往自己预设的方向，于是，课堂上便看不到“人”，只看到“走教案”；看不到过程，只看到结论。
具有儿童印记的、个性化的理解，教师一定要倾听与关注。有些时候，教师很难听懂学生的话语，因为成人与儿童之间，由于年龄经历上的差异，彼此的认识差异，总免不了一条鸿沟横亘其中。
陈鹤琴老先生说：“儿童了解儿童的程度，比成人所能理解的更为深刻。”教师听不懂的，不妨先让听懂的儿童去解释，教师再顺势引导进行辩论，学生就容易启动思维，即兴表述。
二、在“核心问题”处介入
教师备课离不开研读教参，笔者以为，每节课一定会有“核心问题”，如“平行四边形的面积”一课，平行四边形转化成长方形以后，“平行四边形的底和高与长方形的长和宽有什么关系”这个问题，便是本节课的核心问题之一。而教师应该利用学生动态生成中的相关资源，围绕“核心问题”，适时调控，展开教学。
不妨看笔者执教的“比较小数的大小”教学片段：
生1：我来画个图（如下图）。0.6根据小数性质，就是0.60，也就是，所以我涂了60份。0.48就是，所以我涂了48份。
生2：我还有一种方法。0.6元就是6角，0.48元就是4角8分，当然是6角大。也就是0.6>0.48。
生3：0.6就是0.60，60比48大（孩子读成了六十比四十），所以0.60比0.48大。
此处，笔者刚想“否定”学生的想法，但是转眼想到本节课的“核心问题”就是“比较两个数的大小，其实质就是比较两个数里包含了多少个相同的计数单位”。结合这点，笔者忽然发现，学生口中的“六十”，不就是“六十个0.01嘛”，如此，教学还可以更进一步：
师：大家觉得对吗？你知道他说的60是什么意思吗？48是什么意思？（生没反应，沉默）
师：请看生1的图（如上图），看着图你知道60表示什么意思吗？
生：60个小方块。
师：那也就是60个？
生：百分之一。
师：那48呢？
生：48个百分之一。
师：明白你们的想法了。你有60个这样的单位，而这里只有48个这样的单位，所以0.6>0.48……
核心知识是每个教学单元中必须要让学生掌握、理解、探明的主要知识技能，是一个学期教学、一个单元教学、一节课教学的主体内容与知识主干，是整个教学活动链条中的关键链环，是联系全部教学活动的主心骨，是教学活动之魂的栖息地。当学生沉默时，教师及时结合核心问题介入，“请看生1的图（如上图），看着图你知道60表示什么意思吗”，如此，学生的目光又重新聚焦到数学本质上了。
课堂中，会出现难以预料的动态生成，而这已不是在备课中能完全了然于胸、把握在手的。一个充满生命力的、动态生成的课堂，需要教师牢牢把握“核心问题”，依循学生认知的曲线、思维的张驰以及情感的波澜，以灵动的教育机智随时处理动态生成的信息，即时调整教学进程，真正实现充满生命力的、动态生成的课堂。
三、在“数学知识网”处介入
数学课堂不是一个一个的“孤岛”，而是前后紧密衔接的系统。我们都知道：一节节的课是前后呼应的整体，每一节课之间都应该是环环相扣的。课堂教学如果只是将眼光局限于某一节课的知识点，学生获得的，无疑就是一个个孤立的片段，而难以形成普遍联系的知识网络。这种被遗弃的“网络”，在如今的课堂中更加显得弥足珍贵。
教师应该在“数学知识网”处进行介入，适时调控，逐步引导学生将所学的知识形成连续的环节，延续学生的思维过程，并在对知识内在联系分析、比较的基础上，将所学的知识进行串联，形成系统的知识网，达到“学一点懂一片，学一片会一面”的目的。
不妨看笔者执教的“整百数乘一位数”教学片段：
2×3= 6×8= 4×7= 5×9=
200×3= 6×800= 400×7= 500×9=
5×900=
师：做这2道题（方框内）时，你们都是怎么想的？（生答略）
师：在400×7的上面还有一道题，我忘记给大家看了，猜猜看可能是怎样的算式呢？为什么？
师：5×9 =（ ），你们想在下面会是怎样的乘法算式呢？（生答略）
师：这么说来，整百数与一位数相乘时，我们一般都是怎样算的呢？可以举例说明。（生答略）
师：孩子们，仔细观察这一组题，你有什么发现？可以在小组内说说你的想法。
生1：第一横排都是我们之前学过的一位数乘一位数。（受到生1的启发，举手的人一下子多了）
生2：第二排都是今天学习的整百数乘一位数。
师：说得好！孩子们，我们今天学的知识难吗？ 回顾过去，我们以前学过的哪些知识和今天所学的内容有联系或相类似？
生3：整十数乘一位数。
师：放眼未来，猜一猜我们还会学习什么样子的口算？
生4：整千数乘一位数。
生5：整万数乘一位数。
师：如果是遇到整千数乘一位数，这样的内容我们还需要再从头开始学吗？
笔者把本课教学的知识（整百数乘一位数）置于整体知识（乘法）的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。 “回顾过去”“放眼未来”的两次介入，笔者觉得必须得有。唯有如此，才能够帮助学生打通“一位数乘一位数”“整十数乘一位数”“整百数乘一位数”“整千数乘一位数”等知识的联系。我们教师在对学生进行知识技能训练的同时，是否也该多一些这样的纳入与发展的介入呢？
教师的介入策略，唯有靠经验不断积累，同时需要教师且行且思且改进。但对于教师的介入，有一点必须要考虑，就是教师在上课时要面向全班同学，而不是一个同学，简言之，你的引导、调控，应该要适合全班同学。正如数学课程标准所说，数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
例如，“平行四边形的面积”教学片段：三角形的面积公式是在学完平行四边形面积之后要学的内容，但是有个学生已经知道了三角形的面积公式。
他是这样来推导平行四边形的面积公式的：
“老师，三角形的面积=底乘高除以2，平行四边形的面积是三角形面积的两倍，所以也就是底乘高除以2再乘2，所以也就是底乘高。大家同意吗？”（其他学生大部分没反应）
虽然内容不适合展开讲，但是他的发言也有闪光的地方。
师：三角形的面积我们后面会学，不过，他的发言告诉大家，看图（教师顺势把平行四边形分成两个三角形），这三角形的面积和平行四边形的面积有关系吗？（生答略）
师：如果这个平行四边形的面积是10，那三角形面积是多少？
学生看着图，很容易发现两者的2倍数量关系。
师：看来，还真有联系！三角形的面积还没有学，这两者的联系，咱们就研究到这里。好吗？
中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）07-088-001
我们常常看到这样的现象：老师从容不迫地走进课堂，按照预设的教案开始授课，教学环节衔接得天衣无缝。听课老师全神贯注地欣赏着。然后在一片掌声中，师生完美地完成了课前预设的教学情境。
俗话说“台上三分钟，台下十年功”，三尺讲台上四十分钟的表演，虽不能花我们十年，却至少也得三四个小时外加课前的五分钟吧。在这几百分钟里，我们绞尽脑汁，预想在那四十分钟内可能突然发生的意外。然而，即使这样，还是有难以避免的意外发生：“老师，我还有更好的方法。”“老师，我有补充。”“老师，我发现书上错了。”……课堂，面临着前所未有的挑战。课上，学生开始有自己的主见，不愿跟着老师设定的思路走。是将教案进行到底，还是大大方方地顺着学生提出的有价值的问题进行？
一、试着追问孩子
数学是理性的，教师是理性的引导者，不断追问着；学生是理性的学习者，不断追寻着！追问有两种目的：第一种目的是基本的，使学生获得更多的学习信息；第二种目的是引导学生充分展现自己的思维过程。在教学中，有很多学生似懂非懂，甚至有部分学生是不懂的，这时教师就要充分发挥引导者、组织者的作用，利用追问把那些似懂非懂的学生完全问明白，让那些不懂的学生听明白。
如盛洁在教学五年级的《小数与整数相乘》一课时，
案例：
出示：夏天买3个西瓜多少元？
师：怎么列式？
生：0.8×3=2.4
师：这个2.4怎么来的？（引导学生说3×8=24）8哪来的？这个8表示什么？
师：还会用以前的知识来计算吗？
生：列竖式。
师：3和谁对齐？
生：和0对齐。
师：列竖式时，末尾对齐，这个请在后面的研究中寻找答案。
师：看单位名称是什么？除了元，还有角、分。
生：0.8元是8角，8×3=24角，24角=2.4元
师：还有其他方法吗？引导学生0.8×3表示3个0.8相加，能不能从小数加法的角度思考。
生：0.8+0.8+0.8=2.4
分析：在课堂上当一个学生的回答不合教师的心意时，我们不能马上换个学生来回答（直到某个学生回答到点子上为止），或者简单的敷衍学生的回答，甚至采取冷处理。教师的迫问是引导学生进一步探索的“钥匙”，是将学生的思维条理化的“纽带”，是深化学生思维的“铁锹”，也是提升学生思维高度的“云梯”。
二、静水投石，打破数学课堂沉闷的空气
一般说来，总有部分学生对学数学不感兴趣，这里不是危言耸听，他们认为数学抽象、难懂、在学习过程中感到学起来乏味。同时我们的数学课堂也存在应有的激情和活力，教材理性多于情感。据统计，小学生在课堂中无任何互动的时间占整个课堂教学时间的9.2%。那么，怎样才能使这部分学生从对数学的厌烦情绪中解脱出来，怎样提高学生的数学学习水平，提高应用数学的能力呢？
教师要创造一个愉快的学习环境，让每个学生都积极主动地加入到学习行列中来。作为一名数学教师，在研究数学教学时，教师除了注意运用生动形象的语言和使用各式各样的教具课件来提高学生的学习兴趣外，我认为更应积极开展各种数学活动，让学生在愉快的气氛中认识数学知识，从而使学生在精神满足的基础上发展个性。
如秦老师在执教《方程》一课时，教师出示①5Y=40②Y-28=35③X+470这些式子，让学生根据教师给的指令做动作。（1）含有未知数的跳一跳，（2）是等式但不是方程的往前一步。接着让其他同学发口令，让上面拿着式子的同学回位置。
学生在这个游戏环节把等式和方程的关系掌握的非常清楚。由于教师努力创设了愉悦的教学情境，这样的数学活动不仅激发了学生学习数学的积极性，还提高了他们的思维能力和创造能力，使学生在心理上对学习数学充满了欲望。
三、构筑对话平台，让情趣和智慧在课堂上闪光
肖伯纳说过：“你有一个苹果，我有一个苹果，互相交换，各自得到一个苹果；你有一种思想，我有一种思想，互相交换，各自都得到两种思想。”数学课要善于为学生创设与教材、与同学、与老师交流对话的情境，让情趣和智慧在对话交流的过程中闪光。
如在教学三角形的面积计算公式时：
1.回忆了平行四边形的面积计算公式以及公式推导过程。
2.思考2个三角形拼成一个平行四边形，要满足什么条件?
生：面积。周长，底和高相等。
师：老师这里有2个三角形（等边的），能拼成平行四边形吗？
3.出示准备好的6个三角形，分成几类？同桌两人合作研究一下：拿出2个一样的三角形，看能否拼成一个平行四边形？
4.同桌合作研究。
5.交流汇报，并指出拼成后图形的底和高。
2个直角三角形能拼成一个平行四边形；2个锐角三角形能拼成一个平行四边形；2个钝角三角形能拼成一个平行四边形。
教师要善于聆听学生在课堂上的发言，学生的信息反馈是教学的关键环节。可以说，教师的教学能力高低在这个细节上表现得最为明显。笔者曾指导一名青年教师执教“圆的认识”一课，他在备课中充分地贯彻以学生为主体的理念，让学生从比较圆与其他平面图形开始，到画圆、剪圆、画同样大小的圆等。在这些环节里，学生还主动地说出了“半径”的概念，教师在课堂上也及时地做了板书，我们听课的同行们此时也对该教师课堂角色的把握作了充分的肯定。可当后面教师让学生自己动手，利用手里的圆规、直尺、圆形纸片等学具，对圆进行更广泛的自我探究时，该教师却没有能够及时抓住学生的反馈细节。
生1：我发现圆有无数条半径。
师：你是怎么发现的呢？
生1：我用直尺画了几条半径后，我发现不可能画完所有的半径。
师：很好。在有关圆的半径方面，还有谁有新的发现？
生2：我是把圆对折的，也折出了许多条半径，发现折不完圆的所有半径，所以圆有无数条半径。
师：很好。在有关圆的半径方面，还有谁有新的发现？
生3：老师，我把圆对折两次后，我猜测这两条折痕的交点肯定是这个圆的圆心。
师：你们没有听清我的问题，我是问在半径方面，还有谁有探究的发现？
……
正当我们听课教师都在为学生的发现叫好时，该教师的处理方法顿时让我们有些目瞪口呆了。课后该教师与我交流时说，他可能受时间的影响，想有条理地把圆的半径与直径的关系也在此时能教学出来。一节课的教学目标我们能充分地做好预设，可实现目标的教学流程未必就完全按教师的预设来呈现了。
二、关注课堂动态生成，调控教学环节
教学流程由许多环节组成，教师备课预设时，要有一定的先后次序。若教师在课堂教学组织时按部就班，一味地按预设环节进行，不及时地根据课堂的动态生成合理地调控，就难求教学高效。究其原因，其实是教师根本没有把学生当成课堂学习的主人。例如，一位教师教学“平行四边形的面积”时，这样预设教学：先复习长方形面积计算，然后出示一幅平行四边形的图形。教师提问：“你们知道平行四边形的面积怎么计算吗？下面我们来动手探究一下。”教师的话刚说完，一生没举手就站起来说：“我知道，平行四边形的面积是底乘高。”
师：你是怎么知道的？
生1：我看书知道的。
师：你知道平行四边形的面积计算方法是怎么得出来的吗？
生1：把平行四边形沿高剪开，就可以拼成一个长方形了。
师：这个拼成的长方形与原来的平行四边形有什么关系？我们不沿平行四边形的高剪开，能否拼成长方形呢？
生1：这个就不知道了。
师：好吧，下面我们就动手来剪拼尝试一下。
……
教师本来是想组织学生去探究计算平行四边形面积的结论的，结果马上因为部分学生的预习，因势利导变成了让学生直接去验证结论，及时调控了教学环节，这才是提高课堂有效性的重要环节。
三、因时因势，调控课堂练习
