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2日本是如何将数学史与专科数学教学整合在一起
日本是和我国比邻的国家，日本的数学教学中如何使用数学史也是有一定的方法。日本的数学学习，重视基础知识的理解，重视能力、态度和数学的思想方法的培养，并强调“使学生体会到数学学习活动的乐趣”，突出了对情感体验和学习兴趣的重视。无论是小学数学还是中学数学的教学，以及到专科数学的教学中都会将基础知识作为学习的重点，因此在教学中涉及到不同的教学的理念。如：“高明的计算”、“古人乘法的窍门”、“秀吉令人惊奇的故事”、“测量的技巧”、“离不开数学的人们”、“电子计算机的诞生”。它们旨在帮助学生理解数量和图形的有关概念在人类活动中的发展过程，提高学生对数学的兴趣、关心和学习的欲望，给学生以学习数学的动力。因此日本能很好的将数学教学和数学史进行有效的整合，将学生的兴趣作为数学教学的基本，然后通过数学史的内容和数学教学融合在一起，就会激发学生们的学习积极性，这些教学理念和中国的教学有几分相似之处。
3德国是如何将数学史与专科数学教学整合在一起
德国是一个欧洲国家，发达的经济背后更注重学生的学习，对于数学的教学中更关注他的实践作用，在教学中涉及到的内容也会和数学史联合起来。没有数学的发展历史就不会当前发达的数学，因此在数学的教学涉及到的数学史的内容也很多，在数学的教材中有100多处涉及到数学史，将数学史编到数学的教材中，而不是单独列出数学史作为一个单独的科目，而是有机的将数学史融合到数学的教学中，这样不仅可以让数学教师更容易的将数学教学和数学史联合在一起而且更能将这两者教学很好的告诉学生。德国这种教学方式更能使学生们接受并达到更好的学习效果。如在自然数表达一节就介绍了数表达的历史特别是罗马数系；在韦达定理的应用一节就介绍了数学家韦达。而在大数定律一节则介绍了数学家雅各布•伯努利。这些教程中的内容不仅可以给数学教师指出一条更好的教学之路，还能将数学的教学有效的教给学生，学生学到的知识就会更明确。
4其他国家是如何将数学史与专科数学教学整合在一起
其他国家中对数学的教学和数学史的整合的现状，不同国家得到的结果也不尽相同。欧洲国家中除了德国还有法国，法国指出了数学史要和专科数学教学中的各项内容要一一结合，只要有数学内容就应该涉及到数学史，将数学史有机的融合到数学的教学的每一个章节。欧洲国家中另一个国家英国，英国要求学生们要知道数学史，并对涉及到数学教学中的数学史要详细的研读如数学家的名字以及他们的业绩和生平。并作为考试内容重点来考察，这样的教学要求可以激起学生们的独立学习的能力，更能将数学史整合到数学的教学中。其他国家还有俄罗斯，作为中国相邻的国家，俄罗斯的数学教学中也涉及到数学史，主要还是将数学史作为一门单独的课程，在教学中涉及的内容也不多，主要还是学生们的自学，对数学史和数学教学的整合存在一定的差距。不同的国家对数学教学的重视程度不同在数学史与数学教学中的整合也存在一定的差距，无论怎么样的发展，数学史作为一个学科也越来越多的受到教师的重视，在整合的路上还有一段路要走。
“数学教学论”是高等师范院校数学教育专业的一门重要必修课。在“数学教学论”教学过程中，如何有效调动学生学习和研究的积极性，使教学的内容、方式和方法贴近基础数学教学改革，历来是数学教育研究的热点问题。从目前基础数学教育改革的趋势来看，重视科学精神和人文精神的塑造已成为基础数学教育改革的方向。数学发展史中积淀的深厚传统文化和丰富数学思想方法是深化数学课堂教学改革的重要方面，“数学教学论”课程要充分反映基础数学教育改革的现实，其有效途径之一是在教学中加强与数学史相关内容的结合，广泛吸收国际国内数学史与数学教育结合（简称HPM）研究的最新成果，恰当运用数学史案例来充分展示数学知识思维过程和方法，提高学生有效将数学知识的科学形态转化为教育形态的能力。因此，在“数学教学论”教学中，恰当运用数学史料进行教学具有重要的现实意义与实践价值。本文就数学概念、数学命题和数学人文等教学与数学史结合的理论与实践进行探讨。
一、揭示数学概念认知过程与历史发展过程的相似性，使学生把握概念教学的心理特征。
概念教学是“数学教学论”研究的重要内容。心理学研究表明，学生获得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中学生的认知结构处于发展过程之中，数学认知结构中的数学知识相对简单而具体，在学习新知识时，作为固着点的已有知识往往很少或者不具备，这时只能借助生活经验及日常概念接纳概念，采取概念形成方式来学习。我们知道，每一数学概念在形成发展过程中都充满了直观的方法和大量辨证的思维，深刻揭示了某一类客观对象或事物的共同本质和特征，是人们从感性到理性认识事物的真实写照，给学生用概念形成方式接纳概念提供了丰富的资源，概念教学中运用数学史上概念发展的案例，既可以顺应人类知识的形成过程又能适应学生的认知规律。高师学生在开始接触概念教学时，由于对概念教学知之甚少，对概念的来龙去脉难以理清。因此在“数学教学论”关于概念教学研究中首先要让学生认知数学概念的历史发生原理，即通过一些概念的历史形成使学生认识到，个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似的规律。譬如说，学习代数的主要障碍在于理解和使用数学符号的意义，而数学符号缓慢的演变过程又告诉我们，数学符号的形成过程与人们的认知过程是相似的。因此，代数课程在有关数学符号的教学环节上应着重解析数学符号的历史发展过程。再如，J.M.Keiser在对六年级学生对角概念的理解与角概念的历史对比研究中，得到了“学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的”结论。从历史上看，古希腊人从两边之间的关系、质（形状和特征）和量（角的大小）三方面之一来定义角，但无论哪一种定义都未能完善地刻画这个概念。J.M. Keiser通过对两个六年级班级几何（教材内容为“形状与图案”）课堂的观察，发现学生对角的理解也分成3种情形：
（1）强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越小
（2）强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大：
（3）强调“关系”方面：一些学生认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。
又如F.Cajori根据负数的历史得出结论：“在教代数的时候，给出负数的图形是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期的代数学家一样认为他们是荒谬的东西”；J.P.Ponte通过对函数历史的考察获得启示：在中学阶段，将函数概念定义为数集之间的对应关系是合适的；在中学数学中必须强调具有函数式的例子，将函数等同于解析式，不应被看作是一个大错误！在引入数学概念时以恰当的方式介绍其发展历史，有助于中学生从整体上把握数学概念的发展脉络，认识到概念演变修正过程与个体认知过程的相似性，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学思想的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。还有引入“对数”概念时可介绍J.Napier发明“对数”的动人历史，使对数成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。因此，“数学教学论”关于概念教学的研究让学生从历史的角度深入认识数学概念的形成与发展的心理过程，将有助于今后在教学中针对中学生认知的心理特点设计最佳教学方案，提高概念教学的质量和效益。
二、引导学生进行基于数学史的数学命题、公式等数学结论教学案例设计，学会在教学中通过展示数学知识的
历史原创暴露数学思维过程的方法教学。
从某种意义上来说，数学理论的研究过程就是数学命题的证明（或证伪）以及以适当的方式将这些被证明的命题组织成理论体系。从数学活动角度来说，这种过程一般是需要多次反复的，要经历一个不断抽象、层层深人的过程。因此，数学教学既要教“结论”，更要教“过程”。既要重视数学内容的形式化，又要重视数学发现过程的经验性。而现行中学数学教材中许多内容都简化了概念和定理的提出过程，省略了发展、探索的过程，而这些概念、定理是如何被发现的，解决问题的方法又是如何构想的，对中学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感．所以在数学教学论的教学中必须教育学生在未来的教学中应精心设计、模拟知识形成的原始思维，为学生创设问题情景，交给学生发现、创造的方法． 数学历史上定理的发现探索过程可以启迪学生掌握正确的学习方法，将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎；可以激励学生去发现规律，总结定理，从而极大地满足学生发现与发明的成就感，传统数学教材中缺少对数学定理形成过程的阐述与剖析，呈现的是一些完美的结论和严谨的推证过程，这将直接导致学生对学习数学失去主动性与创造性。因此，在数学教学论关于定理、公式、法则等内容的教学中，应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法，使学生学会在今后的教学中将数学家们发现数学结论的历史过程变成学生进行实验发现的过程，从而激发中学生的学习主动性与创造性。譬如；从古希腊数学家阿基米德使用“平衡法”推导球体积公式与我国古代数学家刘徽和祖冲之父子得到球体积的过程；欧拉解决哥尼斯堡七桥问题思路；牛顿、莱布尼兹等人发明微积分的过程的介绍中，都可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生的展现在中学生面前，改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式。还有古希腊、中国、印度、欧洲数学家等中外数学家在勾股定理的发现与证明中的几百种证明方法都深刻反映了数学结论发现的火热过程，充分暴露了数学家们发现数学结论的思维过程。在“数学教学论”的教学中教给学生恰当地设计基于数学史的教学案例，将案例程式化为实验、操作、发现结论等过程不仅将现行教材中数学结论的冰冷美丽还原为火热的思考，特别将数学实验引入数学课堂，使中学生学生通过“猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的结论——证明”过程体验，真正完成一个完整的知识建构过程。将是数学教学论课程教学实现的一个重要目标。
三、引导学生探讨数学史与数学教育结合的内涵，认识数学历史问题培养中学生人文精神的重要作用。
“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理念，新课程标准强调“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用”。“数学教学论”充分体现新课程的这一理念，对于高师学生在未来的教学中培养中学生用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化的意识或观念有着深刻的意义。
数学是几千年来全人类孜孜探索共同取得的宝贵财富，是各国数学家相互交流、学习、共同探索的智慧结晶．不同国度与民族的思维特点、价值观念使数学呈现出不同的特点．因此“数学教学论”在结合数学史进行数学人文教育中应遵循时空多元原则，突破时空局限来选择数学史内容，力求反映不同时期、不同国度、不同民族和不同文化背景的数学历史．譬如，中国古代数学长于计算与构造，诸如“孙子定理”“百鸡问题”“盈不足术”等内容具有中华民族传统文化特色且在国外有一定影响；古希腊数学长于演绎推理与论证，其公理化思想与方法在数学发展史上具有极其重要的地位与作用．选材时应打破封闭格局，将中外数学历史纳人视野．旨在引导学生尊重、理解、分享、欣赏多元文化下的数学，拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力、思考的弹性与开放的心灵．
（二）加强自身的文化修养教师既要精通数学专业知识，同时对于其他学科也要有所涉猎，要提高自身的文化修养，向学生展现自己渊博的知识与丰富的见闻，这样更能增加教师在学生心目中的分量，会激励学生以教师为目标。
（三）提高自身的道德修养教师首先要热爱教育事业，热爱学生，不管是对工作还是对学生都要表现出满腔的热情与积极的情感，这样才能强化情感的正面效应，换来学生对教师对数学学科的热爱。
二、建立良好的师生关系
以往教师与学生处于管理与被管理的关系，简单说来教师就是指令的者，而学生就是指令的机械执行者，师生处于一种相对紧张而对立的关系，许多学生畏于教师的权威被迫学习。要让学生喜爱上数学学科，就需要转变这种对立的师生关系，建立一种和谐、平等、民主、自由而融洽的师生关系，让学生处于相对于心理安全与身体放松状态之中，这样自然能够激起学生探究数学的欲望与热情。
（一）尊重学生学生是独立的个体，并不附属任何人。他们虽然年龄小，但是却与教师有着平等的人格与地位，是平等的学习者，是真正意义上的学习主体。教师要放下师道尊严的架子，要从三尺讲台上走下来，俯下身来，与学生进行平等的对话。让学生感受到教师对自己的尊重，以强化自身的主体意识，明确自身的主体地位，让教学成为教师与学生共同参与的教与学的统一体。
（二）信任学生每个学生都有着巨大的潜能待挖掘，我们不要包办代替，以教师的主观臆断来代替学生的思考与思维，即使学生探究活动无法进行，也不要急于否定或是直接指出，而是相信学生，给予学生必要的鼓励、启发与指导，增强学生的信心，让学生重新鼓起探究的激情，这样更能取得意想不到的效果。
（三）公平对待学生是一个个鲜活的生命，有着自己独特的特点与个性，他们在基础知识、接受水平等存在一定的差异性这是客观存在的事实。我们不能带着有色眼镜看学生，只爱优生，而将中差生置于角落，要将爱的阳光洒向全体学生，让每个学生都沐浴在阳光下。公平公正地对待每一个学生，有功必赏，有过必罚，这样才能拉近师生距离。
三、运用多样的教学手段
数学具有很强的抽象性与系统性，而小学生刚刚开始系统学习，以具体形象思维为主，往往觉得数学过于抽象深奥、枯燥无味，而认为数学难学，要彻底扭转这一局面，让学生爱上数学学习，就需要我们运用多样的教学手段来对数学进行包装，让数学教学焕发生机与活力。
（一）运用现代信息技术现代信息技术集图文声像于一体，这对于小学生来说本身就具有极大的吸引力。将现代信息技术运用于数学教学中，可以将那些枯燥抽象而静止的字母、符号、公式等寓于直观的画面与悦耳的音乐之中，变单一的语言输出为图文声像的综合呈现，这样不再是单一的感官刺激，而是多方位、多角度、多感官的参与与调动，能够将学生带入一个全新的界面之中，能够有效吸引学生的注意力，让学生更加专注于新知的学习。
（二）设计数学游戏活动将游戏与数学结合起来，使得数学教学改革向前迈进了一大步。游戏是学生所喜爱的，有效的游戏活动集中了游戏的趣味性与数学的知识性，真正实现了寓教于乐，玩中学，学中玩。如在学完“能被3整除的数”后，我们可以在学生之间展开一场擂台赛，由教师出示相关的数据，让各小组来竞猜能否被3整除。这样将抽象的理论、枯燥的训练寓于趣味竞赛游戏中，能够让学生在做游戏的过程中完成训练，从而更深刻地掌握理论。
（三）开展综合实践活动数学与生产生活密切相关，可以说在各行各业、人类的日常生活处处都有数学的影子。数学学科的这一特点决定了成功的数学教学必须要打破以往以教材为中心，以教室为中心的封闭式教学，要走进生活，走向社会，这样数学教学才能焕发生机与活力。通过开展丰富的综合实践活动可以将学生的视野从教材引向生活，从教室引向社会。这样更能激起学生学习的热情与探究的动力。既可以帮助学生理解那些抽象的概念与定理，同时也可以让学生认识到数学的价值，提高学生的实践能力，更加利于学生形成正确的数学学习观。
二、语言要风趣幽默
如果教师总是板起面孔、一本正经地讲，学生会感到枯燥无味，甚至有压抑感，时间一长，便会对这门课失去兴趣。相反，教师如果适度、适时地使用一些风趣的语言，便会打破沉闷的局面，使课堂气氛活跃起来。当然，必须注意将幽默与耍贫嘴区别开来，要让学生在笑声中领悟知识的丰富，不能为幽默而幽默，更不能用幽默去挖苦学生，如果有意或无意地贬损了学生人格，那就会产生相反的效果。
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）11-0002-02
一、引言
数学的学习是对学生逻辑思维等能力的培养，是孩子成长过程中不可或缺的一部分。数学的学习相对其他学科是对学生逻辑思维的培养，但是很多时候我们更多在乎的是数学成绩，不断要求学生提高自己的数学成绩，但是学生数学成绩的提升需要有学习过程的支撑，现在很多学校在教学过程中只是一味的教学生怎样应用相应的数学知识解答相应的问题，但是很多学生对为什么要证明几何学中两条线的平行，为什么解答一边放水一边加水的应用题等都十分疑惑，换句话说，很多学校在数学教学的过程中过多重视的是怎么做，但没有回答学生为什么要怎样做的问题，这一点很重要，将直接影响学生对数学学习兴趣的提升。为什么要解决这些看似无聊的数学证明或解答题呢？其实这就是数学文化需要做的工作。
二、现状及问题
现在的数学学习过程很多学生只知道需要这样的问题就可能利用某种定理或者公式进行求解，但是对于这样数学问题在生活中的应用及其蕴含的数学文化却介绍的很少。同时数学课程不论是在初中还是高中，都没有被考试所遗弃，成为中考、高考中重要的组成部分，也就是因为这一点，很多学校的数学教学就是针对应试教育而量身打造的，很多学生只知道怎样解题，不知道为什么要这样解决，对数学学习的认知没有更为深刻的理解。这有点像美国的阿甘只知道一味地向前奔跑，也许在奔跑的过程中会遇到很多成功，因为他坚持了，很多人只看到了阿甘的坚持带来了他的成功，但是没有人注意到他每一次作出正确人生选择的时候，阿甘也在思考，为什么要下面的道路，这才是他真正成功的原因，因为他不仅有坚持不懈的奔跑，同时也有审时度势的人生选择，很多学生在数学学习的过程中就是缺少了这一点。另外，数学文化的缺失，导致学生学习兴趣的缺失，很多学生对数学根本没有学习主动性，因为他们不知道数学到底会给他们带来什么，数学中到底有他们需要的什么东西，学习兴趣的缺乏，很多学生只能在数学学习的门外徘徊，很难真正走进数学学习之中。
三、相关概念
数学在解决生产生活中的问题中具有很强的指导性，在进行数学应用的过程，一系列的数学理论被应用，只要有数学理论介入的生产生活活动就是数学文化的内容。一些学者认为，所谓的数学文化是现代社会发展的文明史的一部分，数学作出人们解决生产实践问题最为重要的手段和工具，这本身就是一种文化的体现。另外这种数学文化的外延主要是的是一些数学精神，其中涉及到对现实社会中的一些感性认知，进行有效的分析，梳理，凝练，最终给出结论，这是一种理性思维的数学精神，另外还有就是针对现实社会中遇到的新问题，具有寻求新方法的创新思维的数学精神。
四、数学文化的介入应用
1.数学文化的介入将提升学生学习兴趣。现代教学方法中有一种叫做导学法，就是利用学生学过的知识点或者是现实生活中的事例，引出相应课程的教学，数学文化的介入就是这种导学法的最为典型的例子，例如，在开展概率的教学中，可以引入一个田忌赛马的典故，这个故事很多学生都是听过的，对这些熟悉的故事，学生会产生很大的兴趣，教师可以将田忌的这种赛马技巧运用概率的思想进行有效编排，在学生学习兴趣较大的时候，将数学知识点介入其中，实现真正意义上的数学文化对其学习积极性的有效引导。
2.数学文化的介入将营造更为浓厚的学习氛围。学习氛围的营造十分关键，一个班级学习氛围直接决定其中学生的学习积极性。学生在良好的数学学习氛围中可以有效的实现对相应知识点的学习和理解，学生之间，学生和教师之间在这种良好的学习氛围中可以进行深入的交流和沟通，有利于学生数学的学习。
3.数学文化的介入需要有相应的教学手段。这里的教学手段相对比较宽泛，例如多媒体课件，手中的教具，网络交流方式等等。数学文化的介入需要有教学手段作以支持，在教学过程中，我们可以利用多媒体课件的动画效果展示圆面积的计算公式是怎样出来的，我们可以利用相应的教具展示立体几何模式的一些特性，这些手段和方法都是数学文化介入数学学习的重要基础。
五、结语
一些学生在数学学习的过程存在很多困难的根源在于，学校在数学教学的过程中过于重视相应知识点的应用，同时忽视了其存在的意义，即其中含有的数学文化，这一点与学生交流十分必要，可以有效促使学生进一步理解知识点，联系前后内容，不断融会贯通，实现数学学习的新思路、新方法。
本文作者：张彦春吴忆平韩仲明工作单位：乐山师范学院
（1）通过观摩一线专家教师的授课、说课以及在与专家教师的互动研讨中深化对课改理念的认识，拓宽课改实施思路。（2）通过培训学习专家教师先进的教育手段和方法，激发受培教师探索先进理念向课堂落实的内驱力，促进农村教师从“经验型”向“反思型”转化。（3）通过讲座和报告，聚焦课堂，以案例、问题分析为载体探索农村中学有效数学课堂的途径，引导教师从有效设计，教学反思等角度提升专业水平，走上专业自主发展的道路。围绕教学，内容设置模块化为了实现培训目标，我们把农村初中数学教学的有效性探索作为送教培训的核心主题。并且把为时两天半的培训内容设计成五个模块。考虑到概念是数学命题、数学推理的基础，数学概念课是数学教学的基本课型。在数学概念的教学中，“掐头去尾烧中段”，不讲背景、不突出概念的产生形成过程，过于强调应用，在农村中学这种现象比较突出，因此我们把数学概念有效教学研究作为第一个模块，培训重点定位在数学概念教学的结构过程与环节设计。数学命题（公式、定理、法则、性质）教学是另外一种基本数学课型，在数学命题教学中，教师不愿意把时间花在命题的产生形成过程上，缺乏从感性到理性，探索、猜想、验证、论证的过程，学生知其然而不知其所以然。因此我们把第二个模块设计为数学命题的有效教学研究，着力解决命题教学设计过程。农村中学数学教师应用多媒体辅助数学教学的能力普遍不足以及存在操作和认识上的一些误区，第三个模块主题设定为多媒体辅助数学教学有效性研究。模块四的主题为学生自主学习、小组合作学习研究，主要针对农村中学数学课堂中，学生小组合作学习或缺失或流于形式、浮于表面的现象。模块五则是针对农村初中数学教学中低效现象以及教师教学设计能力不足，首席专家以案例和问题分析为载体进行理论分析和讲座。注重实效，培训形式多样化1．同课异构研究课对于概念教学和命题教学研究两个模块，我们采用同课异构研究课的形式予以展开。首先在充分与受培方沟通的基础上，选定课题，学员教师人人预设，在此基础之上由学员代表教师与来自一线的专家教师针对同一课题同台上课、说课，然后是专家教师引领下的议课并归纳出概念课和命题课教学设计的基本结构和设计要点，最后是学员教师完善之前的预案活动。从预设到观摩同行教师课堂，再到专家引领下的议课和进一步完善预设，这一过程既体现了“做中学”“知行合一”的成人学习特征，也体现了“同伴互教”（peercoach－ing）和“资深教师辅导”（men-toring）的策略。针对同一课题的不同教学过程更有利于触发教师对一些“习以为常”的教学现象的深层次思考和反思，特别是在与专家教师课堂的比较和对照中有利于深化受培教师新课程改革、素质教育的理念、拓宽新课程实施的途径和思路，发展教师关于数学教学的内容知识。2．主题研讨对于大多数农村数学教师，他们习惯采用传统的教学方式和手段，像小组合作学习、探究学习，利用多媒体有效辅助数学教学既缺乏相应实践上的尝试和探索，也缺乏理论上的认识。因此对于小组合作学习、多媒体辅助数学有效教学两个模块，我们采用主题研讨的形式予以实施。主要流程包括：专家教师示范教学，设定议题下的议课讨论，专家教师的微型讲座。专家教师围绕确定的课题借班上课，通过课堂展示诸如探究性问题设计、小组合作学习中课堂组织与调控、教学反馈、学生落实以及多媒体辅助与传统教学媒体的有效结合等策略，受培教师实现观摩性学习。在议课讨论环节，围绕设定的议题送教专家团队与受培学员共同议课，引发受培教师对探究性学习、多媒体辅助教学的价值、策略的探讨以实现他人教学经验的借鉴性转化和自身经验的批判性反省。微型讲座则是专家教师结合自身教学实践和相关理论研究成果进一步梳理、归纳相应主题的教学策略和方法，发展教师关于教学策略和媒体的知识。3．专题讲座专题理论讲座是送教团队首席专家针对农村初中数学教学中的普遍问题和农村教师的实际需要，通过案例分析、教学理论梳理等形式展开。针对农村初中数学教学中存在低效以及不少农村数学教师教学设计的意识薄弱、教学设计的能力不足，更缺乏教学后的主动反思过程，我们把农村初中有效教学设计作为专题讲座的主题。引导教师从经验性的备课走向教学设计，并针对教学情境的设计、问题链的设计以及教学反馈的设计结合具体教学案例给出策略建议，引导教师关注教学的有效性，从积极主动的实践和有效的反思等角度不断提高自己的专业水平。培训有实效，学员满意度高为了掌握第一手的反馈信息，不断提高送教培训的质量，每一地送教工作结束后，我们都对学员进行问卷调查。以自贡为例，送教团队印制了100份问卷调查表，在培训结束时随机发放给受培教师，我们对回收的有效的81份问卷调查表进行了统计。在对培训的总体看法一栏，选择满意或很满意的教师超过90%，没有教师选择不满意；在对培训内容的看法一栏，超过90%的教师选择了适合或很适合，没有选择不适合的；在对培训的总体收获（多选）一栏，87%的教师认为本次培训学到了提高教育教学水平的途径和方法，80%的教师认为学到了先进的教学方法和手段，激发了工作热情。在学员的意见和建议一栏，不少教师认为这样的送教培训形式非常好，希望多举办这样的活动。
高师院校参与地方送教培训的价值和意义高师院校参与地方送教培训农村教师的工作既体现了高校服务地方教育发展，同时对高师院校本身来说也具有重要意义和价值。长期以来高师院校的教师职前培养和职后培训工作都存在“理论与实践脱节”的现象，参与地方送教培训工作使得高校教师、从事教育理论研究的专家们必须要走进中小学课堂，了解和研究中小学教师的实际困惑与需求，这一过程既有利于密切高校与中小学的联系，也为高师院校反思和改革师范生培养模式，探索新形势下教师教育和培训的有效途径提供了很好的途径。另一方面，送教培训发挥了高校教师教育理论研究的优势，使最新的教育理论研究成果有机会与中小学教育实践有机结合，同时中小学教育中鲜活的案例、成功教学经验以及中小学教师的困惑也为高校教师从事教育理论研究提供了素材和源泉。构建高校教师、骨干教师和农村教师专业发展共同体送教培训时间一般都比较短，在短短的两三天时间里，每天都有明确的主题和任务，而留给学员自己思考、尝试操作的时间和空间相对较少。为了避免“培训时激动，回去后没有行动”的尴尬，真正为农村教师专业成长提供支撑，我们认为可以通过建立长效的送教培训机制，构建高校教师、骨干教师和农村教师组成的“专业发展共同体”，实施三年为一周期的送教培训。培训形式既有定期的集中送教培训，又有培训学员短期的随一线专家教师跟班学习；既有送教专家团队深入学员课堂巡回指导，又充分发挥网络聊天室、QQ群、MSN等即时通讯工具对受培学员的日常教学问题进行会诊解决[2]，充分发挥各自所长，专家教师和受培学员都在这一过程中实现自我提升和专业成长。建立一线专家教师资源库送教培训是农村教师欢迎的、符合农村教师特征的一种有效培训方式。送教培训的成功与否，一线专家教师是关键。省级送教培训，由于其规格相对较高，因此一线专家选择应该站在全省的高度来进行选拔，将那些符合送教培训各方面条件“特质”的一线专家选构建送教培训专家教师资源库，并与之建立长期合作关系。在送教培训实施时，可以根据对方需要和特点组建不同特点的送教团队。
二、运用变式教学，培养学生思维的广阔性。
思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。现在课本中，有一部分例题的“想一想”是把例题进行变式训练的，我们可以利用它们切实培养学生思维的广阔性。
三、运用变式教学，培养学生思维的深刻性。
变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性。
例如研究三棱锥(即四面体)顶点的射影与底面三角形“五心”的关系时就可设置以下问题：
①当三棱锥是正三棱锥时；
②当三条侧棱的长均相等时；
③当侧棱与底面所成的角都相等时；
④当各个侧面与底面所成的二面角相等，且顶点射影在底面三角形内时；
⑤当顶点与底面三边距离相等时；
⑥当三条侧棱两两垂直时；
⑦当三条侧棱分别与所对侧面垂直时；
⑧当各个侧面在底面上的射影面积相等时；
⑨当各个侧面与底面所在的角相等且顶点在底面三角形外时。
教师通过不断变换命题的条件，引深拓广，产生一个个既类似又有区别的问题，使学生产生浓厚的兴趣，在挑战中寻找乐趣，培养了思维的深刻性，同时也进一步巩固了对于线线、线面垂直关系，尤其是三垂线定理的掌握。
四、运用变式教学，培养思维的创造性。
著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”
创新的成功直接依赖于努力钻研的坚韧程度。数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使我们发现问题的本质。要注意主动地克服思维的心理定势，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间。
教师结合典型例题，着意设计阶梯式的问题，引导学生的思维纵深拓展。如讲完例题“设a、b、c都是正数，且a+b+c=1,求证：++9”的分析解答后，保留原题条件，可变换出下列几个逐级深化的题目让学生证明：
变式1：a+b+c9abc;
变式2：（1-a）(1-b)(1-c)8abc;
变式3：（-1）(-1`)(-1)8；
变式4：abc；
变式5：（+1）(+1`)(+1)64；
变式6：a+b+c；
变式7:a+b+c。
如在新授定理“a，b∈R＋，（a＋b）／2）≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）”的应用时，给出了如下的例题及引申：
例1已知x＞0，求y＝x＋（1／x）的最小值．
引申1x∈R，函数y＝x＋（1／x）有最小值吗?为什么?
引申2已知x＞0，求y＝x＋（2／x）的最小值；
引申3函数y＝（x2＋3）／的最小值为2吗?
由该例题及三个引申的解答，使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较坚实的基础．
例2求函数f（x）＝sin（2x／3）＋cos[（2x／3）－（π／6）]的振幅、周期、单调区间及最大值与最小值．
这是一个研究函数性质的典型习题，利用和差化积公式可化为f（x）＝cos（（2x／3）－（π／3）），从而可求出所要的结论．现把本例作如下引申：
引申1求函数f（x）＝sin（2x／3）＋cos[（2x／3）－（π／6））的对称轴方程、对称中心及相邻两条对称轴之间的距离．
引申2函数f（x）＝sin（2x／3）＋cos（（2x／3）－（π／6））的图象与y＝cosx的图象之间有什么关系?
以上两个引申的结论都是在相同的题干下进行的，引申的出现较为自然，它能使学生对三角函数的图象及性质、图象的变换规律及和积互化公式进行全面的复习与掌握，有助于提高学习效率．
2引申要限制在学生思维水平的“最近发展区”上，引申题目的解决要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的内容、目的和要求，要有助于学生对本节课内容的掌握
如在新授定理“a，b∈R＋，（a＋b／2）≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）”的应用时，把引申3改为：求函数y＝（x2＋3）／的最小值，则显得有些不妥．因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用，而解答引申3不但要指出函数的最小值不是2，而且还要借助于函数的单调性求出最小值，这样本堂课就要用不少时间去证明单调性，“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授；但若作为课后思考题让学生去讨论，则将是一种较好的设计．
3引申要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率
如在新授利用数学归纳法证明几何问题时，《代数》（非实验修订本）课本给出了例题：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f（n）等于（1／2）n（n－1）．在证明的过程中，引导学生注意观察f（k）与f（k＋1）的关系有f（k＋1）－f（k）＝k，从而给出：
引申1平面内有条n直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求这n条直线共有几个交点?
此引申自然恰当，变证明为探索，使学生在探索f（k）与f（k＋1）的关系的过程中得了答案，而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方法的理解．类似地还可以给出
引申2平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，则f（n＋1）＝f（n）＋_______________．
引申3平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，求f（n）．
上述引申3在引申1与引申2的基础上很容易掌握，但若没有引申1与引申2而直接给出引申3，学生解决起来就非常困难，对树立学生的学习信心是不利的，从而也降低了学习的效率．
4提倡让学生参与题目的引申
引申并不是教师的“专利”，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能够引申的，教师绝不包办代替．学生引申有困难的，可在教师的点拨与启发下完成，这样可以调动学生学习的积极性，提高学生参与创新的意识．
如在学习向量的加法与减法时，有这样一个习题：化简＋＋．
（试验修订本下册P．103习题5．2的第6小题）在引导学生给出解答后，教师提出如下思考：
①你能用文字叙述该题吗?
通过讨论，畅所欲言、补充完善，会有：
引申1如果三个向量首尾连接可以构成三角形，且这三个向量的方向顺序一致（顺时针或逆时针），则这三个向量的代数和为零．
②大家再讨论一下，这个结论是否只对三角形适合?
通过讨论学生首先想到对四边形适合，从而有
引申2+++＝0．
③大家再想一想或动笔画一画满足引申2的这四个向量是否一定可构成四边形?
在教师的启发下不难得到结论：四个向量首尾相连不论是否可形成四边形，只要它们的方向顺序一致，则这四个向量的代数和为零．
④进一步启发，学生自己就可得出n条封闭折线的一个性质：
引申3＋＋＋…＋＋＝0．
最后再让学生思考若把＋＋＝0改为任意的三个向量a＋b＋c＝0，则这三个向量是否还可以构成三角形?这就是P．103习题5．2的第7小题，学生很容易得出答案．至此，学生大脑中原有的认知结构被激活，学生的求知欲被唤起，形成了教师乐教、学生乐学的良好局面．
长期以来，在许多农村小学数学课堂里，教师将新课改倡导的动手实践、自主探究、合作交流的新型学习方式只是用来当做为应付公开课的“演戏”“作秀”手段。平日里，即便是有些教师将班级学生进行编组，把学生分成一个个“口字型”“凵字型”的所谓的“合作学习”小组，以为这样变换学生座位，就是转变学生的学习方式，没有能够使学生真正成为课堂的主体，整个课堂依旧是教师抑扬顿挫不停地讲，学生昏昏欲睡乏味地听。
（二）数学教学淡化了与生活实际的联系
教师在实际教学时把数学知识的研究作为唯一的目标，课堂教学变成了单纯地数学思考与分析的过程，缺少或淡化了与生活实际的联系，没能把生活现象上升到数学的高度。教师处理教材不够灵活，教法单一，课堂教学大都停留在封闭的教室里，所学知识缺少与学生的生活实际的联系，学生体会不到学能所用，因为他们缺少必要的生活体验，生活经验的积累不够丰富，不能准确理解来自生活的各种信息，思路不够开阔，探究的空间也比较狭窄，因此，学生解决实际问题的能力不强。
二、让生活走进课堂，让数学走向生活
（一）走进生活实际，激发学习兴趣
兴趣是最好的老师。培养学生学习数学的浓厚兴趣是数学课堂教学的首要任务。在数学课堂教学中，教师如果把学生的生活实际与数学知识紧密联系起来，让教学走进生活，让生活走进课堂，让学生从生活中看到数学，呼吸到数学的信息，触摸到数学存在，从认知、感知的气氛中想学、乐学、学会、会学数学，使学生感受到我们生活的世界是一个充满数学的世界，从而更加热爱生活、热爱数学。例如，在教学“三、四位数大小的比较”时，我先让学生把教材中的几组较小的数据进行比较，进而学会比较三、四位数的大小方法，以实现学会比较三、四位数的大小的教学目标。然而，后来我发现整堂课的过程与生活脱节，显得既枯燥又无味，效果很不理想。为了激发学生的学习兴趣，我又重新备课，以“小小采购员”为题，用PPT课件给学生创设出了一个商场购物情境，让学生事先到附近的商场中调查各种彩电的价格。通过对彩电价格比较和分析，学生很快学会了三、四位数比较大小的方法。提升了学生学习数学的兴趣，同时也感受到实际生活中处处充满着数学问题，从小要学会用数学的眼光去观察世界。这样，由原来一堂课枯燥无味的课，变成学生乐学、爱学的生动活泼、接近生活的课堂。
（二）联系生活实际，解决实际问题
新课程标准提出，让学生学有用的数学，通过解决实际问题，使学生在掌握数学内容的同时形成对自己素质发展有促进作用的基本数学思想方法。使学生顺利解决实际问题的必要途径是数学思想方法的渗透。要解决具体的实际问题，主要依靠学生的自主探究、合作交流和教师的适时点拨。因此，要充分利用学生已有的生活经验，确立“数学建模”意识，引导、启发学生掌握思维的一般方法，从而使各类具体的实际问题得以顺利解决。从大量的生活信息中进行取舍，选用有效的、便于解决主要问题的信息资源，选择合适的数学方法解决问题。
三、数学就在我身边
抓住身边的数学，让数学课堂走出教室，这对学生是非常有意义的，对教师也是一个重大的挑战，做好了将是师生双方的共赢！如在学习《测量》一课时，课本中只是理论性地介绍了简单测量的工具和测量的情景图，没有具体指导实践的内容和建议，学生的对此提出的困惑和疑问较多。我顺势引导：我们去教室外面实地测量好吗？学生们一下子兴奋得欢呼雀跃起来。我对他们进行分组并提出了任务和要求后，学生们便迫不及待的在小组长的带领下，开始了“像模像样”的分工合作。操场上、篮球场、花池边、雕塑旁……校园的各个角落里都能看到一群群学生活跃的身影。最后，同学们得出了测量数据后，各个小组分别进行了测量和计算结果的交流和汇报。从汇报中的数据可以看出，他们不仅测量出了“图形”的边长和高的信息，分析、计算出了相关的周长和面积等数据，还对边长、周长、面积这些概念有了量化的、感性的认识。通过这次共同完成测量活动，同学们还深刻体会到了合作交流的乐趣和重要性，增强了团队协作的意识。又如在学习《分类》一课之后，我让学生通过课堂上学到的分类方法，回家把自己家中的常用物品进行分类摆放，并把分类情况带回到课堂和同学们互相交流、探索。通过这次活动，不仅极大地提高了学生对数学学习的兴趣，促进了学生学习数学的积极性，同时也体现了数学与生活的密切联系，形成了学生初步的实践能力和创新意识。
离散数学课程所涉及的概念、理论和方法，大量地应用在计算机科学体系中，数理逻辑是计算机中的逻辑学、逻辑电路、人工智能的基础课程，集合与关系是数据结构、数据库系统的理论基础，而代数系统则是现实世界的缩影，直接模拟了现实系统，图论知识更是直接应用在计算机网络、数据结构、编译原理等专业课程中。但传统教学中过于注重理论教学而忽略实践，学生普遍认为枯燥难懂，认为是纯粹的数学课程，对计算机编程用处不大。因此教师在授课过程中要注重理论联系实践，培养学生的专业素养，我们将从以下方面循序渐进加强教学理论与实践。
1课程教学注重教学方法与教学实践的改革与创新
加强理论联系实际，从提高计算机编程思想的角度对学生展开教学，教师在讲解理论的同时，要注重其实际应用与算法描述。例如在讲解最短路径时，就要介绍Dijkstra算法，单源最短路径的基本思想如下：设S为最短距离已确定的顶点集(看作红点集)，V-S是最短距离尚未确定的顶点集(看作蓝点集)。
①初始化：只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径：在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
我们通过实例给学生模拟算法执行过程，验证算法的正确性，但细心的学生会发现前面加进去的点并不一定是后期考察路径的必经点，例如有三个点A，B，C，AB、BC、AC间权值分别为1，2，4，如果设A为源点，则第一次加进来的点是B，到C的最短路径应该是A-B-C，如果BC权值为4，则到C的最短路径应该是A-C，这里就要注意红点集加入的点不是其他点必经点，这是因为集合元素是无序的，不是联结已有的点作为最后点的路径的。
我们给出求解的动画演示过程，加深学生的认识，实际多应用在交通网络中路径的查询中，两地之间是否有路径以及如果有多条路径时找最短路径等，最后再对算法进行扩展解决单目标最短路径问题、单顶点对间最短路径问题等，扩展学生对算法的理解等。
在讲解逻辑推理时，建议学生使用Prolog语言可以轻松实现命题和联结词表示以及逻辑推理，代数系统则是无处不再，自动售货机、电梯系统、自动取款机等都是一个代数系统，有自己的运算关系，鼓励学生定义一些运算，完成一个具有输入输出的可交互的系统。
2建设完善实验课程体系，加强学生实验实践能力
挖掘课程内容，建设完善的实验课程体系，实验课程的主要目的是，培养学生的数学建模能力、算法设计能力、编写程序能力和应用创新能力，使学生养成良好的数学素质。学生可以有选择地做。
(1)基础实验如表1所示，基础实验设计一些离散数学基本问题，要求学生利用所学基础知识，完成相应的算法设计和程序实现。如在集合论部分，设计有限集基本运算算法设计实验，要求学生利用熟悉的程序设计语言完成有限集合的数据结构、集合间的交、并、差、迪卡尔积、子集判断等基本运算。学生可以在每部分中自由选部分题，完成一定的基础实验。这样的设计使得学生学会基本操作，巩固程序设计基本调试方法的掌握。
(2)综合性实验如表2所示，设计一些比较复杂的离散数学问题，要求学生综合运用各章知识或多学科知识，完成问题的分解与求解、综合和整体实现。例数理逻辑部分的命题真值表计算实验中，要求学生设计实现命题数据结构、五种基本逻辑运算的代数运算转换、表达式求值等；学生需要综合运用命题逻辑、数据结构等知识，完成实验各个环节，实现运算结果的显示。可由几个同学组成一个学习小组完成实验。
(3)设计性实验如表3所示。这一层次要求较高，对那些学有余力、兴趣浓厚的学生，给出一些难度较高的课题，要求他们自行设计问题描述模型和实验方案，开发实现小型应用软件。例如，要求学生针对某景区内景点的分布情况，设计可满足旅游者不同需求(如费用最省、线路最短、重复较少、景点最全等各种要求)的实用小软件。教师检查实验现象和实验结果。学生对实际程序的运行结果应能进行分析并提出改进方法，每完成一个实验，都要求写一份实验报告，挑选出好的作品，做成精品演示系统。
3发现实际应用点，扩大学生知识面
让学生了解离散数学在现实生活中的主要应用，有意识地引导学生运用所学理论去分析问题、解决问题，从而让学生充分感受到离散数学这门课程的魅力和实用价值。部分实际应用如表3所示。鼓励学生按照如下流程操作：发现问题，然后构思一个可能求解该问题的算法过程，再设计算法并将其表达为一道可执行程序，最后精确地评价这个程序，考查其作为一种工具去求解其它问题的潜能，锻炼学生数学建模能力，提高分析问题，解决问题的能力。
4建设开放式教学环境，丰富网络教学资源
充分利用网络学堂、课程学习网站等丰富的教学资源，构建了开放式的教学环境，我们开发了离散数学教学网站，模块包括：实验、实验申请、已审核实验、成果展示、精品展示、在线解答(前台如图1所示，后台如图2所示)、资料下载等模块，实验项目可选或自拟，增强了师生间互动，也为学生个性化学习提供了良好的条件。
学生可以在任何时间远程登陆，发表咨询，下载资料，参与实验项目，申请实验项目，获得批准后，我们开放实验室免费提供设备，实验项目结题后提交成果，我们从中提炼出精品，做成精品演示系统，学生还可以对已有成果做深入研究。
总之，鼓励学生吃透书本，挖掘理论的应用领域，鼓励学生改进算法、挖掘应用点，从抽象的理论到实际应用，再扩大应用，抽象到一般情况，让学生感觉到学习离散数学的重要性，理论与实践相结合，互相促进，切实提高大家学习离散数学的兴趣，能够达到学生积极主动为了实现应用而吃透理论，发挥主观能动性。采用项目训练为主的教学理念，切实提高学生的实际动手能力、创新能力和自学能力。
参考文献：
二、善于发现相关问题
在高中数学尝试教学中，教师要鼓励学生展开对于问题的独立思考与自主探究，要让学生在积极的尝试中应用学过的知识．在这个过程中，难免会出现各种问题与错误，教师要鼓励学生不怕犯错，犯错后对于问题的处理非常重要．教师要透过有效的教学，引导让学生善于发现问题的症结，意识到自己在知识掌握上存在的漏洞．这样能够让学生对于这类问题的印象更加深刻，并且能够帮助学生有针对性地去找到问题的解决方案．在这个过程中，不仅巩固了学生对于知识的理解与掌握，也提升了学生的知识应用能力．
