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3、画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。分别连接CF、AD，形成BCF、BDA。
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-206-01
何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。
本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。
1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2、希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形。 如图，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，
故 ，所以 ，
即正方形 的面积与矩形 的面积相等。
同理可证得，正方形 的面积与矩形 的面积相等。
所以 ，即 。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.
在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如图1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？
图1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意图是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.
图2二、定理探索
定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.
1.直角三角形的三边数量关系的猜想
结合图2，若图中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？
2.猜想验证
首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照图3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.
图3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.
三、定理应用
在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理. 以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.
因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.
四、定理证明
图4 当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼图法来说，除了像图3那种方法外，也可以用图4来证明.
这一部分的操作意图是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.
五、习题巩固
1引言
自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。
2勾股定理的证明方法研究
勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。
第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：
在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：
（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab
在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右图当中，也可以得出另一等式：
（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab
通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2
第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下图形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：
其通常所采用的方法之一具体由上图列示。该图形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接图形进行勾股定理的证明。由上图可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上图当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上图分解为两个图形，并实现勾股定理的证明。
3勾股定理的推广应用研究
勾股定理不但可以在平面图形当中得以应用，更加可以在三维图形，乃至n维图形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用图形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面图形之外的立体多位图形当中可以实现推广与应用。
4结论
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.
在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.
历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.
根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.
2编写时考虑的几个问题
2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.
教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.
2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.
课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.
题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《图形的相似》复习题C组第20题：
（1）已知，如图1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
图1图21质疑证法
华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。
（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.
（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：
图3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.
因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
证二：如图3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如图2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.
这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.
图4改进证法（1）如图4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）证明.
2质疑猜想
问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：
（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个图形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.
3变式探究
【中图分类号】 G633.6
【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格点”教具，提高学生计算能力，突破勾股定理的导入瓶颈
在小学，格点面积的相关计算是学生能力方面的一个要求，学生通过观察不规则图形在方格中的位置，通过割、补、拼等手段，以及巧算“格点”图形的面积，就可计算出图形的面积。在初中阶段，勾股定理就是在“数”图形面积的过程中发现并引入的，“数”面积也是勾股定理证明、应用的关键。为了达到较好的教学效果，在教具上，重点突出格点图形面积的计算应用。首先用小木质黑板，画好20×20的方格，用皮筋当线段，图钉当顶点，在格点上“钉”出多边形，让学生采取对图形的拼、割以及“格点”计算等不同的方法，计算多边形图形的面积。通过训练，使学生更好地认识图形，突破图形面积的计算障碍，为学习“勾股定理”打下良好的基础。这里，通过运用教具进行数学教学 ，把抽象的数学知识具体形象地呈现给学生，提高了学生的图形感知能力。
二、用“拼盘”教具，加强学生数形结合能力，突破勾股定理的证明障碍
《勾股定理》的证明方法有很多，如何让学生能很好地理解这些方法呢？笔者认为，应用简易的教具去演示其中的奥妙，是教学中最好的方法。
笔者是这样做的：制作底为7cm×7cm，高约0.5cm的正方盒1个以及直角边为3cm×4cm的全等直角三角形4个，在教学中，如果拼摆这四个直角三角形，就可得到我国古代数学家赵爽以及美国总统的关于勾股定理的证明思想。
中国历史上的“青朱出入图”，是古人对勾股定理的无字证明。在教学时，可让学生自己先制作这一学具，通过拼割、移动图形，发现面积的变化，感受并体会勾股定理的奥秘所在。
教学中，运用这个教具，直观形象地使各图形之间的面积凸显出来，帮助学生分析数量关系，抓住其本质要害，从而使抽象的数量关系具体化、形象化，有效地培养了学生的观察、记忆、思维、想象能力。
三、用 “立体”教具，激发学生空间想象能力，解决勾股定理的分析困难
教具有能拼、能折、能拆等特点，利用这一特点，可使教学变得具有操作性和活动变化性。在应用勾股定理解决空间立体图形的问题时，学生总是想象不出图形中各线段之间的关系，无法理解空间问题，但适时利用圆锥、圆柱、长方体等教具，就可以让学生很轻松地解决这一问题。
例如，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆形柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
让学生自己做一个圆柱（圆柱侧面绕一层纸），在圆柱上用铅笔标注出A、B的位置，尝试用铅笔从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？用剪刀将圆柱侧面的纸（沿母线剪开），将圆柱的侧面展开。这时，学生不难发现，刚才用铅笔画的路线就是蚂蚁的走法，哪条线段最短显而易见。
四、用 “折叠”教具，强化学生的动手操作能力，增强学习勾股定理的信心
一、创设思维情境，引出并体验勾股定理
数学教学是师生之间、同学之间交流、互动与共同发展的过程.我们的教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的情境，引导学生通过实践、思考、探究、交流，主动地丰富自己的数学知识和能力。为此，在我的教学过程中将自己所任课的班分成5个研究性学习小组，各组有人负责，并聘请老师参加和指导。
勾股定理是一个古老而有趣的问题，几乎每位同学都知道“勾三股四弦五”这个定理的特例。即若直角三角形两直角边长分别为3和4，斜边长为5，则存在32+42=52这种关系。
在RtABC中，记AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2这种关系呢？为体验这个事实，我们再作些直角三角形，并测量所求结果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精确到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）题，作直角三角形，测量的结果分别是13，4.5，第三题可先作直径为10的半圆，量出弦BC=6，测得b=8，且∠ACB为直角。第（4）题与第三题类同，测得a=7。
体验是“人们存在的方式”，是人的“素质形成与发展的核心环节”，只有让学生在学习过程中不断体验，才会激起学生无休止的好奇心、探索欲和创造力。经过上述反复体验，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b为直角边长，c为斜边长，则：a2+b2=c2。
进而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三边长分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则：ABC为直角三角形。
二、探究勾股定理的证明
老师可提前布置各小组同学，去寻找勾股定理的不同证法和广泛应用。在数学课（或研究课）上，各小组可指派代表发言和演示，给出他们研究和探索的结果，经过师生互相交流，大家对勾股定理的证明和应用全面认识和深刻的理解。总结各小组的证法如下：
证法一：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图1）如大正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，则有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
证法二：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图2），则：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
证法三：将并排的两个正方形进行割补（如图3）将剪掉的标有1、2、3的三角形填补，在大正方形的1、2、3处。由面积等式，则：a2+b2=c2
证法四：利用射影定理证明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD・AB，BC2=DB・AB
AC2+BC2=AD・AB+DB・AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面给出比较著名的两个证法――证法五（如图4）和证法六（如图5）
在图4中，因为分割长直角边上的正方形，使其形如风车，所以这一方法称为“风车证法”。“风车证法”的剪拼步骤如下（如图6）：
作正方形的中心O；
过O做直线垂直AB交正方形的两边与M、N；
过O做直线垂直MN交正方形的另外两边与P、Q；
沿线段MN、PQ剪开即可。
至于为什么MN要垂直AB，我可以从平移变换的角度来考虑。简单的说，那是因为四边形BMOP经平移变为GFAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在众多剪拼方法和证明方法中，有的人还提出了一些不够直观甚至是错误的方法，对于这些方法也不要轻易放弃，教师要珍重每位同学构思出来的方法。即使做法和结论是错误的，我们也要找出错误的原因，从中吸取经验和受到启发。要通过观察、思考、动手试验等过程引导学生不断探究新的数学内容和数学方法。
三、勾股数组
我们把满足x2+y2=z2的三个正整数x、y、z叫勾股数。（x、y、z）叫做勾股数组。如果（x，y，z）=1，则这样的勾股数组叫做基本勾股数组。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股数组，而（6，8，10）不是基本勾股数组.容易看出，若（x，y，z）是一个基本勾股数组，则（kx、ky，kz）都是勾股数组。
我们把边长为勾股数的三角形叫做勾股三角形。这里我们又得到另一个应用。
定理：勾股三角形的内切圆的半径一定是整数.
证明：设RtABC的内切圆半径为r，则r=■
由于勾股数a、b、c不能同时为奇数，所以a+b-c为偶数，从而r为整数。
许多数学问题规律性很强，我们总希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股数组，这里将我们师生探究勾股数得到的结论给出来。设Rt的直角边长为x，y，斜边长为z，且n，s，t都是正整数，则勾股数组有两类：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
从表中我们发现，第一类勾股数满足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二类勾股数组不是基本的，但它对第一类给以补充。我们还发现许多有趣的结论，如：x，y，z不可能都是奇数，它们中可以有一个偶数或全部是偶数。再如：（x，y，z）是基本勾股数组，则x，y中必有一个能被3整除，等等。
在勾股定理的学习过程中，给我们带来的启示很多，首先是这个古老问题有探究不尽的课题。它的不同证法，广泛的应用以及勾股数的趣味性给我们拓宽了眼界，打通了思路，不仅是对知识的传承，更多的是激发了我们师生对数学产生了浓厚的兴趣，获得更多更好的数学知识和数学方法，提高了空间想象能力和创造性思维。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2
1、数学史上的勾股定理
1．1勾股定理的来源
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。
1．2最早的勾股定理应用
中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。
1．3在代数研究上取得的成就
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则，用代数方法很容易证明这一结论。由此可见，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一蹴而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程。
2、勾股定理的一些运用
2．1在数学中的运用
勾股定理是极为重要的定理，其应用十分广泛.同学们在运用这个定理解题时，常出现这样或那样的错误。为帮助同学们掌握好勾股定理，现将平时容易出现的错误加以归类剖析，供参考。
2．1．1错在思维定势
例1一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三条边的长。
错解：设第三条边的长为a，则由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三条边的长是13。
剖析：由于受勾股定理数组5、12、13的影响，看到题设数据，一些同学便断定第三条边是斜边.实际上，题目并没有说明第三边是斜边还是直角边，故需分类求解。
正解：设第三条边的长为，（1）若第三边是斜边，同上可求得=13；（2）若第三边是直角边，则12必为斜边，由勾股定理，故第三条边的长是13或12.
2．2勾股定理在生活中的用
工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等
农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。木匠先是量出一个对边相等的四边形，这样就保证这个四边形是平行四边形，为了再使它是矩形，木匠就在临边上分别量出30公分、40公分的两段线段，然后再调整的另外两个断点间的距离使他们的距离成50公分即可。在这个过程中，木匠实际上即用到了平行四边形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。
2．3宇宙探索
几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理。科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力，怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂。因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形。两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用。
看来，勾股定理不仅仅是数学问题，不仅仅是反映直角三角形三边关系，她已成为人类文明的象征，她已成为人类智慧的标志！她是人们文化素养中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是现代文明人！
3、对勾股定理的一些建议
3．1掌握勾股定理，利用拼图法验证勾股定理；
经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。拼图的过导学生自主探索，合作交流。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，有效地激发学生的思维积极性。鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识。
3．2发展合情推理的能力，体会数形结合的思想；
了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展，但是，除院校的教育教学活动（以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力，例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求，所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究体会数形结合思想，激发探索热情。回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高。
3．3能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，提高数学应用能力；
勾股定理及其逆定理是中学数学中几个重要的定理之一，在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理。所谓逆定理，就是通过定理的结论来推出条件，也就是如果三角形的三边满足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.这个定理很重要，常常用来判断三角形的形状.它体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想.勾股定理在解决三角形的计算、证明和解决实际问题中得到广泛应用，勾股定理的逆定理常与三角形的内角和、三角形的面积等知识综合在一起进行考查.对于初学勾股定理及其逆定理的学生来说，由于知识、方法不熟练，常常出现一些不必要的错误，失分率较高.下面针对具体失误的原因，配合相关习题进行分析、说明其易错点，希望帮助同学们避免错误，走出误区。
4、小结
总体来说，勾股定理的应用非常广泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的内容，初步学会用它进行有关的计算、作图和证明。应用主要包括：
1、勾股定理在几何计算和证明的应用：（1）已知直角三角形任两边求第三边。（2）利用勾股定理作图。（3）利用勾股定理证明。（4）供选用例题。
2、在代数中的应用：勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率和宇宙探索。
3、勾股定理在生活中的应用：工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车、农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.。利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理。
参考文献：
[1]郁祖权．中国古算解题[M]．北京.科学出版社，2004．
[2]周髀算经[M]．文物出版社．1980年3月，据宋代嘉定六年本影印．
[3]杨通刚．勾股定理源与流[J]．中学生理科月刊，1997年Z1期．
[4]张维忠．多元文化下的勾股定理[J]．数学教育学报，2004年04期．
一、创设情景，引入新课
师：（结合动画讲故事）同学们，我们国家有着几千年的悠久文化，西周开国时期，周公非常爱才，他和喜欢钻研数学的商高是好朋友。有一天，商高对周公说，最近我又有一个新的发现，把一根长为7的直尺折成直角，使一边长（勾）为3，另一边长（股）为4，连接两端（弦）得一个直角三角形，周公您猜一猜第三边的长等于多少？周公摇头不知道。同学们，你们猜猜是多少？
生：5（不知道）
师：不知道也没关系，我们来量一量斜边的长就知道了。（动画演示）
师：后来又发现，直角边为6、8的直角三角形的斜边的长是10。这两组数据是否具有某种共同点呢？带着这个问题人们对直角三角形做了进一步的研究，通过计算三条边长的平方发现，直角三角形中的三条边长之间还真有一种特殊的关系。它们之间到底有什么样的关系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
师：这是两组特殊数字。想一想，是不是一个任意的直角三角形的三边是否也有这种相等关系呢？
我们用几何画板再做一个实验，请注意观察。（任意改变直角三角形三边的长度，度量、计算显示相等关系依然不变。）
师：通过实验，可以得到什么结论？
生：直角三角形的三边满足：两直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2
师：同学们概括得非常好！这个结论尽管是通过多次实验得到的，但要说明它对任意的直角三角形都成立，还有待进行证明。我们先来观察这个要证明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三条边长。
师：a2、b2、c2是边长的平方，由边长的平方可联想到什么？
生：正方形、正方形的面积。
师：对整个等式你们怎样理解？
生：等式可以理解为两个正方形的面积和等于一个正方形的面积。
师：那好，下面我们就来做一个拼正方形的游戏，看能不能对我们证明结论有些帮助。
二、动手拼图，合作探索定理证明方法
师：现在，前后4人为一个小组，老师给每小组提供了拼图模型两套，要求每一套模型拼成一个没有空隙且不重叠的正方形。拼好后请上台展示你们的成果，比一比，看哪一组完成任务最快。
师：同学们对比自己拼成的两个图形，看看它们有什么共同点和不同点？
生：都是边长相等的正方形，但拼图的模型不同。
生：这两个正方形的面积相等。
师：这两个正方形的面积怎样计算呢？通过你的计算能否证明a2+b2=c2？请试一试。
师：看哪两位同学愿意上来写出证明过程。
师：两位同学刚才用两种不同的方法证明了实验得出的结论，这就是我们今天要学习的勾股定理。请两位同学再谈谈你们的证明思路好吗？
生甲：图（A）的面积用四个全等的直角三角形的面积加两个正方形的面积，图（B）的面积用四个全等的直角三角形的面积加一个正方形的面积，利用面积相等就证得结论。
生乙：我把图（B）用两种不同方法计算它的面积也能证得结论。
师：说得好！甲同学的证明思路正好符合我们前面对等式的理解；乙同学的证明思路启发我们还可以通过拼各种不同的图形来证明勾股定理。
三、课堂练习
李明上学经过的路旁有一小湖，隔湖相对有两棵树A、B， 但无法直接测量出A、B之间的距离。请你帮他设计一个解决问题的方案好吗？
四、小结
师：同学们可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解决在直角三角形中已知两条边求第三边的问题。
在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上备好一节课本是最好的备课方式，但由于教师理解能力的差异，以及对“三个理解”的认识程度不同，备课效果自然不可同日而语.那么，怎样才能备出一节好课呢？笔者认为，通过比对同一课时的文献资料，分析不同教案的优缺点，博采众长，巧妙融合，自然会备出一节好课.下面以“勾股定理”起始课为例，谈谈如何利用文献资料进行备课.供参考.
1常见教学设计
查阅近几年的文献资料，发现勾股定理起始课教学设计大致分为三类：以证明定理为主的教学设计、以探究发现定理为主的教学设计、以实验操作来发现定理的教学设计.现对这三种教学设计做客观分析.
1.1以证明定理为主的教学设计
章建跃博士在谈到勾股定理教数学时指出：“其一，勾股定理的发现具备偶然性；其二，毕达哥拉斯是大数学家，对数极其敏感，对“形”非常自动化地想到“数”，这是一般人做不到的……我觉得，不应该让学生去发现，重点应该放在让学生去证明这个定理.”[1]在这一观点的支撑下，一线教师中的许多实践者也取得了良好的教学效果.
课例1刘东升[2]先从一段BBC纪录片《数学的故事》展示古埃及人结绳绷成直角三角形导入新课，随即导入勾股定理的特例“如果作一个直角三角形，使得两直角边分别为3和4，你能否求出斜边的长？”在学生尝试无果后，教师指出有人曾经用拼图的方法求出该三角形的斜边长为5，接下来用拼图的方法予以计算.最后从特殊到一般用面积法（割补法）证明勾股定理.
分析教师设计以证明为主的教学思路，大致是基于以下几点思考：一是恰当安排讲授法，节约时间，采用教师讲授证明思路，学生跟进理解，是基于对学情的理解；二是勾股定理的发现具有偶然性，只有毕达哥拉斯这样的大数学家，才能从“形”非常自动地想到“数”，这是一般人做不到的，在课堂上有限的时间里让学生去发现该定理是不现实的，也是无法完成的任务.所以，该设计把时间重点分配在证明勾股定理和欣赏勾股定理文化上.从学习的角度看，这样的安排是有效的，是基于学情来考虑的，有利于学生学习数学知识，培养学生演绎推理的能力.
《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》[3]（以下简称标准）在课程基本理念中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.显然，上述过程少了学生观察、实验、猜想的过程，而这却是数学教学的重要功能所在.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理，从这个角度看，上述安排是不完美的.
1.2以探究发现定理为主的教学设计
特级教师卜以楼认为：研究一个定理，一般要从猜想――验证――证明这三个方面去把握，如果离开了猜想、发现定理这两个环节，那么培养学生的创新意R和实践能力就会在教学中打折.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理.卜老师同时给出了基于上述思考的教学设计.
课例2卜以楼首先通过画两个直角三角形，引导学生发现直角三角形三边间有关系，然后顺势提出问题：既然直角三角形三边数量之间有一个等量关系，这个等量关系是什么呢[4]？接着，引导基础薄弱的学生在单位长度为1 cm的坐标纸上，理性地选择几个直角三角形去画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系；引导基础较好的学生理性分析三边间的关系：a、b、c三边间关系可以是一次等量关系、二次等量关系，甚至是高次等量关系，根据三角形两边之和大于第三边否定三边间存在一次关系，然后探讨三边间的二次等量关系，先从特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，经过验证发现猜想成立，再用“证伪”否定其它的二次关系，最后引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”，然后利用图形面积（割补法）来分析和解决问题.
分析首先，本课例关注学生四能培养，教学过程就是基于发现和提出问题，分析和解决问题的思路来设计的，教学过程就是引导学生思维的过程；其次，符合“猜想――验证――证明”的数学学习规律，过程严谨，丝丝入扣，数学味浓，注重学生思维能力和创新能力的培养.
但仔细分析其教学设计后发现，其课堂教学过于理想化，既要启发基础较差的学生画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系，又要引导基础较好的学生理性分析三边间的关系，直至发现直角三角形三边的平方关系，还要引导学生证明勾股定理，复杂的教学过程可能会导致教学时间不够，文章展示的探究过程很难在现实的课堂中得以实现.另外，在引导基础较好的学生理性分析三边间关系的过程中，作者根据三角形两边之和大于第三边就可以否定三边间存在一次关系，这句话是有问题的，比如，边长分别为a=3、b=4、c=5的关系可以表述为a+b=75c这样的等量关系.对于a、b、c之间二次关系的三种形式的分类是可行的，但直接从特殊情况a2+b2=c2入手，是执果索因的结果，这和直接告知结论是一样的效果.
1.3以实验操作来发现定理的教学设计
苏科版数学教材主编董林伟先生指出：数学实验不是学生被动地接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程[5].数学实验已成为数学教学中的一个重要方式.关于勾股定理的教学，数学实验大致有两种方法：测量法和计算法.
课例3测量法[6]：任党华引导学生从“直角三角形的角度特殊，会不会它的边在数量上也有特殊的关系呢？”开始思考，然后让学生动手画一个任意直角三角形，测量其三边长度，计算交流，接着学生展示所得数据及本组猜想，师生用几何画板演示，发现a2+b2=c2这一结论成立，再用拼图法证明结论，最后介绍有关勾股定理的数学史.
课例4计算法[7]：万广磊从展示2002年的数学大会的弦图开始，然后直接给出直角三角形和以该三角形三边向形外作三个正方形，通过填空的方式来计算三个正方形的面积，学生通过画一画、想一想、试一试、辨一辨来发现a2+b2=c2，再用实验的方法验证钝角三角形和锐角三角形不具备两短边的平方和等于最长边的平方，然后用拼图法证明勾股定理，最后介绍有关勾股定理的数学史.
分析这两个课例都是通过画一画、想一想、算一算来发现勾股定理的，动手实验的过程有利于培养学生的动手能力，获得研究问题的方法，积累活动经验.但课例3存在两点不足，一是学生画图、测量过程中无法保证图形的准确和数据的精确，不能为发现规律提供保证；二是学生从测量出的三边数据中，怎么会轻易发现三边的平方关系？课例4教师通过填空计算面积的方式已经把解题思路和盘托出，难点化为乌有，就像几何题中老师提前告知辅助线一样，是避开难点，而不是突破难点.罗增儒教授称以上教学为“虚假性情境发现”和“浅层次的情境发现”.
2勾股定理教学中需要突破的难点
通过上述课例的分析，我们不难发现在勾股定理的教学中回避不了几个难点：一是如何创设合适的情境，引导学生发现直角三角形三边间的平方关系？二是怎样引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”？三是选择探究教学，探究的时间较长，有时甚至不可控，需要时间成本；四是数学定理的呈现虽是美丽的，但发现的过程确是漫长和痛苦的，所以，课堂上定理的发现不能过于理想化，所谓还原数学家火热的思考，实在过于理想化，在短短的一节课内要完成一个定理的发现，必然要降低发现坡度，缩短发现时间，中间教师的引导甚至干预就必不可少.3吸收精华，改进教学设计
上述四个课例均有可取之处，在认真学习比对优劣的基础上，多方吸收各种教法中的精华，充分考虑勾股定理教学中需要突破的四大难点，经过认真整合，确定“从特殊到一般，经历猜想――验证――证明”这样的探究教学设计，在实际教学中取得了较好的效果.
3.1情境入
在一个确定的三角形中，有确定的角的关系：①三角形内角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三边间有确定的关系吗？
3.2探究发现
（1）从最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三边间关系
直角边长为1的等腰直角三角形的面积是多少？如果斜边用字母c表示，请用c表示三角形的面积.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）
用同样的方法研究直角边长为2的等腰直角三角形，有什么发现？
（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.
依次研究直角边长分别为3、4的等腰直角三角形，会发现下面结论.
12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（这里是需要教师干预和引导的）
（2）在网格中研究直角边不等的特殊直角三角形图1
如果两直角边不等，上述猜想还成立吗？老师在黑板空白处画图分析，指出上面的方法行不通，能否借助格点正方形来发现呢？分析“式结构”，在上图（图1）中22=4，用四个正方形表示，12=1，用一个正方形表示，那么以斜边为边的正方形的面积是等于5吗？引导利用割补法研究（小学已经学过）.
（3）几何画板验证猜想的结论
（4）不完全归纳法得出勾股定理
3.3定理证明与介绍
证明过程略.（图形割补见图2，证明思路见上面分析）
本设计在研究最简单的三角形时，学生是不可能想到运用面积来发现等腰直角三角形的三边关系的，这时教师直接引导先用两直角边求面积，再启发用斜边求面积，这个过程不自然，但确实没有更好的办法.所以，发现式教学不能不加干预，任由学生自由思考，正如佛赖登塔尔所说：“强调用发生的方法来教各种思想，并不意味着应该从它们产生的顺序来呈现它们，甚至不关闭所有的僵局，删除所有的弯路.”显然，这就是教师主导作用的意义所在.
综上所述，通过文献资料的研究，我们可以对相关内容的教学有清楚的认识，并在比较中去粗存精，获得比较合理的教学方法，这不失为一种行之有效的备课方式.
参考文献
[1]章建跃.理解数学内容本质提升思维教学水平[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：14-19.
[2]刘东升.基于HPM视角重构“勾股定理”起始课[J].教育研究与评论：课堂观察版（南京），2016（1）：45-48.
[3]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[4]卜以楼.基于四能的“勾股定理”教学创新设计[J].中学数学教学参考（中旬），2016（7）：11-14.
[5]董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013.
对于勾股定理新授课教学，我做过多角度探讨．紧扣课本，设计最佳环节是我的目标．上好这一课不一定要拓展面积计算的专门理论知识，也不需要高难度构图设计技巧．如果做好课前预备，课堂上的难点突破，重点把握，都可以放手让学生完成．也就是说，在勾股定理新授课堂上，学生并不是也发现了毕达哥拉斯的奇妙图案，就被载上一辆马车奔驰着去藏宝地发掘到一个奇思妙想，最后，赵爽告诉他，想法很好也很对，并送了一个小风筝玩具，往回走时又看了伽菲尔德一个小魔术．我认为，好课堂不一定要做得像是带领学生逛一次迪斯尼乐园一样热闹！
勾股定理是数学的几个重要定理之一．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系．它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据，在生产生活实际中应用很大．由于勾股定理反映了一个直角三角形三边之间的关系，它也是直角三角形的一条重要性质．同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切的联系起来，因此在理论上也有重要的地位．
勾股定理这节内容，在教材设计中，它贯穿着发现规律、拓展思路、猜想命题、证明定理四个环节．
（1）故事化导入很是耐人寻味，毕达哥拉斯朋友家的地面砖铺图案非常漂亮．无论是几何形状还是色块搭配，它们都已经传承了几千年，可谓厚重的文化底蕴．地板基本上可以看出由两种等腰直角三角形和正方形铺设而成，而且大小多样．所谓：看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．可以猜想，毕达哥拉斯正好站在中间的那个重要的等腰直角三角形上看四周的色块与图案．再换个位置站着看一下，与它有着同样展示效果的图案原来很多！如果引导教学设计得当，学生也会对踏在脚底下那平常不起眼的地砖图案感兴趣！
（2）接着学生看到网格边看格点正方形，要求计算其中那些斜放着的正方形面积并借此探究那个类似的结论．它所呈现出的新颖大方定会让学生眼前一亮，进而跃跃欲试、兴趣盎然．在知识层面上它与七年级教学内容中的镶嵌的探索与应用是接轨的．除了图形结构认识上的难度略大一点．只要专注于部分与整体的思想就能解决问题（不需要求证斜放的是正方形，更不必刻意要求找出类同赵爽弦图的面积算法，只要能感知它们得正确性和实用就行）．
（3）接着就是猜想命题．它要求学生能用简明扼要的文字概括描述课堂上得到的结论，能分析命题的题设与结论，再画图、写出已知、求证．它在几何的理论学习中是重点，在几何初步知识中是教学难点．
（4）赵爽这位老人，它带来的不只是用来证明定理的弦图．他那独特的构图方法能吸引学生、教师，还有所有喜欢它的人深思．他不仅指导我们做了一个漂亮的纸风筝，而且他所采用的原材料，那套矩形组合模板中的各部件，连同他老人家精湛的手艺深深地引着我们．
若把这些比作一幕舞台剧，则它就是融合古今中外东西方文明的一次大合奏！
在课堂教学实际过程中，本节课教学任务的实施环节部分教学中存在4大难点：
第一，让学生发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
第二，让学生发现图形结构并计算以斜边为边长的正方形面积的方法．
第三，得到猜想命题，赏析赵爽的动态构图和他对于定理的证法思想．
第四，拓广美国总统伽菲尔德以及几何原本中对于此定理的证明方法．
对此，课本的编排意图是：
先让学生发现以直角三两直角边为边长的正方形面积与以斜边为边长的正方形之间的面积关系，走实践出真知的路线并能够作为技术性的缓冲．然后迅速抓住他所带来的存在与特殊直角三角形中的结论──三边关系．
在计算网格中以斜边为边长的正方形面积时把它作为格点正方形，探究它与周边材料构图的方法．以此突破算法技巧并迅速掌握它所带来的存在于边长为任意的直角三角形中的图形结构与数据结构．再以其简洁明快型动态效果图证明勾股定理，借以激发学生的兴趣．
可见，这些难点的突破关系到课堂教学的实质性效果．不仅要使学生自主探索发现事物、认识事物的方法还要培养学生的观察能力和局部与整体的认知能力．
教材编排给读者留下了广阔的思考空间．每个环节独立成段，整个过程又浑然一体．学生在定理的产生、发展、成型的过程中又有了些许的困惑．究其原因在教师用书相关章节中已经提及：勾股定理证明方法很多，这里介绍的是一种面积法，学生以前没见过这种方法，会感到陌生，尤其是觉得不像证明．这主要是因为教科书没有专门将面积的理论，推理的根据造成的．
不难发现：勾股定理的新授课本着从发现到发展并形成猜想命题及证明的严谨治学思想，贯穿着从特殊到一般的捕捉信息、认识事物、从现象到本质的常规治学方法．笔者认为这堂课有必要追根溯源，紧扣直角三角形自身存在的问题：面积算法与斜边长的关系，再从图形结构和数据结构入手，进而归纳猜想，并完成对命题的证明．
