时间：2023-02-28 15:59:29
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性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.
2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从具体到抽象的思维能力.
6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.
9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象.
10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二.编写意图与教学建议
1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.
4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.
5.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
6.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
9.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三.教学内容及课时安排建议
本章教学时间约13课时。
1.1集合4课时
1.2函数及其表示4课时
1.3函数的性质3课时
实习作业1课时
复习1课时
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系;
(2)知道常用数集及其专用记号;
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;
(4)会用集合语言表示有关数学对象;
(5)培养学生抽象概括的能力.
2.过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二.教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三.学法与教学用具
1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2.教学用具：投影仪.
四.教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
(二)研探新知
1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程的所有实数根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2.教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示.
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
(四)巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例举法表示集合
(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.
(五)归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1.本节课我们学习过哪些知识内容?
2.你认为学习集合有什么意义?
3.选择集合的表示法时应注意些什么?
(六)承上启下，留下悬念
性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.
2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从具体到抽象的思维能力.
6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.
9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象.
10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二.编写意图与教学建议
1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.
4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.
5.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
6.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
9.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三.教学内容及课时安排建议
本章教学时间约13课时。
1.1集合4课时
1.2函数及其表示4课时
1.3函数的性质3课时
实习作业1课时
复习1课时
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系;
(2)知道常用数集及其专用记号;
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;
(4)会用集合语言表示有关数学对象;
(5)培养学生抽象概括的能力.
2.过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二.教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三.学法与教学用具
1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2.教学用具：投影仪.
四.教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
(二)研探新知
1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程的所有实数根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2.教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示.
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
(四)巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例举法表示集合
(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.
(五)归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1.本节课我们学习过哪些知识内容?
2.你认为学习集合有什么意义?
3.选择集合的表示法时应注意些什么?
(六)承上启下，留下悬念
数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，符号化、形式化是数学的显著特点。从某种意义上来说，学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言，以及用这种形式化语言去表述解释解决各种问题。集合论是数学家康托尔在19世纪末创立的，集合语言是近代数学的基本语言，利用它可以简洁准确地表述数学对象，为理解函数概念，研究函数的性质提供有力的工具。作为高中数学的起始课，教学中适当渗透数学思想和方法，加强数学思维培养，对于刚刚步入高中学生来说至关重要，良好的开端是成功前提，所以集合章节的教学要引起我们的充分重视。现结合笔者对集合的教学体会，谈谈自己的理解。
一、教材内容分析
本章包含了集合的含义、表示方法和运算三个部分的内容，整体设计思路是从具体到理论，再回到具体，螺旋上升。教材通过实例，引导学生理解集合的特征，并从不同的角度学习和理解集合的表示方法。通过观察具体的集合，从“数”和“形”两方面使学生感受并归纳出集合与集合的关系。教材中充分利用韦恩图和数轴等帮助学生形象地理解集合的含义与运算，体现了数形结合的思想。所以在教学中要渗透数形结合、分类讨论的数学思想方法，在引导学生观察、分析、抽象、类比得到集合与集合的关系等数学知识的过程中，培养学生的思维能力。集合的章节内容教与学，为学生提供了一个由初中数学学习向高中数学学习的过度平台，为高中阶
（下转第4页）
（上接第3页）
段函数学习奠定了基础，从集合和对应的角度去理解函数概念，用符号语言来表示函数和精确刻画函数的性质，让学生学会用数学的语言表达数学内容。
二、学生在集合学习中暴露的问题
集合内容是高一新生进入高中接触的全新内容，符号化、形式化是它的显著特征。集合作为一种数学语言，在后续的学习中是一种重要的工具（利用集合语言表示函数定义域值域，方程及不等式的解等等），在教学过程中引导学生使用恰当集合语言表述数学内容。理解集合含义，解决数学问题就显得格外重要了。为了学生能够顺利的进行后续内容的学习，在教学中我们要重视学生在学习集合时出现的以下问题：数学形式化表示不规范，逻辑连接词“或”“且”不理解导致使用不恰当，主要出现在集合的交并补运算中；对集合中元素代表的意义不理解或理解错误；由具体到一般的抽象表达能力欠缺，主要体现在文字语言叙述转化为恰当的集合表示；列举法、描述法、图示法的有效转化与灵活运用；利用韦恩图或数轴解决集合子、交、并、补问题时漏洞百出，缺少数学思维的严密性。
三、教学中采取的有效策略
1.加深理解，规范表达
集合章节内容对于刚刚由初中步入高中的学生来说是比较陌生抽象的，并且涉及的概念较多，表达形式各有不同，在集合的表示和理解上都存在一定的困难所以在教学中要加强学生对概念的理解，规范集合的表示对集合的意义理解是初学者的难点，这也是集合子交并补运算错误的一个重要原因。教学中发现学生对列举法表示的集合理解和运用表现的更好，而对描述法表示的集合理解运用则是错误不断。对集合理解关键要抓住“代表元”这个“语法”特征，例如：
2.教材为主，以变引申，以辨激趣
集合的符号化、形式化、工具化的特征决定了它是枯燥无味的，仅局限于教材的例习题的讲解会让学生满足于现状，不利于思维能力的提高。以课本为主，对某个数学问题进行由浅入深的拓展变式引申激发学生火热的思考从学生思维的“最近发展区”出发，搭建平台，引导学生主动参与，积极辨析，激发他们学习数学的兴趣（好多同学本有一颗火热的心，但集合学完心变得冰凉）。
例如：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的关系。本题讲解时可由课本题目逐渐变式引申至本题：
问题1：集合A={1，2}列举集合A的所有子集。（苏教版必修1P91（2））
问题2：已知集合A={1，2}，B={x|mx+1=0}，B？哿A，求m的值。
问题3：已知集合A={1，2}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的关系。
让学生观察和比较，矫正辨析，当问题3解决了，我们要讲的问题也就自然解决了，在考察集合子集关系时学生就不那么容易忽略空集了，同时也渗透了分类讨论的思想。本题还可以拓展到两个无限数集之间的子集关系求解，如：已知集合A={x|1≤x≤9}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，且B？哿A求a的取值范围。本题可在“已知A={x|x
3.细化教学过程，让学生领悟数学思想方法
集合章节概念比较多，数学概念本身往往蕴含某种思想方法，教学时我们要重视其发生过程的教学。应当善于引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早的给出结论，应弄清抽象概括的过程，充分展示自己是怎样去思考的，使学生领悟其中的思想方法。例如在讲解子集和补集概念时，教材列举几组具体的集合：
（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2} （2）A={x|x≥1}，B={x|x≥2} （3）S=R，A={x|x≥1}，B={x|x≥1}让学生通过元素与集合之间的关系体会集合与集合的关系。对于列举法表示的集合可以韦恩图来形象的表示子集和补集，对于描述法表示的无限数集可借助数轴帮助学生理解这些概念。苏教版必修1第9页的例题3的求解方法使学生加深了概念的理解，并会用数轴进行补集运算，学会用数形结合的方法解决问题。在补集概念之后可以让学生通过思考：若S={1，2，5}，A=？准，则CSA=_____；CSS=____。再引导学生结合韦恩图讨论得出补集的性质，由图形的直观性进一步理解补集的概念，培养学生数形结合的思想。
集合章节的教学中，要让学生领悟数形结合思想和分类讨论思想，使学生在自主学习中感悟数学思想。在学法上，鼓励学生多动脑，多动口，让学生经历概念的形成过程，加深对概念的理解。通过积极的参与，逐渐增强理解力，掌握数学思想方法，学会数学地思维，体验成功的喜悦，从而提高学习数学的兴趣。
集合教学中，常用的符号有两种。“∈”表示元素与集合之间的关系，“”表示集合与集合之间的关系。初学者由于没有弄清符号“∈”与“”之间的区别，在做题中，往往出现下面的错误：
例如、用∈， 填空：{π} R..错解：{π}R. 正解：{π}R
分析：{π} 表示集合，R也是集合。集合与集合的关系用“”
二、忽视空集的特殊性
空集是一种特殊的集合，是任何集合的子集，正是由于它的特殊性，往往会被忽略，产生漏解的错误。
分析：以上只讨论了A≠φ的情形，忽视了空集，还应讨论A=φ的情形。
三、忽略元素的互异性
错解：A∩B={3，7}，
必有 a2+4a+2=7，
a2+4a-5=0，（a+5）（a-1）=0a=-5或a=1，
分析：正是由于忽视集合中元素互异性这一特征，产生了增解的错误。求出a的值后，还必须检验是否满足集合中元素互异性这一特征。
正解：解a值同上，验证：
（1） 当a=-5时，a2+4a-2=3，2-a=7，不满足集合B中元素应互异这一特征，故a=-5应舍去。
（2） 当a=1时，a2+4a-2=3，2a=1，满足A∩B={3，7}且集合B中元素互异.
a的值为1.
四、没有弄清全集的含义
全集是一个相对的概念，如果所研究的集合都是某个集合的子集，那么这个集合就可以作为全集。注意，所研究的集合的元素都在全集内，不然就会导致增解错误
例如、设全集S={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，CSA={5}求a的值.
错解：CSA={5}，5∈S且5A，
a2+2a-3=5，a2+2a-8=0a=2或a=-4.
分析：没有正确理解全集的含义，产生了增解的错误。全集中应讨论集合中的一切元素，所以还要检验。
正解：求a值同上。（1）当a=2时，|2a-1|=3，此时满足3∈S.
（2）当a=-4时，|2a-1|=9 S，a=-4应舍去. a=2.
五、混淆集合元素的属性
研究集合时，要弄清集合中元素的形式和意义，不要混淆了点集和数集的形式。
例如、集合A{（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x-y=2}，则A∩B=
错解：解方程组x+y=0x-y=2，得x=1y=1，A∩B={1，-1}.
2．在小学与初中的基础上，结合实例，初步理解集合的概念，并知道常用数集及其记法。
3.从集合及其元素的概念出发，初步了解属于关系的意义。
二、内容分析
1．集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。
2.1.1节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。
3．这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。
4．在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。
三、教学过程
提出问题：
教科书引言所给的问题。
组织讨论：
为什么“回答有20名同学参赛”不一定对，怎么解决这个问题。
归纳总结：
1．可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题.
2．怎么解决这个问题呢？以前我们解一个问题，通常是先用代数式表示问题中的数量关系，再进一步求解，也就是先用数学语言描述它，把它数学化。这个问题与我们过去学过的问题不同，是属于与集合有关的问题，因此需要先用集合的语言描述它，完全解决问题，还需要更多的集合与逻辑的知识，这就是本章将要学习的内容了。
新课讲解：
1．集合的概念：（具体举例后，进行描述性定义）
(1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。
(2)元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
(3)集合中的元素与集合的关系：
a是集合A的元素，称a属于集合A，记作a∈A；
a不是集合A的元素，称a不属于集合A，记作。
例如，设B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，
注：集合、元素概念是数学中的原始概念，可以结合实例理解它们所描述的整体与个体的关系，同时，应着重从以下三个元素的属性，来把握集合及其元素的确切含义。
①确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
例如，像“我国的小河流”、“年轻人”、“接近零的数”等都不能组成一个集合。
②互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的。
此外，集合还有无序性，即集合中的元素无顺序。
例如，集合{1，2}，与集合{2，1｝表示同一集合。
2．常用的数集及其记法：
全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，表示成或；
全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；
全体实数的集合通常简称实数集，记作R。
注：①自然数集与非负整数集是相同的，就是说，自然数集包括数0，这与小学和初中学习的可能有所不同；
②非负整数集内排除0的集，也就是正整数集，表示成或。其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成或。负整数集、正有理数集、正实数集等，没有专门的记法。
课堂练习：
教科书1．1节第一个练习第1题。
归纳总结：
1．集合及其元素是数学中的原始概念，只能作描述性定义。学习时应结合实例弄清其含义。
GSPN，也就是广义随机Petri网，它是一种以普通的Petri网为基础，在此基础上对类型形式进行扩展变化而形成的一种较为高级的Petri网，它的一个显著特点就是可以对计算机硬件系统的动态变化运行过程进行准确的描述，并且在很多领域的可靠性分析中得到了应用。
1建模的基本方法
1.1什么是GSPN
从广义的角度来讲，随机Petri网可以定义为一个8元组，即GSPN＝（P、T、I、O、H、M、W0、λ）[1]。这几个元组分别代表不同的含义，P代表的是库所的所有有穷集合；T代表的是变迁的所有集合；I代表的是输入弧的有穷集合；O代表的是输出弧的有穷集合；H代表的是禁止弧的有穷集合；M0代表的是系统初始标识的集合；W代表的是弧权函数的有穷集合；λ是和变迁集合相对应的。1.2GSPN建模元素的用法库所：用来对计算机硬件系统工作过程中的资源和状态进行描述。时间变迁：用来对计算机硬件系统工作过程中的各种事件进行描述。瞬时变迁：用来对计算机硬件系统工作过程中的控制和运行逻辑进行描述。有向弧：用来对计算机硬件系统工作中的状态与时间之间的因果联系进行描述。禁止弧：用来对计算机硬件系统工作中的控制和运行逻辑进行描述。标记：用来对计算机硬件系统的动态行为变化进行描述。
2硬件系统基本单元GSPN模型阐述
2.1库所及其含义
库所结构中，它的含义各有不同，其中，P1表示的是计算机硬件系统处于正常运行状态；P2表示运行出现了异常；P3表示的是出现了临时性故障；P4表示的是硬件系统的故障是永久性的；P5表示的是异常故障计算机可以自动恢复；P6表示的是异常故障不能自动恢复，需要对其进行人工检查和维修。
2.2变迁及其含义
变迁的每一项含义各有不同，其中，T1表示的是计算机硬件系统在运行过程中出现了异常；T2表示的是永久性故障；T3表示的是临时性故障；T4表示的是系统在经过维修后可以正常工作；T5表示的是系统可以自行恢复；T6表示的是不能恢复的故障；T7表示的是转化为永久性故障。我们从实际的计算机硬件系统来看，模型的运作原理是，如果计算机硬件系统基本单元在正常状态下发生了故障，它的基本单元发生了异常，这个异常状况还不确定，可能是临时性的也可能是永久性的，如果是临时性的话，又很可能转化为两种状态，即可以自动恢复和不可以自动恢复，如果是可以自动恢复的话，在系统基本单元下可以自行恢复，如果是不可自动恢复的话，就需要进行人工维修恢复，如果故障转化为了永久性故障时，经过恢复后会进入正常的工作状态。
3系统基本单元GSPN模型设计分析
计算机硬件系统基本单元GSPN模型的描述粒度精度，它的描述也有一定的针对性，对于结构简单单一的硬件系统描述具有很好的效果，对于复杂的则很难描述完整。
3.1简化假设
简化假设的体现主要是在哪些地位较为关键的模型分析来说的，对于这部分的模型分析，要按照既定的流程，首要做的是区分运行状态，也就是属于正常和故障哪一类，然后假设硬件系统中基本单元出现的故障都可以在λ基础上进入到泊松过程中，最后可以把所有硬件系统全部维修成功为条件，直接处于维修率的泊松过程中。
3.2精化模型
从计算机硬件系统基本单位GSPN的自身运作原理和作用来看，它的主要作用是可以反映出计算机硬件系统的故障变化情况，PW表示的是计算机处于正常的工作状态，Pf表示的是它的硬件系统出现了故障，Tf表示的是硬件系统基本单元受到某些因素的干扰发生了故障，Tr表示的是出现的故障经过维修后可以正常运作[2]。
4对于计算机硬件系统的分析
4.1出现的故障分析
在其模型建立后，模型中的矩形S表示的是计算机硬件系统出现了全局性的故障，矩形Yi（其中i＝1、2、3），它所表示的是在第i个功能模块出现了故障异常，那么圆形Xi（其中i＝1、2、3）表示的是硬件系统基本单元出现了故障异常，需要注意的是，这个故障的逻辑关系是这样的：功能模块的障碍以或门逻辑引起了全局性的故障，计算机硬件系统基本单元故障以与门逻辑引起了故障产生。
4.2系统GSPN的可靠性分析
对于它的分析主要是通过模型实现的，也就是计算机硬件系统GSPN可靠性分析的模型，这种模型的运行条件是需要TimeNET软件支持的，通过实际的研究证明，计算机硬件系统的可用度是PSA＝1－P{＃PS＞0}，那么它的功能模块的可用度是PYiA＝1－P{＃PYi＞0}，需要注意的是，i的取值是1、2、3。本文主要对计算机硬件系统的可靠性进行了分析探讨，研究以GSPN为基础，相对于传统的描述方法来说具有明显的优势特性，可以准确描述出简单结构的计算机硬件系统。
参考文献
中图分类号:TP391
文献标识码:A
1引言
XML已经成为Web上信息表达和数据交换的事实标准｡它提供了一种非常灵活的方式来表达数据:用户可以制定自己的标签来表示他们的数据,XML在描述数据内容的同时能突出对结构的描述,从而体现出数据之间的关系｡
但XML的一个重要不足是: XML规范只声明了数据在结构上的关系,不能表达出被标签标记的数据在语义上的联系｡这造成两个问题:1)同一种语义能够用多种不同结构的XML文档表达,而这些异构的XML文档之间很难实现相互操作;2)许多XML标签它们所表达出的含义是相同的,但是XML处理程序无法将其识别｡
本体因其对概念的明确形式化描述,以及对概念的属性和概念间的联系的清楚表达,为解决 上面的问题提供一种有效的手段｡
2相关知识和研究背景
2.1XML模式和语义定义1一个XML的模式可以被表示成下面的形式[1]:S=(E,A,root,σ,τ)的形式,其中E表示所有元素的集合, A表示所有属性的集合,root表示根元素｡σ和τ是两个映射,其中δ∶E2E表示元素与其子元素之间的映射,如果一个元素包含了多个相同的子元素,则认为这些元素表达的语义是相同的;τ∶E2 A表示元素与其包含的属性之间的映射｡映射δ和τ体现了XML的结构关系｡
XML的语义体现在XML的模式上｡XML没有提供任何对语义表达的约束,因此XML模式只能表达语法而不能表达形式化语义,但是XML的元素与其属性之间以及元素间的嵌套结构中蕴含着语义信息[2]｡
2.2语义Web和本体
语义Web以XML作为语法基础,建立数据在更深层次D语义上的互操作｡语义Web的主要特点是引入了本体的概念｡本体是共享概念模型的形式化规范说明,主要用来对描述属性或类的术语的含义及术语间的关系进行规约,为人和应用程序系统之间在某个主题的交流上提供的共同理解｡
定义2б桓鐾暾的本体被定义为七元组的形式:O=(C, A,C, R, A,R, H,C, H,R, X)其中C表示概念的集合｡A C表示多个属性集合组成的集合,其中每个属性集合对应于一个概念｡R是一个关系集合｡A R是由多个属性集合组成的集合,其中每个属性集合对应于R中的一个关系｡H C表示概念之间的层次结构关系,H R表示关系间的层次关系,X表示公理集合｡‘
3XML模式的语义映射和集成
3.1映射规则和算法
映射的目的是在S和O中包含的术语之间建立一种关联,以实现XML在语义层上的互操作｡虽然S和O覆盖不同的层次,我们认为它们有符合人们主观认识的对应关系:1)S中定义的元素可以看作是O中定义的概念;2)元素包含的属性(attribute)可以看作是概念所具有的属性(property);3)元素之间的嵌套结构可以看作是概念之间的关系｡
定义3对模式S中的任意元素e来说,当δ(e)为空并且τ(e)也为空时,称e是simpletype元素;当δ(e)非空时,称e是complextype元素;其余情况则称e是commontype元素｡
由于映射只涉及到概念､概念的属性和概念间的关系,我们在本体完整定义的基础上,给出简单本体的定义:Os=(C, A c, R),用作与XML模式进行相互映射｡这里选择OWL DL作为描述本体Os的语言,在OWL中概念用建模原语owl:Class表示;概念的属性用数据类型属性owl:DatatypeProperty表示,概念间的关系用对象属性owl:ObjectProperty表示｡下面是映射规则以及在OWL 中的表示形式:表1映射规则及本体表示:
我们用下面的方式定义每个本体的基本命名空间:如果某个OWL本体o是由XML模式文件s映射而得到的,那么它的基本命名空间为:/schemafile.owl,其中schemafile是s的文件名｡下面具体的算法表示:
算法:CreateOnto-by-Mapping
输入:已解析的XML模式Si
输出:根据映射规则生成OWL本体Oi
步骤:1)使用Si构建Oi的默认命名空间前缀:prefixi;
2)对Si中每个complextype类型的元素ex,执行:
(1) 在Oi中新建概念prefixi :cx;
(2) 对δ(ex)中的所有元素en,执行:如果en是simple type类型元素,则新建数据类型属性prefixi:cxn,否则新建概念prefixi: en和对象属性prefixi:contain(cx,cn);
(3) 对τ(ex)中的所有属性ax,新建新的数据类型属性prefixi:cxx;
3) 对Si中的每个commontype类型的元素ec,执行:
(1) 新建概念prefixi:cc;
(2) 对τ(ec)中的所有属性aj,新建数据类型属性prefixi:ccj;
3.2本体集成和语义补充
经过映射,每一个XML模式文件都对应到一个用来注释该文件语义的本体上,这些本体虽然描述的是同一个领域的知识,但彼此之间却并没有联系｡另外本体中概念之间的真正关系通过上面的规则并没有体现出来｡为解决这两个问题,我们需要预先构建一领域本体,里面定义该领域内所涉及到的概念之间的复杂逻辑和语义关系｡该领域本体称作全局本体,与定义2中的本体定义相同,用OG表示;而XML模式映射得到的本体称为局部本体,用OL表示｡多个局部本体构成一个集合,成为局部本体集,用OLSet表示｡本文采用混合本体的方法[5]对OLSet中的局部本体OL进行集成,这种方法利用OG提供的建立在原语基础上的共享词汇集,使不同OL中的术语可以进行相互比较｡与传统的方法不同,我们参考了WordNet和SUMO本体之间映射的思想[6],引入同义词典这个概念,采取一种本体加同义词典的方法实现这种集成,并手工建立OG和同义词典之间的映射｡同义词典的表示如下:
定义4 同义词典T=(CSynseti, ASynseti) i=1,2,3…其中CSynset表示概念的同义词集,包含了局部本体中可能出现的具有相同语义的概念｡ASynset集合表示概念的属性的同义词集,包含了局部本体中可能出现的具有相同语义的属性｡同义词集在这里是指里面的词汇在上下文中可以相互替换的集合｡映射将一个 CSynset对应到全局本体中的某个概念,ASynset对应到某个属性｡这里我们只考虑同义关系映射,即同义词集里面词语的含义与它映射到的概念或属性的含义是相同的｡
由于CSynset和ASynset分别包含了所有OL中可能出现的概念和属性,只要找出OL中的概念和属性在T中对应的同义词集,再根据T与OG之间的映射关系,就可以得到所有OL中概念/属性与OG中语义相同概念/属性的对应关系,最后只需保存OLSet与同义词典T的集成关系即可｡
对OL中关系的集成我们采用不同的方法,通过每个关系在OWL语法中的domain值和range值来确定这些关系的语义,然后对语义相同的关系集成｡具体做法是:
(1)定义集合R,称为关系集,OLSet中所有局部本体中的关系都保存在R中,每个关系都有代表命名空间的前缀来保证不会出现命名冲突｡根据前缀还可以找到该关系所属的局部本体｡
(2) 定义作用在概念上的操作:mapc和hc,mapc(cl)返回OL中概念cl在OG中所对应的概念表示;hc(cg)返回OG中概念cg自身及其所有的父概念｡
(3) 对R中的每个关系r:contain(Cdom, Cran),在OG中找到同时满足r.domain∈hc[mapc(Cdom)]和 r.range∈hc[mapc(Cran)]的关系｡然后在两关系之间建立映射｡如果R中有多个关系映射到全局本体的同一个关系上,则将每个关系中的Cdom和Cran分别放入同一集合中,从而实现不同OL中关系的集成｡
本体集成及语义补充的过程中,OG､OL和OLSet的关系如图1所示:
4基于映射集成的语义查询实验
4.1查询实验方法
在上述映射与集成方法的基础上,本文设计出一语义查询系统,实现对不同模式的XML数据进行语义上的查询,语义查询利用全局本体对查询语句中概念间的语义约束进行DL推理,然后利用集成得到的丰富的语义信息对查询进行重构,最终转换为针对不同XML模式的多个结构查询｡语义查询隐藏了底层数据格式的细节,是一种面向多个异构数据源的查询,并且能够利用本体找到隐藏的等价语义信息,实现对数据的内容而不是关键字匹配的查询｡实验的整体框架如图2所示:
其中XML数据库我们选择eXist原生数据库,数据库中存放了全局本体､通过映射规则得到的局部本体集和语义集成的结果,同义词典以表的形式存储在MySQL关系数据库中,关系数据库里面还包含了与全局本体之间的映射信息;为实现在全局本体中的推理,我们使用Jena2开发包中自带的OWLMini推理机｡整个框架建立在Java 1.5的运行平台上｡图2实验结构框图
4.2实验结果测试
查询是完全依赖与语义集成的,在语义查询XML数据之前,必须先完成对模式文件的集成｡因篇幅原因,我们仅给出测试结果,其中“author"和“writer"在相同CSynset中,“book"和“script"在另一CSynset中,“title",“caption"和“header"在相同ASynset中,“write"和“writtenby"在全局本体中是一对逆关系｡
测试1:测试XML模式与本体之间映射是否符合常识｡
查询语句:select ?book.title
where book.publisher= “ABC”
查询结果:“UML for Java".
测试2:测试本体集成和概念间关系的语义获取是否正确｡
查询语句:select ?autor.namewhere
writtenby(book,author);
book.header= “XML and Java"
查询结果:“Harold ", “John ".]
测试3:测试对条件子句中隐含知识的推理｡
查询语句:select ?book.titlewhere
write(author,book)
author.name=“Robert"
查询结果:“UML for Java ".
测试4:测试语义查询是否是基于数据之间的语义而数据本身的查询｡
查询语句:select ?book.titlewhere write(author,book)
author.name=“John"
查询结果:“XML and Java", “Semantic Web".
通过测试可以看出查询结果与预期的一致,这说明了这种基于本体的XML模式语义集成是一种可行的方法,同时也可以看出语义查询与一般的结构查询相比,具有很大的优势｡
5结论
教师在课堂教学后，基本上会针对本节课所学的知识，设置相应的作业。在作业的布置中，为了能够体现隐性分层的教学模式，教师有必要设置两种试题，一种是必须完成的试题，必做题；另一种是可以选择做或者不做的试题，选做题。
必做题在一般情况下，是将所学的基础知识加深印象，巩固思维，是基本的训练数学思想的方式，其定义为必做题，就是要让全体学生都能够将基础知识透彻掌握。然而选做题是稍有难度的试题，一些学习能力较强，数学思维较广泛的学生是最适合尝试的，可以在一定程度上将数学的思维能力提升，并且能够将学生的主观能动性充分地调动起来。
二、设计隐性分层的探究活动
学生的学习是一个探究的过程，教师在设计探究活动的阶段要考虑到学生的差异性。要根据不同层次的学生，设计不同层次的知识点，然后再进行探究。例如：“集合的表示与含义”的教学，要由浅入深、分层教学，先将集合的含义透彻掌握，再把集合与元素间的对应关系了解清楚，才能够记清专用记号与常用的数集。
（附图 {图}）
图（一）A
——加法的含义是指两个数合并成一个数的运算；减法是指从一个数里去掉一部分还剩多少的运算，要使 幼儿理解它们的含义，也可用实物或图片，如图（一）B。
（附图 {图}）
图（一）B
这些糖、苹果就是由不同的实物组成的具体集合，幼儿认数、学算是从感知和比较具体集合开始的。
什么是集合？在数学里把具有某种相同属性的事物的全体称为集合。如家庭里的成员、动物园里的动物、 桌子上的玩具、盒子里的图形片、10以内的自然数乃至一只皮球等都可作为一个集合。从心理学角度，集合 可理解为不同分析器感受的同类对象（物体、声音、运动、现象等）的总体。如3声拍手声、4下敲铃声、5 次小兔跳跃等都可以作为是一个集合，这是用听觉、视觉、运动觉等进行感知的。幼儿的生活环境都是由不同 物体所组成的具体集合，如接触到的认识的和不认识的人们的集合；在周围呈现着的食物、玩具、用品等的集 合；在眼前运动着的车辆、静止的房屋、树木等的集合；重复出现的同类声音如钟声、铃声、说话声、走路声 的集合；……幼儿早在认数学算之前就从自身生活环境中积累了有关物体组成的各种具体集合的总体观念了。
这里，还有几个基本概念需要家长了解掌握：
表示一个集合有多种方法。在幼儿数学启蒙中，我们运用的是图示法，即用一个封闭图形（圆形或方形 等）来表示一个集合。
图二表示的是一个小鱼的集合，其中每一条小鱼被称为该集合中的一个元素。集合中的元素可以是各种 各样的具体实物，也可以是几何图形或数。
（附图 {图}）
图（二）
一个集合的一部分也可以组成一个子集合。如10以内的单数｛1，3，5，7，9｝就是10以内自 然数的一个子集。
集合与集合之间还存在着各种关系。如图：
（附图 {图}）
图（三）
（附图 {图}）
图（四）
（附图 {图}）
图（五）
图三是小明的玩具集，图四是小红的玩具集，图三中的手枪和球，即小明和小红都有的两种玩具，组成了 交集；汽车、手枪、球和不倒娃娃，即小明和小红两人所有的四种玩具，组成了并集；差集中的玩具是汽车或 不倒娃娃，汽车是小明拥有而小红没有的玩具，不倒娃娃是小红拥有而小明没有的玩具。
下面我们和孩子一起来看图做游戏：
一、看一看：圆内是些什么？可以看作一个什么样的集合？（见图六）
（附图 {图}）
图（六）
二、说一说：下面图中二个椭圆形内分别是些什么？可以看作哪三个集合？（见图七）
（附图 {图}）
图（七）
三、想一想：下面大长方形内的东西能组成蔬菜集吗？每个方格内（子集）的东西都是蔬菜集的一部分吗 ？（见图八）
（附图 {图}）
图（八）
四、找一找：（1）在陆地上行走的动物是哪几样？数数有几个；（2）可在水里游的动物是哪几样？数 数有几个；（3）又可在陆地行又可在水里游的动物是哪几样？数数有几个。（见图九）
（附图 {图}）
图（九）
五、涂一涂：在标有红绿蓝黄的图形内先请宝宝涂上相应的颜色，然后问他，图中大小两圆相交部分中的 虚线正方形中该涂什么颜色？为什么？（见图十）
（附图 {图}）
图（十）
六、数一数：（1）在圆形和正方形内的数字是哪几个？（2）即在圆形又在正方形内的数字是哪几个？ （3）在正方形内不在圆形内的数字是哪几个？（见图十一）
（附图 {图}）
图（十一）
七、摆一摆：下图左边圆内有蝴蝶、树、蚱蜢和猴脸，它们都是用三角形拼成的，右边圆内有直升飞机、 奥运会标志、乌龟和猴脸，它们的个数都是5个。猴脸因为又是三角形又是数量为5个，所以在两个圆的相交 部分中。下面4张正方形图片中分别画的是由8个三角形组成的八角帽、5个长方形组成的冰箱，5个三角形 组成的金鱼，6个圆形组成的狗熊，它们分别该放在两个圆内的什么地方呢？（见图十二）
（附图 {图}）
图（十二）
下期内容：从对应比较中开始学数学。
参考答案：
一、圆内有猫先生、象伯伯（可让孩子自行描述）等7个动物，可看作一个动物集。
二、分别是具体集合（桃子集）、图形集合（三角形集）和数集（10以内单数集）。
三、不能组成蔬菜集，因为上排第三格内的四只草莓属水果集，不是蔬菜集的一部分。
四、（1）有五样，是小鸡、小猫、小兔、青蛙和鸭子。（2）有四样，是蝌蚪、鱼、青蛙和鸭子。（3 ）有二样，是青蛙和鸭子。
一、激趣引入
师：同学们，你们喜欢上网吗？你们上网都干些什么？老师对自己班上的一组学生的上网情况进行了调查。
二、探究新知
1.初步感知重叠现象
出示例题：
师：你能从统计表中获得哪些数学信息？
2.理解两个独立的集合圈
师：以上的数学信息比较多，我们要采用一种更好的方法将这些数学信息进行整理，可以把有共同特点的事物聚集在一起，用一个圈圈起来，就能看得更清楚。你能找出喜欢玩游戏和喜欢聊天的同学吗？
3.理解两个集合图的合并图
师：你能将只喜欢玩游戏的、只喜欢聊天的、玩游戏和聊天都喜欢的同学找出来吗？怎样理解只喜欢玩游戏？你能不能将他们的学号填在合适的位置呢？
生独立完成，师巡视，生汇报。
师：你能不能想一个好办法，仍然只用两个圈，但又清楚地表示出只喜欢玩游戏、只喜欢聊天和玩游戏、聊天都喜欢它们三者之间的关系？
学生尝试创造，汇报时说说是怎样想的。
4.理解五部分的含义
师：现在你能看懂图中各部分的意思吗？红色圈是什么意思？（喜欢玩游戏的）蓝色圈呢？（喜欢聊天的）黄色部分的表示什么意思？（只喜欢玩游戏的）绿色部分的表示什么？（只喜欢聊天的）中间这部分呢？（既喜欢玩游戏又喜欢聊天的）。
5.了解韦恩图
师：你们知道吗？早在100多年前，一位英国的逻辑学家韦恩创造了这样的一幅图（出示课件演示出两个集合图的合并）他把两个椭圆交叉在一起，也就是部分重叠在一起，因为他是第一个用这幅图的人，所以用他的名字命名叫做韦恩图。（师板书韦恩图）
6.揭示课题
师：今天我们学习用这幅图来解决生活中的重复问题，重复问题在数学上我们称它作重叠问题。（板书课题）
7.列式计算
师：既然我们已经清楚了各部分的含义，你能根据韦恩图求出这个小组一共有几名学生吗？应该怎样列式？学生独立完成汇报时说说是怎样想的。
生1：2+2+3=7（人）
生2：4+5-2=7（人）
师：为什么要减2？
生：因为有2人重复算了，所以要减去
师：你的这种方法非常清楚明了。
师：大家有没有发现计算有重复现象的问题，我们应该注意什么？
生：要把重复部分减掉。
三、巩固应用
1、师：生活中的数学问题是不是都是重叠问题呢？判断下面哪一个是重叠问题？
（1）水果店昨天进了菠萝、梨子、苹果、西瓜，今天进了芒果、香蕉、葡萄，这两天一共进了多少种水果？请学生说明理由。
（2）水果店昨天进了菠萝、梨子、苹果、西瓜，今天进了芒果、苹果、香蕉，这两天一共进了多少种水果？请学生说明理由。
师：你能将这些水果填在合适的位置吗？（课件出示集合图，学生汇报，并说说各部分表示的含义）
师：那怎样列式计算呢？生汇报，说说是怎样想的。
生1：3+3=6（种）;生2：3+1+2=6（种）;生3：4+3-1=6（种）
2、知识延伸
师：大家对两部分重叠的都能看懂而且会解决，那三部分重叠的你能看懂吗？请你从中选一个同学说说他喜欢的运动。
四、课堂总结
今天我们解决了什么问题？计算有重复现象的问题，你想提醒大家注意些什么？
【思考】
1.丰富素材，服务教学
集合这部分内容比较系统、抽象，那么如何将抽象的知识架设到一个现实背景，这是我在设计教学时首先思考的问题，于是我在教材处理上做了一些探索。在遵循教材的前提下，根据学生的实际情况大胆地对教材中的内容调整、替换。教材的原有例题是学生参加语文、数学课外小组统计表，这一素材不能较好地调动学生积极性，因此我决定重新梳理教材，建构自己对教材的理性认识。我选取的素材是有关学生上网情况的调查，上网这个话题更贴近学生的生活，使比较抽象的数学知识具有了丰富的现实背景，学生更有兴趣。
2.经历创造，加深认识
当然教学不能只是一味的迎合学生的兴趣，要让学生去经历一些富有挑战性的问题，这样才能理解、感受数学思想和方法，发展数学思考。本课的教学难点是对重复部分的理解，所以我依次让学生找出喜欢玩游戏、喜欢聊天、只喜欢玩游戏、只喜欢聊天和两项都喜欢的这五部分的信息，反复让学生说这几部分的含义。
一、 自然数的现实意义
自然数概念的内涵是丰富的，弗赖登塔尔提出――数的概念的形成可以粗略地分成以下几种：计数的数、数量的数、度量的数以及计算的数；而对于数学自身的发展而言，“计数的数”（序数）意义更大，他认为无论从历史的、发生的还是从系统的角度看，数的序列都是数学发展的基石。在此基础上，我们可以进一步细化、深入地认识每一个自然数的实质与意义。
首先看自然数的现实意义。每一个自然数的现实意义都极为丰富，其最基本的意义有两个――基数与序数。例如自然数5，既可以表示某个集合的元素个数，（即自然数的数量数含义），也可以表示物体的位置和顺序（即自然数的序数含义）。
在小学的低、中阶段自然数的这两方面（基数与序数）的教学价值非常大，但在教学实践中往往忽视了“序数”教学的价值，仅仅停留在“第几”的层面上，缺少对数学本身意义的挖掘，就如学生对“计数的数”的理解是“探索规律”教学的基石。
进一步拓展，我们可以知道自然数还有以下含义：1. 度量数。从某种意义上说，数量数是度量数的特例，度量数是数量数的扩充。数量数刻画的是离散量（集合的元素）的个数多少，度量数刻画的是连续量的大小问题，由于连续量是可以无限分割的量，因此为了更准确地测量出某个量到底有多大，就需要产生更小的测量单位，如果以最小的测量单位（或者同时用多个测量单位表示）作测量结果的单位，用自然数表示就足够了，但表达和交流时会非常麻烦，为了更恰当地表示测量结果，就必须产生新的数――分数（但现实生活中表示量的大小通常用有限小数来表示，便于直观感知量的大小，便于沟通交流，这是由现行的十进制计数系统导致的），这是从自然数扩充到有理数的重要现实动力。另外，为了使自然数的减法满足封闭性，就必须将自然数集扩充到整数集，为使自然数的除法满足封闭性，就必须将自然数集扩充到有理数集，满足运算的封闭性也是数域扩充的重要数学动力。2. 比率数。自然数还可以表示两个量（数）之间的比率关系。3. 计算的对象或结果。任何一个自然数都可以是计算的对象或计算的结果。4.数轴上的“点”。每一个自然数（每一个实数）都与数轴上的点建立一一对应关系。5. 用做编码的符号。任何一个自然数都可以用来编码。6.特别地还要强调“0”有以下几点意义――“0”是一个概念，它表示“一个也没有”；在位值制记数法中，“0”表示“空位（计数单位的个数是0个）”，起到占位作用；“0”是一个数，可以同其他数参与运算；“0”是标度的起点或分界。
二、自然数的数学意义
自然数除了上述现实意义外，还有其数学意义，数学意义就是从其作为一个“数”本身的角度看“数”的内涵，任何一个数都是 “计数单位与其个数乘积的累加就得到的”。“计数单位”及其“个数”是构成数的核心要素，真正认识一个数必然要认识这个数所涉及的计数单位，在小学阶段“分数”与“小数”都分两次学习，第一次学习仅是“初步认识”，第二次学习才是“意义”层次的学习。
由于自然数是用“十进位值制记数法”记录的，所以计数单位是“1、10、100……”不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数（某个计数单位的个数为“0”时，也要写出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者写成2034=2000+30+4，即自然数的拓展式。小数也是“十进位值制”的，增加小数的计数单位“01、001、0001……”后，其累加的过程与自然数的过程基本相同，只不过有“有限次累加”与“无限次累加”两类，有限次累加就得到“有限小数”，无限次累加又分为两种情形，其一是，不同计数单位的“个数”是有规律地出现的，如果计数单位的个数的情况复杂，没有规律，则无限次累加的结果是“无限不循环小数”，即无理数。
同样，分数也可以看成是“分数单位的累加”，这不仅延续了自然数的认识，又为进一步理解分数的性质以及分数的加减运算打下了坚实的数学基础。从这个角度来认识分数就使学生能够真正理解为什么同分母分数加减只需要“分子相加减而分母不变”，而异分母分数加减法则必须“先通分，然后再分子相加减，分母不变”，从而进一步理解“加减法计算的本质就是相同计数单位‘个数’相加减”，“通分的本质就是寻找两个分数的相同计数（分数）单位”，这也是分数的通分、约分和扩分（寻找等值分数）的理论依据。
最后简要回答“0”为什么是自然数？“0”是自然数的意义是什么？实际上很难回答“0为什么又是自然数”，简单可以说是“规定”的，是修正后的皮亚诺自然数公理中规定的，皮亚诺自然数公理规定“1”是第一个数，修正后规定“0”是第一个数。而规定“0”是自然数则意义重大。例如，用“0”来描述“空集”所含元素的个数，那么所有的自然数（包括0）就能完整刻画“有限集合元素的个数”问题；0作为自然数集合的第一个数，每个数的后面都紧跟着一个确定的数，可以把所有的自然数一个紧跟一个地排成一列数，既不重复也不遗漏等。
三、自然数蕴含的数学思想：十进制与位值制
为了表示出一个“自然数”，在历史上曾经出现过五进制、十进制、二十进制、六十进制，但最多的是以10为数基的十进制。
古埃及记数法中有“十进制”却没有“位值制”的思想，如果需要记录更大的数就必须产生表示更大单位的“新符号”，但有位值制思想后，则用有限个“符号”就能表示出无限的数，例如在“十进制”前提下只需要10个符号就能表示出所有的自然数。
但十进位记数法，离十进位值制计数法还有关键的一步要走，即“位置值制（简称‘位值制’）”。所谓“位值制”，是指相同的记数符号由于所处的位置的不同而可以表示大小不同的数目。由于有了位值制，就可以用有限的几个数字表示出无限多个自然数，这是记数历史上的一个奇迹。
用十进位值制记数法来表示数意义巨大，一是便于比较两个自然数的大小，自然数大小比较时首先看自然数的位数，位数越多则这个数越大。二是更便于数的计算，例如所有的加减法做的不外乎都是“20以内的加减法”，只不过“计数单位”不同，乘除法做的则都是“表内乘除法”。
四、无限集合的个数问题
学习自然数除了前面所论述的现实意义、数学意义以及所蕴含的十进制、位值制思想外，还有一个重要问题即自然数集合的元素个数问题，这个问题推动了近代集合论的发展。
