时间：2023-03-02 15:06:52
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指导老师：王建明
姓 名：张国生
学 号：XX0233
学 院：信息与计算科学学院
班 级：05信计2班
重力加速度的测定
一、实验任务
精确测定银川地区的重力加速度
二、实验要求
测量结果的相对不确定度不超过5%
三、物理模型的建立及比较
初步确定有以下六种模型方案：
方法一、用打点计时器测量
所用仪器为：打点计时器、直尺、带钱夹的铁架台、纸带、夹子、重物、学生电源等.
利用自由落体原理使重物做自由落体运动.选择理想纸带，找出起始点0，数出时间为t的p点，用米尺测出op的距离为h，其中t=0.02秒×两点间隔数.由公式h=gt2/2得g=2h/t2，将所测代入即可求得g.
方法二、用滴水法测重力加速度
调节水龙头阀门，使水滴按相等时间滴下，用秒表测出n个（n取50—100）水滴所用时间t，则每两水滴相隔时间为t′=t/n，用米尺测出水滴下落距离h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法三、取半径为r的玻璃杯，内装适当的液体，固定在旋转台上.旋转台绕其对称轴以角速度ω匀速旋转，这时液体相对于玻璃杯的形状为旋转抛物面
重力加速度的计算公式推导如下：
取液面上任一液元a，它距转轴为x，质量为m，受重力mg、弹力n.由动力学知：
ncosα-mg=0 （1）
nsinα＝mω2x （2）
两式相比得tgα=ω2x/g，又 tgα=dy/dx，dy=ω2xdx/g，
y/x=ω2x/2g. g=ω2x2/2y.
.将某点对于对称轴和垂直于对称轴最低点的直角坐标系的坐标x、y测出，将转台转速ω代入即可求得g.
方法四、光电控制计时法
调节水龙头阀门，使水滴按相等时间滴下，用秒表测出n个（n取50—100）水滴所用时间t，则每两水滴相隔时间为t′=t/n，用米尺测出水滴下落距离h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法五、用圆锥摆测量
所用仪器为：米尺、秒表、单摆.
使单摆的摆锤在水平面内作匀速圆周运动，用直尺测量出h（见图1），用秒表测出摆锥n转所用的时间t，则摆锥角速度ω=2πn/t
摆锥作匀速圆周运动的向心力f=mgtgθ，而tgθ=r/h所以mgtgθ=mω2r由以上几式得：
g=4π2n2h/t2.
将所测的n、t、h代入即可求得g值.
方法六、单摆法测量重力加速度
在摆角很小时，摆动周期为：
则
通过对以上六种方法的比较，本想尝试利用光电控制计时法来测量，但因为实验室器材不全，故该方法无法进行；对其他几种方法反复比较，用单摆法测量重力加速度原理、方法都比较简单且最熟悉，仪器在实验室也很齐全，故利用该方法来测最为顺利，从而可以得到更为精确的值。
四、采用模型六利用单摆法测量重力加速度
摘要：
重力加速度是物理学中一个重要参量。地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值之差约为1/300。研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探测。
伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的幅度无关，并进一步用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。这就是单摆的等时性原理。
应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长l，只需要量出摆长，并测定摆动的周期，就可以算出g值。
实验器材：
单摆装置（自由落体测定仪），钢卷尺，游标卡尺、电脑通用计数器、光电门、单摆线
实验原理：
单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。在摆长远大于球的直径，摆锥质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很小距离，摆角小于5°），然后释放，摆锥即在平衡位置左右作周期性的往返摆动，如图2-1所示。
f =p sinθ
f
θ
t=p cosθ
p = mg
l
图2-1 单摆原理图
摆锥所受的力f是重力和绳子张力的合力，f指向平衡位置。当摆角很小时（θ<5°），圆弧可近似地看成直线，f也可近似地看作沿着这一直线。设摆长为l，小球位移为x，质量为m，则
sinθ=
f=psinθ=-mg =-m x （2-1）
由f=ma，可知a=- x
式中负号表示f与位移x方向相反。
单摆在摆角很小时的运动，可近似为简谐振动，比较谐振动公式：a= =-ω2x
可得ω=
于是得单摆运动周期为：
t=2π/ω=2π （2-2）
t2= l （2-3）
或 g=4π2 （2-4）
利用单摆实验测重力加速度时，一般采用某一个固定摆长l，在多次精密地测量出单摆的周期t后，代入（2-4）式，即可求得当地的重力加速度g。
由式（2-3）可知，t2和l之间具有线性关系， 为其斜率，如对于各种不同的摆长测出各自对应的周期，则可利用t2—l图线的斜率求出重力加速度g。
试验条件及误差分析：
上述单摆测量g的方法依据的公式是(2-2)式,这个公式的成立是有条件的，否则将使测量产生如下系统误差:
1. 单摆的摆动周期与摆角的关系，可通过测量θ<5°时两次不同摆角θ1、θ2的周期值进行比较。在本实验的测量精度范围内，验证出单摆的t与θ无关。
实际上，单摆的周期t随摆角θ增加而增加。根据振动理论，周期不仅与摆长l有关，而且与摆动的角振幅有关，其公式为：
t=t0[1+( )2sin2 +( )2sin2 +……]
式中t0为θ接近于0o时的周期，即t0=2π
2．悬线质量m0应远小于摆锥的质量m，摆锥的半径r应远小于摆长l，实际上任何一个单摆都不是理想的，由理论可以证明，此时考虑上述因素的影响，其摆动周期为：
3．如果考虑空气的浮力，则周期应为：
2．掌握文档中文字的快速输入并设置：文字的字号、字体、字颜色、行间距、字间距等格式。
3．掌握文档中段落的分栏、首字下沉、底纹、边框、页眉页脚等的设置方法。
4．掌握文档中插入艺术字、剪贴画、图片及公式的方法、并设置其版式及图片文字说明。 5．掌握规则、非规则表格的设计。
5.掌握使用Word软件对论文、科技文章进行排版。
6.掌握文档中页面设置、文字的字体字号、颜色、行间距、字间距的设置。 8.掌握分页、分节要点，按不同章节的要求，设置不同的页眉、页脚。
7．掌握正文及三级标题的设置，并自动生成目录（或有修改后同步该目录）。 10．掌握论文封面的设计。
二、实验内容
1.单文档图文混排。
2.长文档排版。
三、实验过程及结果
气温: 21.7 ℃ 大气压: 101.7 kpa
实验一 恒温水浴的组装及其性能测试
1目的要求
了解恒温水浴的构造及其构造原理，学会恒温水浴的装配技术； 测绘恒温水浴的灵敏度曲线； 掌握贝克曼温度计的调节技术和正确使用方法。
2仪器与试剂
5升大烧杯 贝克曼温度计 精密温度计 加热器
水银接触温度计 继电器 搅拌器 调压变压器
3数据处理:
实验时间
4/17/2000
室温 ℃
21.7
大气压pa
101.7*10^3
1
2.950
2.840
2.770
2.640
2.510
2.650
2.620
2.530
2.420
2.310
2.560
2.510
2.420
2.310
2.200
2
3.130
2.980
2.950
3.110
2.930
3.730
3.090
2.930
3.600
3.050
2.880
3.220
2.970
3.150
3.170
3
2.860
2.950
3.210
2.860
2.940
3.150
2.840
2.920
3.040
2.930
2.910
3.040
2.910
2.860
2.970
曲线图:
关键词：热敏电阻、非平衡直流电桥、电阻温度特性
1、引言
热敏电阻是根据半导体材料的电导率与温度有很强的依赖关系而制成的一种器件，其电阻温度系数一般为(-0.003~+0.6)℃-1。因此，热敏电阻一般可以分为:
Ⅰ、负电阻温度系数(简称NTC)的热敏电阻元件
常由一些过渡金属氧化物(主要用铜、镍、钴、镉等氧化物)在一定的烧结条件下形成的半导体金属氧化物作为基本材料制成的，近年还有单晶半导体等材料制成。国产的主要是指MF91~MF96型半导体热敏电阻。由于组成这类热敏电阻的上述过渡金属氧化物在室温范围内基本已全部电离，即载流子浓度基本上与温度无关，因此这类热敏电阻的电阻率随温度变化主要考虑迁移率与温度的关系，随着温度的升高，迁移率增加，电阻率下降。大多应用于测温控温技术，还可以制成流量计、功率计等。
Ⅱ、正电阻温度系数(简称PTC)的热敏电阻元件
常用钛酸钡材料添加微量的钛、钡等或稀土元素采用陶瓷工艺，高温烧制而成。这类热敏电阻的电阻率随温度变化主要依赖于载流子浓度，而迁移率随温度的变化相对可以忽略。载流子数目随温度的升高呈指数增加，载流子数目越多，电阻率越小。应用广泛，除测温、控温，在电子线路中作温度补偿外，还制成各类加热器，如电吹风等。
2、实验装置及原理
【实验装置】
FQJ—Ⅱ型教学用非平衡直流电桥，FQJ非平衡电桥加热实验装置(加热炉内置MF51型半导体热敏电阻(2.7kΩ)以及控温用的温度传感器)，连接线若干。
【实验原理】
根据半导体理论，一般半导体材料的电阻率 和绝对温度 之间的关系为式中a与b对于同一种半导体材料为常量，其数值与材料的物理性质有关。因而热敏电阻的电阻值 可以根据电阻定律写为式中 为两电极间距离， 为热敏电阻的横截面。
对某一特定电阻而言， 与b均为常数，用实验方法可以测定。为了便于数据处理，将上式两边取对数，则有上式表明 与 呈线，在实验中只要测得各个温度 以及对应的电阻 的值，以 为横坐标， 为纵坐标作图，则得到的图线应为直线，可用图解法、计算法或最小二乘法求出参数 a、b的值。热敏电阻的电阻温度系数 下式给出。
从上述方法求得的b值和室温代入式(1—4)，就可以算出室温时的电阻温度系数。
热敏电阻 在不同温度时的电阻值，可由非平衡直流电桥测得。非平衡直流电桥原理图如右图所示，B、D之间为一负载电阻 ，只要测出 ，就可以得到 值。
当负载电阻 ，即电桥输出处于开路状态时， =0，仅有电压输出，用 表示，当 时，电桥输出 =0，即电桥处于平衡状态。为了测量的准确性，在测量之前，电桥必须预调平衡，这样可使输出电压只与某一臂的电阻变化有关。
若R1、R2、R3固定，R4为待测电阻，R4 = RX，则当R4R4+R时，因电桥不平衡而产生的电压输出为：(1—5)
在测量MF51型热敏电阻时，非平衡直流电桥所采用的是立式电桥 ， 且 ，则(1—6)
式中R和 均为预调平衡后的电阻值，测得电压输出后，通过式(1—6)运算可得R，从而求的 =R4+R。
3、热敏电阻的电阻温度特性研究
根据表一中MF51型半导体热敏电阻(2.7kΩ)之电阻~温度特性研究桥式电路，并设计各臂电阻R和 的值，以确保电压输出不会溢出(本实验 =1000.0Ω， =4323.0Ω)。
根据桥式，预调平衡，将“功能转换”开关旋至“电压“位置，按下G、B开关，打开实验加热装置升温，每隔2℃测1个值，并将测量数据列表(表二)。
MF51型半导体热敏电阻(2.7kΩ)之电阻～温度特性
温度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
电阻Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
非平衡电桥电压输出形式(立式)测量MF51型热敏电阻的数据
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
温度t℃ 10.4 12.4 14.4 16.4 18.4 20.4 22.4 24.4 26.4 28.4
热力学T K 283.4 285.4 287.4 289.4 291.4 293.4 295.4 297.4 299.4 301.4
0.0 -12.5 -27.0 -42.5 -58.4 -74.8 -91.6 -107.8 -126.4 -144.4
0.0 -259.2 -529.9 -789 -1027.2 -124.8 -1451.9 -1630.1 -1815.4 -1977.9
4323.0 4063.8 3793.1 3534.0 3295.8 3074.9 2871.1 2692.9 2507.6 2345.1
根据表二所得的数据作出 ～ 图，如右图所示。运用最小二乘法计算所得的线性方程为 ，即MF51型半导体热敏电阻(2.7kΩ)的电阻～温度特性的数学表达式为 。
4、实验结果误差
通过实验所得的MF51型半导体热敏电阻的电阻—温度特性的数学表达式为 。根据所得表达式计算出热敏电阻的电阻～温度特性的测量值，与表一所给出的参考值有较好的一致性，如下表所示：
表三 实验结果比较
温度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
参考值RT Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
测量值RT Ω 2720 2238 1900 1587 1408 1232 1074 939 823
相对误差 % 0.74 0.58 1.60 0.89 4.99 6.20 7.40 8.18 10.00
从上述结果来看，基本在实验误差范围之内。但我们可以清楚的发现，随着温度的升高，电阻值变小，但是相对误差却在变大，这主要是由内热效应而引起的。
5、内热效应的影响
1、引言
热敏电阻是根据半导体材料的电导率与温度有很强的依赖关系而制成的一种器件，其电阻温度系数一般为（-0.003~+0.6）℃-1。因此，热敏电阻一般可以分为:
Ⅰ、负电阻温度系数（简称NTC）的热敏电阻元件
常由一些过渡金属氧化物（主要用铜、镍、钴、镉等氧化物）在一定的烧结条件下形成的半导体金属氧化物作为基本材料制成的，近年还有单晶半导体等材料制成。国产的主要是指MF91~MF96型半导体热敏电阻。由于组成这类热敏电阻的上述过渡金属氧化物在室温范围内基本已全部电离，即载流子浓度基本上与温度无关，因此这类热敏电阻的电阻率随温度变化主要考虑迁移率与温度的关系，随着温度的升高，迁移率增加，电阻率下降。大多应用于测温控温技术，还可以制成流量计、功率计等。
Ⅱ、正电阻温度系数（简称PTC）的热敏电阻元件
常用钛酸钡材料添加微量的钛、钡等或稀土元素采用陶瓷工艺，高温烧制而成。这类热敏电阻的电阻率随温度变化主要依赖于载流子浓度，而迁移率随温度的变化相对可以忽略。载流子数目随温度的升高呈指数增加，载流子数目越多，电阻率越校应用广泛，除测温、控温，在电子线路中作温度补偿外，还制成各类加热器，如电吹风等。
2、实验装置及原理
【实验装置】
FQJ—Ⅱ型教学用非平衡直流电桥，FQJ非平衡电桥加热实验装置（加热炉内置MF51型半导体热敏电阻（2.7kΩ）以及控温用的温度传感器），连接线若干。
【实验原理】
根据半导体理论，一般半导体材料的电阻率 和绝对温度 之间的关系为
（1—1）
式中a与b对于同一种半导体材料为常量，其数值与材料的物理性质有关。因而热敏电阻的电阻值 可以根据电阻定律写为
（1—2）
式中 为两电极间距离， 为热敏电阻的横截面， 。
对某一特定电阻而言， 与b均为常数，用实验方法可以测定。为了便于数据处理，将上式两边取对数，则有
（1—3）
上式表明 与 呈线性关系，在实验中只要测得各个温度 以及对应的电阻 的值，
以 为横坐标， 为纵坐标作图，则得到的图线应为直线，可用图解法、计算法或最小二乘法求出参数 a、b的值。
热敏电阻的电阻温度系数 下式给出
（1—4）
从上述方法求得的b值和室温代入式（1—4），就可以算出室温时的电阻温度系数。
热敏电阻 在不同温度时的电阻值，可由非平衡直流电桥测得。非平衡直流电桥原理图如右图所示，B、D之间为一负载电阻 ，只要测出 ，就可以得到 值。
当负载电阻 ，即电桥输出处于开
路状态时， =0，仅有电压输出，用 表示，当 时，电桥输出 =0，即电桥处于平衡状态。为了测量的准确性，在测量之前，电桥必须预调平衡，这样可使输出电压只与某一臂的电阻变化有关。
若R1、R2、R3固定，R4为待测电阻，R4 = RX，则当R4R4+R时，因电桥不平衡而产生的电压输出为：
（1—5）
在测量MF51型热敏电阻时，非平衡直流电桥所采用的是立式电桥 ， ，且 ，则
（1—6）
式中R和 均为预调平衡后的电阻值，测得电压输出后，通过式（1—6）运算可得R，从而求的 =R4+R。
3、热敏电阻的电阻温度特性研究
根据表一中MF51型半导体热敏电阻（2.7kΩ）之电阻~温度特性研究桥式电路，并设计各臂电阻R和 的值，以确保电压输出不会溢出（本实验 =1000.0Ω， =4323.0Ω）。
根据桥式，预调平衡，将“功能转换”开关旋至“电压“位置，按下G、B开关，打开实验加热装置升温，每隔2℃测1个值，并将测量数据列表（表二）。
表一 MF51型半导体热敏电阻（2.7kΩ）之电阻～温度特性
温度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
电阻Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
表二 非平衡电桥电压输出形式（立式）测量MF51型热敏电阻的数据
i 9 10
温度t℃ 10.4 12.4 14.4 16.4 18.4 20.4 22.4 24.4 26.4 28.4
热力学T K 283.4 285.4 287.4 289.4 291.4 293.4 295.4 297.4 299.4 301.4
0.0 -12.5 -27.0 -42.5 -58.4 -74.8 -91.6 -107.8 -126.4 -144.4
0.0 -259.2 -529.9 -789 -1027.2 -124.8 -1451.9 -1630.1 -1815.4 -1977.9
4323.0 4063.8 3793.1 3534.0 3295.8 3074.9 2871.692.9 2507.6 2345.1
根据表二所得的数据作出 ～ 图，如右图所示。运用最小二乘法计算所得的线性方程为 ，即MF51型半导体热敏电阻（2.7kΩ）的电阻～温度特性的数学表达式为 。
4、实验结果误差
通过实验所得的MF51型半导体热敏电阻的电阻—温度特性的数学表达式为 。根据所得表达式计算出热敏电阻的电阻～温度特性的测量值，与表一所给出的参考值有较好的一致性，如下表所示：
表三 实验结果比较
温度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
参考值RT Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
测量值RT Ω 2720 2238 1900 1587 1408 1232 1074 939 823
相对误差 % 0.74 0.58 1.60 0.89 4.99 6.20 7.40 8.18 10.00
从上述结果来看，基本在实验误差范围之内。但我们可以清楚的发现，随着温度的升高，电阻值变小，但是相对误差却在变大，这主要是由内热效应而引起的。
5、内热效应的影响
在实验过程中，由于利用非平衡电桥测量热敏电阻时总有一定的工作电流通过，热敏电阻的电阻值大，体积小，热容量小，因此焦耳热将迅速使热敏电阻产生稳定的高于外界温度的附加内热温升，这就是所谓的内热效应。在准确测量热敏电阻的温度特性时，必须考虑内热效应的影响。本实验不作进一步的研究和探讨。
6、实验小结
通过实验，我们很明显的可以发现热敏电阻的阻值对温度的变化是非常敏感的，而且随着温度上升，其电阻值呈指数关系下降。因而可以利用电阻—温度特性制成各类传感器，可使微小的温度变化转变为电阻的变化形成大的信号输出，特别适于高精度测量。又由于元件的体积小，形状和封装材料选择性广，特别适于高温、高湿、振动及热冲击等环境下作温湿度传感器，可应用与各种生产作业，开发潜力非常大。
参考文献：
[1] 竺江峰，芦立娟，鲁晓东。 大学物理实验[M]
题目：
考虑线性方程组，，，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数方程组的Gauss消去过程。
（1）取矩阵，，则方程有解。取计算矩阵的条件数。分别用顺序Gauss消元、列主元Gauss消元和完全选主元Gauss消元方法求解，结果如何？
（2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。
1.
算法介绍
首先，分析各种算法消去过程的计算公式，
顺序高斯消去法：
第k步消去中，设增广矩阵中的元素（若等于零则可以判定系数矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对k行以下各行计算，分别用乘以增广矩阵的第行并加到第行，则可将增广矩阵中第列中以下的元素消为零；重复此方法，从第1步进行到第n-1步，则可以得到最终的增广矩阵，即；
列主元高斯消去法：
第k步消去中，在增广矩阵中的子方阵中，选取使得，当时，对中第行与第行交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行。重复此方法，从第1步进行第n-1步，就可以得到最终的增广矩阵，即；
完全主元高斯消去法：
第k步消去中，在增广矩阵中对应的子方阵中，选取使得，若或，则对中第行与第行、第列与第列交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行即可。重复此方法，从第1步进行到第n-1步，就可以得到最终的增广矩阵，即；
接下来，分析回代过程求解的公式，容易看出，对上述任一种消元法，均有以下计算公式：
2.
实验程序的设计
一、输入实验要求及初始条件；
二、计算系数矩阵A的条件数及方程组的理论解；
三、对各不同方法编程计算，并输出最终计算结果。
3.
计算结果及分析
（1）
先计算系数矩阵的条件数，结果如下，
可知系数矩阵的条件数较大，故此问题属于病态问题，
b或A的扰动都可能引起解的较大误差；
采用顺序高斯消去法，计算结果为：
最终解为x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000001,
0.999999999999998,
1.000000000000004,
0.999999999999993,
1.000000000000012,
0.999999999999979,
1.000000000000028)T
使用无穷范数衡量误差，得到=2.842170943040401e-14，可以发现，采用顺序高斯消元法求得的解与精确解之间误差较小。通过进一步观察，可以发现，按照顺序高斯消去法计算时，其选取的主元值和矩阵中其他元素大小相近，因此顺序高斯消去法方式并没有对结果造成特别大的影响。
若采用列主元高斯消元法，则结果为：
最终解为x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000)T
同样使用无穷范数衡量误差，有=0；
若使用完全主元高斯消元法，则结果为
最终解x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000)T
同样使用无穷范数衡量误差，有=0；
（2）
若每步都选取模最小或尽可能小的元素为主元，则计算结果为
最终解x=(1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000012
0.999999999999979
1.000000000000028)T
使用无穷范数衡量误差，有为2.842170943040401e-14；而完全主元消去法的误差为=0。
从（1）和（2）的实验结果可以发现，列主元消去法和完全主元消去法都得到了精确解，而顺序高斯消去法和以模尽量小的元素为主元的消去法没有得到精确解。在后两种消去法中，由于程序计算时的舍入误差，对最终结果产生了一定的影响，但由于方程组的维度较低，并且元素之间相差不大，所以误差仍比较小。
为进一步分析，计算上述4种方法每步选取的主元数值，并列表进行比较，结果如下：
第n次消元
顺序
列主元
完全主元
模最小
1
6.000000000000000
8
8
6.000000000000000
2
4.666666666666667
8
8
4.666666666666667
3
4.285714285714286
8
8
4.285714285714286
4
4.133333333333333
8
8
4.133333333333333
5
4.064516129032258
8
8
4.064516129032258
6
4.031746031746032
8
8
4.031746031746032
7
4.015748031496063
8
8
4.015748031496063
8
4.007843137254902
8
8
4.007843137254902
9
4.003913894324853
8
8
4.003913894324853
10
4.001955034213099
0.015617370605469
0.015617370605469
4.001955034213099
从上表可以发现，对这个方程组而言，顺序高斯消去选取的主元恰好事模尽量小的元素，而由于列主元和完全主元选取的元素为8，与4在数量级上差别小，所以计算过程中的累积误差也较小，最终4种方法的输出结果均较为精确。
在这里，具体解释一下顺序法与模最小法的计算结果完全一致的原因。该矩阵在消元过程中，每次选取主元的一列只有两个非零元素，对角线上的元素为4左右，而其正下方的元素为8，该列其余位置的元素均为0。在这样的情况下，默认的主元也就是该列最小的主元，因此两种方法所得到的计算结果是一致的。
理论上说，完全高斯消去法的误差最小，其次是列主元高斯消去法，而选取模最小的元素作为主元时的误差最大，但是由于方程组的特殊性（元素相差不大并且维度不高），这个理论现象在这里并没有充分体现出来。
（3）
时，重复上述实验过程，各种方法的计算结果如下所示，在这里，仍采用无穷范数衡量绝对误差。
顺序高斯消去法
列主元高斯消去
完全主元高斯消去
选取模最小或尽可能小元素作为主元消去
X
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000014
0.999999999999972
1.000000000000057
0.999999999999886
1.000000000000227
0.999999999999547
1.000000000000902
0.999999999998209
1.000000000003524
0.999999999993179
1.000000000012732
0.999999999978173
1.000000000029102
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000014
0.999999999999972
1.000000000000057
0.999999999999886
1.000000000000227
0.999999999999547
1.000000000000902
0.999999999998209
1.000000000003524
0.999999999993179
1.000000000012732
0.999999999978173
1.000000000029102
2.910205409989430e-11
2.910205409989430e-11
可以看出，此时列主元和完全主元的计算结果仍为精确值，而顺序高斯消去和模尽可能小方法仍然产生了一定的误差，并且两者的误差一致。与n=10时候的误差比相比，n=20时的误差增长了大约1000倍，这是由于计算过程中舍入误差的不断累积所致。所以，如果进一步增加矩阵的维数，应该可以看出更明显的现象。
（4）
不同矩阵维度下的误差如下，在这里，为方便起见，选取2-条件数对不同维度的系数矩阵进行比较。
维度
条件数
顺序消去
列主元
完全主元
模尽量小
1.7e+3
2.84e-14
2.84e-14
1.8e+6
2.91e-11
2.91e-11
5.7e+7
9.31e-10
9.31e-10
1.8e+9
2.98e-08
2.98e-08
1.9e+12
3.05e-05
3.05e-05
3.8e+16
3.28e+04
3.88e-12
3.88e-12
3.28e+04
8.5e+16
3.52e+13
4.2e-3
4.2e-3
3.52e+13
从上表可以看出，随着维度的增加，不同方法对计算误差的影响逐渐体现，并且增长较快，这是由于舍入误差逐步累计而造成的。不过，方法二与方法三在维度小于40的情况下都得到了精确解，这两种方法的累计误差远比方法一和方法四慢；同样地，出于与前面相同的原因，方法一与方法四的计算结果保持一致，方法二与方法三的计算结果保持一致。
4.
结论
本文矩阵中的元素差别不大，模最大和模最小的元素并没有数量级上的差异，因此，不同的主元选取方式对计算结果的影响在维度较低的情况下并不明显，四种方法都足够精确。
对比四种方法，可以发现采用列主元高斯消去或者完全主元高斯消去法，可以尽量抑制误差，算法最为精确。不过，对于低阶的矩阵来说，四种方法求解出来的结果误差均较小。
另外，由于完全选主元方法在选主元的过程中计算量较大，而且可以发现列主元法已经可以达到很高的精确程度，因而在实际计算中可以选用列主元法进行计算。
附录：程序代码
clear
clc;
format
long;
%方法选择
n=input(＇矩阵A阶数:n=＇);
disp(＇选取求解方式＇);
disp(＇1
顺序Gauss消元法，2
列主元Gauss消元法，3
完全选主元Gauss消元法，4
模最小或近可能小的元素作为主元＇);
a=input(＇求解方式序号：＇);
%赋值A和b
A=zeros(n,n);
b=zeros(n,1);
for
i=1:n
A(i,i)=6;
if
i>1
A(i,i-1)=8;
end
if
i
A(i,i+1)=1;
end
end
for
i=1:n
for
j=1:n
b(i)=b(i)+A(i,j);
end
end
disp(＇给定系数矩阵为：＇);
A
disp(＇右端向量为：＇);
b
%求条件数及理论解
disp(＇线性方程组的精确解：＇);
X=(A＼b)＇
fprintf(＇矩阵A的1-条件数:
%f
＼n＇,cond(A,1));
fprintf(＇矩阵A的2-条件数:
%f
＼n＇,cond(A));
fprintf(＇矩阵A的无穷-条件数:
%f
＼n＇,cond(A,inf));
%顺序Gauss消元法
if
a==1
A1=A;b1=b;
for
k=1:n
if
A1(k,k)==0
disp(＇主元为零，顺序Gauss消元法无法进行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所选取的主元：%g＼n＇,k,A1(k,k))
%disp(＇此次消元后系数矩阵为：＇);
%A1
for
p=k+1:n
l=A1(p,k)/A1(k,k);
A1(p,k:n)=A1(p,k:n)-l*A1(k,k:n);
b1(p)=b1(p)-l*b1(k);
end
end
x1(n)=b1(n)/A1(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b1(k)=b1(k)-A1(k,w)*x1(w);
end
x1(k)=b1(k)/A1(k,k);
end
disp(＇顺序Gauss消元法解为:＇);
disp(x1);
disp(＇所求解与精确解之差的无穷-范数为＇);
norm(x1-X,inf)
end
%列主元Gauss消元法
if
a==2
A2=A;b2=b;
for
k=1:n
[max_i,max_j]=find(A2(:,k)==max(abs(A2(k:n,k))));
if
max_i~=k
A2_change=A2(k,:);
A2(k,:)=A2(max_i,:);
A2(max_i,:)=A2_change;
b2_change=b2(k);
b2(k)=b2(max_i);
b2(max_i)=b2_change;
end
if
A2(k,k)==0
disp(＇主元为零，列主元Gauss消元法无法进行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所选取的主元：%g＼n＇,k,A2(k,k))
%disp(＇此次消元后系数矩阵为：＇);
%A2
for
p=k+1:n
l=A2(p,k)/A2(k,k);
A2(p,k:n)=A2(p,k:n)-l*A2(k,k:n);
b2(p)=b2(p)-l*b2(k);
end
end
x2(n)=b2(n)/A2(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b2(k)=b2(k)-A2(k,w)*x2(w);
end
x2(k)=b2(k)/A2(k,k);
end
disp(＇列主元Gauss消元法解为:＇);
disp(x2);
disp(＇所求解与精确解之差的无穷-范数为＇);
norm(x2-X,inf)
end
%完全选主元Gauss消元法
if
a==3
A3=A;b3=b;
for
k=1:n
VV=eye(n);
[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));
if
numel(max_i)==0
[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==-max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));
end
W=eye(n);
W(max_i(1)+k-1,max_i(1)+k-1)=0;
W(k,k)=0;
W(max_i(1)+k-1,k)=1;
W(k,max_i(1)+k-1)=1;
V=eye(n);
V(k,k)=0;
V(max_j(1)+k-1,max_j(1)+k-1)=0;
V(k,max_j(1)+k-1)=1;
V(max_j(1)+k-1,k)=1;
A3=W*A3*V;
b3=W*b3;
VV=VV*V;
if
A3(k,k)==0
disp(＇主元为零，完全选主元Gauss消元法无法进行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所选取的主元：%g＼n＇,k,A3(k,k))
%disp(＇此次消元后系数矩阵为：＇);
%A3
for
p=k+1:n
l=A3(p,k)/A3(k,k);
A3(p,k:n)=A3(p,k:n)-l*A3(k,k:n);
b3(p)=b3(p)-l*b3(k);
end
end
x3(n)=b3(n)/A3(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b3(k)=b3(k)-A3(k,w)*x3(w);
end
x3(k)=b3(k)/A3(k,k);
end
disp(＇完全选主元Gauss消元法解为:＇);
disp(x3);
disp(＇所求解与精确解之差的无穷-范数为＇);
norm(x3-X,inf)
end
%模最小或近可能小的元素作为主元
if
a==4
A4=A;b4=b;
for
k=1:n
AA=A4;
AA(AA==0)=NaN;
[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==min(abs(AA(k:n,k))));
if
numel(min_i)==0
[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==-min(abs(AA(k:n,k:n))));
end
W=eye(n);
W(min_i(1)+k-1,min_i(1)+k-1)=0;
W(k,k)=0;
W(min_i(1)+k-1,k)=1;
W(k,min_i(1)+k-1)=1;
A4=W*A4;
b4=W*b4;
if
A4(k,k)==0
disp(＇主元为零，模最小Gauss消元法无法进行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所选取的主元：%g＼n＇,k,A4(k,k))
%A4
for
p=k+1:n
l=A4(p,k)/A4(k,k);
A4(p,k:n)=A4(p,k:n)-l*A4(k,k:n);
b4(p)=b4(p)-l*b4(k);
end
end
x4(n)=b4(n)/A4(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b4(k)=b4(k)-A4(k,w)*x4(w);
end
x4(k)=b4(k)/A4(k,k);
end
disp(＇模最小Gauss消元法解为:＇);
disp(x4);
disp(＇所求解与精确解之差的无穷-范数为＇);
norm(x4-X,inf)
end
二、实验3.3
题目：
考虑方程组的解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵：
这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端的办法给出确定的问题。
（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss消去法（即LU分解）、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何。
（2）逐步增大问题的维数，仍用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明的什么？
（3）讨论病态问题求解的算法。
1.
算法设计
对任意线性方程组，分析各种方法的计算公式如下，
（1）Gauss消去法：
首先对系数矩阵进行LU分解，有，则原方程转化为，令，则原方程可以分为两步回代求解：
具体方法这里不再赘述。
（2）J迭代法：
首先分解，再构造迭代矩阵，其中
，进行迭代计算，直到误差满足要求。
（3）GS迭代法：
首先分解，再构造迭代矩阵
，其中
，进行迭代计算，直到误差满足要求。
（4）SOR迭代法：
首先分解，再构造迭代矩阵
，其中，进行迭代计算，直到误差满足要求。
2.
实验过程
一、根据维度n确定矩阵H的各个元素和b的各个分量值；
二、选择计算方法（
Gauss消去法，J迭代法，GS迭代法，SOR迭代法），对迭代法设定初值，此外SOR方法还需要设定松弛因子；
三、进行计算，直至满足误差要求（对迭代法，设定相邻两次迭代结果之差的无穷范数小于0.0001；
对SOR方法，设定为输出迭代100次之后的结果及误差值），输出实验结果。
3.
计算结果及分析
（1）时，问题可以具体定义为
计算结果如下，
Gauss消去法
第1次消元所选取的主元是：1
第2次消元所选取的主元是：0.0833333
第3次消元所选取的主元是：0.00555556
第4次消元所选取的主元是：0.000357143
第5次消元所选取的主元是：2.26757e-05
第6次消元所选取的主元是：1.43155e-06
解得X=(0.999999999999228
1.000000000021937
0.999999999851792
1.000000000385369
0.999999999574584
1.000000000167680)T
使用无穷范数衡量误差，可得=4.254160357319847e-10；
J迭代法
设定迭代初值为零，计算得到
J法的迭代矩阵B的谱半径为4.30853＞1，所以J法不收敛；
GS迭代法
设定迭代初值为零，计算得到GS法的迭代矩阵G的谱半径为：0.999998＜1，故GS法收敛，经过541次迭代计算后，结果为X=(1.001178105812706
0.999144082651860
0.968929093984902
1.047045569989162
1.027323158370281
0.954352032784608)T
使用无穷范数衡量误差，有=0.047045569989162；
SOR迭代法
设定迭代初值为零向量，并设定，计算得到SOR法迭代矩阵谱半径为0.999999433815223，经过100次迭代后的计算结果为
X=(1.003380614145078
0.962420297458423
1.031857023134559
1.061814901289881
1.014037815827164
0.917673642493527)T；
使用无穷范数衡量误差，有=0.082326357506473；
对SOR方法，可变，改变值，计算结果可以列表如下
迭代次数
100
100
100
100
迭代矩阵的谱半径
0.999999433815223
0.999998867083155
0.999996830135013
0.999982309342386
X
1.003653917714694
0.974666041209353
1.011814573842440
1.042837929171827
1.017190220902681
0.945462001336268
1.014676015634604
0.896636864424096
1.090444578936265
1.107070542628148
1.006315452225331
0.873244842279255
1.028022215505147
0.790604920509843
1.267167365524072
1.061689730857891
0.990084054872602
0.846005956774467
1.051857392323966
0.653408758549156
1.486449891152510
0.783650360698119
1.349665420488270
0.664202350634588
0.054537998663732
0.126755157720745
0.267167365524072
0.486449891152510
可以发现，松弛因子的取值对迭代速度造成了不同的影响，上述四种方法中，松弛因子=0.5时，收敛相对较快。
综上，四种算法的结果列表如下：
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（取）
迭代次数
--
不收敛
541
100
迭代矩阵的谱半径
--
4.30853
0.999998
0.999999433815223
X
0.999999999999228
1.000000000021937
0.999999999851792
1.000000000385369
0.999999999574584
1.000000000167680
--
1.001178105812706
0.999144082651860
0.968929093984902
1.047045569989162
1.027323158370281
0.954352032784608
1.003380614145078
0.962420297458423
1.031857023134559
1.061814901289881
1.014037815827164
0.917673642493527
4.254160357319847e-10
--
0.047045569989162
0.082326357506473
计算可得，矩阵H的条件数为>>1，所以这是一个病态问题。由上表可以看出，四种方法的求解都存在一定的误差。下面分析误差的来源：
LU分解方法的误差存在主要是由于Hilbert矩阵各元素由分数形式转换为小数形式时，不能除尽情况下会出现舍入误差，在进行LU分解时也存在这个问题，所以最后得到的结果不是方程的精确解
，但结果显示该方法的误差非常小；
Jacobi迭代矩阵的谱半径为4.30853，故此迭代法不收敛；
GS迭代法在迭代次数为541次时得到了方程的近似解，其误差约为0.05
，比较大。GS迭代矩阵的谱半径为0.999998，很接近1，所以GS迭代法收敛速度较慢；
SOR迭代法在迭代次数为100次时误差约为0.08，误差较大。SOR迭代矩阵的谱半径为0.999999，也很接近1，所以时SOR迭代法收敛速度不是很快，但是相比于GS法，在迭代速度方面已经有了明显的提高；另外，对不同的，SOR方法的迭代速度会相应有变化，如果选用最佳松弛因子，可以实现更快的收敛；
（2）
考虑不同维度的情况，时，
算法
Gauss消去
J法
GS法
SOR法（w=0.5）
计算结果
0.999999999966269
1.000000001809060
0.999999976372676
1.000000127868103
0.999999655764116
1.000000487042164
0.999999653427125
1.000000097774747
--
0.997829221945349
1.037526203106839
0.896973261976015
1.020345136375036
1.069071166932576
1.051179995036612
0.996814757185364
0.926343237325536
1.012938972275634
0.939713836855171
0.988261805073081
1.064637090535154
1.083633345093974
1.045060177115514
0.970603024778469
0.880212649657655
迭代次数
--
--
356
100
谱半径
--
6.04213
1
0.999999999208776
--
时，
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（w=0.5）
计算结果
0.999999994751197
1.000000546746354
0.999985868343700
1.000157549468631
0.999063537004329
1.003286333127805
0.992855789229370
1.009726486881556
0.991930155925812
1.003729850349020
0.999263885025643
--
0.997442073306751
1.019069909358409
0.992278247786739
0.956441858313237
0.986420333361353
1.021301611956591
1.038701026806608
1.035942773498533
1.016693763149422
0.985716454946250
0.947181287500697
1.015776039786572
0.966429147064483
0.928674868157910
0.996931548482727
1.066737803913537
1.097792430596468
1.088030440855069
1.048110620811192
0.989919418572424
0.922840813704142
0.853252417221922
迭代次数
--
--
1019
100
谱半径
--
8.64964
1
0.999999999999966
--
时
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（w=0.5）
计算结果
0.999999968723799
1.000002417094896
0.999994922439769
0.998640261957706
1.025668111139297
0.781933485305194
2.066840925345890
-2.279036697492128
7.532393125791018
-7.355047567109081
7.380667063930484
-1.129041418095142
0.425748747257065
1.733284233971601
0.817952344733362
--
不收敛
1.004385740641590
1.046346067877554
0.907178347707729
0.905763455949053
0.972521802788457
1.043731445367903
1.091535169448764
1.110090020703944
1.103129684679768
1.077168651146056
1.038514736265176
0.992259990832041
0.942151390478003
0.890785366684065
0.839876442493220
迭代次数
--
--
262
100
谱半径
--
6.04213
＞1
1.000000000000000
8.355047567109082
--
--
0.160123557506780
分析以上结果可以发现，随着n值的增加，Gauss消去法误差逐渐增大，而且误差增大的速度很快，在维数小于等于10情况下，Gauss消去法得到的结果误差较小；但当维数达到15时，计算结果误差已经达到精确解的很多倍；
J法迭代不收敛，无论n如何取值，其谱半径始终大于1，因而J法不收敛，所以J迭代法不能用于Hilbert矩阵的求解；
对于GS迭代法和SOR迭代法，两种方法均收敛，GS迭代法是SOR迭代法松弛因子取值为1的特例，SOR方法受到取值的影响，会有不同的收敛情况。可以得出GS迭代矩阵的谱半径小于1但是很接近1，收敛速度很慢。虽然随着维数的增大，所需迭代的次数逐渐减少，但是当维数达到15的时候，GS法已经不再收敛。因此可以得出结论，GS迭代方法在Hilbert矩阵维数较低时，能够在一定程度上满足迭代求解的需求，不过迭代的速度很慢。另外，随着矩阵维数的增加，
SOR法的误差水平基本稳定，而且误差在可以接受的范围之内。
经过比较可以得出结论，如果求解较低维度的Hibert矩阵问题，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且Gauss消去法的结果精确度较高；如果需要求解较高维度的Hibert矩阵问题，只有采用SOR迭代法。
（3）
系数矩阵的条件数较大时，为病态方程。由实验可知，Gauss法在解上述方程时，结果存在很大的误差。而对于收敛的迭代法，可以通过选取最优松弛因子的方法来求解，虽然迭代次数相对较多，但是结果较为精确。
总体来看，对于一般病态方程组的求解，可以采用以下方式：
1.
低维度下采用Gauss消去法直接求解是可行的；
Jacobi迭代方法不适宜于求解病态问题；
GS迭代方法可以解决维数较低的病态问题，但其谱半径非常趋近于1，导致迭代算法收敛速度很慢，维数较大的时候，GS法也不再收敛；
SOR方法较适合于求解病态问题，特别是矩阵维数较高的时候，其优势更为明显。
2.
采用高精度的运算，如选用双倍或更多倍字长的运算，可以提高收敛速度；
3.
可以对原方程组作某些预处理，从而有效降低系数矩阵的条件数。
4.
实验结论
（1）对Hibert矩阵问题，其条件数会随着维度的增加迅速增加，病态性会越来越明显；在维度较低的时候，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且可以优先使用Gauss消去法；如果需要求解较高维度的Hibert矩阵问题，只有SOR迭代法能够求解。
（2）SOR方法比较适合于求解病态问题，特别是矩阵维数较高的时候，其优点更为明显。从本次实验可以看出，随着矩阵维数的增大，SOR方法所需的迭代次数减少，而且误差基本稳定，是解决病态问题的适宜方法。
附录：程序代码
clear
all
clc;
format
long;
%矩阵赋值
n=input(＇矩阵H的阶数:n=＇);
for
i=1:n
for
j=1:n
H(i,j)=1/(i+j-1);
end
end
b=H*ones(n,1);
disp(＇H矩阵为：＇);
H
disp(＇向量b：＇);
b
%方法选择
disp(＇选取求解方式＇);
disp(＇1
Gauss消去法，2
J迭代法，3
GS迭代法，4
SOR迭代法＇);
a=input(＇求解方式序号：＇);
%Gauss消去法
if
a==1;
H1=H;b1=b;
for
k=1:n
if
H1(k,k)==0
disp(＇主元为零，Gauss消去法无法进行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所选取的主元是：%g＼n＇,k,H1(k,k))
for
p=k+1:n
m5=-H1(p,k)/H1(k,k);
H1(p,k:n)=H1(p,k:n)+m5*H1(k,k:n);
b1(p)=b1(p)+m5*b1(k);
end
end
x1(n)=b1(n)/H1(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
v=k+1:n
b1(k)=b1(k)-H1(k,v)*x1(v);
end
x1(k)=b1(k)/H1(k,k);
end
disp(＇Gauss消去法解为:＇);
disp(x1);
disp(＇解与精确解之差的无穷范数＇);
norm((x1-a),inf)
end
D=diag(diag(H));
L=-tril(H,-1);
U=-triu(H,1);
%J迭代法
if
a==2;
%给定初始x0
ini=input(＇初始值设定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量为:＇);
x0
xj(:,1)=x0(:,1);
B=(D^(-1))*(L+U);
f=(D^(-1))*b;
fprintf(＇(J法B矩阵谱半径为：%g＼n＇,vrho(B));
if
vrho(B)
for
m2=1:5000
xj(:,m2+1)=B*xj(:,m2)+fj;
if
norm((xj(:,m2+1)-xj(:,m2)),inf)
break
end
end
disp(＇J法计算结果为:＇);
xj(:,m2+1)
disp(＇解与精确解之差的无穷范数＇);
norm((xj(:,m2+1)-diag(ones(n))),inf)
disp(＇J迭代法迭代次数:＇);
m2
else
disp(＇由于B矩阵谱半径大于1，因而J法不收敛＇);
end
end
%GS迭代法
if
a==3;
%给定初始x0
ini=input(＇初始值设定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量为:＇);
x0
xG(:,1)=x0(:,1);
G=inv(D-L)*U;
fG=inv(D-L)*b;
fprintf(＇GS法G矩阵谱半径为：%g＼n＇,vrho(G));
if
vrho(G)
for
m3=1:5000
xG(:,m3+1)=G*xG(:,m3)+fG;
if
norm((xG(:,m3+1)-xG(:,m3)),inf)
break;
end
end
disp(＇GS迭代法计算结果:＇);
xG(:,m3+1)
disp(＇解与精确解之差的无穷范数＇);
norm((xG(:,m3+1)-diag(ones(n))),inf)
disp(＇GS迭代法迭代次数:＇);
m3
else
disp(＇由于G矩阵谱半径大于1，因而GS法不收敛＇);
end
end
%SOR迭代法
if
a==4;
%给定初始x0
ini=input(＇初始值设定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量为:＇);
x0
A=H;
for
i=1:n
b(i)=sum(A(i,:));
end
x_star=ones(n,1);
format
long
w=input(＇松弛因子:w=＇);
Lw=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);
f=w*inv(D-w*L)*b;
disp(＇迭代矩阵的谱半径：＇)
p=vrho(Lw)
time_max=100;%迭代次数
x=zeros(n,1);%迭代初值
for
i=1:time_max
x=Lw*x+f;
end
disp(＇SOR迭代法得到的解为＇);
x
disp(＇解与精确解之差的无穷范数＇);
norm((x_star-x),inf)
end
pause
三、实验4.1
题目：
对牛顿法和拟牛顿法。进行非线性方程组的数值求解
（1）用上述两种方法，分别计算下面的两个例子。在达到精度相同的前提下，比较其迭代次数、CPU时间等。
（2）取其他初值，结果又如何？反复选取不同的初值，比较其结果。
（3）总结归纳你的实验结果，试说明各种方法适用的问题。
1.
算法设计
对需要求解的非线性方程组而言，牛顿法和拟牛顿法的迭代公式如下，
（1）牛顿法：
牛顿法为单步迭代法，需要取一个初值。
（2）拟牛顿法：（Broyden秩1法）
其中，
拟牛顿法不需要求解的导数，因此节省了大量的运算时间，但需要给定矩阵的初值，取为。
2.
实验过程
一、输入初值；
二、根据误差要求，按公式进行迭代计算；
三、输出数据；
3.
计算结果及分析
（1）首先求解方程组（1），在这里，设定精度要求为，
方法
牛顿法
拟牛顿法
初始值
计算结果X
x1
0.905539609855914
0.905539493347151
x2
1.085219168370031
1.085218882394940
x3
0.672193668718306
0.672193293825304
迭代次数
3
13
CPU计算时间/s
3.777815
2.739349
可以看出，在初始值相同情况下，牛顿法和拟牛顿法在达到同样计算精度情况下得到的结果基本相同，但牛顿法的迭代次数明显要少一些，但是，由于每次迭代都需要求解矩阵的逆，所以牛顿法每次迭代的CPU计算时间更长。
之后求解方程组（2），同样设定精度要求为
方法
牛顿法
拟牛顿法
初始值
计算结果X
x1
0.500000000009699
0.499999994673600
x2
0.000000001063428
0.000000572701856
x3
-0.523598775570483
-0.523598762908871
迭代次数
4
12
CPU计算时间/s
2.722437
3.920195
同样地，可以看出，在初始值相同情况下，牛顿法和拟牛顿法在达到同样计算精度情况下得到的结果是基本相同的，但牛顿法的迭代次数明显要少，但同样的，由于每次迭代中有求解矩阵的逆的运算，牛顿法每次迭代的CPU计算时间较长。
（2）对方程组（1），取其他初值，计算结果列表如下，同样设定精度要求为
初始值
方法
牛顿法
拟牛顿法
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718305
9.211852562357894
-5.574005400255346
18.118173639381205
迭代次数
4
58
CPU计算时间/s
3.907164
4.818019
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718305
9.211849682114591
-5.573999165383549
18.118182491302807
迭代次数
4
2735
CPU计算时间/s
8.127286
5.626023
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718306
0.905539493347151
1.085218882394940
0.672193293825304
迭代次数
3
13
CPU计算时间/s
3.777815
2.739349
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718306
0.905548384395773
1.085220084502458
0.672219278250136
迭代次数
4
188
CPU计算时间/s
3.835697
2.879070
计算结果
9.211852448563722
-5.574005155684773
18.118173976918605
Matlab警告矩阵接近奇异值，程序进入长期循环计算中
迭代次数
19
--
CPU计算时间/s
4.033868
--
计算结果
0.905539609857335
1.085219168371536
0.672193668734922
Matlab警告矩阵接近奇异值，程序进入长期循环计算中
迭代次数
13
--
CPU计算时间/s
12.243263
--
从上表可以发现，方程组（1）存在另一个在(9.2,
-5.6,
18.1)T附近的不动点，初值的选取会直接影响到牛顿法和拟牛顿法最后的收敛点。
总的来说，设定的初值离不动点越远，需要的迭代次数越多，因而初始值的选取非常重要，合适的初值可以更快地收敛，如果初始值偏离精确解较远，会出现迭代次数增加直至无法收敛的情况；
由于拟牛顿法是一种近似方法，拟牛顿法需要的的迭代次数明显更多，而且收敛情况不如牛顿法好（初值不够接近时，甚至会出现奇异矩阵的情况），但由于牛顿法的求解比较复杂，计算时间较长；
同样的，对方程组（2），取其他初值，计算结果列表如下，同样设定精度要求为
初始值
方法
牛顿法
拟牛顿法
计算结果
0.500000000009699
0.000000001063428
-0.523598775570483
0.499999994673600
0.000000572701856
-0.523598762908871
迭代次数
4
12
CPU计算时间/s
2.722437
3.920195
计算结果
0.500000000011085
0.000000001215427
-0.523598775566507
0.331099293590753
-0.260080189442266
76.532092226437129
迭代次数
5
57
CPU计算时间/s
5.047111
5.619752
计算结果
0.500000000000916
0.000000000100410
-0.523598775595672
1.0e+02
*
-0.001221250784775
-0.000149282572886
1.754185881622843
迭代次数
6
62
CPU计算时间/s
3.540668
3.387829
计算结果
0.500000000000152
0.000000000016711
-0.523598775597862
1.0e+04
*
0.000026556790770
-0.000020396841295
1.280853105748650
迭代次数
7
55
CPU计算时间/s
2.200571
2.640901
计算结果
0.500000000000005
0.000000000000503
-0.523598775598286
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
迭代次数
8
--
CPU计算时间/s
1.719072
--
计算结果
0.500000000002022
0.000000000221686
-0.523598775592500
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
迭代次数
149
--
CPU计算时间/s
2.797116
--
计算结果
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
迭代次数
--
--
CPU计算时间/s
--
--
在这里，与前文类似的发现不再赘述。
从这里看出，牛顿法可以在更大的区间上实现压缩映射原理，可以在更大的范围上选取初值并最终收敛到精确解附近；
在初始值较接近于不动点时，牛顿法和拟牛顿法计算所得到的结果是基本相同的，虽然迭代次数有所差别，但计算总的所需时间相近。
（3）
牛顿法在迭代过程中用到了矩阵的求逆，其迭代收敛的充分条件是迭代满足区间上的映内性，对于矩阵的求逆过程比较简单，所以在较大区间内满足映内性的问题适合应用牛顿法进行计算。一般而言，对于函数单调或者具有单值特性的函数适合应用牛顿法，其对初始值敏感程度较低，算法具有很好的收敛性。
另外，需要说明的是，每次计算给出的CPU时间与计算机当时的运行状态有关，同时，不同代码的运行时间也不一定一致，所以这个数据并不具有很大的参考价值。
4.
实验结论
对牛顿法和拟牛顿法，都存在初始值越接近精确解，所需的迭代次数越小的现象；
在应用上，牛顿法和拟牛顿法各有优势。就迭代次数来说，牛顿法由于更加精确，所需的迭代次数更少；但就单次迭代来说，牛顿法由于计算步骤更多，且计算更加复杂，因而每次迭代所需的时间更长，而拟牛顿法由于采用了简化的近似公式，其每次迭代更加迅速。当非线性方程组求逆过程比较简单时，如方程组1的情况时，拟牛顿法不具有明显的优势；而当非线性方程组求逆过程比较复杂时，如方程组2的情况，拟牛顿法就可以体现出优势，虽然循环次数有所增加，但是CPU耗时反而更少。
另外，就方程组压缩映射区间来说，一般而言，对于在区间内函数呈现单调或者具有单值特性的函数适合应用牛顿法，其对初始值敏感程度较低，使算法具有很好的收敛性；而拟牛顿法由于不需要在迭代过程中对矩阵求逆，而是利用差商替代了对矩阵的求导，所以即使初始误差较大时，其倒数矩阵与差商偏差也较小，所以对初始值的敏感程度较小。
附录：程序代码
%方程1，牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
disp(＇请输入初值＇);
a=input(＇第1个分量为：＇);
b=input(＇第2个分量为：＇);
c=input(＇第3个分量为：＇);
disp(＇所选定初值为＇);
x=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;x(1)^2+10*x(2)-x(3)-11;x(2)^3+10*x(3)-8];
f=[12,-2*x(2),-4;2*x(1),10,-1;0,3*x(2)^2,10];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次数＇);
i
disp(＇迭代次数＇);
x
toc;
%方程1，拟牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp(＇请输入初值＇);
a=input(＇第1个分量为：＇);
b=input(＇第2个分量为：＇);
c=input(＇第3个分量为：＇);
disp(＇所选定初值为＇);
x0=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[12*x0(1)-x0(2)^2-4*x0(3)-7;x0(1)^2+10*x0(2)-x0(3)-11;x0(2)^3+10*x0(3)-8];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[12*x1(1)-x1(2)^2-4*x1(3)-7;x1(1)^2+10*x1(2)-x1(3)-11;x1(2)^3+10*x1(3)-8];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次数＇);
i
disp(＇迭代次数＇);
x0
toc;
%方程2，牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
disp(＇请输入初值＇);
a=input(＇第1个分量为：＇);
b=input(＇第2个分量为：＇);
c=input(＇第3个分量为：＇);
disp(＇所选定初值为＇);
x=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(1)^(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3];
f=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1),-162*x(2)-81/5,cos(x(3));-x(2)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),20];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次数＇);
i
disp(＇迭代次数＇);
x
toc;
%方程2，拟牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp(＇请输入初值＇);
a=input(＇第1个分量为：＇);
b=input(＇第2个分量为：＇);
c=input(＇第3个分量为：＇);
disp(＇所选定初值为＇);
x0=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[3*x0(1)-cos(x0(2)*x0(3))-0.5;x0(1)^2-81*(x0(2)+0.1)^2+sin(x0(3))+1.06;exp(1)^(-x0(1)*x0(2))+20*x0(3)+(10*pi-3)/3];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[3*x1(1)-cos(x1(2)*x1(3))-0.5;x1(1)^2-81*(x1(2)+0.1)^2+sin(x1(3))+1.06;exp(1)^(-x1(1)*x1(2))+20*x1(3)+(10*pi-3)/3];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次数＇);
i
气温: 24.5 ℃ 大气压: 101.47 kpa
燃烧热的测定
目的要求 一,用氧弹热量计测定萘的燃烧热
二,明确燃烧热的定义,了解恒压燃烧热与恒容燃烧热的差别
三,了解热量计中主要部分的作用,掌握氧弹热量计的实验技术
四,学会雷诺图解法校正温度改变值
仪器与试剂 氧弹卡计 贝克曼温度计 普通温度计 压片器 分析天平 台秤 万用电表 点火丝 剪刀 直尺镊子 扳手 苯甲酸 柴油 氧气钢瓶 氧气减压阀
实验数据及其处理 贝克曼温度计读数
苯甲酸
柴油
苯甲酸
柴油
样品质量 g
序号
初段
末段
初段
末段
w2
w2
1
2.157
3.458
1.528
3.440
2.2500
39.1769
2
2.162
3.461
1.533
3.480
w1
w1
3
2.169
3.464
1.538
3.520
1.5718
38.5392
4
2.175
3.467
1.541
3.550
样重
样重
5
2.180
3.469
1.542
3.558
0.6782
0.6377
6
2.185
3.470
1.544
3.561
点火丝
7
2.190
3.471
1.546
3.568
l2
l2
8
2.194
3.472
1.547
3.570
20
20
9
2.198
3.473
1.549
3.575
l1
l1
10
2.203
3.475
1.550
3.572
16
5.8
消耗
消耗
4
14.2
初段斜率
初段截距
初段斜率
初段截距
0.0051
2.153
0.0023
1.529
末段斜率
末段截距
末段斜率
末段截距
0.0018
3.458
0.0131
3.467
升温中点
12
升温中点
12.5
中点低温
中点高温
中点低温
中点高温
2.215
3.480
1.558
3.625
温升
1.265
温升
2.066
水值j/℃
14191
热值 j/g
45920
4 实验讨论 固体样品为什么要压成片状？ 答：压成片状易于燃烧，和氧气充分接触，且易于称中。
2． 在量热学测定中，还有哪些情况可能需要用到雷诺温度校正方法？
二、实验要求
测量结果的相对不确定度不超过5%
三、物理模型的建立及比较
初步确定有以下六种模型方案：
方法一、用打点计时器测量
所用仪器为：打点计时器、直尺、带钱夹的铁架台、纸带、夹子、重物、学生电源等.
利用自由落体原理使重物做自由落体运动.选择理想纸带，找出起始点0，数出时间为t的p点，用米尺测出op的距离为h，其中t=0.02秒×两点间隔数.由公式h=gt2/2得g=2h/t2，将所测代入即可求得g.
方法二、用滴水法测重力加速度
调节水龙头阀门，使水滴按相等时间滴下，用秒表测出n个(n取50—100)水滴所用时间t，则每两水滴相隔时间为t′=t/n，用米尺测出水滴下落距离h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法三、取半径为r的玻璃杯，内装适当的液体，固定在旋转台上.旋转台绕其对称轴以角速度ω匀速旋转，这时液体相对于玻璃杯的形状为旋转抛物面
重力加速度的计算公式推导如下：
取液面上任一液元a，它距转轴为x，质量为m，受重力mg、弹力n.由动力学知：
ncosα-mg=0 (1)
nsinα=mω2x (2)
两式相比得tgα=ω2x/g，又 tgα=dy/dx，dy=ω2xdx/g，
y/x=ω2x/2g. g=ω2x2/2y.
.将某点对于对称轴和垂直于对称轴最低点的直角坐标系的坐标x、y测出，将转台转速ω代入即可求得g.
方法四、光电控制计时法
调节水龙头阀门，使水滴按相等时间滴下，用秒表测出n个(n取50—100)水滴所用时间t，则每两水滴相隔时间为t′=t/n，用米尺测出水滴下落距离h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法五、用圆锥摆测量
所用仪器为：米尺、秒表、单摆.
使单摆的摆锤在水平面内作匀速圆周运动，用直尺测量出h(见图1)，用秒表测出摆锥n转所用的时间t，则摆锥角速度ω=2πn/t
摆锥作匀速圆周运动的向心力f=mgtgθ，而tgθ=r/h所以mgtgθ=mω2r由以上几式得：
g=4π2n2h/t2.
将所测的n、t、h代入即可求得g值.
方法六、单摆法测量重力加速度
在摆角很小时，摆动周期为：
则
通过对以上六种方法的比较，本想尝试利用光电控制计时法来测量，但因为实验室器材不全，故该方法无法进行;对其他几种方法反复比较，用单摆法测量重力加速度原理、方法都比较简单且最熟悉，仪器在实验室也很齐全，故利用该方法来测最为顺利，从而可以得到更为精确的值。
四、采用模型六利用单摆法测量重力加速度
摘要：
重力加速度是物理学中一个重要参量。地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值之差约为1/300。研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探测。
伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的幅度无关，并进一步用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。这就是单摆的等时性原理。
应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长l，只需要量出摆长，并测定摆动的周期，就可以算出g值。
实验器材：
单摆装置(自由落体测定仪)，钢卷尺，游标卡尺、电脑通用计数器、光电门、单摆线
实验原理：
单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。在摆长远大于球的直径，摆锥质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边(很小距离，摆角小于5°)，然后释放，摆锥即在平衡位置左右作周期性的往返摆动，如图2-1所示。
f =p sinθ
t=p cosθ
p = mg
l
图2-1 单摆原理图
摆锥所受的力f是重力和绳子张力的合力，f指向平衡位置。当摆角很小时(θ<5°)，圆弧可近似地看成直线，f也可近似地看作沿着这一直线。设摆长为l，小球位移为x，质量为m，则
sinθ=
f=psinθ=-mg =-m x (2-1)
由f=ma，可知a=- x
式中负号表示f与位移x方向相反。
单摆在摆角很小时的运动，可近似为简谐振动，比较谐振动公式：a= =-ω2x
可得ω=
于是得单摆运动周期为：
t=2π/ω=2π (2-2)
t2= l (2-3)
或 g=4π2 (2-4)
利用单摆实验测重力加速度时，一般采用某一个固定摆长l，在多次精密地测量出单摆的周期t后，代入(2-4)式，即可求得当地的重力加速度g。
由式(2-3)可知，t2和l之间具有线性关系， 为其斜率，如对于各种不同的摆长测出各自对应的周期，则可利用t2—l图线的斜率求出重力加速度g。
试验条件及误差分析：
上述单摆测量g的方法依据的公式是(2-2)式,这个公式的成立是有条件的，否则将使测量产生如下系统误差:
1. 单摆的摆动周期与摆角的关系，可通过测量θ<5°时两次不同摆角θ1、θ2的周期值进行比较。在本实验的测量精度范围内，验证出单摆的t与θ无关。
实际上，单摆的周期t随摆角θ增加而增加。根据振动理论，周期不仅与摆长l有关，而且与摆动的角振幅有关，其公式为：
t=t0[1+( )2sin2 +( )2sin2 +……]
式中t0为θ接近于0o时的周期，即t0=2π
2.悬线质量m0应远小于摆锥的质量m，摆锥的半径r应远小于摆长l，实际上任何一个单摆都不是理想的，由理论可以证明，此时考虑上述因素的影响，其摆动周期为：
3.如果考虑空气的浮力，则周期应为：
据有关调查显示，近年来全国大学生中因精神疾病退学的人数占退学总人数的54.4%，有28%的大学生具有不同程度的心理问题，其中有近10%的学生存在着中等程度以上的心理问题。由此，培养积极健康的心理品质就显得尤为重要。
积极心理品质是积极心理学的核心概念，是个体在先天潜能和环境教育交互作用的基础上形成的相对稳定的正向心理特质。研究者们在两百种人类拥有的美德上提出了普遍著作和观点都支持的6种美德24种力量。培养积极健康的心理品质能更好地预防心理疾病，有利于塑造高素质人才。
奥尔夫音乐治疗建立在奥尔夫音乐教育体系的基础上，通过音乐的方式，刺激听觉、触觉、视觉、动觉等各种器官，参与者进行深入的思考、反应并有机会使用整个身体来表达、创造和想象。治疗活动作为一种刺激，引发对集体音乐活动的归属感和成就感。
一、研究方法
（一）研究工具
1.SCL・90症状量表
此量表包含90个项目，10个因子，每题采用5点评分，症状从无到严重分别评为1、2、3、4、5，得分越高表示症状越明显，心理健康状况越差。
2. 24项积极心理品质量表
Park和Peterson等人编制的成人版积极人格特质问卷。
3.总体幸福感量
为美国国立卫生统计中心制订的一种定式型测查工具，用来评价被试者对幸福的陈述。
4.生活满意度量表（LSR）
包括三个独立的分量表，分别是生活满意度评定量表、生活满意度指数A和生活满意度指数B。
5.结构化访谈施测对象，并对访谈内容进行分析。
（二）研究对象
均为上海某大学自愿报名参加的学生。通过量表，筛出施测对象70人，平均年龄20.5岁。分为实验组与对照组，每组男20人、女15人。实验组的成员分为五组进行，数据统一计算。对照组不做任何干预。
（三）研究程序
研究历时两个月，每周1次，共8次。治疗活动经历了三个阶段。即：自我发现阶段，自我探索、发展阶段，自我创造阶段。在治疗师的引导下，学生通过动脑、动手，运用肢体和声音全身心地感受和表现音乐。涉及目标领域包括：感知能力、完全形态、语言、交流、激发。
（四）数据处理
使用spss19.0对施测对象前后测数据进行描述性统计、独立样本t检验、方差分析、回归分析等数据处理。
（五）结果分析
采用独立样本t检验对实验组和对照组的前后测差异进行检验：前测中两组施测对象的24项积极心理品质均不存在显著差异，两组是同质的。后测中两组施测对象的创造力（t=8.31，p
（六）结论与分析
从研究的数据分析和主观评价两方面显示，通过治疗，实验组对象24项积极心理品质中的11项有显著改善，主观体验愉悦，自我能力提升。综述归纳为以下方面：
1.治疗师与施测对象之间的关系。治疗师是整个活动的核心，必须具有灵活性和熟练的专业技巧。良好的共情，会缓解成员间的不良情绪。有效的沟通，促使大家积极努力参与，并逐步享受音乐活动带来的乐趣。
2.团体活动中情绪的改善。施测对象目光从游移到肯定，表情由紧张到放松，在设想对方不友好不热情的疑虑逐步消失的同时，情绪得到缓解。“棋盘”声势活动中，施测对象的肢体在音乐伴奏中逐渐放松，利用身体各部位发出的声音拍打创作节奏。与其他小组成员进行目光接触、交流，最后将节奏重拍用与伙伴握手和相互问好替代。非言语的行为，将对自我的专注力转移到互动中，明显降低了自我困扰，有效地改善了情绪。
3.接纳与自信。对他人的接纳标志着一个人内心的开放程度，只有打开封闭的自我，才能体会到来自他人的接纳和理解。纸杯编创属于自己的节奏活动中，某个成员打错了或没接上，其他成员将鼓励的眼神传递给他。大家在相互支持下，从最初的磕磕碰碰到后来的流畅、有序。讨论中大家谈到，正因为队友敞开胸怀无私的接纳，才逐步建立自信，相信自己一定能行，大胆尝试，接受挑战。
4.团队中的协作力。随着音乐治疗活动的深入，施测对象彼此间的信任关系不断建立。例如：五个小组分别为《洋娃娃和小熊跳舞》的旋律即兴编创伴奏。如何突破常规思维，从其他小组中脱颖而出成为讨论重点，分歧矛盾不断产生。如何找寻团队和个人创作的突破口就显得尤为重要。大家意识到勇于面对分歧，齐心协力，积极寻找解决方法，互相理解包容，矛盾分歧调和的同时，彼此间的感情也更加深厚了。
在多元化的社会思潮和社会压力下，处于青春期的大学生或多或少的存在各种各样心理健康问题，加强大学生心理健康教育工作是新形式下全面实施素质教育的重要举措，是高等学校德育工作的重要组成部分。研究显示，音乐这种非语言交流的艺术形式，在告别传统艺术欣赏和审美领域外，应用于心理治疗领域，在愉悦身心的同时，收到了良好的治疗效果。充分发挥、利用音乐的最大效能，引导学生积极健康成长，在主动参与治疗活动的过程中，培养团队协作能力，达到宣泄情绪、自我表现、自我实现的目的。
助人为乐
在社会公共生活中,每个人都会遇到困难和问题,总有需要他人帮助和关心的时候。因此,在社会公共生活中倡导的助人为乐精神,是社会主义道德建设的核心和原则在公共生活领域的体现,也是社会主义人道主义的基本要求。助人为乐是我国的传统美德,我国自古就有“君子成人之美”、“为善最乐”、“博施济众”等广为流传的格言。人有三乐：自得其乐,知足常乐,助人为乐。把帮助别人当成自己最快乐的事情,是博爱的表现,也是社会对大学生的殷切期盼。养成助人为乐的习惯,将是一生受用不尽的精神财富。正所谓“赠人玫瑰,手留余香”,大学生应当“以团结互助为荣,以损人利己为耻”,积极参与公益事业,力所能及地关心和帮助他人。
在本次调查当中,对于社会公益活动有57.75%的人选择“经常参加”,有37.97%的人选择“没兴趣,出于任务,偶尔应付”,另外有4.28%的人选择“不参加”。参加公益活动是大学生社会公德的良好表现,它体现了一种无私奉献的精神,一种强烈的社会责任感。对于不太喜欢参与社会公益活动的同学,社会也应该给予积极的鼓励与引导。
对多媒体应用于教学，存在着两种观点:一种认为多媒体教学是一种所谓“哗众取宠”“劳命伤财”的时尚玩意儿，对教学并没有实质性的帮助。另一种观点认为，多媒体技术集文字、图像、声音、动画于一体，它有利于提高学生的学习动机，有利于更好地掌握所呈现的知识，它是教学现代化的体现。
随着高校的扩招，班级人数越来越多，如何面对这100人左右的大课，保证教学质量并努力提高教学效率，是摆在每一位外语公共课教师面前的难题。笔者于2005年试着在自己的教学班中率先应用多媒体教授外语，摸索外语教学中多媒体应用的价值与方法。
一、多媒体教学模式有效性实验研究
1.实验阶段一。
研究假设:从短期授课效果(一个学期)来看，和传统教学模式相比，多媒体教学模式更能促进公共外语的大班授课。
研究对象:2005年9月，江苏教育学院决定对2005级普本新生的大学英语教学实行了分层次教学，即将学生按文理科及高考英语成绩进行分班教学。共分出6个教学班，A1，B1，B2是文科班，A2，B4，B5是理科班，其中A1(65人)，A2(60人)班学生的人学成绩(即高考英语成绩)在120分以上，B1(78人)，B4(70人)班学生的人学成绩为110一119分，B2(77人)，B5(70人)班学生的人学成绩在110分以下。B2，B4班的大学英语教学使用了多媒体教学模式，为实验班，其他4个班为实验的对照班(按高考英语成绩与实验班同水平的B1，B5为对照班1;而高考英语成绩好于实验班的A1，A2为对照班2)，使用的是传统课堂教学模式。即:B2，B4(高考英语成绩120分以下)。多媒体教学模式。实验班(147人);B1，B5(高考英语成绩在120分以下)*传统教学模式一对照班1(148人);A1，A2(高考英语成绩在120分以上)。传统教学模式。对照班2(125人)。
实验材料:实验班及对照班均使用的是大学英语新教材《新视野大学英语》第一册(外研社)。实验班的每节英语课均使用多媒体进行授课(多媒体教案附后)，而非实验班则没有采用。
实验时间:这是个为期一个学期的教学实验，时间为2005一2006学年第一学期。
数据收集与统计:收集了2005级实验班，对照班共6个教学班2005 - 2006学年第一学期的学生学业成绩，包括期中、期末和总评成绩，并将所有数据录入电脑并用SPSS软件进行统计分析。
数据统计及结果:由于实验班与对照班1学生的高考英语成绩没有显著性差异，且实验班高考英语成绩还略低于对照班1(M实验=107. 46
注:*P
由于实验班与对照班2学生的高考英语成绩有显著性差异(M实验二107. 46 < M对照班2=123. 38 ，**P=0.000
注:*P < 0. 05;**P
从表1我们可以看到实验班和对照班1在期中考试成绩均分分别为77. 95 ， 76. 74，虽然实验班均分高出对照班1，但没有达到显著性差异。但期末考试和学期总评两组均分分别为72. 2和68. O1 ，74. 5和71.32，P=0.000实验班
表2的结果则告诉我们在剔除了人学成绩(即高考成绩)对学生英语学业成绩的影响之后，代表两种教学手段教学效果的学生期中英语成绩的调整平均数分别为79.784和81. 774，多媒体教学模式没有显现出它的优势。但到了期末考试和学期总评，我们可以看到两组在调整了人学成绩影响后的平均分分别为75. 266和72. 752 ， 77. 073和76. 361，虽然两者没有显著性差异(p > 0. 01)，但实验班的班级平均分高于没有采用多媒体教学手段的对照班2。
为期一学期的教学实验验证了我们的研究假设，即从短期授课(一学期)效果来看，和传统教学模式相比，多媒体教学模式更能促进公共外语的大班授课。
2.实验阶段二。
研究假设:(1)从长期授课效果(3个学期)来看，和传统教学模式相比，多媒体教学模式更能促进公共外语的大班授课;(2)多媒体教学更能帮助学生在非英语专业大学英语四级考试中获得好成绩。
研究对象:由于从2005 - 2006学年第二学期开始有些班陆续采用了多媒体教学模式，所以我们选了B2班(77人)作为实验班(该班一直采用的是多媒体教学模式)，BS班(70人)作为对照班(该班一直采用的是传统教学模式)。两个班学生的人学成绩(即高考英语成绩)均在110分以下，经过统计分析实验班和对照班学生的高考英语成绩没有显著性差异(M实验=103. 96 ， M对照班=102.1 >，可以看作是同质的两组。
实验材料:实验班及对照班均使用的是大学英语新教材《新视野大学英语》一至三册(外研社)。实验班的每节英语课均使用多媒体进行授课(多媒体教案附后)，而对照班则没有采用。
实验时间:这是个长期跟踪教学效果的教学实验，为期3个学期，时间跨度为2005一2006学年第一、二学期及2006一2007学年第一学期。
数据收集与统计:收集了实验班、对照班3个学期的学生学业成绩，包括期中、期末和总评成绩，及两个班学生2006年12月参加非英语专业大学英语四级考试的成绩。并将所有数据录入电脑并用SPSS软件进行统计分析。
数据统计及结果:由于实验班有1人，对照班有2人没有参加2006年12月的四级考试，所以在进行教学效果的长期跟踪数据处理时是按实验班人数=77一1 = 76人，对照班人数=70一2 = 68人来录人的。为了检验实验班、对照班真实教学效果，我们所使用的均分是利用协方差分析剔除各班高考英语成绩、性别比例差异影响后的估计均分，即以各学期总评成绩，四级考试分数为因变量、以高考成绩、性别为协变量、以班级为自变量，利用SPSS1l. 0统计软件计算出来的。统计结果如下:
注:(1>实验班、对照班真实教学效果均分是利用协方差分析剔除各班高考英语成绩、性别比例差异影响后的估计均分。
(2)F值和显著性概率P值是以各学期总评成绩为因变量、以高考成绩、性别为协变量、以班级为自变量，利用SPSS1 l . 0统计软件计算出来的。
注:T分数是根据实验班学生的历次成绩参照全年级的478名学生历次成绩的平均分和标准差计算出的Z分数，按照lOZ+ 50转换而来的。
从表3和趋势图1中我们可以看到实验班历次英语考试成绩在年级中的相对位置呈上升趋势且上升幅度快于对照班。表4报告的是对两种教学模式真实教学效果进行协方差分析后的结果，我们可以看到，从3个学期的学期总评成绩来看，实验班的教学成效均明显好于对照班，P第一翔=0. 012 < 0. OS ，P第二翔=0. 005
为期3个学期的教学实验部分验证了我们的研究假设，即从长期教学效果看，多媒体教学模式更能促进公共外语的大班授课，但对学生的四级英语考试的促进效果不够明显。
二、分析与讨论
两次教学实验的结果都表明，采用多媒体教学的实验班英语成绩比没有采用多媒体教学的对照班上升较快，前者的教学效果要明显好于后者。根据笔者自己亲身的体验，分析出相关原因。
1.多媒体教学能促进教师深度备课。
运用多媒体教学对教师的备课是一种促进。多媒体要求用最精炼的语言突出重点并在每张幻灯片上得以体现，必然要求教师吃透教材，抓住要害。
2.多媒体教学能促进学生掌握材料。
大学英语与中学英语相比，词汇量很大，课文长，练习多，运用多媒体教学可节省大量板书时间，加大授课容量，甚至可以补充许多好的与课文内容有关的材料，促进学生对教材的理解，对知识点的掌握。
