时间：2023-03-10 15:07:29
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列方程解应用题是小学数学教学中的重要内容，也是学生在计算应用题时必须培养的能力。它渗透到小学数学的各个方面，学生从四年级就开始接触方程，必然涉及到用方程解应用题。因此，怎样列方程解应用题，下面谈谈我对列方程解应用题的几点体会。
一.什么是列方程解应用题。
列方程解应用题就是用X表示实际问题的某个未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后将未知数转化为已知数，求出问题的解答。它不同于用算术方法，算术方法是逆向思考，从实际问题推向已知条件，过程曲折，对于较复杂的三四步应用题很多学生难于理解；而用方程解应用题是正向思考，思路清晰，简明，解法统一，容易掌握。因此，掌握列方程解应用题就可以巩固数学基础知识，培养学生分析实际问题的能力有积极作用。
二.理解题意，建立合理的等量关系
1.根据关键句子确定等量关系
应用题中有些“字眼”是理解应用题的关键，这些句子中含有“一共，比……多，比……少，是……的几倍（几分之几），比……的几倍多（少） ……等术语，在解题时就可以抓住这些术语去列等量关系，把比或者是化为等号，直接根据句子的意思如：多，增加，提高，增产用加法，少，减少，降价，节约等用减法。
2.根据常用的数量关系列等量关系
在平时的学习中，我们也积累了一定的数量关系，如
行程问题 路程=速度×时间
工程问题 工作总量=作效率×工作时间
价格问题 总价=单价×数量
收成问题 总产量=单产量×数量
在分析应用题时，就可以根据这些数量关系去列方程。
3.根据数学中的计算公式列等量关系
在学习几何图形时，我们也积累了大量的计算公式，用这类知识解答的列方程解应用题时 ，引导学生找出该题所采用的某个几何图形的周长、面积、体积的计算公式，然后写出等量关系式。
4.纵观全题，列等量关系
有些应用题的等量关系，要纵观全题，通过对题目作整体上的分析，才能找出题目里的等量关系，为了便于找出该类题目里的等量关系，平时可以要求学生把题目里反映数量和数量关系的重要词语（如原来，又运进，用去，卖出，还剩等）划下来，帮助学生找出数量关系。
三.列方程解应用题的一般步骤
1.审题，弄清题目中有哪些已知条件和哪些未知条件，它们之间有什么样的关系。把未知数用字母X表示，如果还有另一个未知量也和X有关系，就要写出含有未知数的的字母表达式。
2.进行解设。有些同学平时没有养成习惯，只有方程没有解设，这是不对的。先在题目下写上“解”，打上冒号，设这个未知数为X，有单位的必须写上单位。
3.分析应用题，根据题意列出正确的等量关系。
4.解方程，求出未知数的值。如果需要算出几个量，求出未知数后，还必须用算式算出另一个量。
5.检验方程的解。可代入X的值进入算式，看一看算出来的结果是否和题中的数值相符。
6.答。算出结果后该答的必须答。这也是一种良好行为习惯的养成。
四.涉及列方程解应用题的一般题型
1.一般复合应用题
例.农场买来化肥1220千克，先用去820千克，剩下的平均施在5块地里。每块地施化肥多少千克？
思路点拨：这道题既可以用算术方法，也可以列方程。总量是1220千克化肥，用去的加上剩下的就是就是总数，或者总的减去剩下的就是用去的。
五.列方程解应用题的注意事项
1.用字母表示未知数时应另写单位，如果是复名数必须化为单名数，在解设时要写单位，但在计算出结果后面不能写单位，如果单位不统一还要统一单位。
2.在列方程解应用题时还可以通过画线段图来分析数量关系，更形象地对应用题进行分析，从而更易于得出等量关系。
（一）审：读题。首先分析题目类型，找出题中的基本量（一般是三个）、基本公式和变化过程，分清已知量、未知量及其关系，把不常见的题型转化为常见题型来处理；然后根据题中给出的过程或状态（一个或两个）找出题目中的等量关系（一个或两个）。
经常使用的分析方法：图示法（线段型或框架型）或列表法。
（二）设：根据问题设出未知数，注意把单位带正确。通常有直接设法或间接设法，特殊的还可设辅助未知数。
（三）列：将等量关系中的每一个量都用题目中的已知数和设出的未知数表示出来（列代数式），根据等量关系列出方程。注意方程两边数值单位相同，意义相同。
（四）解：解方程（解法因题而异）。间接设的问题及有多个未知数的问题不要有遗漏，紧扣题中所问的问题得出最终结果。
（五）验：检验解方程的结果是否是方程的解；将解出的结果带入题设的实际问题情境进行检验。
（六）答：根据题中所问写出回答，要完整准确。
二、应用题的基本类型及应注意的知识点
（一）行程问题：基本量和基本公式：路程=速度×时间（设甲速大于乙速）。
1.相遇问题：①同时不同地中的相等关系：甲所走路程+乙所走路程=甲乙之间的距离，甲行走的时间=乙行走的时间。②不同时不同地中的相等关系：甲所走路程+乙所走路程=甲乙之间的距离，甲行走的时间=乙行走的时间+乙先行走的时间。
2.追及问题：①同时不同地中的相等关系：甲所走路程=乙所走路程+甲乙之间的距离，甲行走的时间=乙行走的时间。②同地不同时中的相等关系：甲所走路程=乙所走路程，甲行走的时间=乙行走的时间-乙先行走的时间。
3.环形问题：①同向=追及，相等关系：甲所走路程=乙所走路程+1圈的路程。②异向=相遇，相等关系：甲所走路程+乙所走路程=1圈的路程。
4.航行问题：相等关系：顺水航行速度=静水中航行速度+水流速度，逆水航行速度=静水中航行速度-水流速度。
（二）工作量问题（工作量未知或不可求）：基本量和基本公式工作量=工作效率×工作时间。
相等关系：甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作量，甲的工作效率+乙的工作效率=甲乙合作的工作效率。
（三）配比问题：相等关系：设每一份为x，则ax+bx+…=m。
（四）溶液问题：基本公式：溶液=溶质+溶剂，溶液浓度=溶质/溶液
相等关系：甲溶液所含溶质+乙溶液所含溶质=甲乙混合溶液所含溶质，甲溶液重量+乙溶液重量=甲乙混合溶液重量。
（五）增长率问题：相等关系：a（1±x）2=m，a:基础数，x：增长率，n：时间，m：变化后量。
（六）储蓄问题：基本量和基本公式：本息和=本金+利息。
相等关系：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数×（1-20%）。
列方程解应用题的基本步骤是：审题，设元，组成代数式，找等量关系，建立方程，解方程和检验并作答，其中最为关键的就是找出等量关系列方程. 因此，列方程解应用题的思考方法，主要也就围绕怎样找出等量关系这一中心展开. 如何恰当地使用图示法、列表法、图示列表法等思维方法来对实际问题加以分析，成为解决问题的关键. 下面就自己的教学实际，结合实例介绍几种列方程的思考方法.
一、图示分析方法
例1 甲、乙两人同向而行，甲在前300米，已知甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，经过几分钟乙可以追上甲？
分析 按照题意画出图形：
从图中可以看到，乙从出发点到追上甲的地方所走的路程 = 甲从出发点到被乙追上的地方所走的路程与300米的和.
根据这个等量关系就可以列方程.
解 设经过x分钟乙追上甲. 在这时间内乙走100x米，甲走80x米. 根据等量关系“乙走的路程 = 甲走的路程 + 300米”，可以列出方程：
100x = 80x + 300.
解得：x = 15（分钟）.
答：经过15分钟乙可以追上甲.
这种分析方法通过示意图直观形象地分析了数量关系，相等关系一目了然，抓住了问题的关键，从而使列出方程变得容易掌握，使问题得到顺利解决. [1]
二、列表分析方法
例2 一个农场的两个实验小队收割小麦，甲队收小麦56000公斤，乙队收小麦43200公斤，已知乙队的麦田比甲队少40亩，但平均产量比甲队每亩多收100公斤，求每队的麦田的亩数和每亩的平均收获量.
分析 基本数量关系：
总收获量 = 每亩平均产量 × 亩数.
总收获量：
甲队：56000公斤――已知量，
乙队：43200公斤――已知量，
每亩平均产量：
甲队：未知量，
乙队：未知量，比甲队多100公斤.
亩数：
甲队：未知量，
乙队：未知量，比甲队少40亩.
如果设甲队有亩，甲队每亩平均产量为y公斤，那么乙队的每亩平均产量及亩数都可以用x，y的代数式表示出来，把它们列成下表：
根据基本关系式，即可列出方程组.
解 设甲队有麦田x亩，每亩麦收麦y公斤，那么乙队的麦亩有（x - 40）亩，每亩收麦为（y + 100）公斤. 根据题意，列出下面方程组：xy = 56000，（x - 40）（y + 100） = 43200.
整理后，得xy = 56000，xy + 100x - 40y = 47200.
以（3）代入（1），化简得x2 + 88x - 22400 = 0.（4）
由（4）、（3）得原方程组的解是：x1 = 112，y1 = 500. x2 = -200（不合题意舍去）.
当x = 112时，x - 40 = 72；当y = 500时，y + 100 = 600.
答：甲队有麦田112亩，乙队有麦田72亩；甲队每亩平均收小麦500公斤，乙队每亩平均收小麦600公斤.
可见列表分析法的特点是用列表的形式表示数量关系，找出应用题中等量关系的思考方法，就显得简明快捷，是一种特殊分析法.
三、图示列表综和分析方法
例3 甲、乙两站间的路程为360 km. 一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 km；一列快车从乙站开出，每小时行驶72 km.
（1）两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
（2）快车先开25分，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？（见原通用教材）[2]
分析 基本数量关系：
慢车行程 + 快车行程 = 两站路程 ③
（1）设两车行驶了x小时相遇，再分析相等关系③的左边和右边，便可得到下表：
这个表可以用图4-3（1）这样的示意图表示出来.
解 （1）设两车行驶了x小时相遇，那么慢车行驶了48 km，快车行驶了72 km. 根据题意，得48x + 72x = 360.
解这个方程：120x = 360，x = 3.
答：两车行驶了3小时相遇.
一、“列”中隐含有“解”，在解中发掘隐含的等量关系
对于数学应用题，不能认为只要“列”出方程式或方程式组就行了，而忽视对它的解。事实上，列方程固然重要，但解方程重要性并不逊色于列方程，许多隐含的等量关系就是在解方程的过程中启示我们而获得的。
例：从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车超过慢车12千米，快车到达乙站后25分钟之后，慢车也到达乙站。问：快车和慢车每小时各行多少千米？
解析：设慢车每小时X千米，则快车每小时走x+12千米。
依题意得：150/x-150/（x+12）=25/60
解方程得：x=60
快车的速度则为60+12=72
在求解的过程中，我们可以发掘到以下三对等量关系：一是快车和慢车所走的路程相等，二是慢车的速度加12与快车的速度相等，三是快车的行驶时间加25分钟与慢车的行驶时间相等。以据这三对等量关系，还可以把快车的速度设为y，列成方程组。依据三对等量关系，列出三个方程式，都可以达到解题的目的，从而开阔了学生的思路，达到了举一凡三的教学效果。可见“列”中隐含有“解”，而“解”又启发着我们的“列”。
二、“解”中孕育着“列”，在列中寻求最简单的方程式
解题就是解决矛盾，矛盾的转化是现实世界的普遍规律。通过“解”与“列”，的转化，使问题获得最佳解法，是求解应用题常用的数学思想方法。
例：一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快15小时，如果单独开放甲管10小时，再单独开放乙管30个小时，则可注满水池，求单独开放一个水管，甲乙两个水管各需多长时间才能把水池注满？
解析：设：单独开放乙管注满水池需要x小时，则甲注满水池需x-15个小时
由题意得方程：
10/（x-15）+30/x=1
解得
x1=10（不合题目意舍）
x2=45
x-15=30
乙注满水池需45个小时，则甲注满水池需30个小时。
该题也可以列成方程式组求解，但相对来说列成上面的方程式进而求解，最为简单易懂，老师易教，学生易懂。
三、设而不求，巧列中蕴含巧解
任何一道应用题总包含着一定的数学条件和关系，要解决宏观世界必须对题目本身进行具体、深入、透彻的分析，透过现象看本质，合理的选择未知数。同时要善于在列方程中发挥“过度未知数”的作用，设而不求，从而使复杂的问题变得简单明了，陌生的问题变得熟悉，使问题得到巧解。
例：有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解析：若直接设一次可以运货x吨，则列方程较为繁难，而若设一辆大车一次可以运货x吨，一辆小车一次可运货y吨，则依题意可得方程组：4x+6y=15.5；5x+6y=35
在解题的过程中，常用的解法是先分别求出x、y 的值，再进而求出3辆大车和5辆小车的运货量，但由于本题要求的结果就是（3x+5y）的值，因此我们不必去分别求x、y的具体值，这就是设而不求，而是巧妙的采用从整体着眼的思想，直接求出其结果，这样就有了下面的巧解：
方程式1*7-方程式2，得方程式3：9x+15y=73.5
方程式3/3，得3x+5y=22.4
从学习具体的、确定的算术数，到学习用抽象的字母表示数；从列算式到列方程；从应用题的算术解法到方程解法，每一步都有转折，都要有过渡。所以在低年级要提前做好铺垫，以转折为契机，使学生在认识上与方法上都能上升一个等次。教师只要细心研读教材，就会发现在低年级教材中已经大量渗透代数思想。比如求未知加减乘除这样类型的题目：有7个橡皮，再放几个，就有11个？在允许学生充分表达自己的想法后，引导学生列出这样的等式：7+？=11。教师借助实物或图片把11个橡皮分成7个与4个，等式就变成：7+？=7+4。教师一定要充分利用了教材中的有效例子，为学生创造“倒着想”的机会，让“=”在学生的头脑中变成“双向”的，这样潜移默化地就把代数思想和算术思维有机地结合在一起，学生思考问题的方式从单一走向多元，打破了传统的单一计算的思维格局。
二、中年级重视指导，培养实际解题能力
1.培养学生构建代数式的能力
根据提供的已知条件，学生能够正确迅速列出代数式，这是列方程解应用题的基础。小学数学教师可以尝试以数学语言为中介对学生进行强化训练，把日常语言转化为代数式，强化构建代数式的能力。比如：“男生比女生的2倍少12人”，先转化为数学语言“比某数的2倍少12”，再转化为代数式，“2x-12”。这样2次转化的实际意义就是学生理解每个代数式都有其实际意义，这样就能够解决了设哪个未知量为X的难题，同时也培养了学生把实际问题抽象为数学问题的能力。
2.培养学生寻找等量关系的能力
分析数量关系是列方程解应用题的关键。因此在教学中着力培养学生寻找等量关系的能力是列方程解应用题教学的重点。比如较为常见的是利用线段图寻找等量关系。通过找线段图，能够比较形象地画出和理清题目中的等量关系。比如：
小王和小张相约到公园，两人以不同的方式出发，经过45分钟相遇。已知两人相距10千米，小王乘坐的公交车每小时行30千米，小张开电瓶车每小时行多少千米？解这样的题目首先要设小张开电瓶车每小时行X千米。通过分析，不难看出多种等量关系，引导学生画线段图，列方程所必须的条件很快呈现在学生面内，学生的视觉也参与了解题过程，最大的好处就是避免了失误。看了线段图后，学生很容易从6个等量关系中找出“公交车的路程+电瓶车的路程=总路程”这一等量关系，并列出相应的“0.75×30+0.75X=10”方程。这个例子也充分证明线段图在列方程解决问题中的实际效用，当然还有其他的方法，目的也就是使得抽象的问题能够更加具体。
3.训练学生列方程和解方程的能力
列方程解应用题常见的有综合法和分析法两种方法，都要和等量关系紧密结合。综合法列方程是常见的列方程的方法，首先假设题目中某一未知数为x，根据这个数与题目中其他的已知数、未知数的关系，列出相应的代数式，然后再找出等量关系，最后就可以列出方程，也就是用“=”连接有这个等量关系的代数式。分析法列方程首先要求学生能够找出题目中最明显的两个等量关系，然后再分析这两个量分别与其他已知数、未知数的关系，再进一步推导出最后一个未知数关系，即假设此未知数为x，带进上式的关系中，就能够得到两个相等的代数式，方程也能够列出。因此，找准等量关系在列方程解应用题中有着非常重要的作用。在实际解方程时，要引导学生充分利用等式的性质，这样就能够提高解方程的正确率。学生一旦掌握了列方程和解方程的方法，自然也就消除做这类题目的障碍，做题目的成功，也能够激发学生学习数学的兴趣。
三、高年级对比强化，感受方程解题的优越性
教学难点
通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．
教学过程
一、复习准备．
1．求未知数．
×＝
－＝
÷＝1
－＝
÷＝1
－＝
解方程求方程的解的格式是什么？
2．找出下列应用题的等量关系．
①男生人数是女生人数的2倍．
②梨树比苹果树的3倍少15棵．
③做8件大人衣服和10件儿童衣服共用布31.2米．
④把两根同样的铁丝分别围成长方形和正方形．
我们今天就复习运用题目中的等量关系解题．（板书：列方程解应用题）
二、复习探讨．
（一）教学例3．
一列火车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一列货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，经过4小时相遇，甲乙两站的铁路长多少千米？
1．读题，学生试做．
2．学生汇报（可能情况）
（1）（90＋75）×4
提问：90＋75求得是什么问题？再乘4求的是什么？
（2）90×4＋75×4
提问：90×4与75×4分别求的是什么问题？
（3）÷4＝90＋75
提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？
（4）÷4－75＝90
提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？
（5）÷4－90＝75
提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？
3．讨论思考．
（1）用方程解这道应用题，为什么你们认为这三种方法都正确？
（等号的左右表示含义相同）
（2）列方程解应用题的特点是什么？
两点：
变未知条件为已知条件，同时参加运算；
列出的式子为含有未知数的等式，并且左右表示的数量关系一致
（3）怎样判定用方程解一道应用题是否正确？（方程的左右是否为等量关系）
4．小结．
（1）小组讨论：用方程解应用题和用算术方法解应用题，有什么不同点？
（2）小组汇报：
①算术方法解应用题时，未知数为特殊地位，不参加运算；用方程解应用题时，未知数与已知数处于平等地位，可以参加列式．
②算术方法解应用题时，需要根据题意分析数量关系，列出用已知条件表示求未知数的量；用方程解应用题时，根据题目中的数量关系，列出的是含有未知数的等式．
（二）变式反馈：根据题意把方程补充完整．
1．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一辆货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站．经过多少小时两车相遇？
2．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车从甲站开往乙站，同时有一辆货车从乙站开往甲站．经过4小时两车相遇，客车每小时行90千米，货车每小时行多少千米？
教师提问：这两道题有什么联系？有什么区别？
三、巩固反馈．
1．根据题意把方程补充完整．
（1）张华借来一本116页的科幻小说，他每天看页，看了7天后，还剩53页没有看．
_____________＝53
_____________＝116
（2）妈妈买来3米花布，每米9.6元，又买来元毛线，每千克73.80元．一共用去139.5元．
_____________＝139.5
_____________＝9.6×3
（3）电工班架设一条全长米长的输电线路，上午3小时架设了全长的21，下午用同样的工效工作1小时，架设了280米．
_____________＝280×3
2．解应用题．
东乡农业机械厂有39吨煤，已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨．剩下的煤如果每天烧1.1吨，还可以烧多少天？
小结：根据同学们的不同方法，我们需要具体问题具体分析，用哪种方法简便就用哪种方法．
3．思考题．
甲乙两个港相距480千米，上午10时一艘货船从甲港开往乙港，下午2时一艘客船从乙港开往甲港．客船开出12小时后与货船相遇．如果货船每小时行15千米．客船每小时行多少千米？
四、课堂总结．
通过今天的复习，你有什么收获？
五、课后作业．
1．师傅加工零件80个，比徒弟加工零件个数的2倍少10个．徒弟加工零件多少个？
2．徒弟加工零件45，比师傅加工零件个数的多5个．师傅加工零件多少个？
六、板书设计
解一元二次方程解应用题的一般步骤可分为“审、找、列、解、答”五步骤。
（1）审，即审题。在应用题教学中，学生要想正确、快速地解答应用题，必须要掌握科学的审题方法。首先要仔细读题，吸收题设中的信息，去粗取精，把具有一定意义的关键词、句、式找出来，细细品读，认真分析，深入挖掘隐含的信息，捕捉题目中的数量关系。其次要抽象数学模型，将题目类型化。数学应用问题千变万化，教师要引导对题目进行分析、概括、抽象，将实际问题抽象成数学问题。针对利率、工程、行程等不同问题构建不同的数学模型，如本息和=本金×（1+利率），工作量=工作时间×工作效率，路程=速度×时间。
（2）找，找相等关系。
①应用图式找相等关系
图式是围绕某一主题，用知识结构和框架的形式事物间的关系，它是对一类事物的抽象概括，可以用来组织零散的信息和数据。使用图式解决问题，将人置身于问题情境，通过感官接收信息，经过过滤、分析、加工，寻求问题的本质。
例如，某商场五月份的销售额为300万元，六月份的销售额下降了10%，商场从七月份开始改变了营销策略，销售额稳步上升，八月份的销售额达到了330.75万元，求这两个月的平均增长率。
通过图表可以看出：六月份=300×（1―10%），七月份=六月份×（1+x），八月份：七月份×（1+x）=550.75
②应用表格找相等关系
教师可以借助二维表格来收集和提炼信息，使复杂的数据关系能清晰直观地显示出来。表格从形式上看整齐规范，从内容上看数据对比一目了然，适用于行程、工程、浓度等问题。如李明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入银行（教育储蓄，免税），到期后将本金和利息取出，并取其中的500元捐给希望工程，剩余的又全部按一年期存入，此时存款利率上调至第一次年利率的120%，这样到期后，可得本息和540.75元，求第一次存款时的年利率。
本 金 利 息 本息和
第一年 1000 1000x 1000×(1+x)
第二年 1000×(1+x)―500，即500+1000x （500+1000x）×（1+1.2x） 540.75
通过表格可以看出：第二年本金+第二年利息=第二年本息和
（3）列，列方程。根据这个相等关系列出代数式，进而列出方程。
（4）解，解方程。解这个方程，求未知数的值。解一元二次方程的方法一般有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，可以根据实际情况选择最简单的方法。
（5）答。要对求出的解作出是否正确、合理的判断，要判断根是否准确，是否符合实际意义。如一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。设该铁皮的长为x，列方程（x-10）×(2x-10) ×5=500 解得x1=15，x2=0。显然0不合题意，舍去。经判断后，选择合适的答案作答。
二、一元二次方程应用题例析。
1、增长率问题。市政府为解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某药品经过两次降价后，由每盒250元下调至160元，则这种药品平均每次降价的百分率是多少？
[分析]：一元二次方程一般涉及到两次增长率的问题，第二次看作是在第一次基础上的增长。设平均每次降价的百分率为x，则有250（1―x）2=160
2、定价类问题。某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每价商品售价m元，则可卖出（320―10m）件，但物价局限定商品的利润不得超过20%，商品计划要盈利270元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
[分析]：在此题中，每件销售可盈利（m―20）元，则销售利润为（m―20）（32―10m）元，则可列出方程（m―20）（32―10m）=270，解得x1=23，x2=29（超过20%利润，舍去）
3、行程类问题。A、B两地相距36km，甲骑自行车由A向B出发，40分钟后，乙以每小时比甲快2km的速度骑自行车由B向A出发，两人在距离B点16km处相遇，问甲、乙的速度各是多少？
[分析]：行程类问题包括相遇、追击、环形跑道等内容，基本数量关系为行程=速度×时间。此题属相遇类题目，两人的行程和等于总路程，甲的时间=乙的时间+ 小时，设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为（x+2）km/h。由此列出方程： ，解得x1=10，x2=―6（不合题意，舍去）。乙的速度为：x+2=12km/h
4、面积问题。某农场要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长16米），另三边用木栏围成，木栏长35m。如果鸡场的面积是150m2，请问鸡场的长和宽各是多少？
[分析]：面积类问题隐含着面积计算问题，如长方形面积=长×宽。木栏围成长方形的长×宽=150，设靠墙的一边长为xm（0
在边远落后的山区，数学老师有着共同的感受，低年级学生大部分喜欢学习数学，高年级学生大部分厌倦数学，随着年级的升高喜欢数学学习，能轻松学习数学的学生越来越少。这种现象是什么原因导致的呢？这是因为年级越高，数学应用问题越多，对学生学习数学的智力和思维能力，分析能力要求越高，要学好数学，必须突破列方程这道难关，要突破这难关，学生不仅需要坚实的的知识基础，而且更重要的是，需要学生具有与之相适应的理解问题，分析问题和解决问题的能力。要具备这些能力，不仅需要学生狠下功夫，多花时间主动去学习数学，而且需要老师具有科学性的教学方法。为了提高数学教学质量，教师应该设法诱导学生产生学习数学的兴趣，激发学生积极地主动地去学习数学。三十年来，我在进行初中数学应用题教学过程中采用了以下教法，收到了较好的教学效果。
1.实际问题中常见的等量关系，加深学生对所学知识的印象
由于学生往往对实际问题的理解力不够强，所以在列方程时往往感觉十分困难。因此，在进行应用题教学时结合举例，不断总结实际问题中常见的基本等量关系，使学生更加熟悉和掌握。例如：
百分数问题：分量／总量＝百分数
行程问题（匀速）：路程＝速度×时间
工程问题：工程总量＝工作效率×工作时间
常见的平面图形，几何体的面积，体积公式。
溶液稀释问题：溶质＝溶液×浓度等
由基本的等量关系，加以变形，可以得到相应的其它等量关系，例如：由工程问题的基本等量关系：工作总量＝工作效率×工作时间，可得：工作效率＝工作总量／工作时间，工作时间＝工作总量／工作效率等等量关系。对于常见的基本等量关系，要让学生真正理解它们的数学意义，设法防止死记硬套。
2.将代数解法与算术解法作比较
让学生了解代数解法的基本思路和优点，同时了解一题多解的意义，引导学生理解列方程解应用题的过程就是要把问题中的数量关系，平铺直叙，直截了当地用等式表示出来，在代数解法中可以运用方程的同解原理进行变形来实现应用题的解决。
3.抓住数量关系及列方程两个关键进行教学
列方程解应用题一般需突破以下两点：一是设所求量为未知数X，并把其它的未知量用X的代数式表示出来；二是识别反映等量关系的语言，以此寻求题中的等量关系，并选择一个适当的数量关系，简便地列出方程。如何突破以上两点呢？从实践的角度看，在应用题教学中要紧紧抓住分析数量关系和列方程这两个关键环节。
例如：从A地到B地有142千米，一人步行从A地到B地每小时走24千米；此人走了半小时后，另一人从B地跑步向A地每小时35千米，跑步的人几小时后与步行的人相遇？
此题应引导学生按下列步骤进行。
第一步：教师和生一起分析题上的已知量和未知量，并用已知量和未知量列出有关代数式：
A、B两地的路程142千米。
步行人速度为24千米／小时。
步行人先走1／2小时
跑步的人速度为35千米／小时。
所求跑步人的时间为X小时。
第二步，结合图例，把能够导出的数量用已知量未知量表示出来，其中提示学生注意运用行程问题的基本等量关系，路程＝速度×时间。
图例：
结合图例，很容易列出有关代数式：
步行人所用时间（X+12）小时；
步行人行程24 （X+12）千米；
跑步人行程35X千米；
第三步：分析等量关系，结合图例列出方程：
由图例明显有：
全程＝跑步人行程+步行人行程，相应的方程为：
142=35X+24(X+12)（1）
跑步人时间＝跑步人行程／跑步速度相应方程为：
X＝35X－24(X+12)35（2）
步行人时间＝步行人行程/步行速度，相应方程为：
X＝142－35X－24×12)24（3）
这样从所列的方程：（1）、（2）、（3）都可以求出跑步人的时间，但通过比较可指出方程（1）简单。
但是有的学生在列方程（2）或（3）时，列出了下面的议程：X=35X/35或X＝24X/24这是一个恒等式，求不出确定的解，对此，应向学生指出产生这种现象的原因是：在路程，速度和时间的关系上，如果有两个未知数，就无法通过“路程＝速度×时间“求得确定的解。只有当把其中的一个未知量，借助其它的等量关系与另外的已知量有了联系时，才能列出方程求得方程的解。例如，在上述列出的方程（2）中，是借助（1）的等量关系列出跑步人的
行程142－24（X+12）的。这样就使跑步人的行程与已知数142有了密切的联系，所以可求出方程（2）的解。
另外，从这一实例还可以看出，在列方程解应用题时，因为题目中常含有多个未知量，并且同一种等量关系往往可变化为其它的具体形态。因此，解题的方法多种多样，但对于落后山区初中学生来说，除了在解法上费精力下功夫外，还要把教学重点放在掌握列方程解应用题的一般的思想方法和步骤上。
4.要通过举例总结出列方程解应用题的一般步骤，让学生加深理解，深化应用
4.1 审题，弄清题意，已知什么？要求什么？各量之间有着什么样的等量关系？
4.2 设定未知量，导出其它未知量的代数表达式。设未知量的方法有两种，一种是直接法，即把所求量设为未知数；另一种是间接法，即把和所求量相关的量设为未知数。
4.3 找出适当的等量关系，列出方程。
列方程解应用题要做到“一读、二找、三列、四解、五检验、六答、”。“一读”就是读懂题意，确定哪个未知量用x表示；“二找”就是找准主要一等量关系；“三列”就是根据找到的等量关系列方程；“四解”就是解方程，求出未知数x的值；“五检验”就是把x的值代入原方程，看方程左右两边是否相等；“六答”就是写出答案。在这六步中，“二找”，也就是找准主要等量关系非常重要，是方程解应用题的关健。列方程解应用题问题时，比较困难的一环常常是同学们不知
如何着手去找等量关系。又由于应用问题类型繁多，等量关系千变万化，什么工程问题，行程问题，浓度问题，等等。那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢？下面我根据多年从教总结出来的经验来谈谈以下几种找等量关系的途径，供同学们参考。
一、根据关键字或关键词找出具有相等关系的语句直接写出等量关系
经常见到的具有相等意义量的词有：是、比、当然，像“一样”“相等”“同样”等直观意义的词更容易找出。正确分析这些关键词所表示的具体含义是找出等量相等关系的关健。
列1：甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人故是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？
分析：在本题中抓住“是”字便可发现相等关系：抽调后甲队人数=抽调后乙队人数×2，即这个“是”字便充当了等号的角色。
评注：在解答应用题时，若题目中出现诸如“几倍、共、多、少、快、慢、提前、超过、增加、相差”等关键词语时，应抓住它们进行分析，以使相等关系显现出来。
二、运用公式或定义式作为等量关系
我们学过的公式或定义式有许多，如：时间×速度=路程，单价×数量=总价，工作效率×工作时间=工作总量等，以及大量的面积、周长、体积计算公式。但是，单单掌握这些还不够，我们要学会“举一反三”，由每个公式都能退出它的任意两种变形式，如由公式：时间×速度=路程，应能退出：路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，这样我们才能说真正掌握了这个公式。
例2：商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元，商品的原价是多少元？
分析：根据公式，商品利润率=商品利润÷商品进价，
可得相等关系：10%=调价后的利润÷1600.
评注：解答应用题时，要注意分析找出不变量，即相等变量，如：两人由两地同时出发相向而行，相遇前的时间相等；等体积变形种的体积不变。
例3：初一2班第一小组同学同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩9个，若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少同学，共摘了多少个苹果？
分析：再次问题中苹果总数是不变的量，设第一小组x个学生那么苹果数目可以用（3x+9）表示，也可以用5x-（5-4）来表示。从而可以得出变量关系
3x+9=5x-（5-4）来表示。从而可以得出变量关系3x+9=5x-（5-4）。
评注：此方法常用于解决方案类型的题目，题中明显的关键词为“若”（或它的同义词）。此类题一般有两套方案，不同方案中大部分数据也不同，而我们要做的就是找出在两种方案中没有变动的数据，也就是不变量，从而列出等量关系。类似的题型还有年龄差问题（抓住年龄差不变），往返问题（抓住往返行程不变）等，请大家自己多加归纳总结。
四、画出示意图看出等量关系
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数于形是有联系的，这个联系称之为数形结合。数形结合就是把抽象过的数学语言，数量关系与直观的几何图形，位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。初中学习的“形”，暂时只涉及平面图形而我们解应用题所要用到的“形”一般是线性示意图。
例4：小明与小兵家分别在相距20km的甲、乙两地，星期天小明从家里出发骑自行车去小兵家，小明骑车的速度为13km/h。两人商定30min后，小兵从家里出发骑自行车去接小明，小兵骑车的速度是12km/h。那么小兵要骑车多久才能与小明相遇？
分析：根据题意设小兵要骑车xh才能与小明相遇，画示意图如下。
那么，很容易就可以从图上看出等量关系：
小明先走的路程+小兵出发后小明走的路程+小兵走的路程=甲乙两地的距离
评注：由上题可以看出，利用示意图可以很方便解决类似于行程方面的问题，当然我们以后将要学习的韦恩图也可以很好的用来解决有关集合方面的应用题。
五、利用正比例获得等量关系
在小学，学生就已经解除了比例，当然小学所学的比例全是正比例，也很少将其直接用于解应用题，因为正比例只有在结合几何图形时才能真正发挥出它的“威力”。由于学生暂时还没有深入学习几何知识，我们先看下正比例在代数方面的应用。
例5：已知制成腊肉的重量与所需鲜肉的重量成正比例。现已知6kg鲜肉可以制成5.25kg腊肉，那么18kg鲜肉可以制成多少千克腊肉呢？
分析：因为知道制成腊肉的重量与所需鲜肉的重量成正比例，那么我们没必要算出每kg鲜肉可以制成多少腊肉，只需了解两次制腊肉过程都符合同一正比例。
由此设可以制成x kg腊肉，由正比例知识有：
正比例方法在以后的几何学习中将会频繁的用到，届时涉及到的图形比例的有关应用题都可以用它来解决，如影子问题，测量问题等等。熟练掌握它来解题，将会受到事半功倍的效果。
结束语
方程是刻画现实世界中数量相等关系的模型。有了这些寻找等量关系的累计，学生会越来越灵活地根据具体的问题情境，寻找相应的等量关系，并能举一反三，在等量关系“多样化”的基础上，实现方法的“优化”。当然，确定等量关系的方法不止以上几种，我们在学校时要注意总结，力争找到更多更好的方法。
参考文献
【1】《世纪金榜》主编 张泉 延边大学出版社
1、列方程解应用题的意义
*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤
*弄清题意，确定未知数并用x表示;
*找出题中的数量之间的相等关系;
*列方程，解方程;
*检查或验算，写出答案。
3、列方程解应用题的方法
*综合法：先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
*分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
4、列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题：
a一般应用题;
b和倍、差倍问题;
1、列方程解应用题的意义
*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤
*弄清题意，确定未知数并用x表示；
*找出题中的数量之间的相等关系；
*列方程，解方程；
*检查或验算，写出答案。
3、列方程解应用题的方法
*综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
*分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
4、列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题：
a一般应用题；
b和倍、差倍问题；
