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【中图分类号】O13-4
数学史是研究数学学科产生、发展历史的学科，它是数学的一个分支，又是科W史的一个分支，它是数学和历史的交叉学科，涉及社会学、经济学、哲学以及自然科学等。它以数学发展进程与规律为研究对象，追溯数学的渊源、进展，并在一定程度上可以预见到数学的未来。透过数学史，可以认真探索先人的数学思想，而这往往比掌握单纯的数学结论更为重要，更有意义。
一、数学史对数学教学的意义和作用
1. 活跃课堂教学气氛，激发学生学习数学的兴趣
我们在学习新的内容时，学生往往会问，为什么要学习这些内容，它是如何产生的。老师若能够积极引导这种好奇心，对于激发学生的学习兴趣有着重要意义，避免学生单纯地把学习变成任务来完成。因此，在教学中，适当地穿插数学史的知识来激发学生学习数学的兴趣是行之有效的手段。可以根据课题内容，适当插入一些简短的历史知识就可能引起学生的注意。激起他们的兴趣，唤起他们学习的主动性和创造性。
2. 培养学生的创新精神
古人说“读史可以明智”，“智”的意思是启迪，开发智力。数学是人类理性文明高度发展的结晶，体现出巨大的创造力。在数学教学中，讲历史能增进数学教学的生动性和趣味性，培养学生的科学精神，这已为所有数学教师所认同和重视。数学史上三次危机的产生与解决，无不体现了一代一代数学家敢于运用创造性思维挣脱旧框框的束缚，为追求真理而不断探索的精神。数学史中包含大量的创造性思维形成和发展的案例且内容与数学教材密切联系。所以需要教师认真设计，穿插在教学中，不仅能使教材内容更加生动，而且也是培养学生创新精神的好方法。
3. 数学史有利于学生了解数学的应用价值和文化价值
数学作为人类文化的重要组成部分。数学教学应当反映数学的发展历史和以后的发展趋势；数学对推动社会发展的作用；以及数学的社会需求；社会发展对数学自身的促进作用；数学科学的思想体系在人类文明史中的地位和作用。所以，数学史的介绍和学习担当着不可替代的角色。一般来说，学生对数学在自然科学中的应用具有一定的认识和了解，而对数学在人文社会科学中的作用认识相对不足，数学史可在这方面提供大量事例。如数理语言学、数理战术学、数理经济学的建立等等，都反映了数学科学的人文价值，通过这些数学史的介绍，能够帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，树立正确的数学观，体会数学的应用价值和人文价值。
4. 数学史教育有利于提高学生的综合文化素质
随着社会信息化和高科技发展的步伐日益加快，新的世纪的竞争是人才的竞争，而人才水平的高低在很大程度上取决于其综合文化素质的水准。这就要求文理渗透，多学科交叉与兼容，数学史教育正好能够起到很好的桥梁作用。首先，数学史是一门综合学科，它以数学概念的产生和数学理论的形成发展为主线，涵盖了自然科学、人类思想、社会历史、天文历法、地理经济、哲学政治、文学艺术、宗教习俗乃至法律和军事等方方面面。再者，数学史能把数学教育的求真跟人文教育的求美有机地结合起来，大幅度地提升学生的精神境界。例如，我国魏晋时代刘徽为求球体积设想的牟合方盖，南宋数学家杨辉撰续古摘奇算法将三阶纵横图逐阶扩广到十阶的纵横图式等显示出我国古典数学的外层次的形态美。
数学的发展，与哲学的关系也非常密切。古今中外，许多数学家也是大哲学家，如古希腊数学家柏拉图，现代数学家罗素等都是通晓数学与哲学的大家。而且数学史中有很多东西都具有很强的哲学思想，通过数学史的学习，能使学生受到深刻的哲理教育。
5.有利于学生树立科学品质，培养良好的科学精神
奉献、怀疑、创新、求实、对美的追求等等，这些都是科学精神。但不能把这些当成教条，我们必须得通过具体的事实、生动的材料，让学生体会什么是科学精神，怎样培养科学精神。而数学史在这方面可以发挥很好的作用。
二、如何把数学史融于高数课堂教学
数学史的应用，必须始终紧扣教学内容，通过对数学史的描绘和论述，使其有机地渗透到知识的载体中，使学生形成数学思维的方法，并使学生认识到数学的优越性，以丰富学生关于数学发展的知识，进一步激发学生对数学的兴趣。
1. 穿插相关的数学故事，借以发挥激励和榜样作用
数学家的品德修养、高尚的情操和追求真理时所表现的奉献精神；在数学研究中的甘苦劳动与科学精神；数学家的成长与发展道路等，所有这些给人的启迪与教育，甚至超过了数学知识本身。数学作为一种在艰难困苦中探索未知的事业，需要的是献身精神和非世俗的幸福观。所以，科学上的后来者不仅要用前人创造的知识丰富自己，还要用先辈的精神武装自己。
例如在讲到麦克劳林公式时，可以顺势引入主人公的身历，麦克劳林这位著名的数学家一生是很传奇的，他11岁考上大学，15岁取得硕士学位，19岁主持马里沙学院数学系。他一生中第一本重要著作在他21岁时发表，27岁时，他成为了爱丁堡大学数学教授的助理。很多老师在讲到欧拉方程时会讲到欧拉的故事，讲这个故事可以启发学生思维，让学生感触良深，从而激励自己努力学习。欧拉是历史上写论文最多的数学家，但在他28岁时噩运降临在他身上：一只眼睛失明；在56岁那一年，欧拉双目失明，妻子逝世，这样的双重打击并没有减少他对数学的热忱，他依然在奋斗。通过口述，他儿子记录的形式计算，他坚持了20年直到最后一刻。
2. 揭示数学发展的曲折历程，培养探索精神
深刻领会导致科学家发现科学生长点的各类创造性的理性表现，对增强学生科学发现的思想素质具有重要的意义。在介绍牛顿一莱布尼茨公式时，可以讲述牛顿和莱布尼茨的追随者之间的争论。双方对于微积分发明的优先权问题进行了激烈争论，导致英国与欧洲大陆国家在数学发展上意见分歧，时间长达上百年。优先权的争论阻碍了数学发展进程，这无疑是科学史上的不幸。
数学的教学，不能局限于演示现成的结果，必须既给学生指出创造性探索的困难，也指出克服科学中这些困难的途径，使学生置身于现实问题的面前。所有@些，都将是对于学生们能独立工作和创造性探索的促进。
3 .课堂渗透历史发展的思想方法，强化数学素质教育
比如初学高等数学时，大部分同学会对极限，连续等概念不是很理解，甚至觉得有些“多此一举”，因为很直观的概念，却要用枯燥的“ε-δ”语言等来定义。这时，通过渗透数学史解释其严格定义的重要性是很好的方法。18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但1734年，英国哲学家、大主教贝克莱将矛头指向微积分的基础―无穷小的问题，他发表了《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，提出了所谓贝克莱悖论。其中对牛顿做了违反矛盾律的手续“他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去”的做法提出了质疑，导致了数学史上的第二次数学危机。直到19世纪20年代，微积分的严格基础才得到一些数学家的关注，在经历了半个多世纪，矛盾基本上解决了，而且为数学分析奠定了严格的基础。
通过对数学家特有的思想方法的考察可以使我们对数学有更进一步的了解；了解数学概念、数学理论、数学问题及求解的来龙去脉，而不至于在抽象神奇的外表之下，感到神秘莫测了。通过揭示数学思想从孕育、发生、发展、飞跃到转化为科学理论的全过程，可以从中吸取带有普遍意义的认识论和方法论的营养。
大多数学生对数学存在畏惧心理，归其原因，一般有两个：数学很抽象，逻辑很严密；公式的记忆和习题练习使学生觉得数学枯燥无味。数学史则是激发学生学习兴趣的一个很好的载体。高等数学课程中融入数学史需要注意的两点：（1）结合课程，以史为线。数学史可以作为讲课的线索，但不必去重复数学史。我们需要的是少走弯路，更重要的是当课堂结束后，学生不仅要有该门学科的历史认识，也要掌握该课的要点。（2）史不宜繁，点到为止。不可大篇幅讲述数学史，偏离了教学重点，把学生思维带到历史研究上去，而是要把数学史与数学内容巧妙结合，而史料应简明扼要。
总而言之，要想把数学教育做好，就必须和数学史结合。只有深入到学生的数学学习过程中去，找到数学史中数学思想方法发展和学生学习数学过程中认识变化的接合点，才能真正体现数学史的教育价值。
极限是高等数学中起着基础作用的概念，在某程度上可以说高等数学的整个体系都建立在这一概念的基础之上. 而极限思想则是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想作为一种数学思想，从其远古的思想萌芽，发展到现在完整的极限理论，其发展道路上布满了历代数学家们的严谨务实、孜孜以求的奋斗足迹。也是数千年来人类认识世界和改造世界的过程中的一个侧面反应，亦是人类追求真理、追求理想、创新求实的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
极限思想是微积分学的基本思想，数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都需要借助于极限来加以定义。 微积分则是现代数学的基础，要学好微积分，就应该了解极限思想，学会用极限思想来理解这些概念，进而把微积分学知识应用于日常生活和生产实践中，体会数学源于生产实践，服务于生产实践的事实。但是，极限思想较为晦涩，一向被视为是一难于理解的数学概念，若在教学中，加入一些涉及极限思想的故事及发展历程，则会有利于学生了解极限思想与微积分学之间的关系，从而加深对其概念的理解。
极限思想的发展，总数起来可认为有三个阶段：
阶段一，小荷才露尖尖角，朴素极限思想的出现。与所有的科学思想方法相同，极限思想同样是社会生产实践的产物。追溯到古代，战国时庄子与其弟子所著的《庄子》一书中的《庄子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 即：若取一根一尺长的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永远也不能取尽。此说法认为物质是可以无限分割的，其中蕴含了朴实的极限思想，具有很高的学术价值，但却偏重于哲学的角度，与数学的联系还没有建立。而三世纪的刘徽的 “割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，公元五世纪祖冲之计算圆周率的方法、公元前五世纪希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题创立的“原子论”、公元前三世纪古希腊诡辩学家安提丰在求圆面积过程中提出的“穷竭法”等等问题中，在蕴含了最原始的朴素的极限思想的同时，开始从数学角度思考问题。
16世纪时，荷兰的数学家斯泰文在三角形重心的研究中，改进了由欧道克斯提出的“穷竭法”，借助几何图形的直观性，利用极限思想考虑问题，并在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”，但却没有脱离当时的社会实际。
阶段二，极限思想在数学上的正式提出，改善和发展阶段。极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联。16世纪的欧洲，资本主义正处于萌芽时期，生产力得到极大的发展。随着生产力的发展，生产和技术中出现了大量的问题，只用初等数学的方法根本无法解决，例如描述和研究变速直线的过程、曲边梯形的面积等等。这些问题的解决需要数学突破只研究常量的传统范围，这些是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
当牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分时，遇到了逻辑困难。牛顿在描述作变速运动的物体在某一时刻t时的瞬时速率时，用路程的改变量S与时间的改变量Δt的比值ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，当Δt无限趋近于零，该比值无限趋近于一与Δt无关的常数，该常数即物体在时刻t时的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学的基本理论。在叙述瞬时速率时，他已意识到了极限概念的重要性，也想以极限概念作为微积分的基础，初步提出了极限的直观性定义：“如果当n 无限增大时，如果an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限。”但牛顿给出的极限观念与荷兰斯泰文同样也是建立在几何直观上的，这种直观的定性解释并没有给出极限的严格表述，也没有解决当时的数学危机，因此在此基础上，同时代及后起许多数学家对极限的概念进行了完善。
也是因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才会在那个时代受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果说是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，却又不能把包含着Δt的项去掉。这就是数学史上所说的无穷小悖论。在攻击微积分学的大家中，英国哲学家、大主教贝克莱的攻击最为激烈，他认为微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱激烈攻击微积分的原因有两个，首先他要为宗教服务，其次也是因为当时的微积分缺乏牢固的理论基础，即使牛顿自己也无法清楚地解释极限概念中的混乱。事实证明，严格极限的概念，建立严格的微积分理论基础，既是数学本身发展的需求，也有认识论上的重大意义。
阶段三，极限概念的定量化和数学符号表达阶段。这阶段主要指由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达极限的阶段。
19世纪，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。尽管这个定义是建筑在前人工作的基础上，但还是相对完整地阐述了极限概念及其理论。但是这个定义仍然欠粗糙，说用语句中的“无限接近”、“要多小就有多小”等都只能给人一种模糊的直觉，并没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观印象。
19世纪后半叶，德国的维尔特拉斯则提出了关于极限的纯算数定义，并给出了沿用至今所用的极限的符号。
极限的定义经过几代人的不断完善、严格，最终解决了微积分理论发展期所面临的强大逻辑质疑，给微积分学提供了严格的理论基础。也正是如此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。
极限思想在现代数学和物理学、天文学、化学甚至经济学、建筑学等学科中都有着广泛的应用，这也是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限又是微积分的基本概念，是微积分学的直接基础，也是微积分学区别于常量数学的重要工具，二者是相辅相成、密不可分的。极限思想扩展了数学能够分析研究的范围，促进了微积分的发展和完善，而微积分学在各个学科中的应用也是源于极限思想这个坚实理论基础。
参考文献
[1]白淑珍：《对极限思想的辨证理解》[J]；《中国校外教育》2008（02）：39-40
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255
随着中国正式加入世贸组织，我国的市场将全面开放，我国的经济将真正进入世界经济的大循环。高等中医药教育和其他行业一样，将面对加入wto后政策的调整和变化，需要迎接新的挑战。我国的高等中医教育经过了几十年的风雨，发展到今天，取得了举世瞩目的成绩。进入21世纪，科学技术突飞猛进，经济全球化趋势势不可挡。在这种背景下，高等中医教育如何与时俱进，如何培养适应社会需求的高素质中医人才，中医学科如何进一步发展和创新，是值得深入探讨的问题。
1加强思想教育.树立对中医的信心和正确的中医科学观
目前中医发展的政策导向是强调用现代科学方法研究中医，实际上是要把中医“提高到西医水平”。其实西医是科学，是认识世界的一种方法;中医也是科学，是认识世界的另一种方法:应该看到中医是一种宽泛意义上的科学，是一种模糊论科学，是一种传统科学。传统科学是人类知识发展的早期，是从整体出发来认识世界而构建的“知识系统”，中医学是其典型的代表。从整体出发的世界观、认识论、方法论，集中地体现在濡家的典藉《周易》之中。只有肯定中医是科学的，按照中医的本来面目，评价并确定中医的价值，才能让人们认识到中医是民族和世界宝贵文化遗产，值得发扬光大，才会有更多的人关心中医，投入到中医的复兴事业中来。
如何引导学子树立对中医的牢固信心，是中医教育的根本任务，也是衡量中医教育成败的标准。加强中医院校在校生的思想教育，通过医学伦理课，各种讲座等方式，明确学习目的，使之产生紧迫感和责任感，从而以满腔热情投入到中医的学习和工作中去。学好中医对于大多数学生是有相当难度的，通过医学史、思想道德修养、医学伦理学等课程的学习和其他辅助手段让学生深切体会中医的价值，培养学生坚韧不拔的学习韧劲和敢于迎难而上的精神至关重要。
2遵从中医的理论体系.科学设置课程
几十年来中医教育上的问题，主要是课程设置没有严格遵照中医药学的知识结构体系中医知识结构包括4个层次的内容。第一，以中国春秋一秦汉之际的文、史、哲和其它学科知识为基础而形成的文化观念与思维方式。第二，以《黄帝内经》、《神农本草经》、《伤寒杂病论》及以温病学为代表的经典医著，确立了中医药学的概念、范畴体系，奠定了中医药学辨证论治的原则和范式第三，《伤寒杂病论》、温病学以及出于历代临床医家之手的代表性医著，是中医临床医学的核心第四，以中药治疗为主体，包括针灸、推拿、按摩、导引等等疗法。
课程设置是实施教学的基本要素，课程设置要完整、准确地体现中医药学的知识结构体系，教师才可能依据教材并通过合理的教学方式，培养出合格的高级中医人才。当然，西医的课程不是不要，而是应当安排在中医高等教育的高年级阶段。中医的知识比较抽象，西医的知识比较直观当学生牢牢地把握了中医理论基础的辨证论治体系以后，再学习必要的西医西药知识，才是科学、明智的安排。
3适应医学的发展趋势.走多学科发展之路
高等中医教育要适应医学的发展，取得突破性进展，关键要在中医教育、中医基础理论研究和中医诊治疾病等方面取得创造性的成果。现代科技呈现既高度分化又高度综合的发展趋势，很多新理论的产生和技术创新都是学科交叉碰撞的结果。由此，在注重专业培养的同时，必须加强对其他自然科学和人文社会科学的重视，这已成为国际专业教育改革的新潮流:作为高等中医教育，很有必要开设中国古代哲学、社会关系学、地理生态学、医药管理学、高等数学、高等物理学、有机化学、无机化学等。尤其值得重视的是，数学具有高度抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性及辩证性，它不但对于培养中医专业学生的抽象思维能力及临床应变的敏捷性和准确性有着不可忽视的作用，而且在培养和赋予学生的科研能力上是其它任何科学都不能替代的:作为中医药科学研究基础的高等中医教育，只有走多学科发展之路，才能为中医的继承和发展造就高素质人才。
4改变教育模式.培养高素质的现代化中医人才
高等中医教育一直沿用基础课一临床课一毕业实习三部曲培养模式，但中医人才成长缓慢及毕业生理论与实践脱节、社会适应能力下降已成为目前高等中医教育面临的严峻问题因此转变陈旧的人才培养模式，注重科学的教育方法，提倡开放、创造、科学、民主、多样的教育理念，建立恰当的教学评估标准，建立“课堂实践同步，以学生为中心，实践为重点，提高科研动手能力为目的”的高等中医教育模式，真正培养出高素质的现代化中医专门人才是当务之急:
5强调创新.尊重学术个性.推广多媒体教学.推进中医高等教育
④ 盲从民意或社会效果审判，不仅会容易陷入司法民粹主义的窠臼之中，引起法官裁决思维的混乱，而且从认识论角度瓦解法治的权威性与严肃性。对此进行的批判与反思，可详见王利明：《法学方法论》，北京：中国人民大学出版社2012年版，第449―450页；江必新：《在法律之内寻求社会效果》，载《中国法学》2009年第3期；陈金钊：《为什么法律的魅力挡不住社会效果的诱惑――对社会效果与法律效果统一论的反思》，载《杭州师范大学学报（社会科学版）》2012年第2期、《法治信念的危机与法治论者的姿态――法治进入方法论时代的背景考察》，载《法学论坛》2011年第1期、《被社会效果所异化的法律效果及其克服――对两个效果统一论的反思》，载《东方法学》2012年第6期。
⑤ 哈贝马斯的交往行为理论认为，符合交往理性的话语活动，必须实现三大有效性要求，即真实性、正确性和真诚性。符合有效性要求的、在平等的主体间达成的共识，强调的是一种程序和规则的合理性。章国锋：《哈贝马斯访谈录》，《外国文学评论》2000年第1期，第29―30页。
⑥ 阿列克西的理性商谈理论认为，商谈理论属于程序性理论的范畴。依据所有的程序性理论，一个规范的正确性或一个陈述的真值取决于，这个规范或陈述是否是、或者是否可能是一个特定程序的结果。[德]罗伯特・阿列克西：《法・理性・商谈：法哲学研究》，朱光、雷磊译，北京：中国法制出版社2011年版，第103页。
⑦ 作为“浪漫而崇高的梦想者”德沃金，面对以碎片化、多元视角观、边缘叙事等为特征的后现代主义挑战，顽强地高举着“认真对待权利”的自由主义法学大旗，通过建设性阐释获得法律整体性事业，在法律帝国中精心编织着为有目的的司法实践提供连贯性与原则一致性之网，寻求司法中惟一正确的答案，然而，在实际司法裁决中不可能存在惟一正确的答案。
⑧ 有关民事诉讼调解社会化的具体内容，参见刘加良：《民事诉讼调解社会化的根据、原则与限度》，《法律科学》2011年第3期、《民事诉讼调解模式研究》，《法学家》2011年第2期；张嘉军：《民事诉讼调解政策的内涵及其形态》，《公民与法》2011年第9期；张爱云：《司法调解社会化的实践探析》，《人民司法》2011年第21期等。
参考文献：
[1] 孙光宁. 可接受性：法律方法的一个分析视角[D]. 济南： 山东大学博士学位论文， 2010.
[2] 苏晓宏. 法律中的假定及其运用[J]. 东方法学， 2012（6）： 10.
[3] 王松. 论司法裁判的可接受性[C]//探索社会主义司法规律与完善民商事法律制度研究：全国法院第23届学术讨论会获奖论文集（上）. 北京： 人民法院出版社， 2011.
[4] 王利明. 法学方法论[M]. 北京： 中国人民大学出版社， 2012.
[5] 张继成. 可能生活的证成与接受――司法判决可接受性的规范研究[J]. 法学研究， 2008（5）： 3?22.
[6] 杨仁寿. 法学方法论（第2版）[M]. 北京： 中国政法大学出版社， 2013.
[7] 陈坤. 疑难案件、司法判决与实质权衡[J]. 法律科学（西北政法大学学报）， 2012（1）： 5.
[8] 陈景辉. 裁判可接受性概念之反省[J]. 法学研究， 2009（4）： 10?16.
[9] 理查德・波斯纳. 法官如何思考[M]. 北京： 北京大学出版社， 2009.
[10] 马长山. 藐视法庭罪的历史嬗变与当代司法的民主化走向[J].社会科学研究， 2013（1）： 71.
[11] 王申. 法官的审判理念与实践[J]. 法律科学（西北政法大学学报）， 2005（4）： 16?19.
[12] 李良. 司法判决追求社会效果的忧思――基于法律方法论的视角[C]//法律方法（第11卷）. 济南： 山东人民出版社， 2011.
[13] 季卫东. 大变局之下的中国司法改革[N]. 南方都市报， 2013?8?25（27）.
[14] 伊芙琳・T・菲特丽丝. 法律论证原理――司法裁决之证立理论概览[M]. 北京： 商务印书馆， 2005.
[15] 陈林林. 公众意见在裁判结构中的地位[J]. 法学研究， 2012（1）： 106.
[16] 陈发桂. 公众司法参与视角下我国司法公信力的生成探析[J].前沿， 2010（3）： 49?51.
[17] 宋豫， 李健. “案结事了”： 人民法院司法公信力的验算与实践[J]. 河北法学， 2013（2）： 188.
[18] 王申. 科层行政化管理下的司法独立[J]. 法学， 2012（11）： 138?142.
传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、本毕业论文由整理提供概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地(syntactically)，另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。
主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。
对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。
二、教材分析研究
有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包(Knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。
马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。本毕业论文由整理提供比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。
三、教学用的数学知识研究
Ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以Ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?学生在解题过程中提供了六种解法。Sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。Mei的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。Cassandia提供了标准的减法算法，Scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。L6JBall认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、Betsy的配对比较法如何转化为Sean的向后数数的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置Riba的说法。Riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明Sean的结论超过了三年级学生的理解能力。
Ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式(如减法32—16：?与缺失加数的加法16+?=32)是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像Sean的从17数到32，或者Mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。
通过上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。
四、启示
1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。
2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。Ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。
一、生平概述
乔治・波利亚（George Polya）是著名数学家、教育家，数学解题方法论的开拓者，一生发表过两百多篇学术论文和许多专著。其中在数学教育方面的著作有《怎样解题》（How to Solve It）、《数学的发现》（Mathematical Discovery）、《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）等。从这些书中可发现他所开创的解题精神，以及他在数学教育领域内有着极其精深的造诣。这些书的出版不仅对美国的中学数学教育具有重要的指导意义，而且轰动了整个数学教育界，至今仍畅销不绝，它们都是深受欢迎的数学教育经典著作。特别是《怎样解题》一中列出的“怎样解题表”概括了人类解决数学问题的一般规律，以及解题中的探索启发式程序，是波利亚几十年来对数学问题解决的研究结晶。此书自出版以来，被至少译成17种语言文字，发行量已超过100万册，它的面世被誉为“问题解决的一个转折点”。波利亚成为当代的数学问题解决的先躯，“波利亚风格”、“波利亚方式”成为数学教师的专门用语而广为流传，久而久之，人们形成了这样一种观念：“数学教育中的问题解决意味着按照波利亚的方式解决问题。”
作为一名数学家，波利亚在众多的数学分支及计算数学、应用数学中都颇有建树；作为一名数学教育大师，波利亚有着丰富的数学教育思想和精湛的教学艺术。他善于把抽象的数学研究与教学实践结合起来。他一生大部分时间从事高等数学教育，有丰富的教学经验，讲课生动，独树特色。曾培养出大批负有声望的科学家，如冯・诺依曼等。我国聆听过波利亚讲课的老一辈数学家，至今对他的授课技巧钦佩不已［1］。
波利亚的数学教育思想有两点哲学认识论基础：其一，数学具有二重性，它既是一门欧几里得式的严谨的演绎科学，但在创造过程中又是一门实验性的归纳科学，与自然科学没有什么两样。其二，生物发生律也适用于数学教学，即人类的后代学习数学与人类祖先认识数学的历史是相似的。具体地说，在课程设计及其教学时，“生物发生律”可以决定教什么内容与理论，可以预见到用什么样的先后顺序和适当方法来讲授这些内容和理论，他尤其提倡应让学生尽可能多地发现一些事实，提出猜想，走前人认识数学的路。“要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家”［2］。
二、数学教育思想的现代解读
（一）合情推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程［4］。猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方法，归纳与类比首先都包含有猜想的成分，所以，我们在教学中提到的猜想、归纳与类比等都属于合情推理的范畴。严格地说，除数学和论证逻辑外，我们所有的知识都是由一些猜想所构成的。我们借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理来为我们的猜想提供依据。一个数学上的证明是论证推理，而物理学家的归纳论证，律师的案情论证，历史学家的史料论证等都属于合情推理之列。
“对数学可能存在着许多不同的看法，我担心对许多学生来说数学好像是一套死板的解题法……对一些教师来说，数学是一套严格的证明系统……对于积极搞研究的数学家来说，数学往往像是猜想游戏……数学教学中必须有猜想的地位，教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试，教学不应该压制学生中间的发明萌芽……”［2］。波利亚认为，合情推理有利于培养学生创造性解决问题的能力，激发学生探索、发现新结论。因此，数学的目标应培养学生的思维，引导其独立思考、解决问题的能力，通过合情推理，培养学生的创造力，同时通过逻辑证明（论证）培养学生一定的演绎推理能力。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在其前言部分强调：“通过数学课程的学习发展学生的数感……应用意识与推理能力。”推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、合情推理等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例，等等。《标准》在总体目标之一“数学思考”中也指出：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”由波利亚对合情推理的重视可见，《标准》对于合情推理的强调并非无源之水，而是有历史基础的。可见，波利亚的数学教育理论与我们新课标的理念“不谋而合”，因为合情推理的实质是发现与创新，所以合情推理能力的培养在发展学生创新精神的过程中有着巨大的价值。
从国际数学课程改革的特点也可看出，其在处理中小学数学思想方法方面有两种基本思路：第一，主要通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的思想和方法；第二，通过解决实际问题，使学生形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如实验、猜测、合情推理等。两者相比而言，后者更多的是一般的思考方法，具有更广泛的应用性。许多发达国家倾向于第二种基本思路。
我国学生的数学学习恰恰忽视了合情推理，忽视了数学学习过程中猜测的力量。这就导致我国学生“数学能力发展不全面，尤其缺乏创新精神与实践能力”［4］。长期以来，人们对数学能力的理解也主要停留在逻辑思维能力的层面上，而逻辑思维有时恰恰阻碍了学生的创新发现。随着时代的发展，这种数学能力观的局限性越来越明显。现代社会要求公民具有的数学素养使数学能力具有内验观察、合情推理、预测猜想、探究创造等丰富内容。
波利亚指出：“在学校惯常的课程中还没有一门能提供类似的机会来学习合情推理。我要向各年级对数学有兴趣的学生提出：我们应该学习证明法，也应该学习猜想法。数学的创造过程是与任何其他的知识的创造过程一样的。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”［5］只要数学的学习过程稍稍能反映出数学的发明过程，那么猜想就应当占有适当的位置。可见，合情推理在数学教育中的重要地位，以及这一数学教育思想在当代的现实意义。
案例：观察算式34+43=77，51+15=66，26+62=88，你发现了什么？
［可能的猜想：个位数字与十位数字互换前后的两个两位数的和是个位数字与十位数字相同的一个两位数;所得的两位数能被11整除……］
验证：74+47=121，原来的猜想成立吗？
再继续验证，结论仍然成立吗？
［以上是进行合情推理的过程。］
问题：能否证明结论是正确的呢？
方法1：对所有的两位数一一加以验证，但是既繁复又费时。
方法2：若a，b表示一个两位数两个数位上的数字，则（a×10+b）+（b×10+a）=11a+11b=11×（a+b），于是“所得的两位数能被11整除”的猜想得到证实。这样的过程，是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程，既有合情推理又有演绎推理的过程。
（二）问题解决
波利亚受他的老师的影响，以及他自己发现意愿的驱使，从中学开始就对问题解决有兴趣。他认为数学能力就是指解决问题的才智，而数学课程与数学教学的重要目的之一就是发展学生的解决问题的能力。他认为在数学课上进行解题教学，有利于培养学生的数学思维能力。寻求证明的能力，审断论据的能力，流利地使用数学语言的能力，以及在具体情境中辨认数学概念的能力，有机会发展学生的思维方式和得法的工作习惯，而这些东西正是一般文化修养的主要组成部分。
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为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是由他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题表”。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，波利亚对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划”［5］。
波利亚的“怎样解题表”的精髓是启发、联想。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数!试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它……”［5］他把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见、摸得着。
（三）教师培训
波利亚从1953年退休以后，主要从事教师培训工作，他的3本著作在一定意义上是为了教师的进修和提高而写的，其中许多内容是他自己的培训实践经验的科学总结。因此，他的3本著作是我们教师进修的极好教材。对教师的培训问题，波利亚关注的是“数学专业课程问题”和“‘教学法’课程问题”。
波利亚非常重视作为教师应有的数学专业素质，他提出：“教师要掌握两个方面的东西――知识和技巧。技巧是运用知识的能力。数学中的技巧更为重要，或者说比只占有知识更为重要得多。数学上的技巧就是做题的能力，给出证明的能力，审断论据的能力，流利地运用数学语言的能力，以及在具体情况下辨认数学概念的能力，等等。”“数学中的技巧更为重要，或者说比只占有知识更为重要得多。”他又指出：“大家都要求中学阶段应该不仅给学生数学知识，还要培养技能、技巧、独立作业能力、独到见解和创造能力。然而却没有人向数学教师要求这些优良的品质和能力，这难道不奇怪吗？”［6］波利亚这是在批评当时美国的“官方”和教师的状况，如果反思我国教师解题能力的现状，我们也许会受到些许的启发。对我国在职教师培训，在很大程度上要依赖于培训者的素养。正如波利亚所说：“只有那些既有数学研究工作经验又有教学实际经验的讲师才能担任教学法课的教学工作。”［6］
波利亚在教学实践的基础上，经过思维加工，归纳提炼出“一套见解”，他称之为“教师十诫”［6］。前4条是教师搞好教学的“充分必要条件”：（1）要对自己所教课程有兴趣；（2）要“熟知自己的科目”；（3）要清楚学生的学习过程；（4）要了解学生实际。（5）―（7）条是讲教学目的的，着重强调培养学生的“解题能力”、“猜想能力”和“证明能力”。（8）是说解题教学中要让学生获得“一些可能用于解今后题目的特征”；（9）―（10）条是强调“在现有条件下留给学生尽可能多的自由余地，让他们发挥其首创精神和积极性”［7］。波利亚的“教师十诫”是他给数学教师上课所体现的“教学法”的思想和内容，实质是他的教学经验的系统总结和理论提升，也可以说是波利亚数学教学思想的精髓和体系。
我认为，这10条是一个数学教师所必备的基本素质，我们要高度关注这样一些观点，如：“如果教师厌烦自己的科目，那么全班也肯定会厌烦这门课”，所以“把兴趣放在首位”；“数学是进行论证推理的好学校”，“让他们学会猜想问题”，“让他们学会证明问题”；“不要把你的全部秘诀一古脑儿倒给学生”，要“启发问题，而不要填鸭式硬塞给学生”，等等。
教师在教学中要关注学生的经验，从经验出发，引导学生积极主动地思考；不断提升自身的理论素养与教学技能。教师应该是学生走进数学殿堂的引路人。
参考文献：
［1］贺贤孝.波利亚的生平及其数学教育思想［J］.数学通报，1996，（9）.
［2］波利亚著.李心灿译.数学与猜想［M］.北京：科学出版社，2001.
［4］杨慧娟，杜鹏.新课标下重析波利亚的合情推理思想［J］.数学通报，2006，（2）.
［5］波利亚著.阎育苏译.怎样解题［M］.北京：科学出版社，1982.
