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小学数学教学中，学生的认知对象主要是经过前人无数次实践总结出来的认识成果——概括化的知识体系，抽象性是它的一个重要特征。这就大大提高了认识的起点，增强了认知的难度。小学生注意力集中的时间短，如果让学生从教师的语言——黑板——教师的动作中去接受知识，模仿思维，时间稍长，他们便因单调感到乏味。因此，让学生操作学具，一方面可使学生手、口、脑、眼、耳多种感官并用，扩大信息源，创设良好的思维情境；另一方面也满足了小学生好动、好奇的特性。利用学具操作的直观具体性集中学生的注意力，营造出一个符合儿童认知规律的思维氛围，有利于学生思维主动性与创造性的发挥。
二、学具操作有利于培养学生思维的层次性与逻辑性
如何处理抽象的数学问题，比如数学基本概念，应用题等，常规的教学方法主要是从一些“关键”的字、词入手引导学生分析。由于这样的方法本身就是抽象的，运用时相当一部分思维能力不够强的学生就只能作机械地模仿，甚至无从下手，因而不易达到应有的教学效果。如果教学中充分发挥学生的主动性，让学生摆一摆、做一做，把抽象的内容形象化，这能在“思维过渡”中起到“船”和“桥”的作用。例如：在教学“正方形的认识”时，我发给学生六张纸片（图略），让学生先数数六个图形边的条数和角的个数；归纳出它们的共同点（都是四边形）。再用直尺量量每条边的长度，看谁先指出四条边都相等的图形（菱形和正方形）。接下来再让学生用三角板比一比这两个图形的角，找出四个角都是直角的图形来。这时，再告诉他们，这就是我们今天要学习的“正方形”。之后，我又发给学生几张大小不等的正方形纸片，让学生数一数（边数），量一量（边长），比一比（角）。在此基础上引导学生说出正方形的特征。这样，把“正方形”放到“四边形”的整体中去认识，分层揭示正方形的特征，让学生参与了概念形成的思维过程，学生概括起来言之有物，思路清晰，逻辑性强。
三、学具操作有利于促进学生思维的内化与外化
无论是思维的内化还是外化，都必须在丰富“表象”的基础上进行。而表象的建立，往往又离不开演示与操作。因此，应适当地加强操作教学，让学生在操作实践中充分感知，建立起丰富的表象基础。
例如，为了帮助学生掌握能被3整除的数的特征，课上，我让学生用小棒在千以内的数位顺序表上摆数：先是用3根小棒摆出300、210、201、120、102、30、21……都能被3整除；然后用4根小棒摆出400、310、301、220、202、211……都不能被3整除；接着再用5根、6根……9根小棒去摆，引导学生发现摆出的数是否能被3整除与小棒的根数有关。引导学生比较得出：当小棒的根数是3的倍数时，摆出的数都能被3整除。在此基础上再引导学生理解各位上数字和能被3整除的数能被3整除就水到渠成了。这样，在操作中归纳，再把外部操作内化为思维的条件，通过表象进行思维，可顺利地实现思维的内化。
与上例不同，在教学“20以内的进位加法”时，我则让学生先把解题的过程在心里默想一遍，答题时一边操作学具，一边结合操作说出思考步骤。这样手、口、脑并用，有利于学生将内部语言转化为外部语言，促进思维的外化。
四、学具操作有利于提高学生思维品质和效率
培养学生思维的品质和效率，是发展思维能力的突破点，是提高教学质量的重要途径。操作教学利于发挥学生的主体作用，课堂上学情浓，探索性强；学生互相交流，互相协作，为创造性地运用所学知识去发现新事物、提出新见解创设了良好的情境。
如教学平面图形面积计算时，有不少题目的解法不唯一，对此，可让学生利用学具画、折、剪、拼，把条件间隐蔽的关系明朗化，从而开拓思路，得以多解。
附图{图}
如上图(1)，已知平行四边形面积为30平方厘米，求阴影部分面积。（单位：厘米）
我们可先求阴影部分三角形的底，再求出面积，或者用总面积减去梯形的面积求得。但在解题时，有不少学生在图上添加了辅助线，思路就不同了：
如图(1)：总面积÷2-直角三角形面积
如图(2)：（总面积-长方形面积）÷2
如图(3)：（总面积-平行四边形面积）÷2
关键词：
思维能力教育信息化大脑风暴法信息生长点
参考文献：
①《智力开发综述》（上）主编：周文黑龙江出版社
②《小学数学创新性教学指导》主编：关文信吉林大学出版社
话说有位牧师正在专心地写讲道稿，他的儿子约翰却总是不停的在身边打扰他，牧师为了不受打扰，就拿了一幅地图，撕成几片，让其儿子把它拼好。牧师认为这下可以让约翰忙一阵子了，没想到不一会儿，小约翰就兴冲冲地跑过来，并呈上拼好的地图。牧师很诧异，就询问约翰这么快拼好地图的做法，小约翰说：“因为地图的背面是人，我只要拼好这个人，就拼好了这幅地图。如果这个人是对的，那么这个世界也就对了……”
小约翰运用这种独特的、新颖的方式拼好了这幅他可能从未接触过的地图，这就是一种创造性思维。为创造性而教，培养学生的创造性思维能力，已经成为目前世界各国教学改革的一种趋势。真正的素质教育正是把思维能力的发展作为教育中心，它与把知识的系统积累作为教育中心的教学模式下的应试教育有着本质的区别。
当前，在世界范围内掀起的教育改革热潮，其目的不仅是为了培养信息社会所需要的高素质创造型人才，更深层次的原因在于传统的以知识积累为中心的教育模式已经走到了尽头，无法再适应当前知识体系的高增长速度。我们正处在一个信息化飞速发展的时代，随着以多媒体、网络化和智能化为特征的现代信息技术飞速发展，它们正在以惊人的速度变革着我们的学习方式、工作方式、交往方式、生活方式，使人类社会由工业社会迈向了信息化社会。面对铺天盖地迎面而来的信息，为了适应社会发展的需要，要求人们必须具备获取、存储和交流信息的能力。信息化的社会要求人的素质要与之相适应，信息素养成为衡量一个人素质高低的标准。
教育要面向现代化、面向世界、面向未来，要培养具有创造性思维、创新意识、创新能力的人才，离开了教育信息化是难以实现的。
一、培养信息加工能力，训练创造性思维
在传统的教学中，学习资料主要是通过书本、图片和录像等这些有限的手段向学生传输信息，并且一整堂教学设计都是由教师课前设计好的，这样的信息来源显然是非常有限的，而且缺乏可选择性，学生只能照单全收。当今社会，信息充斥着社会的每一个角落，学生也每时每刻都受着不同信息的影响，特别是高年级的学生，他们的思维就像一条深不见底的河，他们有着自己的经验、想法，主见。课堂上如果让学生不加选择地完全接受只来自于老师的信息，这对学生的学习是不利的；并且学生仅是接受信息，而不对信息进行重新组合，形成体系，那也不可能完全掌握这些知识。因此课堂中教师应善于提出问题，引导思维，把学生要学的知识以一种问题的信息这种方式呈现出来，使新知识这种信息与学生认知结构中已有的知识信息建立起人为的或实质性的联系，使学生能通过运用各种策略活跃思维、获得新知。在此过程中，教师要为学生提供思维的材料，使之有“物”可思，并且更深层次地需要培养学生筛选、重组信息的能力，达到训练学生思维的目的。奥斯本提出了一种名叫“大脑风暴法”的训练，能很好地达到这种目的。
“大脑风暴法”训练，它的核心就是将产生想法和对想法的评价分开来，以使思考者没有任何心理压力，保证思维状态的流畅。在课堂教学中，教师先提出问题，接着鼓励学生尽可能多地寻找解决问题的办法和答案。学生集思广益，想出的办法和答案自然就丰富了课堂信息。教师对这些办法和答案正确与否暂不必考虑，也不作任何评价，但鼓励学生在别人传达的信息中寻找启迪。教师一直待到学生再也提不出新想法为止，然后引导学生对这些想法进行评价、修改、合并，去伪存真，优中选优，从而产生一个富有创造性的答案。
二、培养适应现代信息社会的能力，发展创造性思维
网络技术的发展为现代社会建立起一种全新的信息观念和通道。教育应具有超前意识，运用网络教学，借助于计算机网络实现信息交流，要求学生有计算机操作能力和网络基本知识，能够熟练处理各种信息。如果仍然以完全传统的教学方法和手段去教育学生，这将与社会发展极不相适应，学生离开校门后就不可能适应社会。并且，信息技术不受时间和地域限制，学生可根据自己的学习需要，选取相关内容加以学习，学生还可以通过上网快速地获取丰富的信息资料，有目的地处理信息。这样有利于培养学生的探索精神、创新意识，有利于学生开展主动的探索型学习活动。“授人以鱼不如授人以渔”，教育提倡“把学习的主动权还给学生”，让学生在课堂中轻松、主动地学习，充分发挥学生的主体积极性，学会创造、构建和掌握所学的知识。计算机网络能以其信息的大容量、超强的处理能力、丰富多彩的对象以及生动形象的人机交互等特点服务于信息化教育。因此，信息技术作为强有力的学习工具，不仅拓展了学生的学习方式，还发展了他们的创造性思维。
三、培养信息素养的认知技能，完善创造性思维
数学教育的一个重要任务就是培养学生的数学思维能力。努力提高学生的数学思维能力.不仅是数学教育进行“再教育”的需要，更重要的是培养能思考，会运筹善于随机应变.适应信息时展的合格公民的需要。本文从数学思维的特征，品质出发.结合中学数学教育的实际.探讨了中学数学教育如何有效地培养学生数学思维能力的问题.
1、数学思维及其特征
思维就是人脑对客观事物的本质、相互关系及其内在规律性的概括与间接的反映。而数学思维就是人脑关于数学对象的思维.数学研究的对象是关于现实世界的空间形式与数量关系.因而数学思维有其自己的特征.
第一，策略创造与逻辑演绎的有机结合。一个人的数学思维包括宏观和微观两个方面。宏观上.数学思维活动是生动活泼的策略创造.其中包括直觉、归纳、猜测、类比联想、合情推理、观念更新、顿悟技巧等方面，微观上，要求数学思维具有严谨性.要求严格遵守逻辑思维的基本规律.要言必有据，步步为营，进行严格的逻辑演绎。事实上.任何一种新的数学理论.任河一项新的数学发明.只靠严谨的逻辑演绎是推不出来的.必须加上生动的思维创造.诸如特殊化一般化.归纳、类比、顿悟等等。一旦有了新的想法.采取了新的策略.掌握了新的技巧.通过反复深入地提出猜想.加以修正.不断完善.才有可能产生新的数学理论。也可以说.数学思维过程总是似真推理与逻辑推理相互交织的过程。似真推理起着为逻辑思维探路.定向的作用.可以用来帮助在数学领域中发现新命题.提出可能的结论.找到解题的途径与方法等。其中.类比推理和不完全归纳推理更是两种重要的策略推理形式;而逻辑推理则是似真推理的延续和补充.由似真推理所获得的结论.往往需要借助逻辑推理作进一步的论证、证实。因此.数学思维只有将策略创造与逻辑演绎有机结合.才能显示出强大的生命力。
第二、聚合思维与发散思维的有机结合。发散思维是指从不同方向、不同侧面去考虑问题，从多种途径去求得解答的一种思维活动.它是创造性思维的一个重要特征.其特点是具有流畅性、变通性和独特性。通常所说的一题多解.多题一解.命题推广、升维策略、降维策略等都于这方面的反映。聚合思维是以“集中”为特点的一种思维.其特点是具有指向性、比较性、程性等论文开题报告范例。在数学思维活动中，这两种思维也是常常被交替使用的。在解决一个较为复杂的数学问题时，为了探查解题思路.人们总是要将思维触角伸向问题的各个方面.考虑各种可能的解模式.并不断地进行尝试.设法找到具体的思路.在探测思路的过程中.又要对具体问题进行具体分析，要集中注意力初中数学论文，集中攻击目标，找到问题的突破口或关键。因此，在数学教学中.要注将聚合思维与发散思维有机结合，特别要重视发散发性思维的训练。
2、数学思维品质
数学思维能力高低的重要标志是数学思维品质的优劣，为了提高学生的数学思维能力，弄清数学思维品质的内容是必要的，但对这个问题的争论很多，我们认为数学思维品质至少应包含以下几个方面的内容。
第一，思维的灵活性，它是指思维转向的及时性以及不过多地受思维定向的影响。善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来。思维灵活的学生，在数学学习中，善于进行丰富的联想，对问题进行等价转换，抓住问题的本质，快速及时地调整思维过程。
第二，思维的批判性。它是指对已有的数学表述或论证提出自己的见解，不是盲目服从，对于思想上已经完全接受了的东西，也要谋求改善，包括修正、改进自己原有的工作，事实上，数学本身的发展就是一个“不断提出质疑，发现问题、提出问题进行争论。直到解决问题的过程。
第三、思维的严谨性。它是指考虑问题的严密、准确、有根有据。在思维过程中，善于运用直观的启迪，但不停留在直观的认识水平上;注重运用类比、猜想、但不轻信类比，猜想的结果;审题时不但要注意明显的条件.而且要挖掘其中隐含的不易被察觉的条件:运用定理、公式时要注意定理、公式成立的条件;在概念数学中初中数学论文，要弄清概念的内涵与外延.仔细区分相近或易混的概念，正确地运用概念，在解决问题时，要给出问题的全部解答，不重不漏，这些都是思维严谨性的表现。
第四、思维的广阔性。它是指思维的视野开阔，对一个问题能从多方面洞察。具体表现为对一个事实能从多方面解释.对一个对象能用多种方式表达，对一个题目能想出各种不同的解法.等等。如果把数学比作一座大城市.那么它间四面八方延伸的大路.正好表现出数学思维发展和应用的广阔性。
第五、思维的深刻性。它是指数学思维的抽象逻辑性的深刻程度.是抽象慨括能力的重要标志.它以抽象思维为基础.对事物在感性认识的基础上.经过“去粗取精.去伪存真，由此及彼.由表及理”的加工制作.上升到理性认识。它要求人们在考虑问题时，一入门就能抓住事物的本质.把握事物的规律.能发现常人不易发现的事物之间的内在联系。
第六、思维的敏捷性。它是思维速度与效率的标志.它以思维的合理性为基础.所谓合理性.主要反映在解决问题时.方法简明.单刀直入，不走弯路，?辣荃杈叮快速获?.它往往是思维深刻性.灵活性的派生物。
第七、思维的独创性。它以直觉思维和发散思维为基础，善于对知识、经验从思维方法的高度上进行概括，灵活迁移.重新组合，在更高的层次上作移植与杂交.思人所未思.想人所未想，具有思维新颖，别具一格.出奇制胜，异峰突起，独树一帜等特点。
以上，我们列举了数学思维品质的几个方面.这些方面是相互联系.互为补充的，是一个有机结合的统一体。数学教育中.要根据不同的素材.灵活选择恰当的教学方法.有意识、有计划、有目的的培养学生的数学思维品质。
3、培养学生数学思维品质的教学方法
数学教育必须重视数学思维品质的培养;数学教育也有利于培养学生良好的思维品质。蕴含在数学材料中的概念、原理、思想方法等.是培养学生良好思维品质的极好素材.作为数学教师，只有在培养学生的思维品质方面下功夫.方能有效地提高数学教学的质量。
第一、应使学生对数学思维本身的内容有明确的认识，长期以来，在数学教学中过分地强调逻辑思维，特别是演绎逻辑初中数学论文，都是教师注重给学生灌输知识.忽视了思维能力的培养.只注重结论，忽视了知识发生过程的教学，造成学生机械模仿，加大练习量，搞“题海战术”，抑制了学生良好的数学思维品质的形成。我们应当使学生明白，学习数学，不仅仅是为了学到一些实用的数学知识，更重要的是得到数学文化的熏陶。其中包括数学思维品质.数学观念.数学思想和方法等，因此，数学教师必须从培养学生的优秀思维品质出发.冲破传统数学教学中把数学思维单纯理解为逻辑思维的旧观念，直觉、想象、合情推理、猜测等非逻辑思维也作为数学思维的重要组成部分.在数学教学中，要通过恰当的途径，引导学生探索数学问题，要充分暴露数学思维过程，这样，数学教育就不仅仅是赋予给学生以“再现性思维”.更重要的是给学生赋予了“发现性思维”。
第二、优化课堂教学结构，实现思维品质教育的最优化。优良思维品质的培养，是渗透在数学教育的各个环节之中的，但中心环节是在课堂教学方面论文开题报告范例。因此.我们必须紧紧抓好课堂教学这个环节。在课堂教学中，学生的思维过程，实质上主要是揭示和建二新旧知识联系的过程当然也包含了建立新知识同个体的新的感知的联系。在这里我们要特别强调知识发生过程的教学。所谓知识发生过程，通常指的是概念的形成过程，结论的探索与推导过程.方法的思考过程。这些实际上是学生学习的主要思维过程，为了加强知识发生过程的教学，我们可从如下几个方面着手:首先.要创设问题情境.激起意向.弓i_起动机。思维处问题起初中数学论文，善于恰到好处地建立问题情境，可以调动学生的学习积极性，使之开启思维之门其次.要注重概念形成过程的教学。概念是思维的细胞.在科学认识中有重大作用。因此，数学教学必须十分重视概念的准确度与清晰度。概念的形成过程是数学教学中最重要的过程之一。那种让学生死记硬背概念.忽视概念形成过程以图省事的做法是实在不可取的。有经验的教师把概念的形成过程归结为.“引进一酝酿一建立一巩固一发展”这样五个阶段，采用灵活的教学方法.取得了良好的教学效果最后.要重视数学结论的推导过程和方法的思考过程。数学教学中的结i仑通常是通过归纳、类似、演绎等方法进行探索的，我们要善于发现隐含于教材内容中的思维素材.有意识地让学生自己去发现一些数学结论，帮助学生掌握基本的数学思想和方法。比如分析法.综合法.类比法.归纳法.演译法，映射法(尤其是关系映射反演原则)，反证法，同一法等等。数学方法的思考过程其实就是解决问题的思维过程。教师要通过对具体问题的分析.引导学生掌握从特殊到一般.从具体到抽象再到更广泛的具体等一般的思考问题的方法。
第三、激发学生数学学习的动力.重视数学的实际应用.唤起学生学习的主动性和自觉性数学学习的动力因素包括数学学习的动机、兴趣、信念、态度、意志、期望、抱负水平等。数学学习的动力因素不仅决定着数学学习的成功与否.而且决定着数学学习的进程:不仅影响着数学学习的效果，而且制约着数学能力的发展和优秀数学品质的形成。事实证明.在数学上表现出色的学生，往往与他们对数学的浓厚兴趣.对数学美的追求.自身顽强的毅力分不开因此，在数学教学中，教师要利用数学史料的教育因素.数学中的美学因素.辩证因素.困难因素.以及数学的广泛应用性等，不断激发学生的学习兴趣，激励学生勇于克服困难.大胆探索鼓励学生不断迫求新的目标，不断取得新的成功。
参考文献：
[1]张奠宙，唐瑞芬，刘鸿坤等.数学教育学[M]，江西教育出版杜，1991年11月。
[2]王仲眷。数学思维与数学方法论[M]，高等教育出版杜，1989年11月;
[3]郭思乐.思维与数学教学[M]. 人民教育出版，1991年6月
关键词：激发兴趣、运用类比、巧设问题
思维能力是一切能力的核心，它是通过对事物的感知、表象进行分析、概括、归纳而获得事物本质的能力。一个人的思维能力强弱，不仅与知识理论、水平有关，而且与思维方式有关。在数学教学中，学生思维能力的培养至关重要，我在数学教学的实践中，从以下几方面加强了培养学生数学的思维能力，并收到了较好成效。
一、激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维
兴趣是学生学习的直接动力，它是求知欲的外在表现，它能促进学生积极思考，勇于探索。
1、用实践操作唤起学生的兴趣
教师在教学实践中动手操作或让学生自己动手操作，最能唤起学生的兴趣，保持学生稳定的注意力。如在推导圆柱体的体积公式时，我通过让学生自己推导将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体，并让学生掌握了圆柱体的体积公式后，我要求学生认真观察教师的推导过程，并让学生观察将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体后，这个近似的长方体的体积、表面积同原来的圆柱体的体积及表面积相比是否发生变化。在学生掌握了圆柱体的体积公式后，我出示了这样一道题目：“将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体后，这个近似的长方体的表面积比原来增加了40平方厘米，已知这个长方体的高为1分米，求这个圆柱体的体积是多少立方厘米?”学生由于刚刚自己动手推导圆柱体的体积公式，因此很快可以求出这个圆柱体的底面半径为：40÷2÷10＝2（厘米），这个圆柱体的体积为：3.14×2×2×10＝125.6（立方厘米）。
2、让学生在实践中提高学习兴趣并获得知识
在小学数学教学中让学生进行实践是有效提高课堂教学的一种重要手段。如教学了行程问题后，我出示了这样一题：“已知客车每小时行60千米，货车每小时行50千米。现在两车同时从相距200千米的甲、乙两地同时出发，经过2小时两车相距多少千米？”
由于题中未说明行驶方向，所以两车出发2小时，两车相距的路程应是多少并无一个标准，因此，我组织两个学生在教室中按四种情况进行了演示：1、两个学生同时相向而行；2、两个同学同时相背而行；3、两个学生同时向同一方向而行，走得快的同学在前；4、两个学生同时向同一方向而行，走得慢的同学在前。因此我再启发学生，这道题应该如何进行解答。这样，学生很快到，这道题应分以下四种情况进行讨论
（1）、两车同时相对而行，相遇后又拉开距离：（60＋50）×2－200=20（千米）。
（2）、两车同时相背而行：（60＋50）×2＋200＝420（千米）
（3）、两车同向而行，客车在前面货车在后面：60×2＋200－50×2＝220（千米）
（4）、两车同向而行，货车在前面客车在后面：50×2＋200－60×2＝180（千米）。
二、运用类比方法，培养学生创新思维
类比方法是根据两类物质之间一些相似性质从而推导出其它方面也类似的推理方法，在数学教学中运用类比是一种非常重要的方法。
1、运用比较辨别，启迪学生思维想象
如在教学了数的整除的知识后，我出示了这样一道例题：“一个大于10的数，被6除余4，被8除余2，被9除余1，这个最小是几？”应该说这道题是有一定的难度的，学生求解会感到无从下手，这时，我出示了这样一题比较题：“一个数被6除余10，被8除余10，被9除余10，这个数最小是几？”这道题学生很快能求出答案：这个数即是6、8和9的最小公倍数多10，6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72＋10＝82；然后我引导学生将上面一道例题与这道比较题进行比较和思考，学生很快知道，上道题只要假设被6除少商1余数即为10，被8除少商1余数也为10、被9除时少商1余数也为10，因此可迅速求得这个数只要减去10，就同时能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72＋10＝82。这样通过让学生展开联想和比较，不但可以提高学生的想象能力，同时也能提高学生的创新思维能力。
2、通过分析归纳，培养学生创新思维
又如在教学完了平面图形的面积计算公式后，我要求学生归纳出一个能概括各个平面图形面积计算的公式，我让学生进行讨论，经过讨论，学生们归纳出，在小学阶段学过的面积公式都可以用梯形的面积计算公式来进行概括，因为梯形的面积计算公式是：（上底+下底）×高÷2。而长方形、正方形、平行四边形的上底和下底相等，即可将这公式变成：底（长、边长）×高（宽、边长）×2÷2=底（长、边长）×高（宽、边长）；又因为将圆面积公式是根据长方形的面积公式推导出来的，因此，梯形的面积公式对圆也同样适用；当梯形的上底是零时，即梯形成了一个三角形，这时梯形的面积公式成了：底×高÷2。这即成了三角形的面积公式。这样，不仅使学生能熟练掌握已学过的平面图形的面积公式，同时，也培养和提高了学生的创新能力。
三、巧设探索性问题，培养学生创新思维
现代心理学认为：为教学时应设法为学生创设逼真的问题情境，唤起学生思考的欲望。在教学实践中，我们如能让学生置身于逼真的问题情境中，体验数学学习与实际生活的联系，学生也会品尝到用所学知识解释生活现象以及解决实际问题的乐趣，感受到借助数学的思想方法，会真正体会到学习数学的乐趣。因此，在教学实践中，我尽量做到在数学教学过程中加强实践活动，使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题，认识现实中的问题和数学问题之间的联系与区别。
1、设计开放性习题，让学生在实践中提高创新思维。
如在教学了百分数应用题后，我出示了这样一题：张教老师欲购买一台笔记本电脑，为了尽可能少花钱，他考察了A、B、C三个商场，他想购买的笔记本电脑三个商场都有，且标价都有是9980元，不过三个商场的优惠方法各不相同，具体如下：
A商场：全场九折。
B商场：购物满1000元送100元。
C商场：购物满1000元九折，满10000元八八折。
张老师应该到哪个商场去购买电脑？请说明理由。
这道题显然不同于一般的应用题，因此我启发学生，应该充分考虑如何才能做到尽可能少花钱这一个特定的条件去进行分析与解答。学生进行了认真的分析和讨论，最后得出如下的结论：
因为每台电脑的价格均为9980元，而去A商场是全场九折，因此张老师如果去A商场购电脑，那么张老师应该付：9980×90%＝8982（元）。
因为B商场是购物满1000元送100元，张老师如果只买电脑，需付：9980－900＝9080（元）；张老师如果再买其它的物品凑满10000元，需付：10000－1000＝9000（元）。
因为C商场是购物满1000元九折，满10000元八八折，张老师在C商场购买电脑时，只要再多买20元物品，即凑满10000元，最多需付：10000×88%＝8800（元）。
因此，张老师去C商场购电脑花钱最少。
2、培养学生打破传统的思维模式，开启学生创新思维大门
创新思维的培养，要让学生敢于打破传统的思维模式，对一些问题提出具有独特的的、富有说服力的新观点和新境界，开启学生的创新思维大门。
如教学了“长方体和正方体的体积”后，我出示了这样一题：“一个长方体水箱，从里面量，长40厘米，宽25厘米，高20厘米，箱中水面高10厘米。如果在长方体水箱中放进一个长和高都为20厘米，宽为10厘米的长方体铁块，那么水面将上升多少厘米？
这道题大部分同学都只想到将以20×20作为底面放进水箱中这一种情况，这时铁块全部浸没在水中，这时候水面上升的高度即为：20×20×10÷（40×25）＝4（厘米）。但还有另一种情况，即不是将20×20作为底面，而是以20×10作为底面放进水箱中的这一种情况，同学们却忽略了。这时我向学生进行了演示：我将一块铁块按未曾全部浸没在水中的情况进行了演示，并启发学生除了将以20×20作为底面放进水箱中这一种情况，还有没有其它的情况，学生通过观察并进行了讨论，认识到还要考虑到另一种情况，即以20×10作为底面放入水中，因此很快得出结论，如果以20×10作为底面放进水箱中，这时候铁块没有全部浸没在水中，这时水面上升的高度应该为：
40×25×10÷（40×25－20×10）－10＝2.5（厘米）。
或者用方程进行求解。设水面上升X厘米，则可得方程：
数学教育要给予每个人在未来生活中最有用的东西。因此，我们在数学教学中不能把目光停留在数学知识的讲解和解题方法的运用上，而应以它们为载体，加强对学生思维能力的训练。
论文百事通现代教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。数学教学培养的是学生的思维习惯和思维品质，是数学思维教育素质化的重要内容。思维培养的成功与否将直接影响数学教学质量的提高，影响着中学数学教育改革的深化与发展。
数学思维是人脑和数学对象(空间形式与数量关系)互相作用并按一定规律产生和发展的。数学思维的种类有很多，从具体形象思维到抽象逻辑思维，从直觉思维到辨证思维，从正向思维到逆向思维，从集中思维到发散思维，从再现性思维到创造性思维，从中体现出了多种多样的思维品质。如思维的深刻性、逻辑性、广阔性、灵活性、创造性、发散性等。我认为，高中数学教学中主要应通过对学生思维品质的培养达到提高思维能力的目的，具体体现在以下几个方面：
一、注重对基础知识、基本概念的教学
高一学生，从初中数学到高中数学将经历一个和很大的跨度，主要表现在知识内容方面的衔接不自然，对高中数学抽象的数学概念、数学形式极不适应。比如第一册第一章的集合与简易逻辑，表面上看似很简单，而实际运用中却不能准确把握那些用集合语言所描述的题目含义。再如第二章函数，这是高中数学中的重点内容，教师会花很大的精力去讲授，学生会都会下很大力气来做题，结果却不如人意。学生做题时主要是在解具体题目时很难与基本概念联系起来。如经常遇到的二次函数问题，有时是求值域，有时是解方程或不等式，学生感到茫然。我把它们统一在一起，强调二次项系数对称轴、判别式等几个因素，帮助学生克服了思维的无序性。这一章内容是思维方法从直观到抽象、从离散到凝聚的过渡，是训练学生思维深刻性和广阔性的重要阶段。
二、加强数学思想方法的渗透
高中数学的四大数学思想和十几种数学方法是教学的关键与灵魂。一是解题的方法。为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解答的基本方法、步骤。二是数学思想方法。思想方法把不同章节、不同类型的数学问题统一了起来，如数形结合思想培养了思维的形象性、创造性，化归思想提高了学生的灵活性、辨证性等。如换元法是一种常见的变形手段，它不只限于解某一章或某一类的问题。注重对这些思想方法的渗透，可以提高学生归纳总结及联想能力，将数学知识和方法的理解提高到一个新的阶段，这对思维品质的培养十分有益。
三、挖掘数学例题习题的功能
（二） 引导学生具备良好的思维习惯
首先，我们应该培养学生的勤于想象的能力想象力往往比知识更重要，对于学生来讲，拥有宽广的、自由的想象力，具备独立思考问题的能力是培养思维的关键所在。另外，要丰富学生的生活经验，能够用数学的知识来科学的解释生活中出现的各种现象和问题，这样就能够在巩固学生书本知识的同时又提升学生思维自觉性，增强学生基本的推理能力。
（三） 增强学生的发散性思维
在数学课堂上，教师还应该多设置一些一题多解的题型和教学案例，鼓励学生大胆发言，充分的将自己的思维方式体现出来，并对学生提供的多途径的思维方式给予肯定和赞同，以此来为学生打开进入思维大门的钥匙.例如，一个长方体容器内盛有水，水面高2.5厘米，容器底面积是72平方厘米。在容器中放入棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块。这时水面高多少厘米？常用的方法是：设水面升高了X厘米。列出方程：72X=36（X+2.5），解得X=2.5。2.5+2.5=5（厘米）。另一种方法是先算出铁块的底面积6×6=36（平方厘米），72÷36=2，这就说明铁块底面积占了容器底面积的一半，因此铁块和水的底面积是1：1关系，那他们的体积也是1：1关系。如果把铁块当成水，那么水的体积就变成（72×2.5）×2=360（立方厘米），360÷72=5（厘米）。还可引导学生当铁块放进容器后因为铁块和水的底面积是1：1，所以水的底面积就变成72÷2=36（平方厘米）水的体积是72×2.5=180（立方厘米）180÷36=5（厘米）。通过一题多解的变化来激发学生思维，引发学生思考。
（四） 增强学生的独创性思维
学生在学习数学时，都有一个共同的感受，那就是：知识点多、公式多、难以记忆，在做题时不知道用哪个知识点和哪个公式，即使想到应该使用哪些公式和知识点，也记不住公式的具体内容和知识点间的联系。这让许多同学都觉得数学知识是零散的、杂乱无章的。
众所周知，数学学习注重基础性和连续性，教学中如果教师能够有意识的进行培养和训练，把零散的数学知识点，按其内部的联系分类，再把它们连成线、结成网。使所学的数学知识系统化、网络化，就可以大大的减轻学生学习过程中的记忆负担，激发和培养学生学习数学的兴趣，强化学生思维的敏捷性，从而提高解决问题的能力，以至达到提高教学成绩的目的。鄙人从事中学数学教学十余年，有些不成熟的做法和拙见，在此与各位同仁探讨，以达到共同促进之目的。
1．教学过程要认真“描点”。作好“连线”的准备。描点，即强化知识点，具体到每课时、每章节、每单元[1]。所涉及到的每个知识点都要认真对待，使学生掌握知识的内容、重点、难点、步骤等。以至把“点描实、做大，使以后的连线“有路可走”。同时要注重知识点的前后延伸，作好“连线”前的准备。在强化知识点的内容、重点、难点的同时，要有意识地把该内容向前后延伸。总结强调该内容是哪些知识的延续和应用，同时又是以后的哪些知识的准备和基础。
例如，在对“直线的斜率”的教学时，首当其冲的任务是让学生掌握斜率的定义、范围、作用、计算方法、性质等。但同时应该研究斜率的基础、计算方法的根源，即斜率与以前的知识的联系；研究和探索斜率对以后学习的作用，斜率在直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程中的作用，以及两直线的位置关系、两直线的夹角等知识中的作用。以便为知识的归类、连线作准备。
2．在知识的复习和应用时要尽力“连线”，使“点”成为“线”的元素。在最初的教学中，学生学习到的知识点是零散的、不连惯的。学生记忆这些零乱的知识非常困难，可能记住甲忘记乙、记住东模糊西。这将让学业负担本来就繁重的学生雪上加霜。为了减轻学生的记忆负担，教学时要力求把知识归类、连线，使知识类别化、系统化。让学生在学习中掌握一点知道一串、抓住线头把握一线。
例如在上例中，只要引导学生把直线的倾斜角一一正切——斜率——斜率计算公式——直线方程的形式——直线的位置关系——直线的交角⋯⋯，通过知识的内在联系把它们连成一条线。这样，学生在复习时只需掌握线上的任意一个概念，就可以把所有的有关知识回忆起来，再现全部知识。即可“以点带线”。
赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣和东西，是很容易从记忆中挥发掉的。”发散性思维的形成是以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力。教师要善于选择具体题例，创设问题情境，例如：一条水渠，甲单独修要8天完成，乙单独修要6天完成，现在甲先修了4天，剩下的让乙修。乙还要几天可以完成？学生都能按照常规思路作出（1-1/8×4）÷1/6解答，教师要求用别的方法解答，学生一时想不出，通过教师的引导学生得出了：6×（1-1/8×4），6-1/8×4÷1/6，教师精细地诱导他们的求异意识。对于学生在思维过程中时不时地出现的求异因素要及时给予肯定和热情表扬，并记上优分以资鼓励使学生真切体验到自己求异成果的价值，反馈出更大程度的求异积极性，对于学生欲寻异解而不能时，则要细心点拨。潜心诱导，帮助他们获得成功，让他们在对于问题的多解的艰苦追求并且获得成功中，备享思维发散这一创造性思维活动的乐趣，使学生渐渐生成自觉的求异意识，并日渐发展为稳定的心理倾向，在面临具体问题时，就会能动地作出“还有另解吗？”“试试看，再从××角度分析一下！”的求异思考。
二、在变通中培养发散思维
变通，是发散思维的显著标志。要对问题实行变通，只有在摆脱习惯性思考方式的束缚，不受固定模式的制约以后才能实现，因此，在学生较好地掌握了一般方法后，要注意诱导学生离开原有思维轨道，从多方面考虑问题，实行变通。当学生思路闭塞时，教师要善于调度原型帮助学生接通与有关旧知识和解题经验的联系，作出转换、假设、化归、逆反等变通，产生多种解决问题的设想。
三、在独创中培养发散思维
小学数学教学如何开展素质教育，发展学生的数学思维，这是一个新问题，也是当前要探讨的热点问题。
素质教育对数学思维能力具有促进作用，数学素质教育对数学思维能力的要求较高。“应试教育”对小学数学的教育而言，只是局限于一个小小的空间里面，对小学生掌握“双基”（基础知识和基本技能）已经非常不适应了。这种教育方式缺乏思维的灵活性、创造性，是一种单纯的“依样画葫芦”式的教育，小学生没有足够的应变能力和适应能力，易使思维习惯变得单调和定向，不利于以后接受更广、更深的新知识。当前的数学“素质教育”，其中重要的一方面，就是要使小学生有灵活的思维素质，这就要求对小学生加强数学思维能力的训练，大力培养小学生学习的能力，发展他们的智力，使小学生具有学习上的主体能动性；思维上具有活跃性、逻辑性、多向性、形象性。不少教学内容，单靠教师详尽地讲解，难以叙述清楚。如果通过学生动手操作，动脑思考，就会收到较好的教学效果。心理学的研究表明，儿童的思维活动往往是以动作开始的，切断思维与活动的联系，思维就不能发展。在课堂教学中让学生参与演练，引导学生在操作中思维，在思维中探求，能提高学生的兴趣，增加学生的活动和动手操作的内容。引导实际观察、操作，用多种感官进行实习，既可以提高学生学习数学的兴趣，又可以使学生比较容易地理解所学知识，小学生的基本的数学思维能力得到了进一步提高。数学思维能力的提高对素质教育也有一定的推动作用。
数学思维能力的提高，表现在逻辑思维能力的提高，逻辑思维是一个最基础的也是非常严密的思维过程。在小学生的头脑中，思维往往处于一种朦胧的阶段，逻辑思维的发展对小学生认识新事物、掌握新知识、提高智力是必不可少的。由于思维具有多向性、多层次性、多样性，因此，解决问题的思维方法不可能是单一的，而是多样的。教师可以指导小学生从不同的角度去思考问题，引导他们通过不同的途径，从不同的角度，用不同的方法解决问题，从而活跃学生的思维，提高小学生的数学素质。
数学素质教育和数学思维训练是相辅相成的，不能分开，不能偏重，如果数学素质教育没有数学思维作后盾，也不可能提高数学素质教育，结果都会适得其反。因此，在进行素质教育的同时，也应当有目的、有计划地开展小学生数学思维能力的专项训练，发展小学生的智力，提高小学生的学习兴趣。
什么是构造法又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，及基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。
1、构造函数
函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开拓性和创造性。
例1、已知a，b，m∈R+，且a<b求证：（高中代数第二册P91）
分析：由知，若用代替m呢？可以得到是关于的分式，若我们令是一个函数，且∈R+联想到这时，我们可以构造函数而又可以化为而我们又知道在[0，∞]内是增函数，从而便可求解。
证明：构造函数在[0，∞]内是增函数，
即得。有些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使注意到某一点上，把自己的解题思路搁浅了。启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维。
例2、设是正数，证明对任意的自然数n，下面不等式成立。
≤
分析：要想证明≤只须证明
≤0即证
≥0也是
≥0对一切实数x都成立，我们发现是不是和熟悉的判别式相同吗？于是我们可以构造这样的二次函数来解题是不是更有创造性。
解：令
只须判别式≤0，=≤0即得
≤
这样以地于解决问题是很简捷的证明通过这样的知识转移，使学生的思维不停留在原来的知识表面上，加深学生对知识的理解，掌握知识更为牢固和知识的运用能力。有利于培养学生的创新意识。
2、构造方程
有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答。
例3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求证：X，Y，Z成等差数列。
分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻。但我们细看，题条件酷似一元二次方程根的判别式。这里a=x-y，b=z-x，c=y-z，于是可构造方程由已知条件可知方程有两个相等根。即。根据根与系数的关系有即z–y=y-x，x+z=2y
x，y，z成等差数列。遇到较为复杂的方程组时，要指导学生会把难的先简单化，可以构造出我们很熟悉的方程。
例4、解方程组我们在解这个方程组的过程中，如果我们用常规方法来解题就困难了，我们避开这些困难可把原方程化为：
于是与可认为是方程两根。易求得再进行求解(1)或(2)
由(1)得此时方程无解。
由(2)得解此方程组得：经检验得原方程组的解为：
通过上面的例子我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径，我们在口头提到的创新思维，又怎样去创新?创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其的基本特征。这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正从这方面增训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思维。
在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题，给他们学会一种解题的方法才是有效的"授之以鱼，不如授之以渔"。在这我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方法而不是追求题目的结果。运用构造方法解题也是这样的，通过讲解一些例题，运用构造法来解题的技巧，探求过程中培养学生的创新能力。
华罗庚：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。
3.构造复数来解题
由于复数是中学数学与其他内容联系密切最为广泛的一部分，因而对某些问题的特点，可以指导学生从复数的定义性质出发来解决一些数学难题。
例5、求证：≥
分析：本题的特点是左边为几个根式的和，因此可联系到复数的模，构造复数模型就利用复数的性质把问题解决。
证明：设z1=a+biz2=a+(1-b)iz3=(1-a)+(1+b)iz4=(1–a)+bi
则左边=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|
≥|z1+z2+z3+z4|
≥|2+2i|=
即≥
例6、实数x，y，z，a，b，c，满足
且xyz≠0求证：
通过入微观察，结合所学的空间解析几何知识,可以构造向量
联想到≤结合题设条件
可知，向量的夹角满足，这两个向量共线，又xyz≠0
所以
利用向量等工具巧妙地构造出所证明的不等式的几何模型，利用向量共线条件，可解决许多用普通方法难以处理的问题对培养学生创新思维十分有益。
4.构造几何图形
对于一些题目，可借助几何图形的特点来达到解题目的，我们可以构造所需的图形来解题。
例7、解不等式||x-5|-|x+3||<6
分析：对于这类题目的一般解法是分区间求解，这是比较繁杂的。观察本题条件可构造双曲线，求解更简捷。
解：设F(-3，0)F(5，0)则|F1F2|=8，F1F2的中点为O`(1，0)，又设点P(x，0)，当x的值满足不等式条件时，P点在双曲线的内部
1-3<x<1+3即-2<x<4是不等式的解。
运用构造法就可以避免了烦杂的分类讨论是不是方便得多了，引导学生掌握相关知识运用到解决问题上来。
又如解不等式：
分析：若是按常规的解法，必须得进行分类讨论而非常麻烦的，观察不等式特点，联想到双曲线的定义，却''''柳暗花明又一村"可把原不等式变为
令则得由双曲线的定义可知，满足上面不等式的(x，y)在双曲线的两支之间区域内，因此原不等式与不等式组：同解
所以不等式的解集为：。利用定义的特点，把问题的难点转化成简单的问题，从而使问题得以解决。
在不少的数学竞赛题，运用构造来解题构造法真是可见一斑。
例8、正数x，y，z满足方程组：
试求xy+2yz+3xz的值。
分析：认真观察发现5，4，3可作为直角三角形三边长，并就每个方程考虑余弦定理，进而构造图形直角三角形ABC，∠ACB=90°三边长分别为3，4，5，∠COB=90°
∠AOB=150°并设OA=x，OB=，，则x，y，z，满足方程组，由面积公式得：S1+S2+S3=
即得：xy+2yz+3xz=24
又例如：a，b，c为正数求证：≥由是a，b，c为正数及等，联想到直角三角形又由联系到可成为正方形的对角线之长，从而我们可构造图形求解。
通过上述简单的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。可见构造法解题重在“构造”。它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。
参考文献：
二、数学教学中培养学生的类比思维能力
类比思维能力的培养对学生具有重要作用，类比思维能力也是每一个人应该具备的能力，因为它对我们的生活有着极为重要的意义。类比思维能力在日常生活中的应用也非常广泛，帮助人们解决了很多问题，例如，人们可以根据今年冬天的降雪量以及温度推测出明年粮食的收成，可以根据晚上的天气状况推测出第二天的天气状况，这些问题能够推测出来，依靠的都是人类的类比思维能力。类比思维能力在数学学习中也具有非常重要的意义，她主要是要求学生在学习数学的过程中利用已知的条件，推测出未知的答案，例如，等边三角形ABC的高是6，已知D是BC的中点，DE垂直于AB，DF垂直于AC，求：DE+DF=？这道题就要求学生利用类比思维解决问题，用题目中的已知条件，求出正确答案。这也说明，在初中数学教学中培养学生的逆向思维能力是很重要的，老师在教学过程中要注意对学生逆向思维的培养。
