时间：2023-03-30 11:38:51
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1.从函数y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距离取5个点，要求学生分别利用拉格朗日插值和牛顿插值进行求插值函数的操作
观察利用两个插值原理求出来的插值函数有何异同。2.从多项式y=x4+x3+x2+x+1中等距离取5个点，要求学生利用拉格朗日插值方法进行插值操作，观察获得的插值函数和原函数有何异同。3.提示学生对函数y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5点拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，将节点个数增加到11个，将插值效果进行比较。4.在上例的基础上，让学生通过画图比较函数f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5点拉格朗日插值和11点拉格朗日插值效果。提示学生可以进一步增加节点个数，观察得出的图形。5.利用分段插值的方法，对函数（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）进行11点插值，与11点拉格朗日插值的插值效果比较。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距节点，提示学生利用[-1，1]上的切比雪夫多项式的零点（切比雪夫点）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1对以上两个函数进行拉格朗日插值，与等距节点的插值效果进行比较。我们希望学生做完以上案例后不但能顺利完成结果的获得，而且还能利用课堂学到的理论知识分析得到的结果，这些结果都是课堂上讲解的理论知识的数值例子，能做出来，会分析，这是对学生的锻炼，也能提高学生的动手能力和学习积极性。以下我们对以上案例进行分析。1.通过案例1，学生得到结果后能了解到，在相同的节点条件下，利用拉格朗日插值和牛顿插值得到的插值多项式是一样的，这与课堂的理论分析完全一致。这个结果是学生自己完成实验后得到的，与课堂理论分析结合，学生更能理解两种插值的相同之处。而通过编写两个插值方法的MATLAB程序，学生既可以学习编程，还可以掌握两者达到同一目的的不同之处。
2.通过上例可得出拉格朗日插值和牛顿插值结果
一样的结论，所以对四次多项式y=x4+x3+x2+x+1进行5点插值只需利用拉格朗日插值即可。学生可通过得到的结果和图形知道，其实得到的插值多项式就是原来的四次多项式本身，原函数和插值多项式两者的误差为零。这个结论可以提示学生通过拉格朗日插值理论的误差公式解释和分析，从而复习和掌握拉格朗日插值误差公式。
3.通过案例1得到的插值多项式的图形对比原函数图形
一般来说函数的5点插值的逼近效果还是不理想的，误差比较大。若要提高逼近效果，首先让学生通过实验观察提高节点个数对插值的逼近效果的影响。所以设计了一个对比实验让学生对两个函数进行高次插值。通过实验结果的观察可知，对于函数y=sin（x），x∈（-2π，2π），11点的插值逼近效果在整个区间上都比5点插值效果好，几乎和原函数重合了提高插值次数达到了良好的效果。而对于龙格函数f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出现了龙格现象，即区间中间部分逼近效果非常好，而区间两边出现非常大的震荡。通过这两个案例的比较分析，让学生自己总结出光靠增加节点个数提高插值的逼近效果不可行，需要另找办法。龙格现象是插值理论的重要知识点，在课堂教学中学生对该现象只停留在理论上，通过该实验案例的分析，学生在自己做出龙格现象图形的时候，能加深对龙格现象和拉格朗日插值的缺点的理解。而对于学生普遍会存在疑问，龙格现象只是龙格函数的特有现象吗？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不会出现龙格现象吗？可提示学生继续对没有出现龙格现象的函数增加插值节点，观察龙格现象是否是所有函数的共有特点，并且这可以留作实验作业让学生课后自己完成。
4.此案例提供一个提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加节点个数的情况下，保持插值次数不增加，从而保证的插值效果。学生通过此案例可以理解为什么介绍完整体插值后还需要讲解分段插值，老师在以后介绍数值积分中的复化积分公式的时候，进行比较讲解。5.通过切比雪夫点的插值案例，提示学生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通过改变节点的选取，把原来的等距节点变为区间上正交多项式的零点，可以在增加节点个数，让拉格朗日插值的逼近效果也相应提高而不会出现龙格现象。这个案例可以和以后数值积分中的高斯求积公式配合，让学生了解正交多项式的零点在函数逼近方面的重要应用。并且在介绍完[-1，1]上的切比雪夫点插值后，可以预留作业，让学生在其他区间上寻找正交多项式零点进行拉格朗日插值，让学生对正交多项式理论加深印象，为以后数值积分的高斯求积公式的介绍铺垫。
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。学法：四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
6.“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈A）是不是函数？
解：y=1可以化为y=0*X+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。四.课时小结：
1.映射的定义。
2.函数的近代定义。
3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4.函数近代定义的五大注意点。
2三角函数概念的历史及其重构
三角函数概念的发展前后经历了4000多年，从早期在天文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更早．古埃及人由于尼罗河不定期的泛滥而遭受打击，因此他们注意观察尼罗河泛滥的规律以及时间．后来人们注意到每逢天狼星于黄昏之后升起的日子尼罗河就会泛滥．于是人们就开始记录天狼星与太阳的位置，人们为了解决实际问题引入了角等概念．但是这并不是严格意义上的三角学，只能算是三角学的前身，是一种对天文观测结果进行推算的方法．三角学最早的创建者是希腊数学家Hipparchus(约公元前180～公元前127)被称为三角学之父．为了定量地解决天体的位置问题，他将球面三角方法引用于此，并且制作了弦表．弦表是在固定的圆内不同圆心角所应的弦长，此时的正弦指的是圆弧所对弦的弦长相当于现在圆心角一半的正弦线的2倍．后来Ptolemy(约公元100～178)在此基础上又丰富了弦表．在Ptolemy的弦表中，弦指的是当圆的半径为60时弦的长度，而不是一个比值．而印度数学家Aryabhata与希腊人的做法不同，他默认曲线和直线可以用同一单位，此时他计算的弦是圆弧所对弦的半弦长，相当于现在所指的正弦．其后Regiomontanus(1436～1476)在他的著作《论各种三角形》中首次对三角学做了完整、独立的阐述，使三角学正式从天文学中独立出来．在书中采用了印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数这一概念．讨论了一半三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角形的正弦定理和关于边的余弦定理．后来哥白尼的学生、印度数学家Rheticus(1514～1576)最先给出角的正弦概念，把原来说弧的正弦改成了说锐角的正弦．三角形就形成了三角关系的基本结构，相应的圆成了从属．他把正弦、余弦、正切等定义成直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，至此三角学真正形成了．总之16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算［5］．一直到17世纪，三角仍然是常量数学的主要内容，直到1729年Euler研究插值的方法时用三角级数表示了函数，函数的思想成了三角学的组成部分，变量数学占据了核心地位．随着解析几何和微积分的建立，三角函数的严格解析理论建立了，正弦不再是线段，而是变成了数值，是单位圆上点的纵坐标，而三角级数在实变函数的基础上又形成了另一门重要的数学分支—调和分析．根据上面的历史发展顺序，三角函数概念(以正弦为例)的发展历史大致可以分为正弦是圆弧所对的弦的弦长，正弦是圆弧所对的弦的半弦长，正弦是比值，正弦是单位圆上点的纵坐标［6］．概括的说就是经历了几何的三角学，代数的三角学，解析的三角学．学生在初中学习的锐角三角函数的内容，相当于代数的三角学，是用来解决三角形三边关系的主要工具．而后来当用解析的眼光来看待三角学的时候，三角函数是用来刻画函数性质的工具而不再拘泥于解决三角形边角关系的问题，而任意角的三角函数的研究与圆周运动密不可分．所以锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，他们研究的现象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广(或一般化)，又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”．学生在高中学习的任意角三角函数的内容应该是以函数的眼光来对待，认真体会其作为函数的一些性质，尤其是周期性．因为三角函数是刻画现实事物周期性很好的一个模型．教材(人教A版)只是在第一节内容上安排了任意角与弧度制的内容，接下来就用单位圆给出了任意角的三角函数，教师的普遍作法也是回顾初中锐角三角函数的定义，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广的任意角三角函数．这种讲法无疑就把学生陷入一个误区，即任意角三角函数是锐角三角函数的推广，自然有很多同学认为任意角三角函数仍然是研究三角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形，也有很多同学排斥单位圆的定义，觉得不如初中给的“比值法”好，不直观难用来计算．尽管这样的处理方式很直截了当，但对照发生教学法我们发现这种做法存在以下不足:(1)没有讲明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的内容和方法都不同，容易造成学生的概念混淆．(2)没有很好的利用单位圆，单位圆是函数周期性的一个很好的体现，在三角函数的后续学习中有很大的作用．但学生在教师的实际教学中体会的很少．基于发生教学法，考虑学生在了解三角函数发展历史之后，就不会陷入锐角三角函数同任意角三角函数概念混淆的误区，能更好的认识单位圆在研究三角函数中的重要作用，体会其作为一个周期函数的性质等等，因此对三角函数的概念的历史进行重构以便于教学．
3任意角三角函数概念的教学设计
基于三角函数概念(以正弦为例)的发展历史，讲其进行重构并应于实际教学．如图1:
3.1学情分析
学生在前面一节已经学习了弧度制，从弧度制一课来讲数学史的引入就很有必要，很多学者在前面的研究中已经给出了很多宝贵的建议［7-9］．在前一节的很好的铺垫下，学生已经体会到引入弧度制的必要性，这也为本节学习单位圆打下了良好的基础．学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数(正弦、余弦、正切)有一定的了解，而且学生通过弧度制的历史回顾，已经了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．因此我建议对于锐角三角函数的概念的回顾可以放在弧度制一课对弧度制的历史回顾之中完成，因为在弧度制最早的也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的．是区别于角度制的另外一种度量方式．而在本节课任意角的三角函数中，先不要提及锐角三角函数的定义方式，以免学生发生概念的混淆．等到学生熟练掌握了任意角三角函数的概念以后，再把初高中学习的内容进行对比，这样即可以帮助学生建构知识体系，也能让学生更好的体会任意角三角函数作为函数的性质．
3.2教学情景设计
高中生具有丰富的生活经验和联想，因此从现实生活入手更能激发学生的学习兴趣．如观察:钟表指针的旋转、自行车轮子的旋转、摩天轮、跳水运动员优美的动作，这些周期现象中都存在着超过180°的角，而且形成的图形都与圆有关，那么我们如何研究这种周期现象呢?任意角的三角函数是我们的好帮手，回顾历史我们可知，正弦和余弦是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，是圆对称性的直接反映［10］．因此三角函数也叫圆函数，我们今天学习的内容与初中学习的锐角三角函数存在很大的差别．就此借助单位圆引入任意角三角函数的概念．3.2.1任意角三角函数概念的教学片段问题一:如何借助圆来研究三角函数?回顾历史上数学家的做法，三角学最早起源于天文学，而三角函数是用于研究圆内接图形(主要是三角形)的工具，随着后来的发展是用于研究确定行星位置的工具．那么如何借助于圆来研究三角函数的内容呢?通过观察几组图片，钟表两个指针的运动轨迹、自行车轮子旋转等图片，激发学生的兴趣．显然我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到角的顶点的距离为1(方便定义三角函数)，随着角度的任意扩大，以这个点旋转一周的轨迹—圆，来帮助我们学习三角函数．虽然在此处没有提到，这是数学家欧拉的做法，将单位圆的半径定位1，大大方便了我们研究三角函数的过程．我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．问题二:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么:(1)y叫做α的正弦(sine)，记做sinα，即sinα=y;(2)x叫做α的余弦(cosine)，记做cosα，即cosα=x;(3)yx叫做α的正切(tangent)，记做tanα，即tanα=yx(x≠0)．问题三:任一点P的选择，对于任意角三角函数的值有没有影响?回顾最初引入单位圆的过程，学生借助于相似三角形的知识可以得到点P的选择对于任意角三角函数的值没有影响．问题四:任意角的三角函数符号的确定与点p(x，y)的坐标有什么关系?引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0，三角函数值的符号决定于横坐标、纵坐标的正负．问题五:如何借助单位圆研究三角函数的周期性?我们观察图形发现，角度每变化360°的整数倍的时候，角的终边又回到了同一位置，因此终边相同的同名三角函数值应该相等．这样一来可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(0°～360°)角的三角函数值，简化我们的计算．课后思考:观察单位圆，我们可以得到同角三角函数之间存在着哪些关系呢?为一下节课研究同角三角函数的关系做好铺垫.
4课堂实施与问卷调查
按照HPM视角下的教学设计，研究者在2013年于北京市某重点高中实习期间做了充分的调查研究，并进行了课堂教学的实践．该校在高中一年级学习完必修一之后接着学习必修四的内容，可以说为任意角三角函数内容的学习做了良好的铺垫．该校文理科班级比例为1:3，考虑到文科班的同学对于历史更感兴趣效果应该优于理科班，所以选择2个理科班，1个文科班来进行教学．但是结果却出乎意料，理科生对本节课表示出了浓厚的兴趣，甚至热情高于文科班．以下是对某个理科班同学的课后访谈片段:T(教师):对今天这节课的感觉如何?S(学生):挺好的，感觉比以往新颖，似乎更有兴趣了．T:你理解今天所讲的任意角三角函数与初中学习的锐角三角函数的差别了吗?S:理解了，初中学习内容是研究三角形边角关系的，现在学习的是具有函数性质的．不是同一个内容．S:那你理解在这里引入单位圆的作用了吗?T:差不多吧，圆具有周期性、对称性，用来研究三角函数很好．最后老师又问了一个问题，感觉还有内容要学习．T:那今后采用这种方式上课怎么样?S:好啊，不容易溜号了．图3是对全体授课班级同学学习情况的统计，我们可以看到本节课的教学效果还是显著的．三角函数历史悠久，有几何的、代数的、解析的视角，现在向量也进入教材，三角函数和向量、复数之间的关系也应引起教师重视，教师把对三角函数概念的理解局限于一节课、一章里是不对的，学生对一个概念的理解不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．作为教师更要有全局观念，在教三角这一章时要用三角的眼光看待后续内容，适当的选择教学方式方法［11］．因此建议教师在教授任意角三角函数概念的时候，不要把对学生理解此概念的任务放在这一节里，而是在整个单元的教学中都要反复的重视学生对任意角三角函数概念的理解情况．从本课的课堂反馈和效果调查来看，基于HPM视角下的教学设计对于学生深刻理解数学概念有一定的促进作用．
二对学生记录课堂笔记的指导
在多媒体课上，多数同学一节课下来只字未记。一方面学生由于很好奇，忙于欣赏多媒体画面去了，加之与课件制作上屏幕切换太快有关，往往是想记又记不下来。这要求授课教师对重要的内容、反复强调的知识点，不要一闪而过，要留一点时间给学生做笔记，同时应该提醒学生多留意记录。
心理学家佩维奥于1969年提出了双重编码理论，认为人脑中存在两个功能独立却又相互联系的加工系统:一个是以语言为基础的加工系统，另一个是以意象为基础的加工系统。意象系统专门表征和加工非语言的物体和事件，它由相互具有联想关系的意象表征组成;而言语系统表征和加工言语信息，由相互联系的言语表征组成。双重编码理论的重要原则是:可通过同时用视觉和语言的形式呈现信息来增强信息的回忆与识别。语言的本质是一套音、义结合的系统，是通过发声和听觉来传递信息的。记录这一音、义结合系统的文字使语言能够通过视觉符号来传递信息。拼音文字能够比较真实地还原所记录语言的声音，虽然是视觉符号，但实际上仍然是一种变化的声音符号，本质上仍然是听觉的符号。汉字的字形几乎是直接和字义发生联系的，本身就能成为一套系统，由于不直接和字音发生联系，使得这套独特的汉字符号系统成为了名副其实的视觉符号系统。这套视觉符号系统与音、义结合的听觉系统连接，就形成了独特的汉字系统。汉字的这两套系统准确地契合了佩维奥的双重编码理论，如果在汉字学习的过程中突出视觉的、表象的因素，加上适合的言语的表征，即在汉字学习的过程中结合图、文、声并茂的多媒体技术，就能更好地促进对汉字的学习和记忆。
(二)认知负荷理论的要求
Sweller等人提出的认知负荷理论认为人的工作记忆容量是有限的，当某种知识(或图式)含有多种相互作用的元素时，这些知识将加重认知负荷，此时就需要通过外部认知或者关联认知来促进知识的学习。汉字能力包含了形、音、义三个方面，且汉字字形包含了诸如笔画、笔顺、结构等内部因素，这三个因素内部又包括诸如相交、相离及上下、左右等关系。这些因素使得汉字的认知过程占用了较多的工作记忆容量，此时就必须调整汉字的呈现方式以促进汉字的学习。根据认知负荷理论，汉字的学习可以通过使用多媒介(多感觉通路)呈现形式等多种方法来设法规避工作记忆的有限性，而图、文、声并茂的多媒体技术恰是一种能够调动多感觉通路的最恰当的方法。
二、对外汉字教学中多媒体的具体应用
汉字教学的主要任务是要让学生建立形、音、义之间的联系，即知道某个汉字是什么意思(建立形、义之间的联系)、怎么读(建立形、音之间的联系)、怎么写(记住字形)。根据上述双重编码理论，汉字实质上是视觉符号和言语符号的统一;又由于汉字本身的内部认知因素太多，就必须调动其他的外部因素等来促进汉字教学，多媒体恰好能很好地解决这些问题。
(一)多媒体展示
汉字的方法展示是汉字教学的第一步，是建立汉字形、音、义联系的开始。展示汉字时，不仅要呈现字形、字音，还要呈现字义，充分调动视觉和听觉这两个通道来加强记忆。在展示阶段应以静态展示为主，尽量在一个版面内展示汉字的字形和声音，结合实物提示字义。因为在用多媒体展示时，空间和时间接近，调用双通道能够促进记忆。作为智力技能学习的第一步，展示的作用在于让学习者辨别汉字的内部构造，形成一些初步的概念。而其作为动作技能的开始，同样是认知汉字的字形。例如:展示“花”时要同时出现字形、图像、拼音，还要加上读音。展示字形可采用静态分解，例如将“花”字拆分成“艹”和“化”进行展示。
(二)多媒体辅助汉字教学的方法
汉字的教学包括字音的教学、字义的教学和字形的教学。一般的汉字或者入门阶段的汉字读音可以采用直接领读、展示拼音的方式让学生认读。对于形声字，可以借助声符的帮助，让学生掌握字音。例如:一般情况下，在初级阶段就会学“从”字，之后才会接触到“丛”字，因此，在字音的教学中就可以将“从”显示为不同的颜色以提示字音。此外，还可以通过已学汉字中的声符来帮助记忆新字的音，例如:“花”字学习得比较早，而“化”或“华”稍后才接触，学习时可将“花”字同时显现并将“化”变换颜色以提示字音。这样，新字字音不仅是声音的单一通道，而且有了用于提示声音的旧字的视觉符号的刺激，两种编码同时发挥作用。字义教学的情况比较复杂，可以通过多媒体展示实物图片、动画等方式进行，因为汉字本身是表意的文字，可以通过还原汉字造字时的理据、汉字演变等方式予以呈现。利用多媒体技术再现古人造字时的原生语境(原始情境)，从追溯汉字字源入手，对汉字进行有针对性的分析，揭示其形体结构的内在机理，建立形、音、义的有机联系，从而完成汉字的识记。例如:“羊”的字义教学就可以采用原生语境再现的方式，用图片分别展示“羊”从甲骨文、金文、小篆到楷体的字体演变过程，联系羊的形象进行教学。字形教学是汉字教学最大的难点，汉语难学通常指的是汉字字形的难认、难记、难写。通过多媒体来讲解汉字是突破难点的一条便捷的道路。讲解汉字是对作为智力技能的汉字能力进行办事规则的讲述以及作为动作技能的汉字技能进行动作的分解。对汉字字形能力的掌握不是从笔画到部件、到汉字的建构过程，而是一个从整字到部件、到笔画的分解过程。通过多媒体技术显示拆分的部件，能够初步建立部件联结的意识。例如:对于“美”字的字形教学，可将“美”先拆分成“羊”和“大”，“大”再拆分成“一”和“人”。对于一些形声字最好依据声旁和形旁的类别进行拆分，这样能起到提示意义类属和声音的作用，而且还能了解其结构，例如:“花”字拆分成形旁“艹”字和声旁“化”，引导学生认识部件之间的联系，建立汉字的结构意识。这种逐步分解的方式是为了让学生了解汉字书写这种动作技能的基本规则，建立起各部分之间的联结，为见字自动拆分打下基础。独体字，特别是常用独体字是对外汉语教学初期建立字感的重点。因为留学生对汉字的字形缺乏感性认识，没有笔画概念，分不清字与字之间的细微差别。结构简单、笔画数少、意义清晰的独体字恰能担当这个重任。多媒体图示法能够很好地展示笔画、意义，例如:在展示“口”字时，可同时显示“口”的图片，同时展示“口”字的笔画顺序。不少初级阶段的学生将“口”写成一个不规则的“”，原因就是没有笔画意识。通过上述笔画的拆分，学生就能初步了解汉字的笔画。笔顺一直是对外汉字教学的难点。笔顺是关系到汉字正确书写、美观的重要因素，也是建立汉字能力的基础。传统的黑板板书笔顺主要靠两种方法，一种是按照笔顺在不同位置线性地分别叠加笔画，最后形成汉字，是一种分步骤展示;还有一种是在同一位置分步书写汉字，最后形成一个汉字。前一种方法可以清晰地显示笔顺，但难以树立汉字结构意识;后一种方法便于建立结构意识，但难以显示笔顺。动画技术出现以后，汉字的笔顺就能在同一位置上分步呈现，不仅能暂停，让学习者仔细思考，还可以反复地观看。
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）25-061-01
在汉语教学中，人们对语言教学教什么，实施何种教学法，语言教学中要不要进行文化教学存在一些分歧。这主要表现在三点上，一是认为汉语教学主要目的应是语言本体知识的教学（语音的准确性、词汇的扩充、语法与句型知识等），相应采用结构主义教学法；另一点是认为语言的本质在于它的工具性，因此，语言教学应以培养学生的交际能力及语用能力为根本，并应采用交际主义教学法。本文将结合对这二个问题的讨论，探讨语言教学中，处理好文化与语言关系的必要性和可能性，并相应提出一些建议。
一、交际能力、语言本体知识及和文化教学
语言学、语言教学理论的不断发展使人们对语言的本质不断加深认识，提出语言是交际性工具这一功能性观点，语言教学目的、目标也随之不断修正。并明确了语言运用能力包括的内容，即听、说、读、写四个方面，细化了语言运用能力的指标。那么交际能力包括哪些因素，它与语言知识是什么关系，它与文化教学又是什么关系呢？
比较一致的看法认为：“交际能力应包括下列五方面的内容：1、语言，指掌握语法知识；2、功能，指运用听、说、读、写四方面的能力；3、语境，选择与所处语境相适宜的话语；4、交际者之间的关系，根据对方的身份、地位、社会场合，说出合乎自己身份的话语；5、社会文化知识，语言首先是一种“社会实践”。其中，后三个方面综合起来就是一点――语言得体性。交际能力的培养也就是使学习者在交流中，根据话题、语境、文化背景讲出得体、恰当的话。儿童在习得一种民族语言的同时，也在习得该民族的文化。所以，语言和语言的应用不可能脱离文化而单独存在。对少数民族汉语教学不仅要学习语言本体知识并进行“四会”技能训练，更应该把这种学习与训练放到文化教学的大背景中进行，最终使学生具有语用能力。
只强调语言形式和内部结构的结构主义教学，割裂了语言形式与语言意义及功能的联系。用这种教法教出的学生可能很会做专测语法形式、结构的试题，但必然缺乏运用语言进行交际的能力（包括读、写的能力），出现交际失误，最终也就达不到学习和掌握并运用汉语进行交际的目的。
二、交际法教法中文化教学的体现
广义上讲，文化教学存在于语言教学的每个阶段，甚至每个单元。语言教学既然最终以语用为目的，就必然涉及语言文化的教学。真正使学生感到困难的不是如何发准音或拼写正确，而是在实际交际中如何恰当运用语言。教师在教学中只要自始至终注意结合语用、文化因素，把语言形式放到社会语用功能的背景下进行教学，就能使语言知识“活”起来，使学生逐步提高语用能力。这样讲，并不是要求教师在讲每一个语言项目时都把与之相关的语用功能介绍全、练习够，这是不现实的，也违反认知规律。目前我区对少数民族的汉语教学的弊病之一就是讲者不厌其烦，力求一次讲全、讲透。在介绍一个新语言项目时，往往以点带面，全面开花，字典搬家。学生则忙于记笔记。应试教育和结构主义理论的影响更起了负面推动作用。交际法教学注重语言功能训练。具体语言形式的功能要随语境而变化，使用中相关社会因素较多，只有逐步介绍、训练，循环往复，学生才能体会到不同语境中语义的差异并逐步掌握，进而形成语言能力。目前，在教材编写中，教学内容循环出现的方式与原则也应体现在汉语教学中。
三、交际法教法中文化教学的实现的方法和原则
语言教学中的文化教学不是深不可测的难点。日常口语交际中就存在着文化因素，各类教材也提供了大量真实的语言素材，教师可以充分加以利用和发掘。我们提倡我区从事汉语教学的各族教师不断加强对汉语语言与文化知识的了解和掌握，提高自身语言交际能力，进而使教师在教学中注重文化因素的教学。文化因素存在于最简单的交际活动中，文化教学也应存在于最基本的日常教学中。教师在教学生如何向别人问候时，即使只介绍了一种形式的实际用法，只要从语用角度讲是正确的，他就传授了语用原则与文化知识；学生如果通过训练掌握了这一形式的运用，教师也就是在帮助学生逐步发展文化语用能力。尽管这种学习可能是零散、不系统的，学生却是在沿着正确的语言学习道路前进。教师自己不应该也不应要求学生学习好了语言形式再去实践，或者掌握了语用知识再去实践，而应在实践中学习、发展语用能力。交际能力的培养只能在交际中实现。
如何进行交际能力训练？方法可以多样。交际教学并不否认语言基础知识、技能的训练，并把它看成是语用能力发展的必要组成部分。交际法与结构主义教学法的区别主要在于学习目标的不同。克鲁姆指出：“成功的外语课堂教学应在课内创造更多的情景，让学生有机会运用自己学到的语言材料。”他提出了课内开展交际活动的几个环节：“假设交际”，指在课内围绕教学内容展开的各种操练，包括机械操练和教师讲解等；“教学交际”，指课堂内进行的再表达练习，学生掌握语言知识后，根据教师提供的语境开展模仿性对话或书面练习；“针对际”，指学生根据情景和语用考虑，作出反应；“谈论性真实交际”，指学生不受限制地自由交谈，语言具有真实性和社会性，言语符合语用及文化规范。
综上简述，教师只要确立语用学观点，在对少数民族汉语教学中采用交际法教学并在汉文化的大背景下引导学生利用语言材料进行各种旨在提高语用能力的训练和交际，是能实现汉语教学的最终目的的。
参考文献：
1.通用技术课程特点、构成、教学目的、教学成果评估。
2.通用技术教室设计及设备配置、选型、方案研究。
3.通用技术教学点分析及不同类型课程内容的教学设计。
4.教学任务及教学效果评估标准研究。
5.通用技术教学与实验教学的比较分析,通用技术教学与一般学科课程的异同。
6.信息化在通用技术教学中的辅助作用。
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8.通用技术教学相关问题研究。
9.通用技术教室设备配置标准相关问题研究。
二、征文内容和格式要求
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中职数学教学论文题目1、线性方程的叠加原理及其应用
2、作为函数的含参积分的分析性质研究
3、周期函数初等复合的周期性研究
4、“高等代数”知识在几何中的应用
5、矩阵初等变换的应用
6、“高等代数”中的思想方法
7、中职数学教学中的数学思想和方法
8、任N个自然数的N级排列的逆序数
9、“高等代数”中多项式的值，根概念及性质的推广
10、线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法
11、数域概念的等价说法及其应用
12、中职数学教学与能力培养
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15、论电脑、人脑与数学
16、论数学中的收敛与发散
17、论小概率事件的发生
18、论高等数学与初等数学教学的关系
19、论数学教学中公式的教学
20、数学教学中学生应用能力的培养
21、数学教与学的心理探究
22、论数学思想方法的教与学
23、论数学家与数学
24、对称思想在解题中的应用
25、复数在中学数学中应用
26、复变函数论思想方法在中学数学教学中的应用
27、复变函数论思想方法在中学数学竞赛中的应用
28、代数学基本定理的几种证明
29、复变函数的洛必达法则
30、复函数与实函数的级数理论综述
31、微积分学与哲学
32、实数完备性理论综述
33、微积分学中辅助函数的构造
34、闭区间上连续函数性质的推广
35、培养学生的数学创新能力
36、教师对学生互动性学习的影响
37、学生数学应用意识的培养
38、数学解题中的逆向思维的应用
39、数学直觉思维的培养
40、数学教学中对学生心理素质的培养
41、用心理学理论指导数学教学
42、开展数学活动课的理论和实践探索
43、《数学课程标准》解读
44、数学思想在数学教学中的应用，学生思维品质的培养
45、数形结合思想在中学数学中的应用
46、运用化归思想，探索解题途径
47、谈谈构造法解题
48、高等数学在中学数学中的应用
49、解决问题的策略思想--等价与非等价转化
50、挖掘题中的隐含条件解题
51、向量在几何证题中的运用
52、数学概念教学初探
53、数学教育中的问题解决及其教学途径
54、分类思想在数学教学中的作用
55、“联想”在数学中的作用研究
56、利用习题变换，培养学生的思维能力
57、中学数学学习中“学习困难生”研究
58、数学概念教学研究
59、反例在数学教学中的作用研究
60、中学生数学问题解决能力培养研究
61、数学教育评价研究
62、传统中学数学教学模式革新研究
63、数学研究性学习设计
64、数学开放题拟以及教学
65、数学课堂文化建设研究
66、中职数学教学设计及典型课例分析
67、数学课程标准的新增内容的尝试教学研究
68、数学课堂教学安全采集与研究
69、中职数学选修课教学的实话及效果分析
70、常微分方程与初等数学
71、由递推式求数列的通项及和向量代数在中学中的应用
72、浅谈划归思想在数学中的应用
73、初等函数的极值
74、行列式的计算方法
75、数学竟赛中的不等式问题
76、直觉思维在中学数学中的应用
77、常微分方程各种解的定义，关系及判定方法
78、高等数学在中学数学中的应用
79、常微分方程的发展及应用
80、充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能
小学数学教学论文题目参考1、小学数学教师几何知识掌握状况的调查研究
2、小学数学教师教材知识发展情况研究
3、中日小学数学“数与代数”领域比较研究
4、浙江省Y县县域内小学数学教学质量差异研究
5、小学数学教师教科书解读的影响因素及调控策略研究
6、中国、新加坡小学数学新课程的比较研究
7、小学数学探究式教学的实践研究
8、基于教育游戏的小学数学教学设计研究
9、小学数学教学中创设有效问题情境的策略研究
10、小学数学生活化教学的研究
11、数字故事在小学数学课堂教学中的应用研究
12、小学数学教师专业发展研究
13、中美小学数学“统计与概率”内容比较研究
14、数学文化在小学数学教学中的价值及其课程论分析
15、小学数学教师培训内容有效性的研究
16、小学数学课堂师生对话的特征分析
17、小学数学优质课堂的特征分析
18、小学数学解决问题方法多样化的研究
19、我国小学数学新教材中例题编写特点研究
20、小学数学问题解决能力培养的研究
21、渗透数学思想方法
提高学生思维素质
22、引导学生参与教学过程
发挥学生的主体作用
23、优化数学课堂练习设计的探索与实践
24、实施“开放性”教学促进学生主体参与
25、数学练习要有趣味性和开放性
26、开发生活资源，体现数学价值
27、对构建简洁数学课堂的几点认识和做法
28、刍议“怎样简便就怎样算”中的“二指技能”现象
29、立足现实起点，提高课堂效率
30、宁缺毋滥--也谈课堂教学中有效情境的创设
31、如何让“生活味”的数学课堂多一点“数学味”
32、有效教学，让数学课堂更精彩
33、提高数学课堂教学效率之我见
34、为学生营造一片探究学习的天地
35、和谐课堂，让预设与生成共精彩
36、走近学生，恰当提问--谈数学课堂提问语的优化策略
37、谈小学数学课堂教学中教师对学生的评价
38、课堂有效提问的初步探究
39、浅谈小学数学研究性学习的途径
40、能说会道，为严谨课堂添彩
41、小学数学教学中的情感教育
42、小学数学学困生的转化策略
43、新课标下提高日常数学课堂效率的探索
44、让学生参与课堂教学
45、浅谈新课程理念下如何优化数学课堂教学
46、数学与生活的和谐之美
47、运用结构观点分析教学小学应用题
48、构建自主探究课堂，促进学生有效发展
49、精心设计课堂结尾 巩固提高教学效果
50、浅谈数学课堂提问艺术
51、浅谈发式教学在小学数学教学中的运用
52、浅谈数学课堂中学生问题意识的培养
53、巧用信息技术，优化数学课堂教学
54、新课改下小学复式教学有感
55、让“对话”在数学课堂中焕发生命的精彩
56、小学几何教学的几点做法
初中数学教学论文题目1、翻转课堂教学模式在初中数学教学中的应用研究
2、数形结合思想在初中数学教学中的实践研究
3、基于翻转课堂教学模式的初中数学教学设计研究
4、初中数学新教材知识结构研究
5、初中数学中的研究性学习案例开发实施研究
6、学案导学教学模式在初中数学教学中的实践与研究
7、从两种初中数学教材的比较看初中数学课程改革
8、信息技术与初中数学教学整合问题研究
9、初中数学学习困难学生学业情绪及其影响因素研究
10、初中数学习题教学研究
11、初中数学教材分析方法的研究
12、初中数学教师课堂教学目标设计的调查研究
13、初中数学学习障碍学生一元一次方程应用题解题过程及补救教学的个案研究
14、初中数学教师数学教学知识的发展研究
15、数学史融入初中数学教科书的现状研究
16、初中数学教师课堂有效教学行为研究
17、数学史与初中数学教学整合的现状研究
18、数学史融入初中数学教育的研究
19、初中数学教材中数学文化内容编排比较研究
20、渗透数学基本思想的初中数学课堂教学实践研究
21、初中数学教师错误分析能力研究
22、初中数学优秀课教学设计研究
23、初中数学课堂教学有效性的研究
24、初中数学数形结合思想教学研究与案例分析
25、新课程下初中数学教科书的习题比较研究
26、中美初中数学教材难度的比较研究
27、数学史融入初中数学教育的实践探索
28、初中数学课堂教学小组合作学习存在的问题及对策研究
29、初中数学教师数学观现状的调查研究
30、初中数学学困生的成因及对策研究
31、“几何画板”在初中数学教学中的应用研究
32、数学素养视角下的初中数学教科书评价
33、北师大版初中数学教材中数形结合思想研究
34、初中数学微课程的设计与应用研究
35、初中数学教学生成性资源利用研究
36、基于问题学习的初中数学情境教学模式探究
37、学案式教学在初中数学教学中的实验研究
38、数学文化视野下的初中数学问题情境研究
39、中美初中数学教材中习题的对比研究
40、基于人教版初中数学教材中数学史专题的教学探索
41、初中数学教学应重视学生直觉思维能力的培养
42、七年级学生学习情况的调研
43、老师，这个答案为什么错了?--由一堂没有准备的探究课引发的思考
44、新课程背景下学生数学学习发展性评价的构建
45、初中数学学生学法辅导之探究
46、合理运用数学情境教学
47、让学生在自信、兴趣和成功的体验中学习数学
48、创设有效问题情景，培养探究合作能力
49、重视数学教学中的生成展示过程，培养学生创新思维能力
50、从一道中考题的剖析谈梯形中面积的求解方法
51、浅谈课堂教学中的教学机智
52、从《确定位置》的教学谈体验教学
53、谈主体性数学课堂交流活动实施策略
54、对数学例题教学的一些看法
55、新课程标准下数学教学新方式
56、举反例的两点技巧
57、数学课堂教学中分层教学的实践与探索
58、新课程中数学情境创设的思考
1.积极做好课题准备工作
为了更好的开展研究活动，我们制定了课题研究计划，并着手进行课题准备。事先我们召开了课题组主要成员会议，对各自的分工做了具体的布置，研讨了课题实施方案。
2.扎实进行课题研究工作
在研究过程中我们重点加强了对以下内容的研究和探讨：
七年级：（1）探索两直线的位置关系。
（2）利用几何画板探究平面直角坐标系的有关知识及其应用。
（3）利用几何画板学习三角形有关概念，探究多边形的内角和。
八年级：（1）利用几何画板的画图功能画反比例函数的图像。
（2）利用几何画板的动态功能探索反比例函数图像的性质。
（3）利用几何画板学习三角形的重心。
（4）利用几何画板进行分式方程的应用-行程问题的教学。
九年级：（1）探索二次函数的性质。
1）画二次函数y=ax2的图像，通过系数a的变化总结二次函数图像-抛物线开口大小的变化规律。
2） 利用几何画板的作图功能及动态效果让学生比较y=ax2与y=a（x- h）2及y=ax2与y=ax2+k的变化。学生通过观察、比较，总结平面直角坐标系中平移规律。
3）探索二次函数与一元二次方程的关系。
（2）探究相似三角形和位似。
1）利用几何画板演示三角形中一条直线的平移的动态过程，归纳相似三角形的几种基本图形，进而总结相似三角形的推理方法。
2）利用几何画板研究几何中的动点问题。
3）利用几何画板探索位似的性质。
3.取得的成绩
通过一年来课题组全体成员的共同努力，我们取得了较好的效果。我们课题组成员积极进行研究，并把研究成果写成论文。王时玲、和锡超、贯琦睁、潘洪庆的论文都在县级论文评比中获得了一等奖。信息技术与数学课有机、有效整合在学生信息素养、自主学习能力、与人合作能力、处理问题、解决问题等诸能力的培养方面发挥其不可比拟的优势，其直接作用就是提高学生的学习能力，从而提高学生的学习效率。
4.反思与不足
随着时代的发展，技术的进步，人们的生活方式、学习方式正发生着深刻变革，向着信息化和网络化的趋势迈进。信息时代数学教学具有两重性，兼具抽象的逻辑思维与实验数学的属性。信息技术的应用为实验数学开辟了广阔的前景，促进了数学形态向学生可接受的教育形态发展。
《初中数学教学策略》中指出数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。数学教学应把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。因此我们参与新课程下信息技术有效促进数学教学的研究。
信息技术与数学教学整合是培养具有创新精神和学习能力的有效方法，是提高教学效率的重要途径。教师在教学中利用信息技术，提高学生与老师的合作、探究和反思能力，丰富了学生的想象力，激发了他们积极的思维。把信息技术从学习对象变为学习工具，不断地进行反思，力求信息技术与学科教学整合的科学性、有效性。
由于我们南桥镇地处苏鲁交界处，外出打工的很普遍，留守儿童多，留守儿童由于缺乏家庭教育，自治能力较差，管理起来十分困难，工作难度增大。这是课题研究过程中存在的一大不利因素。
5.今后的努力方向和打算
不难看出，这一严格定义涵盖了参考文献中极值点偏移的概念.但是，其属性的详尽研究已超出了初等数学范畴，为在现有的初等数学范围中探讨之，需要在数形结合的思想下使用简化的概念.
因此，结合中学数学实际内容，本文定义如下极值点偏移的简化概念，并在现有初等数学意义上做一些探析.
简化定义设可导函数f（x）满足f（a）=f（b），并在区间（a，b）内只有一个极小值点x0.若对于任意x∈（0，x0-a）∩（0，b-x0）即0
注1对于极大值点的偏移，只需考察负值函数的极小值点偏移.
注2按简化定义，函数f（x）在极小值点x0邻近的左边值f（x0-x）大于或小于右边值f（x0+x）时，x0左或右偏移，其数形结合的特点十分明显.因此，考察f（x0-x）与f（x0+x）的大小或f（x0-x）-f（x0+x）的符号是十分自然的思路与方法.
文[1]将极值点发生偏移理解为函数在极值点左右增减速不同，导致函数失去对称性.事实上，当左侧的减速大于右侧的增速时，可理解为f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]>f（x0+x）-f（x0），即f（x0-x）>f（x0+x）.依上述定义，极小值点x0向左偏移.当左侧的减速小于右侧的增速时，可理解为f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]
文[2]在数形结合的思想下，归纳出的结论正是本文的简化定义，但并未将其归结成初等数学范畴内极值点偏移现象的本质.
文[2]、[3]的结论中假定f（a）=f（b）=0是不适当的，因为许多函数图像不与x轴相交，但仍有极值点偏移问题.
如在前述严格定义的基础上，融合数形结合的思想，可得出如下初等数学范畴内的结论.
结论1设区间（-∞，+∞）内的可导函数f（x）满足f（a）=f（b），并且只有一个极小值点x0.
（1）若f（a）
（2）若f（a）>f（2x0-b），则函数f（x）极值点x0右偏移.
证明由函数f（x）在区间（-∞，+∞）内只有一个极小值点x0可知，f（x）的单调递减区间为（-∞，x0），单调递增区间为（x0，+∞）.
由此可判定，极值点x0分别左偏移或右偏移.
注3结论1、2在一定意义上刻画了极值点偏移的本质.
值得一提的是，初等数学中数形结合的方法并不是一种严格推理论证的数学思想方法，而是一种利用几何特点辅推理的方法，只适用于初等数学范畴.
如右图所示函数，随着所考虑的区间改变，极小值点偏移的类型也在改变（甚至是不偏移的）：极小值点x0在区间（a，b）内右偏移，在区间（c，d）内左偏移.
因此，从严格数学意x上讲，极值点偏移不是确定的概念，只适合在初等数学中用数形结合的思想去考察.本文的简化定义，赋予了极值点偏移问题更加直观、形象的理解，以及易于处理的思路.
参考文献
我想这个不好搞也许是数学教育搞错了，数学教育喜欢深挖，直到把人挖得精疲力竭为止。其实数学不是那么可怕，只是我们把有意思的部分选择性忽略罢了。
我一直想一件事情，就是把生活数字化，这其实是可能的，但是我没有掌握。本身我们生活的世界就是一个数学世界，只是很多东西我们尚未数字化而已。比如我们的收入和支出，比如我们的家庭用具，再比如我们做选择考虑的利益取向。这些都可以用数学去描述。我有时想起来觉得这个事情很有意思，只是常常又觉得无从下手，因为不是所有的数字都会在行为的当下立马呈现出来，也不是呈现出来就都很重要，而且你必须要主动去记下来，可是这又极其的麻烦，时间长了确实可以做出很漂亮的表，但是又觉得得不偿失。不过我们生活在数学世界的一个佐证是，计算机的世界就是由1和0两个数字构建起来的虚拟空间。
而实际上数学家是发现了很多有意思的数学存在的，比如黄金分割数以及迷宫、魔方，等。在发现这些东西的时候，数学家一点也没有感觉到枯燥乏味，而是充满发现一个未知领域的兴奋。
我认为数学除了可以分为代数、几何、拓扑、混沌、罗曼几何、集合、概率、虚数、三角几何、数论……这些数不胜数的而且无穷尽的分类之外，还可以用新的分类，便于建立对数学的兴趣。
那就是：运算系统、对应法则系统、数的系统、逻辑系统。
运算法则系统就是加、减、乘、除。这是最基本的系统，和逻辑没有关系，只有对错之分。但是掌握运算法则系统很简单，只要你知道加减乘除就可以，而实际上在做题时算错很少是直接由运算系统没有掌握引起的，就像5乘以5很少有人会算错，错是错在逻辑没有理清楚。
逻辑系统包括：同一律、排中律、矛盾律、充足理由律，四条基本逻辑规律。其实还不是如此简单，因为具体运算是数字的相互作用，不是概念的相互作用。其实逻辑系统包括在数学分类之中，比如三角函数的逻辑系统、虚数的逻辑系统、微积分的逻辑系统、数论逻辑系统、混沌逻辑系统……每个系统都是封闭的，有各自的逻辑起作用。很多时候说做错题了，其实重要原因就是逻辑系统没有掌握好，那么逻辑系统有没有掌握好的标准是什么呢？那就是对应法则。
我觉得一个人掌握数学的高低最根本的就是他能掌握多少对应法则，以及其相互关系。比如：一次函数、二次函数、三角函数……，每个函数都有类似的结构，但是其演化出来的对应法则随着参数的变化是无数多个的，比如最基本的y=ax＋b,光是a就有无数种可能，每个可能都是一条对应法则。
这样，当看到数学成绩很悲催的时候不要觉得是马虎造成的，马虎是运算系统掌握出了错，比如5乘以5得数算成26，一般出错是因为逻辑含糊导致紧张才出现运算问题，因为基本运算在小学4年级基本就没问题了。
数学对于现代生活的重要性不是体现在运算上，而是理解上。确实，你不需要计算那么复杂的微积分，但是当你看到股票涨跌的时候，是通过数轴上的曲线领悟的，而且不光是看到表面还要看到曲线背后的本质，是什么因素影响着曲线变化？当然，各种分析可能纷繁复杂，多数是无效信息，你还得必须自己分辨出哪些信息是有用的，哪些信息是无用的，甚至自己判断信息推断结果，也就是每个因素对股票影响的权重是不一样的。那么你能说数学毫无用处吗？当然不是。
还是拿股票曲线为例，很多人热衷于神秘主义，但是有限，其中最显著的是波动理论，确实股票是很像水波，但是你如果看到的不是波纹而是风，甚至不是风而是地震，那么波动就不是那么可怕的了。
股票曲线的规律确实很有意思，最少它绝不可能是一个自变量决定的，因此精确预测非常困难，数学中你得到一个确定的结果需要所有其他未知数确定，只要有一个未确定，那么这条曲线就是一条平滑和连续的曲线，而股票呈现的绝不是平滑和连续的曲线，可见其未知数是很多的，哪能精确计算呢？所以看表面不如看其背后的参与者，涨跌、买卖、庄家和散户、政策和现状……这些才是股票规律的决定因素。
除了股票，你能看到的图表真是太多了，如果不学一点数学是不可能的。不说那些统计数据，就说做生意想做大也必须要有数学敏感。所以现实中的数学不是你能掌握多少条对应法则，而是你需要理解多少现实背后的本质，这些本质影响着你能不能抓住重要的，而不是为那些不重要的东西搞得垂头丧气。
