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既是教学中心又是科研中心的大学，必然在着重加强基础训练同时，又要使教学过程带有研究性质，在教学过程中，提出学生觉得需要解决的问题，加以适当引导，学习研究。在解决问题的同时，提高学生思维能力，使教学与科研相结合。那么研究式教学就有着必然性，成为调动大学生学习的积极性、主动性、创造性和辩证思维能力的重要手段。
在中学教学中，为了有目的性，针对性调动学生学习积极性、主动性，引导他们在教学大纲范围内巩固基础知识，提高能力，发展智力，将来适应大学的研究性教学形式，我认为，中学教学教育中，也可以根据中学生特点，采取“提问质疑--自学求索--讨论研究--总结提高”的中学教学研究式教学方法。
提问质疑。在课堂上，课外活动中或数学讲座上，根据学生水平，教材内容，提出需要解决的问题，激发学生兴趣，引起对学习某种知识的需要，产生学习研究的动机，对求知欲旺盛的学生来说，也起到引导他们正确学习方向的把关作用，防止无目的不切实际的“乱学”，即一是“引趣”二是“定向”。
自学求索。教师引导学生对课本或有关课外阅读材料，书籍，学习与研究问题有关的知识，要求学生精读教材或课外书。掌握有关知识或提出不懂问题。
讨论研究。在课堂上（提出的问题在教材范围内且与大多数学生必须掌握的基础有关）或在课外（提出的问题有一定难度）由集体（小组或教师与个别有关学生）进行探索研究，介绍自己的学习体会或解决问题的方法。
总结提高。由老师或学生总结解决问题的方法或结论，进行归纳小结，可采用老师在课堂上或数学讲座中总结规律，解答疑难，也可由学生写读书笔记或小论文。用自己的语言进行归纳，谈出自己学习心得或独立见解。
在《不等式》一章教学中，课本对基本不等式“A=≥=G”的证明，只要求对n=2.3的情况进行证明，当学生运用公式达到一定熟悉程度时，便对数学成绩好的学生（对成绩中等以下则要求不要去研究，以免加重负担），提出怎样证明公式一般情形，介绍有关学生阅读华罗庚的《数学归纳法》或其他教学参考书，数学成绩好的学生兴趣很浓，翻阅有关书籍学习，并对常见两种证法提出不懂问题进行热烈讨论。最后，教师在数学讲座中给以讲解，并对教学归纳法证明中的一些技巧或“变着”进行介绍，加深了数学爱好者对数学归纳法的深入理解。其中有一个学生在一本课外书上看到关于这个公式证明的简单介绍：可用“如果a1a2…=a=1（a1a2…an∈R+）则a1+a2+an≥n”（实际上是公式A≥G的特例）证明公式“A≥G”而前者则可用数学归纳法证明。当他学习研究有困难，教师加以指导。这个学生终于解决这一问题，则让他归纳总结，写成小论文，后发表在《中学生数学报》1985年第5期。这种证法介绍给其他学生，学生感到较前面两种证明方法易懂。通过这样做，使学生带着问题，围绕当前学的基础知识去自学研究，使知识面扩宽，有利于培养学生的创造性思维。
“什么是创造性思维？”它是主动地，独创性地发现新事物，提出新的见解，解决新的问题的一种思维形式，就是我们平常说的能做到举一反三闻一知十。这里的创造，不是指科学家的发明创造，科学家的发明创造是说他们所发现和解决的问题往往是人类不曾发现和解决的新事物，而学生的发现、创造和解决问题仅仅是对于他本人来说是一种新鲜事物。学生创造性思维的培养和发展，有助于他们将来进行更大的创造。“（章永生：《教育心理与教学法》）诚然培养中学生的创造性思维，首先会有利于中学生将来到大学深造时主动地有创见性的学习。中学的研究式的教学法与大学少年班的研究式有不少差别：如对象不同---少数数学优等生与群体优等生（且优的程度差别很大）。性质不同--解决尚未学懂的问题与解决尚未解决的问题。方式不同---以发挥老师主导作用解疑为主与发挥学生主体作用为主。但都是为了培养学生主动的积极的创造性的学习动机、方法和能力。前面介绍研究“A≥G”公式证明有创见（即通过学习探讨获得新知识）的学生，尔后学数学的兴趣愈浓，参加1986年全国数学竞赛获自治区三等奖，他所在班级（即笔者任教并试行此法的八七理二班）学数学，研究数学的空气很浓，参加1986年全国高中学生数学竞赛时，有12人获地区一、二、三等奖，有一人获自治区一等奖，二人获自治区二等奖，有一人获自治区三等奖，体现了学生的分析问题和解决问题的能力，创造性思维能力都有很大提高。
提问质疑，其目和是唤起学生的兴趣，求知欲，好奇心，必须难度适当，不能脱离教学大纲和学生实际，而应该是能体现教学大纲，让学生通过自己的积极努力能理解并感到克服学习困难产生一种乐趣的这种适当难度。可以这样说，让学生跳一跳才能摘到树上的果子。若伸手可得或高不可攀都是不可取的，适当的质疑，让学生经常“跳一跳”摘到果子，这样多跳几次，“弹跳力”---自学能力，分析能力等就随之提高了。
在“自学求索”这一阶段，必须培养学生的自学习惯。读书的方法和钻研的精神，即自学能力。例如在立体几何关于《直线与平面平行的判定定理》一节中，在课前预习提出下列问题：1、直线与平面有几种位置关系？判定方法怎样？2、直线与平面判定定理怎样证明？还有其他方法吗？课堂上，学生都可以回答上述两个问题，特别是对第二问题讨论热烈，列举各种证法，经过总结，提高了学生对反证法的运用能力。然而，向学生提出“直线与平面平行的判定方法是怎样思考到的？”这一问题时，学生都无从回答，其原因是学生在“自学求索”这一过程中，学生仅在预习课本时，直接记出定理，没有求索探因，对第一个问题（这是本节最基本问题）觉得似乎易懂而放弃思索研究，笔者带领学生再进一步研究直线与平面的直线在平面内，直线与平面相交平行三种位置的特点：用一支细直棍（代表直线）在一平面进行“在平面内”“平行”的变化过程的演示。
将直线先从在平面内，再平行移动到平面外，来找到线向平行的判定方法。这样做使学生对教材深入钻研，自学求索。过去，笔者是先从上述演示而引起线与平面平行判定定理，再证明，这样做可称“启发式”，而现在采取先提出问题，让学生经过自学研究等阶段来总结提高，可称“研究式”。
研究式的教学方法可应用于课堂教学（如立几的线面平行判定定理一节）中，可与其他教学形式有机结合在一起进行课堂教学，也可应用于课外研究，数学讲座，数学课外活动小组，指导个别数学优等生学习。（如公式“A≥G”的证明）
对某个数学问题的研究，不应毕其功于一役，而应该结合学生掌握知识的程度的不断提高而引导学生在“自学求索”“讨论研究”两个阶段中逐渐深入研究问题。
在解析几何《椭圆》一节中有这样一个例题：我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439公里，远地点B距地面2384公里，地球半径为6371公里，求卫星轨道方程。
此题计算不难，学生很容易掌握，但下课前，提出问题，为什么地球的近地点和远地点分别在椭圆长轴两端点（实际上，在预习此课时，已有少数养成研究习惯的学生提出此问题），并结合题目分析归纳成一个极值问题：为什么椭圆上的点到焦点的距离的最远点和最近点分别这椭圆长轴的两端点？
课后，有的学生利用代数方法解决这一问题，但不少学生在遇到函数自变量为二个变量x.y时忘记了，“曲线上的点的坐标必满足这曲线方程”这一基本概念，或者运算化简过程中配方法不熟练。
当学习到圆锥曲线统一定义时，第二次提出此问题让学生研究，掌握用“求圆锥曲线点到焦点的距离可化这点到准线距离”来解决，减少变量个数。
当学习参数方程时，第三次提出此问题，让学生学会利用以角为参数方程，使代数极值问题化为三角函数极值问题来解决。
【正文】
本文有两个互相关联的目标：第一，对科学哲学对于数学哲学现展的重要影响作出综合分析；第二，对新的研究与基础主义的数学哲学进行比较，从而清楚地指明数学哲学现展的革命性质。
一、从一些具体的研究谈起
如众所知，由1890年至1940年的这五十年，可以被看成数学哲学研究的黄金时代：在这一时期中，弗雷格、罗素、布劳维尔和希尔伯特等，围绕数学基础问题进行了系统和深入的研究，并发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学观，从而为数学哲学的研究开拓出了一个崭新的时代，其影响也远远超出了数学的范围，特别是，基础主义的数学哲学曾对维也纳学派的科学哲学研究产生了十分重要的影响，而后者则曾在科学哲学的领域长期占据主导的地位。
然而，在四十年代以后，上述的情况发生了重要的变化。尽管逻辑主义等学派作出了极大的努力，他们的研究规划却都没有能够获得成功，从而，在经历了所说的“黄金时代”以后，数学哲学的发展就一度“进入了一个悲观的、停滞的时期”；与数学哲学的困境相对照，科学哲学则已逐步摆脱逻辑实证主义的传统进入了一个欣欣向荣的、新的发展时期。也正因为此，科学哲学的现展就对数学哲学家产生了巨大的吸引力，并对数学哲学的现展产生了十分重要的影响。
就科学哲学对于数学哲学现代研究的影响而言，在最初主要是一些直接的推广或移植。例如，作为新方向上研究工作的一个先驱，拉卡托斯就曾直接把波普尔的证伪主义科学哲学推广应用到了数学的领域。尽管推广和移植的工作是较为简单的，但这仍然依赖于独立的分析与深入的研究，因为在数学与一般自然（经验）科学之间显然存在有重要的质的区别。
为了使得由科学哲学中所吸取的观念、概念、方法等确实有益于数学哲学的研究，最好的方法就是集中于相应的研究问题，也即是希望通过以科学哲学领域中某一（或某些）理论作为直接的研究背景以解决数学哲学中的某些基本问题。例如，M.Hallett的论文“数学研究纲领方法论的发展”就以拉卡托斯的科学哲学理论，也即所谓的“科学研究纲领方法论”作为直接的研究背景，但Hallett在这一论文中所真正关注的则是数学的方法论问题。因而，尽管其声称“希望能找到与科学研究纲领方法论相类似的数学发展的方法论准则”，Hallett的实际工作却与拉卡托斯的科学哲学理论表现出了一定的差异。特别是，由于Hallett清楚地认识到：“数学与经验科学之间的差异无疑是十分重要的”；“物理学可以依赖于不断增加的事实性命题，但是数学中却不存在这样的对应物。”因此，在Hallett看来，相应的科学方法论准则（即新的理论能作出某些预言，这些预言并已得到了确证），就不可能被直接推广到数学的领域。
与上述的方法论原则相对照，Hallett提出，新的理论在解决非特设性的重要问题方面的成功可以被用作判断数学进步的准则。Hallett并指出，这一准则即是对希尔伯特在先前所已明确提出的相应思想的一种改进。从而，这就确实不能被看成对于科学研究纲领方法论的直接推广。
在数学哲学领域内我们并可看到一种不断增长的自觉性，即是关于科学哲学领域中的思想或理论对于数学哲学“可应用性”或“可推广性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的论文“库恩的理论与数学：关于数学的‘新编年史’的讨论”一文中，就明确提出了这样的思想：在将库恩的理论推广应用到数学时，应当首先考虑两个问题：第一，“在数学中是否存在有这类东西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的话，“这一概念对数学编年史的研究是否有确定的、富有成果的应用？”
显然，即使前一个问题可以说是一种直接的推广或移植，后一问题的解答则依赖于更为深入的分析和独立的研究，因为，这不仅涉及到了对库恩理论的评价，而且也直接依赖于关于应当如何去从事数学哲学（和数学史）研究的基本思想。
正是从这样的立场出发，Mehrtens提出：“尽管（数学中）存在有可以称之为‘革命’或‘危机’的现象，我对这两个概念持否定的态度，因为，它们并不能成为历史研究的有利工具。”
当然，上述的结论并不意味着Mehrtens对库恩的理论持完全否定的态度；恰恰相反，Mehrtens明确地指出，库恩所提出的“范式”和“科学共同体”这两个概念对于数学史（和数学哲学）的研究有着十分重要的意义。Mehrtens写道：“围绕着科学共同体的社会学概念具有很大的解释力量——在我看来——它们为数学编年史提供了关键的概念。”
上述的批判态度和深入分析显然表明了一种独立研究的态度，从而，与简单的推广或移植相比，这就是一种真正的进步。作为这种进步的又一实例，我们还可看基切尔（P.Kitcher）的数学哲学研究。
一般地说，基切尔在数学哲学领域内的工作主要就是将库恩的科学哲学理论推广应用到了数学之中，特别是，基切尔不仅由库恩的理论中吸取了很多具体的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如关于科学活动社会—文化性质的分析等。另外，基切尔所主要关注的则是数学历史发展的合理性问题。例如，正是从这一立场出发，基切尔首先考察了什么是数学变化的基本单位。基切尔写道：“一个首要的任务，就是应当以关于数学变化单位的更为精确的描述去取代关于‘数学知识状况’的模糊说法。这一问题与关注科学知识增长的哲学家们所面临的问题在形式上是互相平行的。我认为，在这两种情形中，我们都应借助于一个多元体，也即由多种不同成分所组成的实践（practice）的变化，来理解知识的增长。”
在基切尔看来，后者事实上也就是库恩的“范式”概念的主要涵义。然而，基切尔在此并没有逐一地去寻找“范式”（或“专业质基”）的各个成分（如“符号的一般化”、“模型”、“价值观”、“范例”等）在数学中的对应物，而是对“数学实践（活动）”的具体内容作出了自己的独立分析。基切尔提出，“我以为我们应当集中于数学实践的变化，并把数学实践看成是由以下五个成分所组成的：语言，所接受的命题，所接受的推理，被认为是重要的问题，和元数学观念。”显然，这即是对库恩基本思想的创造性应用。
其次，基切尔又具体地指明了若干个这样的条件，在满足这些条件的情况下，数学实践的变化可被看成是合理的。从而，这也就十分清楚地表明了在基切尔与库恩之间所存在的一个重要区别：尽管前者从库恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主义、而并非是像库恩那样的非理性主义立场。这一转变当然也是批判性的立场和独立思考的直接结果。
二、新方向上研究的共同特征
尽管在新方向上工作的数学哲学家有着不同的研究背景和工作重点，在观念上也可能具有一定的分歧和差异；但是，从整体上说，这些工作又有着明显的共同点，后者事实上更为清楚地表明了来自科学哲学的重要影响。
1.对于数学经验性和拟经验性的肯定
所谓数学的经验性，就其原始的意义而言，即是对数学与其它自然科学同一性（analogy，或similarity）的确认。这一认识事实上构成新方向上所有工作的共同出发点。
关于数学经验性的断言显然正是对于传统观念的直接否定，即数学知识不应被看成无可怀疑的绝对真理，数学的发展也并非数学真理在数量上的简单积累。从而，这也就如Echeverria等人所指出的，它将“数学从柏拉图所置于的宝座上拉下来了。”
事实上，人们曾从各种不同的角度对数学与自然科学的同一性进行了论证。诸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法论的同一性”，基切尔的“认识论的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托玛兹克（T.Tymoczko）的“本体论的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“结构的同一性”，等等。另外，在笔者看来，对于经验性的肯定事实上也可被看成关于数学的社会—文化观念（这是在新方向上工作的数学哲学家所普遍接受的）的一个直接结论。这就是说，如果数学与其它自然科学一样，最终都应被看成人类的一种创造性活动，并构成了整个人类文化的一个有机组成成分，那么，数学的发展无疑就是一个包含有猜想与反驳、错误与尝试的复杂过程，而且，“数学的内涵与改变最终是由我们的实际利益与其它科学的认识论目标所决定的。”
其次，如果说数学的经验性集中地反映了数学与其它自然科学的同一性，那么，对于数学拟经验性（quasi-empirical）的强调则就突出地表明了数学的特殊性。
具体地说，我们在此所涉及的主要是这样一个问题：除去在实际活动中的成功应用外，就数学理论而言，是否还存在其它的判断标准？另外，拟经验的数学观的核心就在于明确肯定了数学有自己特殊的价值标准，这就是新的研究工作对于数学自身的意义，即如其是否有利于已有问题的解决或方法的改进等。显然，后者事实上也就是实际数学工作者真实态度的一个直接反映。例如，美国著名数学家麦克莱恩（S.MacLane）就曾这样写道：“数学各个领域中的进步包括两个互补的方面：重要问题的解决以及对于所获得结果的理解。”
由此可见，我们就应同时肯定数学的经验性和拟经验性。显然，就本文的论题而言，这事实上也就表明了：为了在数学哲学的研究中取得实质性的进展，我们不仅应当保持头脑的开放性，也即应当努力从科学哲学中吸取更多有益的思想、概念和问题，同时也应高度重视数学的特殊性，即在一定程度上保持数学哲学的相对独立性。
2.对于数学方法论的高度重视
理性主义与非理性主义的长期争论无疑是科学哲学现展的一个重要特点；与此相对照，理性主义的立场在数学哲学领域中却似乎没有受到严重的挑战，但是，后者并不意味着现已存在某种为人们所普遍接受的关于数学发展合理性的理论，恰恰相反，后一目标的实现还有待于长期的努力。
然而，在这一方面确已取得了一定的进步，特别是，相对于早期的简单“移植”而言，现今人们普遍地更加重视对那些源自科学哲学的概念、观点和理论的分析和批判。例如，就库恩的影响而言，人们现已认识到，对于数学的社会—文化性质的确认，并不意味着我们必须采取相对主义或非理性主义的立场；另外，在肯定数学历史发展合理性的同时，人们也认识到了这种发展并不能简单地被纳入某一特定的模式。事实上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一个历史的概念：“‘理性’在一定程度上是社会化建构的，……即包括有一个社会协商的过程。”从而，在此所需要的就是一种辩证的综合。例如，正是从这样的立场出发，格拉斯提出，我们应对库恩和拉卡托斯的理论进行整合：“拉卡托斯的方法论立场至少应当用像库恩那样的社会和历史的观点予以补充和平衡。”
值得指出的是，这种整合的立场事实上也就是科学哲学现展的一个重要特点，特别是，这即是科学哲学领域中所谓的“新历史主义学派”所采取的一个基本立场：他们对先前的各种理论（包括理性主义与非理性主义）普遍地采取了批评的立场，并希望能通过对立理论的整合发展出关于科学发展合理性的新理论。从而，在这一方面我们也就可以看到科学哲学对于数学哲学现代研究的重要影响。
艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切尔这样写道：“……数学哲学应当关注与那些研究人类知识其它领域（特别是，自然科学）同一类型的问题。例如，哲学家们应当考虑这样的问题：数学知识是如何增长的？什么是数学进步？是什么使得某一数学观点（或理论）优于其它的观点（或理论）？什么是数学解释？”特别是，“数学在其发展中是否遵循任何方法论的原则？”事实上，在艾斯帕瑞和基切尔看来，如何对数学方法论作出恰当的说明就构成了在新方向上工作的数学哲学家的核心问题。显然，这一立场也是与现代科学哲学中对于科学方法论的高度重视完全一致的。
3.对于数学史的强调
如众所知，对于科学史的突出强调也是科学哲学现代研究的一个重要特征。正如克伦瓦（M.Crowe）所指出的：“在库恩以前，科学哲学长期为逻辑实证主义所支配，后者认为科学史是与他们的研究毫不相关的；但是，这种形势现在已经有了改变……科学哲学家们现已认识到了历史研究的重要性。”这就是说，“如果没有给予科学史应有的重视，科学性质的分析就是不可能的。”科学哲学的上述变化对在新方向上工作的数学哲学家也产生了极大的影响。例如，在以上所提及的各篇论文和著作中，历史案例的分析都占据了十分重要的位置。可以说历史方法事实上已成为数学哲学现代研究的基本方法之一。
作为一种自觉的努力，我们在此还可特别提及以下的四部论文集：（1）由艾斯帕瑞和基切尔所编辑的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所编辑的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所编辑的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz编辑的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即将出版）。
这些编辑者的一个共同特点是，他们不仅认为数学方法论的任一理论都应用历史的案例加以检验，而且更大力提倡数学史家与数学哲学家的密切合作，并认为双方都可以从这种合作中得益匪浅。例如，Breger和Grosholz在他们的序言中这样写道：“这一论文集源自编辑者的这样一个信念，即数学哲学的重要论题可以由哲学家与历史学家的有组织对话得到启示。……我们希望历史的材料能在数学哲学家那里获得更为深入和系统的应用；同样地，我们也希望哲学家由历史所激发的思考能给历史学家提供新的问题和思想。”显然，这种态度与传统的把数学哲学与数学史绝对地分割开来的作法是截然相反的。
最后，我们在此还可提及所谓的“奠基于数学史之上的数学哲学”。具体地说，相关的数学哲学家在此所希望的就是能发展出关于数学知识的这样一种理论，它能正确地反映数学的历史发展，即“现代的数学知识是由初始的状态经由一系列的合理转变得以形成的”（基切尔语）。显然，按照这样的观点，数学史对于数学哲学的重要性就得到了进一步的强化：正是前者为数学哲学的研究提供了基本的素材和最终的检验。这也就是说，“数学史对于数学哲学来说，不仅不是无关的，并事实上占有核心的地位。”
4.实际数学工作者的“活的哲学”
应当指出，对于数学史的高度重视不仅直接涉及到了数学方法论的研究，而且也标志着数学哲学研究立场的重要转变。在新方向上工作的数学哲学家们几乎一致地认为，实际的数学活动应当成为数学哲学理论研究的出发点和最终依据。“哲学没有任何理由可以继续无视实际的数学活动。事实上，正是这种实践应当为数学哲学提供问题及其解决所需要的素材。”
当然，上述的转变直接反映了实际数学工作者的心声。这也就如麦克莱恩所指出的：“数学哲学应当建立在对于这一领域（按指数学）中所实际发生的一切的仔细观察之上。”
最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切尔并曾从这样的角度对数学方法论研究的意义进行了分析。他们这样写道：“如果我们具有了这样的原则，历史学家就可以此为依据对实际历史与理想状况之间的差距作出研究，从而发现这样的有趣情况，在其间由于某些外部力量造成了对于方法论的偏离。另外，数学家们则可能会发现以下的研究具有一定的启示意义，即他们所选择的研究领域是如何由过去的数学演变而生成的，某些方法论的原则又如何在核心概念的更新中始终发挥了特别重要的作用。并非言过其实的是，这些答案……—还可能对数学家关于各种研究途径合理性及某些观念意义的争论起到一定的启发作用。”显然，这一认识与现代科学哲学中对于方法论的强调是完全一致的。
三、数学哲学的革命
从整体上说，与先前的基础主义数学哲学相比，新方向上的研究无论就基本的数学观，或是就研究问题、研究方法和基本的研究立场而言，都已发生了十分重要的变化。我们就可以说，数学哲学已经历了一场深刻的革命。
1.研究立场的转移，即由与实际数学活动的严重分离转移到了与它的密切结合。
由于深深地沉溺于对已有的数学理论和方法可靠性的疑虑或不安，因此，逻辑主义等学派在基础研究中普遍地采取了“批判和改造”的立场，即都认为应当对已有的数学理论和方法进行严格的批判或审查，并通过改造或重建以彻底解决数学的可靠性问题。从而，基础主义的数学哲学主要地就是一种规范性的研究，而也正因为此，基础研究在整体上就暴露出了严重脱离实际数学活动的弊病。
与此相对照，在新方向上工作的数学哲学家普遍采取了相反的立场，即是认为数学哲学应当成为实际数学工作者的“活的哲学”，也即应当“真实地反映当我们使用、讲授、发现或发明数学时所作的事”（赫斯语）。显然，基本立场的上述转移事实上也就意味着数学哲学性质的重要改变：这已不再是实际数学工作者所必须遵循的某些先验的、绝对的教条。
2.对于数学史的高度重视。
由于逻辑主义等学派所关注的主要是数学的逻辑重建，因此，在这些学派看来，数学的真实历史就不具有任何的重要性，或者说即是与数学的哲学分析完全不相干的，而数学哲学家所唯一应当重视的则就是逻辑分析的方法。
与基础主义者的上述作法相对立，在新方向上工作的数学哲学家则普遍地对数学史给予了高度的重视。例如，这就正如Echeverria等人所指出的：“对于数学活动的历史和社会层面的关注清楚地表明了‘新’的数学哲学与传统的新弗雷格主义倾向的区别，而后者在本世纪前半叶曾在这一学科中占据支配的地位。”显然，这事实上也就可以被看成上述的基本立场的一个直接表现。
更为一般地说，人们并逐步确立了这样的认识：“没有数学史的数学哲学是空洞的；没有数学哲学的数学史是盲目的。”（拉卡托斯语）这不仅标志着方法论的重要变革，而且也为深入开展数学哲学（和数学史）的研究指明了努力的方向。
3.研究问题的转移。
由于对已有的数学理论和方法可靠性的极大忧虑构成了逻辑主义等学派的基础研究工作的共同出发点，因此，基础主义的数学哲学主要地就是围绕所谓的“数学基础问题”展开的。这也就是指：如何为数学奠定可靠的基础，从而彻底地解决数学的可靠性问题？
与此相对照，现代的数学哲学家一般不再关心数学的可靠性问题，而这事实上也就是数学工作者实际态度的直接反映。这就正如斯坦纳（M.Steiner）等人所指出的，这是数学哲学研究的一个明显和无可辩驳的出发点，即人们具有一定的数学知识，这些数学知识并已获得了证实，从而就是可靠的。
对于力图为实际数学工作者建立“活的哲学”的数学哲学家来说，数学哲学研究的核心问题无疑就在于：如何对数学（活动）作出合理的解释？托玛兹克说：“数学哲学始于这样的思考，即是如何为数学提供一般的解释，也即提供一种能揭示数学本质特性并对人们如何能够从事数学活动作出解释的综合观点。”显然，这也就表明了，方法论的问题何以会在数学哲学的现代研究中占据特别重要的位置。
4.动态的、经验和拟经验的数学观对于静态的、绝对主义的数学观的取代。
尽管逻辑主义等学派对什么是数学的最终基础有着不同的看法，但是，从总体上说，他们所体现的又都可以说是一种静态的、绝对主义的数学观，因为，他们都希望能通过自己的工作为数学奠定一个“永恒的、可靠的基础”，这样，数学的进一步发展也就可以被看成无可怀疑的真理在数量上的单纯积累。
如果说静态的、绝对主义的数学观在基础主义的数学哲学中占据了主导的地位，那么，由于把着眼点转移到了实际的数学活动，人们现已不再把数学的发展看成是无可怀疑的真理在数量上的简单积累；与此相反，作为人类的一种创造性活动，数学发展显然是一个包含有猜测、错误和尝试、证明和反驳、检验与改进的复杂过程，并依赖于个体与群体的共同努力。从而，这种动态的、经验和拟经验的数学观就已逐渐取代传统的静态的和绝对主义的数学观在这一领域中占据了主导的地位。
综上可见，相对于基础主义而言，现代的数学哲学无论就研究问题、研究方法，或是就研究的基本立场和主要观念而言，都已发生了质的变化。因而，我们可以明确地断言：在数学哲学的现展中已经发生了革命性的变化。由于所有这些变化都与来自科学哲学的影响有着十分紧密的联系，因此，这也就最为清楚地表明了这种影响对于数学哲学现展的特殊重要性。
【参考文献】
1.M.Hallett,"TowardsaTheoryofMathematicalResearchProgrammes",inTheBritishJournalforPhilosophyofScience,30[1979],p.2
2.H.Mehrtens,"T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionpaperonthe‘NewHistoriography’ofMathematics",inHistoriaMathematica,3[1976],p.301,305,312
新课程下的教育，是关爱学生生命发展，弘扬学生灵性的教育。新课程理念下的数学教学是以思维能力培养为核心，促进学生对数学思想、数学方法的理解与把握。让学生从看似枯燥的数字、图形和抽象的逻辑思维中，体会到数学的魅力，让数学之花在小学数学课堂上尽情绽放，这是我多年来在课堂教学中一直努力追求的境界。下面结合自己多年的教学实践和探索，谈一谈自己的一些做法和体会。
一、良好的学习情境------数学之花生长的土壤
“让学生在生动具体的情境中学习数学”，“让学生在现实情境中体验和理解数学”是《数学课程标准》给我们广大数学教师提出的教学建议。良好的学习情境是让数学之花生长的土壤。妙地创设各种情境，最大限度地激发孩子的求知欲，像磁铁把每一个孩子的心紧紧地吸在一起，把有限的课堂时空变为人人参与、个个思考的无限空间。
在教学《谁先走》一课时，我一开始就创设一个“下棋比赛谁先走”的游戏情境，大大激发了学生的学习兴趣，将学生带入游戏规则是否公平的讨论之中；然后通过“掷骰子”和“掷硬币”两个游戏活动让学生验证、体会游戏规则的公平性，修改不公平的游戏规则；再通过玩转盘游戏，给转盘游戏制定公平的游戏规则；最后组织学生自己设计一些对双方都公平的游戏等，给全体学生再次参加游戏活动的机会，并引导学生联系生活实际，关注身边的不确定现象，应用所学去解释、解决一些简单问题。本节课自始至终都是在各种游戏活动的情境中发现问题，探究知识，解决问题，学生在玩中学，学中悟，课堂成了欢乐的海洋，原来数学学习也可以这样的生动活泼、快乐有趣。
再如北师版第四册《整理与复习（一）》是学生在学习了“除法”、“混合运算”、“方向与路线”“、生活中的大数”几个单元之后的一节综合复习课。在教学此课时，我针对春天来了，学生都特别喜欢外出游玩的心理特点，结合生活实际为学生设计了一个“淮南草莓节一日游”的教学情境，把枯燥的数学知识变得生动、有趣、贴近生活。在让学生说行车路线和各个景点相互位置关系时复习了方向与路线这一知识点；接着在不同时间景区游玩人数的比较中，有效地复习了万以内数的读写法；然后在购买旅游食品这一环节巧妙的复习了四则混合运算的运算顺序和计算方法，以及运用混合运算的有关知识来解决实际问题。整节课学生兴趣盎然，在精心创设的一日游情境中进行综合的复习和运用。良好的学习情境是数学之花生长的肥沃土壤。
二、积极的探究活动------数学之花孕育中绽放
《新课标》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”探究式学习为每一层次的学生提供了选择的空间，人人都能参与，人人都有收获。在课堂上我根据教学内容的实际情况，给学生提供充分的探究活动空间，让学生在活动中探究，探究中体验，体验中发现，发现中提高。数学之花就在实践和创新的过程中尽情绽放。
在教学《三角形内角和》时，我先请学生测量并标出各种不同三角形三个内角的度数，然后报出其中任意两个内角的度数，请老师猜一猜第三个角是多少度，老师对答如流，准确无误。学生带着惊奇和疑问，走进了数学知识的发现和探索中，有的用测量后再计算的方法，有的用折纸的方法，有的把三个角撕下来，重新拼在一起，还有的用长方形对折成两个三角形推导等不同的方法探究得出了三角形内角和是180°。学生们很快揭穿了“老师总能猜对”的秘密。接下来又是一次具有挑战性的探究——“根据三角形内角和是180°，你能推导出五边形、六边形……一百边形的内角和是多少度吗？”在积极的探究活动中，孩子们通过自己的努力，终于发现了多边形内角和等于180°×(边数－2)的规律。课上有疑问、有猜想、有惊讶、有争议、有沉思、有联想……学生在探究、交流、发现规律的过程中处处闪现着智慧之花，数学之花在攀登数学高峰的征程中尽情绽放。
三、适时的激励赏识------数学之花盛开的催化剂
德国教育家第斯多惠曾说:“教学的艺术不在于传授的本领,而在于激励、唤醒、鼓舞。”可见,激励学生,充分发挥学生的积极性、主动性和创造性,营造出一种“海阔凭鱼跃,天高任鸟飞”的育人氛围是非常重要的。一句充满期待的话语能激活一个人潜在的巨大的自信。一次成功的体验能激发学生浓厚地学习兴趣。我始终坚持用激励和赏识去评价学生，我努力地寻找契机，挖掘他们内在的潜能，真诚地赞许他们，激发他们向上的动力。“你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？”“你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！”“试一试，相信自己，老师知道你能行！”“你是个求上进的孩子，你能够学得更好！”……一句真诚的鼓励，一个关注的眼神，一次温柔地抚摸，让课堂变得温情四溢，充满生机和活力。我精心创设使他们都能获得成功的机会，营造一个享受成功的氛围，使不同学生都能品尝到成功的喜悦和胜利的自豪。不断的激励，不断的赏识，不断地享受成功带来的快乐和自信，培养了孩子们热爱数学、钻研数学的浓厚兴趣，而孩子们的不断投入，使得一朵朵数学之花在不断的赏识和激励中含苞欲放。
二、加强培养学生的数学意识
如何加强数学意识，培养学生的数学品质呢？我是这样做的：
（1）重视对新生入学的启蒙教育。从一年级开始不断对学生进行学习数学必要性的教育，使全体学生都愿意上数学课，培养学生初步的数学意识。
（2）充分利用活动课，介绍数学家、科学家的事迹，介绍先进的科学技术，说明数学在科学技术中的重要地位，用事实鼓励学生认真学习数学，掌握数学知识。
（3）重视新教材、新内容的引入教学。数学第六册第119页“面积和面积单位”中写道“看看数学课本的封面和铅笔盒盖的面，说出哪一个比较大，哪一个比较小，你会比吗？”向学生说明比较大小要用到数学，通过面积的认识，增强数学意识。
（4）学生的数学意识不可能一样。对那些爱好数学的“尖子”，要注重培养他们抗挫折的坚韧不拔的毅力，树立更远大的学习目标。对于成绩较差的学生，要针对他们各自的情况，对症下药。对他们的每一点进步都要给予特殊的鼓励，使他们树立学习数学的信心，增长克服困难的决心，激发学生爱数学、学数学的兴趣，提高他们的数学意识。
三、注重学生思维品质的培养
（1）思维独立性的培养。思维的独立性是指善于思考的品质。具有思维独立性的人，遇事总要问一个为什么，总要运用自己的大脑去思考问题，寻求答案，决不盲从别人。
（2）思维逻辑性的培养。思维逻辑性是指思维的严密程度，它表现在思考问题时遵循逻辑的规律，提出的问题明确而不含糊，推理合乎逻辑规则，论证问题时条理清楚，有理有据，具有说服力和雄辩力。这是一种比较高级的思维品质，需要从小培养和训练。
“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。
关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。
属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。
从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。
二、数学思想的特性和作用
数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
(三)数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。
三、数学思想的教学功能
我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。
(一)数学思想是教材体系的灵魂
从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。
(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想
笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。
(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证
数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。
一、数学知识研究
传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地(syntactically)，另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。
主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。
对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。
二、教材分析研究
有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包(Knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包(图1)。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。
马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。
三、教学用的数学知识研究
Ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以Ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?学生在解题过程中提供了六种解法。Sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。Mei的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。Cassandia提供了标准的减法算法，Scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。L6JBall认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、Betsy的配对比较法如何转化为Sean的向后数数的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置Riba的说法。Riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明Sean的结论超过了三年级学生的理解能力。
Ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式(如减法32—16：?与缺失加数的加法16+?=32)是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像Sean的从17数到32，或者Mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。通过上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。
四、启示
1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。
2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。Ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。
指导教师：XXX
学生：XXX
一、研究意义:从提高职校数学教学的角度出发，使数学教学更好地服务职校职业化、专业化人才的培养目标，
二、文献综述
情感教学是指教师在教学过程中，在充分考虑认知因素的同时，充分发挥情感因素的积极作用，以完善教学目标、增强教学效果的教学。
三、研究的主要内容，重点和难点
本研究的目标:本次论文详细阐述发挥教师情感作用，让数学教学与情感教学相结合，成为一种新型教学策略。该策略在职校教学中的重要性与可行性将是本论文讲叙的重头戏。
本研究的主要内容:中职数学情感教学策略益处分析
中职数学情感教学策略有助于高效地利用有限的课堂教学时间，帮助学生提高数学学习效率。提升学生的创造性学习能力，激发学生学习数学的兴趣，而且还可以间接激发学生热爱自己所学的专业。打下坚实的数学基础。
（1）中职数学情感教学策略价值所在
由于职中生学习基础多数较差，学习的内在动力不足，因此在职校数学教学中，发挥教师的情感作用就显得非常有价值。
（2）不实行中职数学情感教学策略弊端。
其一在于没有情感教学，数学的本身具有枯燥性、乏味性，这使得学生听听不喜欢听了，新旧知识的连接不好，学生不懂新的知识，就不乐于、不易于接受新知识信息。相当于丧失了学习内部的驱动力，表现为学习消极、缺乏信心，虽经补课，不仅没能达到预期的效果，反而加剧了失败心态的发展，致使教师束手无策。在情感教学中，实施尊重学生、信任学生，尊重和信任是沟通师生情感的桥梁。尤其是差生，对教师的教学要求，往往取决于师生间有无相互尊重和信赖的情感。学生的自尊心和自信心又是建立教学情感的重要因素。
二、、中职数学情感教学策略的实施
（1）教学应对学生的情感和态度的培养给予特别关注.首先探讨了情感与态度对教学学习的意义,进而从教师的积极作用,学生的学习兴趣的培养,数学研究的价值和必备的品质以及数学与科学精神、世界观的形成五个方面具体阐述数学教学中学生情感与态度的培养途径
（2）数学教学活动中，教师要有感情地教，学生才会有感情地学。教师可以借助生活体验创设学习数学的情景，通过实验操作创设学习数学的情景；教师可揭示数学本身的内在美，发展学生学习数学的情感；通过增强数学探究意识，深化学生学习数学的情感。教师应用风趣、幽默、富有情趣的言语讲解相关教学内容，数学课堂应提示数学知识背后隐藏着的人物轶事，将数学知识与人有血有肉、有情有感的创造性活动联系起来，会使学生对数学内容产生亲切感。
（3）中职数学情感教学策略的实施，尽量让学生在学习过程中，多获取成功的喜悦，激发他们的学习兴趣，提高学习过程中的自信心，要有利于他们对知识的消化，理解和运用，一切都要易而渐难，由浅入深，让学生对知识始终处于可望、可及、有收获、想进取的积极学习状态
本研究的重点、难点:中职数学情感教学策略的实施
论文的框架结构:
提出研究中职数学情感教学策略意义，查阅文献，分析前人研究成果和方法，提出中职数学情感教学构思通过举例研究方法进行研究统计分析数据，得出中职数学情感教学的益处分析及实施方案。
研究进度或计划
1、4周研究国内外相关研究综述、存在的不足。查阅大量文献资料
2、2周明确本研究命题的初步框架结构，
数学概念是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本要素，是数学基础知识的核心。数学定理、公式和方法都是反映数学对象和数学概念间的关系，只有具有正确明晰的概念，才能牢固的掌握基础知识。同时，在深入理解数学概念的过程中使得学生的抽象思维得到发展。在教学过程中，学生学习概念有一个准备过程，这个过程就称为“概念的引入”。
一、从与概念有关的趣事引入
兴趣可以唤起某种动机，兴趣可以培养人的意志，改变人的态度，引导学生成为学习的主人。因此我们在备课时要充分挖掘知识的趣味因素，找一些有关本节概念的，易于理解的趣题作引例，牢牢抓住学生注意力，调动其积极思维，使学生既对概念感兴趣，又大致了解这个概念的知识用途。
举例说明：介绍“点的轨迹”。老师事先准备好一段麻绳和一个彩色小球，将彩球绑在麻绳的一端。教师从一进教室可以边走边演示——彩色小球不停地旋转。这样一来，学生注意力一下子被吸引，并且表现出极大兴趣。老师在讲桌前站定后，便立即停止演示，随后要求学生解释刚才的现象。学生的思维被调动起来。在对学生的解释作出评价后，引出课题“点的轨道”然后引导学生结合生活中常见的“点的轨道”现象给下定义。这样，一个抽象的概念就在有趣的实验中得到充分的展示，学生对于点的轨迹也有了形象的理解。从实物引入概念，反映了概念的物质性、现实性，符合认识规律，给学生留下的印象比较深刻持久。
二、问题引入
波利亚说过：问题是数学的心脏。先提出一个典型问题，让学生动脑思考，在问题的解决中引入概念，使得学生对概念的理解更加深入。
举例说明：按比例分配的概念。在学习按比例分配时，老师可以提出这样的问题：“同学们，今天老师带了12个乒乓球作为礼物送给3个同学，应该如何分配？”“平均分。”“假如把这12个乒乓球作为奖品，奖给在运动会中获得一二三等奖的同学，又该如何分配呢？”在学生积极思考后，老师可以说：“其实，在我们的日常生活、工农业生产、经济建设等各项工作中，都会遇到很多不能平均分配的问题。例如，我们喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分会一样多吗？”由此就可以引出按照比例分配的概念，这样使得学生在思考的过程中加深对概念的理解！
三、旧知引入
中国古典小说，在每章节末说，“要知后事如何？且听下回分解”。在每回开头“上回讲到------且说-------。”短短的几句话，承先启后，衔接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口气把这本书读完。这种古老的说书技巧，也可以用来引入概念，使新旧概念自然街按，连为一体。
举例说明：几何概念的贯穿。在学习几何知识时，按照一条线----二条线（平行与垂直）------三条线（三角形）-----四条线（四边形）-----多于四条线（多边形）-----圆这样的结构，且用数量关系、位置关系作支柱，随着知识的增加，新知识不断纳入原有的认知结构中去。比如还可以在已经学习了“平行四边形”的概念的基础上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用学生已有的知识经验，以定义的方式给出，让学生主动地与自己的头脑中原有的知识相互联系、相互作用，理解它的意义，从而获得新概念。
四、联系实际引入
新课程标准要求：“数学教育应努力激发学生的学习情感，将数学与学生生活、学习联系起来，学习有活力的、活生生的数学”。那么，用生活中的实际例子来引入数学概念，联系生活实际讲数学，把生活经验数学化，把数学问题生活化，更有利于学生掌握和理解概念。
举例说明：比例的意义与性质。老师说：“同学们，我们已经学习了比，在我们人体上有许多有趣的比。例如：拳头滚动一周的长度与脚的长度的比是1：1，身高和胸围长度比大约是2：1。这些有趣的比作用非常大，比如你到商店去买袜子，只要将袜底在你的拳头上绕一周，就会知道这双袜子是否适合你穿。而这些奥秘是用比例知识来计算的，今天我们就来研究比例的意义和性质。”老师选取一些生动形象的实际例子来引入数学概念，既可以激发学生的学习兴趣和学习动机，又符合学生由感性到理性的认识规律。
五、通过类比引入
根据新旧知识的连结点、相似点，采用类比的方法引入概念。数学有着严密的科学体系，数学知识的连贯性很强，多数概念都产生于或者发展与相应的原有知识的基础上，所以用类比引入新概念有利于学生在思维中将一定的知识和技能从已知的对象迁移到未知的对象上去，有利于培养学生的探索发现能力。
举例说明：（1）类比“方程”和“不等式”：方程：含有未知数的等式；不等式：表示两个数或两个代数式不相等的算式。（2）类比“分数”和“分式”：分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子表示取了其中的几份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式。这种方法导入自然，使学生能从类推中促进知识的迁移，发现新知识，从而掌握新知识。
参考文献
由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的!但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方标题是本文译者加的，副标题为原标题面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。
技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。
因此，让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。首先，数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础的公设。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发，推导出结论。数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：“数学家们像恋人。……承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出其他的结论。”
仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达?芬奇“最后的晚餐”看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想象。例如，牛顿和开普勒就是极富于想象力的人，这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。在数学中，人的创造能力运用的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨论，但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。
如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因需要而直接提出的。商业和金融事务、航海、历法的、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程，数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。数学的另外一个基本作用(的确，这一点在现代特别突出)，那就是提供现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。
智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励许多数学家研究数的性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果。今天很受重视的概率论，就开始于牌赌中的一个问题——一场赌博在结束之前就被迫中止了，那么赌注如何分配才合理?另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出的成就，就是由古代希腊人创造出来的，他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。事实上，数学学科中一些最伟大的成就——射影几何、数论、超穷数和非欧几何，这里我只提到我们将要讨论的内容——都是为了解决纯智力的挑战。
进行数学创造的最主要的趋策力是对美的追求。罗素，这位抽象数学思想的大师曾直言不讳地说：数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。
除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想象和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想象力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。
尽管已清楚地表明，上述所有因素推动了数学的产生和，但是依然存在许多错误的观点。有这样的指责(经常是用来为对这门学科的忽视作辩解的)，认为数学家们喜欢沉湎于毫无意义的臆测;或者认为数学家们是笨拙和毫无用处的梦想家。对这种指责，我们可以立刻作出使其无言以对的驳斥。事实证明，即使是纯粹抽象的，更不用说由于和工程的需要而进行的研究了，也是有极大用处的。圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)自被发现二干多年来，曾被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”，可是最终它却在天文学、仿射运动和万有引力定律中发挥了作用。
另一方面，一些“具有头脑”的作家断言：数学完全或者主要是由于实际需要，如需要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。这种断言也是错误的。数学已经使这些对人类方便有用的东西成为可能，但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。有些人对实际漠不关心，这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。毕达哥拉斯和柏拉图的唯心主义数学玄想，比起货栈职员采用“+”号和“一”号的实际行动来(这曾使某一作家深信“数学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致”)，所作的贡献要大得多。确实，几乎每一个伟大的人物所考虑的都是他那个的，流行的观点会制约和限制他的思想。如果牛顿早生二百年，他很有可能会成为一位出色的神学家。伟大的思想家追求时代智力风尚，就如同妇女在服饰上赶时髦一样。即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才，也会去研究令专业数学家和科学家感到十分激动的问题。但是，那些“业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他们工作的实用价值。
实用的、科学的、美学的和的因素，共同促进了数学的形成。把这些做出贡献、产生的因素中的任何一个除去，或者抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的，甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。一方面，对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维，决定性地塑造了数学的特征，并且作出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面，数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登，而是借助于社会力量的推动。如果这些力量不能为数学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力竭;然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境地。虽然在短时期内还有可能光芒四射，但所有这些成就会是昙花一现。
数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意地而且经常是精心设计的、凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。J．K．杰罗姆(J．K．Jerome)，为了需要求诸于代数符号，在下面一段描写中，尽管与数学无关，却清楚地表现了数学的实用性和明了性：
当一个12世纪的青年堕入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的姑娘的眼睛，对他说她是世界上最漂亮的人儿。他说他要冷静下来，仔细考虑这件事。如果他在外面碰上一个人，并且打破了他的脑袋——我指另外一个人的脑袋——于是那就证明了他的——前面那个小伙子——姑娘是个漂亮姑娘。如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋——不是他自己的，你知道，而是另外那个人的——对第二个小伙子来说的另外一个。因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面那个小伙子——那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘——不是另外一个小伙子，而是那个小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B脑袋，那么A的姑娘是一个漂亮的姑娘。但如果B打破了A的头，那么A的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而B的姑娘是一个漂亮的姑娘。
简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如，但也会使门外汉听数学讨论如坠五里云雾。
数学语言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常引起混乱的意义。例如，中使用“is”一词时，就有多种不同的意义。在“他在这儿”(Heishere)这个句子中，“is”就表示一种物理位置。在“天使是白色的”(Anangeliswhite)这个句子中，它表示天使的一种与位置或物理存在无关的属性。在“那个人正在跑”(manisrunning)这个句子中，这个词"is”表示的是动词时态。在“二加二等于四"(TwoandTwoarefour)这个句子中，is的形式被用于表示数字上的相等。在“人是两足的能思维的哺乳动物”(Menarethetwo—leggedthinkingmammals)这个句子中，is的形式被用来断言两组之间的等同。当然，在一般日常会话中引用各种各样不同的词来解释is的所有这些意义，不过是画蛇添足，因为尽管有这些意义上的混乱，人们也不会因此产生什么误会。但是，数学的精确性——它与和的精确性一样，要求数学领域的者们更加谨慎。
数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得莫名其妙。如果一个数学家说：“今天我没看见一个人”(Ididnotseeonepersontoday)，那么他的意思可能是他要么一个人也没看见，要么他看见了许多人。一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。数学的这种精确性，在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的数学风格以简洁和形式的完美作为其目标，但有时由于过分地拘泥于形式上的完美和简洁，以致丧失了精确竭力要达到的清晰。假定我们想用一般术语表述图1所示的，我们很有可能说：“有一个直角三角形，画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形，然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么第二个正方形的面积就等于前面两个正方形面积之和。”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。他会这样说：“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。”这种简洁的用词使表述更为精炼，而且这种数学表达式具有重要的意义，因为它的确是言简意赅。还有，由于这种惜墨如金的做法，任何数学的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。
数学不仅是一种、一门或一种语言。数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对科学家、科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时着家和神学家的学说;满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙的冥想;甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着的进程。
数学是一门知识体系，但是它却不包含任何真理。与之相反的观点却认为数学是无可辩驳的真理的汇集，认为数学就像是信仰《圣经》的教徒们从上帝那儿获得最后的启示录一样，这是一个难以消除的、流传甚广的谬论。直到1850年为止，甚至数学家们也赞同这种谬论。幸运的是，19世纪发生的一些数学事件(这些我们随后将进行讨论)向这些数学家表明，这种看法是错误的。在这门学科中没有真理，而且在它的一些分支中的定理与另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上个世纪创立的几何中所确定的一些定理，与欧几里得在他的几何学中所证明的定理就是矛盾的。尽管没有真理，数学却一直给予了人类征服自然的神奇的力量。解决人类思想史上这个最大的悖论将是我们所关注的课题之一。
由于20世纪必须将数学知识与真理区分开，因此也必须将数学与区分开，因为科学确在寻求关于物质世界的真理。然而数学却无疑地是科学的灯塔，而且还继续帮助科学获得在文明中所占的位置。我们甚至可以正确地宣称，正是由于有了数学，现代科学才取得了辉煌的成就。但是我们将会看到，这两个领域有着明显的区别。
在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地人类的物质、道德和生活;试图回答有关人类自身存在提出的;努力去理解和控制;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。在本书中，我们最为关心的将是这种精神的作用。
数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树，她随着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起，就为自己的生存而斗争，这场斗争经历了史前的几个世纪和随后有文字记载的几个世纪，最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基，并且在一个较短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期，它绽出了一朵美丽的花——欧氏几何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔细观察，还可以看到三角和代数学的雏形;但是这些花朵随着希腊文明的衰亡而枯萎了，这棵树也沉睡了一千年之久。
这就是数学那时的状况。后来这棵树被移植到了欧洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又获得了在古希腊顶峰时期曾有过的旺盛的生命力，而且准备开创史无前例的光辉灿烂的前景。如果我们将17世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么我们能说，初等数学与从那以后创造出的数学相比是徽不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。因为与普通的观点相反，现在应该说数学是从微积分开始，而不是以之为结束。在我们这个世纪，这门学科已具有非常广泛的，以致没有任何数学家能够宣称他已精通全部数学。
数学的这幅素描，尽管简略，但却表明数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会生活之中。事实上，数学一直是文明和文化的重要组成部分，因此许多历史学家通过数学这面镜子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典时期的古希腊文化为例，它大约从公元前600年延续到公元前300年。由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，因此他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。因此，看到这个具有很难为后世超越的优美文学，极端理性化的，以及理想化的建筑与雕刻，也就不足为奇了。
数学创造力的缺乏也表现在一个时代文明的文化里，这一点也是真实的。看看罗马的情况吧。在数学史上，罗马人在一定时期内曾作出过贡献，但从那以后他们就开始停滞不前了。阿基米德，最伟大的古希腊数学家和科学家，在公元前221年被突然闯入的罗马士兵杀害了，当时他正在画在沙盘中的几何图形。对此，A．N．怀特海(AlfredNorthWhitehead)说过：阿基米德死于一个罗马士兵之手，是一个世界发生头等重要变化的标志;爱好抽象科学、善长推理的古希腊在欧洲的霸主地位，被重实用的罗马取代了。洛德?比肯斯菲尔德(LordBeaconsfield)，在他的一部小说中，曾把重实用的人称为是重复其先辈错误的人。罗马是一个伟大的民族，但是他们却由于只重实用而导致了创造性的缺乏。他们没有发展其祖先的知识，他们所有的进步都局限于工程技术的细枝末叶。他们并不是那种能够提出新观点的梦想家，这些新观点能给人以更好地主宰自然界的力量。没有一个罗马人因为沉湎于数学图形而丧命。
关键词：激发兴趣、运用类比、巧设问题
思维能力是一切能力的核心，它是通过对事物的感知、表象进行分析、概括、归纳而获得事物本质的能力。一个人的思维能力强弱，不仅与知识理论、水平有关，而且与思维方式有关。在数学教学中，学生思维能力的培养至关重要，我在数学教学的实践中，从以下几方面加强了培养学生数学的思维能力，并收到了较好成效。
一、激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维
兴趣是学生学习的直接动力，它是求知欲的外在表现，它能促进学生积极思考，勇于探索。
1、用实践操作唤起学生的兴趣
教师在教学实践中动手操作或让学生自己动手操作，最能唤起学生的兴趣，保持学生稳定的注意力。如在推导圆柱体的体积公式时，我通过让学生自己推导将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体，并让学生掌握了圆柱体的体积公式后，我要求学生认真观察教师的推导过程，并让学生观察将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体后，这个近似的长方体的体积、表面积同原来的圆柱体的体积及表面积相比是否发生变化。在学生掌握了圆柱体的体积公式后，我出示了这样一道题目：“将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体后，这个近似的长方体的表面积比原来增加了40平方厘米，已知这个长方体的高为1分米，求这个圆柱体的体积是多少立方厘米?”学生由于刚刚自己动手推导圆柱体的体积公式，因此很快可以求出这个圆柱体的底面半径为：40÷2÷10＝2（厘米），这个圆柱体的体积为：3.14×2×2×10＝125.6（立方厘米）。
2、让学生在实践中提高学习兴趣并获得知识
在小学数学教学中让学生进行实践是有效提高课堂教学的一种重要手段。如教学了行程问题后，我出示了这样一题：“已知客车每小时行60千米，货车每小时行50千米。现在两车同时从相距200千米的甲、乙两地同时出发，经过2小时两车相距多少千米？”
由于题中未说明行驶方向，所以两车出发2小时，两车相距的路程应是多少并无一个标准，因此，我组织两个学生在教室中按四种情况进行了演示：1、两个学生同时相向而行；2、两个同学同时相背而行；3、两个学生同时向同一方向而行，走得快的同学在前；4、两个学生同时向同一方向而行，走得慢的同学在前。因此我再启发学生，这道题应该如何进行解答。这样，学生很快到，这道题应分以下四种情况进行讨论
（1）、两车同时相对而行，相遇后又拉开距离：（60＋50）×2－200=20（千米）。
（2）、两车同时相背而行：（60＋50）×2＋200＝420（千米）
（3）、两车同向而行，客车在前面货车在后面：60×2＋200－50×2＝220（千米）
（4）、两车同向而行，货车在前面客车在后面：50×2＋200－60×2＝180（千米）。
二、运用类比方法，培养学生创新思维
类比方法是根据两类物质之间一些相似性质从而推导出其它方面也类似的推理方法，在数学教学中运用类比是一种非常重要的方法。
1、运用比较辨别，启迪学生思维想象
如在教学了数的整除的知识后，我出示了这样一道例题：“一个大于10的数，被6除余4，被8除余2，被9除余1，这个最小是几？”应该说这道题是有一定的难度的，学生求解会感到无从下手，这时，我出示了这样一题比较题：“一个数被6除余10，被8除余10，被9除余10，这个数最小是几？”这道题学生很快能求出答案：这个数即是6、8和9的最小公倍数多10，6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72＋10＝82；然后我引导学生将上面一道例题与这道比较题进行比较和思考，学生很快知道，上道题只要假设被6除少商1余数即为10，被8除少商1余数也为10、被9除时少商1余数也为10，因此可迅速求得这个数只要减去10，就同时能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72＋10＝82。这样通过让学生展开联想和比较，不但可以提高学生的想象能力，同时也能提高学生的创新思维能力。
2、通过分析归纳，培养学生创新思维
又如在教学完了平面图形的面积计算公式后，我要求学生归纳出一个能概括各个平面图形面积计算的公式，我让学生进行讨论，经过讨论，学生们归纳出，在小学阶段学过的面积公式都可以用梯形的面积计算公式来进行概括，因为梯形的面积计算公式是：（上底+下底）×高÷2。而长方形、正方形、平行四边形的上底和下底相等，即可将这公式变成：底（长、边长）×高（宽、边长）×2÷2=底（长、边长）×高（宽、边长）；又因为将圆面积公式是根据长方形的面积公式推导出来的，因此，梯形的面积公式对圆也同样适用；当梯形的上底是零时，即梯形成了一个三角形，这时梯形的面积公式成了：底×高÷2。这即成了三角形的面积公式。这样，不仅使学生能熟练掌握已学过的平面图形的面积公式，同时，也培养和提高了学生的创新能力。
三、巧设探索性问题，培养学生创新思维
现代心理学认为：为教学时应设法为学生创设逼真的问题情境，唤起学生思考的欲望。在教学实践中，我们如能让学生置身于逼真的问题情境中，体验数学学习与实际生活的联系，学生也会品尝到用所学知识解释生活现象以及解决实际问题的乐趣，感受到借助数学的思想方法，会真正体会到学习数学的乐趣。因此，在教学实践中，我尽量做到在数学教学过程中加强实践活动，使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题，认识现实中的问题和数学问题之间的联系与区别。
1、设计开放性习题，让学生在实践中提高创新思维。
如在教学了百分数应用题后，我出示了这样一题：张教老师欲购买一台笔记本电脑，为了尽可能少花钱，他考察了A、B、C三个商场，他想购买的笔记本电脑三个商场都有，且标价都有是9980元，不过三个商场的优惠方法各不相同，具体如下：
A商场：全场九折。
B商场：购物满1000元送100元。
C商场：购物满1000元九折，满10000元八八折。
张老师应该到哪个商场去购买电脑？请说明理由。
这道题显然不同于一般的应用题，因此我启发学生，应该充分考虑如何才能做到尽可能少花钱这一个特定的条件去进行分析与解答。学生进行了认真的分析和讨论，最后得出如下的结论：
因为每台电脑的价格均为9980元，而去A商场是全场九折，因此张老师如果去A商场购电脑，那么张老师应该付：9980×90%＝8982（元）。
因为B商场是购物满1000元送100元，张老师如果只买电脑，需付：9980－900＝9080（元）；张老师如果再买其它的物品凑满10000元，需付：10000－1000＝9000（元）。
因为C商场是购物满1000元九折，满10000元八八折，张老师在C商场购买电脑时，只要再多买20元物品，即凑满10000元，最多需付：10000×88%＝8800（元）。
因此，张老师去C商场购电脑花钱最少。
2、培养学生打破传统的思维模式，开启学生创新思维大门
创新思维的培养，要让学生敢于打破传统的思维模式，对一些问题提出具有独特的的、富有说服力的新观点和新境界，开启学生的创新思维大门。
如教学了“长方体和正方体的体积”后，我出示了这样一题：“一个长方体水箱，从里面量，长40厘米，宽25厘米，高20厘米，箱中水面高10厘米。如果在长方体水箱中放进一个长和高都为20厘米，宽为10厘米的长方体铁块，那么水面将上升多少厘米？
这道题大部分同学都只想到将以20×20作为底面放进水箱中这一种情况，这时铁块全部浸没在水中，这时候水面上升的高度即为：20×20×10÷（40×25）＝4（厘米）。但还有另一种情况，即不是将20×20作为底面，而是以20×10作为底面放进水箱中的这一种情况，同学们却忽略了。这时我向学生进行了演示：我将一块铁块按未曾全部浸没在水中的情况进行了演示，并启发学生除了将以20×20作为底面放进水箱中这一种情况，还有没有其它的情况，学生通过观察并进行了讨论，认识到还要考虑到另一种情况，即以20×10作为底面放入水中，因此很快得出结论，如果以20×10作为底面放进水箱中，这时候铁块没有全部浸没在水中，这时水面上升的高度应该为：
40×25×10÷（40×25－20×10）－10＝2.5（厘米）。
或者用方程进行求解。设水面上升X厘米，则可得方程：
以创设情境为主线，根据教材的特点、教学的方法和学生的具体学情，把学生引入一种与问题有关的情境中，让学生通过观察，不断积累丰富的感性认识，让学生在实践感受中逐步认知，发展，乃至创造，以提高学生的数学素质。在数学课堂教学中情境教学的运用，可以达到提高学生的数学素质的目的。教育学家乌申斯基说：没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。兴趣是学习的重要动力，也是最好的老师。在实践中，我经常巧妙地创设情境，引导学生从害怕数学到爱学数学，提高学生学习数学的兴趣，取得了事半功倍的效果。如常常用实际问题或设置悬念导入新课来激发学生的求知欲；或者在教学过程中为研究需要而临时产生一些尝试性的研究活动，以及在教学过程中，学生提出了意想不到的观点或方案等。显然，关键在教师要创设好问题情境，必须要从学生的学习兴趣出发，
要从知识的形成过程出发，要贴近学生生活，要带有激励性和挑战性。只有这样，才能引发学生的自主性学习，使学生的认知过程和情感过程统一起来。
2.自主探究，建构新知
“以学生的发展为本”是新课程理念的最高境界，要发展学生智力，培养学生能力，教师在教学过程中，始终把学生放在主体的位置，教师所做的备课、组织教学、教学目标的确定、教学过程的设计、教学方法的选用等等工作，都从学生的实际出发，要在课堂上最大限度地尽量地使学生动口、动手、动脑，极大地调动学生学习的积极性和主动性，养成良好的自学习惯，培养刻苦钻研精神。促进学生主动参与、主动探索、主动思考、主动实践。如果创设的情境达到了前面的要求，那么学生会自然地产生一种探究的欲望。教师只要适当地组织引导，把学习的主动权交给学生，让学生自主地尝试、操作、观察、动手、动脑，完成探究活动。因为学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，教师是学生意义建构的帮助者、促进者。
3.合作交流，完善认知
