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2软件介绍
在强调学生为主体的实践式教学设计中，教师设计案例的求解一般要选择合适的软件进行辅助，当前数学软件众多、功能强大，如综合性软件Mat－lab，统计专业软件SPSS、SAS等。对于专业数学软件一般要先进行软件的学习才能用来解决实际问题，对于概率论与数理统计这样一门独立的课程，显然不宜专门来进行软件的培训，为了应对实践教学课堂应用，简单易学且容易配置的软件能最大限度实现教学任务。在此以Excel为例介绍案例式教学和利用Excel进行软件试验的一点尝试。Excel使用简便，基本不涉及程序的编制，在图形化界面下进行操作，且具备有强大的图形功能，便于概率结果的呈现和分析。Excel有丰富的概率函数，能帮助用户进行各种类型的概率计算，或进行随机模拟来学习概率论与数理统计。Excel可以计算大部分常用理论分布的概率密度函数PDF、累积分布函数CDF以及模拟产生服从常用概率分布的随机数据。如果能够正确使用，Excel可以成为非常强大的学习工具。选用Excel作为概率论与数理统计教学辅助软件的另一个原因是作为微软Office工具之一，大部分学生均了解Excel的使用，因此不用进行软件的教学即可用来解决实际问题，在学习过程中也能进一步促进学生对软件的使用增强他们解决实际问题的能力。下面介绍一个利用Excel辅助的案例式实验教学设计实例。为了使数学实验背景贴近学生的学习生活，以考试中选择题成绩分析为例。背景分析：考试是每个学生都经历的学习过程，其中选择题是经常遇到的类型，选择题的设计与概率知识之间有密切的关系。通过与学生密切相关的问题引入概率教学，能极大激发学生的学习兴趣。问题设计：选择题在解答时不同于填空题或者解答题，因为在完全不会的情况下仍有可能靠猜测得到正确的答案，那如何来评估选择题在考试中的效度，可以使用什么样的概率论与数理统计的基本知识予以研究？
3实验教学案例设计
首先提出基本假设，考试时一个选择题有4个选项，仅有一个选项是正确的，如果不会做就随机作答，因此在不会做题的情况下随机选择答案有25％的可能性得到正确答案，即从卷面上看该题做对了，对于老师来说，按照成绩评价学生实际知识水平非常重要，因此需要评估在答案正确的前提下求学生实际会做该题的概率。图像显示出选择题答案正确而显示被试者会做该题的概率一直大于被试者实际会做该题的概率，说明选择题容易高估被试者的水平，为了有效区分被试者的不同程度，需要适当调节题目的难度来区分被试者是不是真的会做。作为一个例子，若学生会做与不会做的概率相同，取x＝0．5，则容易计算出P（A｜B）＝0．8，即实际会做概率为0．5时，选择题表现出来的得分可能为0．8分。对于数学实验来说，让学生自己对该案例进一步讨论，亲自实践在软件辅助下的概率解题，对促进学生将理论用于实际非常重要。在课堂讲授的基础上，可以将学生自学内容引申到用随机变量的分布律和分布函数来研究在实际考试中选择题得分情况演示，结合二项分布理论研究选择题对学习评价的情况。评价借助于Excel软件设计如下实验。假设某项考试由100道选择题组成，每道题1分，学生会做该题的概率为x（实际问题中相当于难度系数为1－x），当x＝0的时候，被试者对考试内容完全不会，每题都随机选择，可以看成服从参数为（100，0．25）的二项分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函数进行二项分布概率密度值和分布函数值的计算来演示考试结果。函数用法为：BINOM－DIST（k，n，p，FALSE／TRUE），其中k表示回答正确的题目数量，可以使用单元格自动生成，n，p为二项分布的参数。n表示总试验次数，p表示每次试验中事件出现的次数即答对题的概率。后面的参数FALSE／TRUE用来说明是计算概率密度函数和是计算分布函数。如BINOMDIST（A2，100，0．25，FALSE）表示对A2单元格中的自变量计算参数为（100，0．25）的二项分布概率密度函数值。使用Ex－cel的自动填充功能，便可方便生成该二项分布的概率密度表。为方便调节二项分布参数，可以将参数（n，p）用单元格的绝对引用代替，改变参数单元格的数值就能得到不同二项分布的概率密度表格。Excel还可以对概率密度表和分布函数表生成条形图和线图，若试题难度系数0．5，学生事实会做的题目应该有50道，因此会做的题目有50道，另外不会做的随机选择，正确率0．25，因此回答正确的题数为12．5，两者相加可知最终得62．5分的概率最大。
2问题的解决方案
2．1从整体内容上把握教材
根据《概率论与数理统计》教材，该课程整体上是讲述三个大的问题:一是概率论部分，介绍必要的理论基础;二是数理统计部分，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析的方法;三是随机过程部分，在讲清基本知识的基础上主要讨论了平稳随机过程，是随机变量的集合，能完全揭示概率的本质。课本上的很多问题都是围绕这三个问题来讲述的，因此，要打破“重理论，轻应用”“重概率，轻统计”的教学思想，且从整体上完整地对这三个问题进行讲授。由于概率论与数理统计的知识点多而零散，初学者对知识点不容易全面系统地把握，所以老师在教学中要经常引导学生进行简单复习回顾，从而使学生能够高效而快速地理解所学知识，系统掌握这有机结合的三部分内容。
2．2在讲授中要有其客观背景
很多学生虽然在中学接触过概率知识，但那只是皮毛，大学更注重的是思想的培养，而且本课程从内容到方法与其它数学课程都有本质的区别。因此，老师在讲解基本概念时，一定要把来龙去脉讲清楚。比如在评价棉花的质量时，“既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离较小，质量较好”，这些常识性知识容易理解，学生也有兴趣听，然后就此引入概念———这是由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。由此就很自然地引出了数字特征、数学期望、方差、相关系数和矩，这样学生就很好地理解了概念的实际背景。也就是说，在概念定理的教学中，首先应该在概念、定理产生的背景上下功夫，找出每个概念的实例，用大量事实来说明提出这些概念定理的客观依据是什么，它在实际应用中有什么意义。比如，一个随机变量由大量的相互独立的随机因素综合影响而形成，而且其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，那么这种现象正是中心极限定理的客观背景;再如，在介绍随机过程时，不妨从随机过程实例出发，如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化等等。如果忽视了概念与定理产生的实际背景，离开实际去讲概念和定理，学生会觉得学习内容枯燥，而且也很难理解，更不会应用于解决实际问题，这样就降低了学习的积极性，也没有发挥该课程的功能。
2．3在教学过程中使用案例教学
案例教学的主角是学生，通过学生之间对概念、定义、定理、标注、例题积极主动的讨论，以达到更深入理解和掌握的目的。在教学中引入的案例，要能够激发学生的学习兴趣、学习积极性和参与讨论的主动性。如何选取案例，就要求教师在备课当中多花时间找资料、思考，在教学案例中尽可能选取社会热点、先进的科技信息为案例素材，尤其财经类院校应尽可能编写一些涉及财经信息方面的案例。比如，讲到随机变量内容部分，定要在金融经济学中编写涉及到的随机变量的案例;讲到中心极限定理部分，投资学中期权定价理论就是一个很好的案例;讲到参数估计和评价时，保险精算中对平均寿命函数的估计和评价则是很好的案例;随机过程部分，分数布朗运动投资组合的风险度量都是很好的案例等等。如此教学，才能激发学生的学习兴趣，在讨论中逐步体会基本概念、定义、定理的来龙去脉，实现了有效学习，培养了学生解决实际问题的能力和抽象概括、推理论证的能力。
2．4重视引导学生主动思考问题
培养创新思维“在教学过程中提出一些思考性和启发性都很强的问题，让学生分析、研究和讨论，引导学生去发现问题，分析问题，然后解决问题。”学生的学习要自觉要靠自己，不是由教师牵着走，而是由教师引导走，“授人与鱼，只供一日之炊;授人与渔，使人受益终身”，所以教师应多引导、鼓励学生主动思考问题。比如，教师在每次课结束前5分钟进行下堂课新知识的介绍时，对本堂课学的知识点和前面学过的知识做个串联，最好能随手画出知识点“网络状”图，引导学生积极思考，引出下次课要讲的内容，勾起学生的预习兴趣。再如，在讲课时，教师可以针对本节课的内容设计一系列“问题链”，用“问题链”带动和完成课堂教学，可很好地引导学生主动思考、创造性思维，引导学生思考、发现问题，讨论、做出结论，从而逐步地使教学由“灌输式教育”向“创新型教育”转变，教学互动，教学相长。同时，教师一定要想方设法改变“学生被动接受知识”为自主、有兴趣地去学习知识，引导和组织学生展开讨论，鼓励学生提出大胆的猜想，及时解决学生提出的问题，激发学生的求知欲，注重教学方法的灵活运用，鼓励学生动手探究和创新，这样教学效果才会明显。
二、概率统计的工具
当今的社会是一个信息化的时代，统计学也不再只是刘乃嘉，吉林工商学院助教，硕士，研究方向：统计学。计算一些基本的加减了，以前用一个计算器就能轻轻松松的解决，而今的统计学面对的大数字时代，需要处理大量的数据。在教学的过程中可以适当添加一些软件，既吸引学生的眼球又能提高效率，节省人力、物力，比如说SPSS、SAS、MATLAB、EXCEL表格等。SPSS的优点很多，它有学生们乐于接受的主界面，最重要的是这个软件特别的容易学，对从来接触过这个软件的同学来说，可也以在很短的时间内轻松的掌握它，非常适合非计算机专业的学生。教学的目标在于运用，SPSS自身带有许多函数计算公式和其他的计算公式，你只需找到你要计算的公式并且在键盘上输入你要计算的内容，就可以计算出概率密度、分布、随机问题等，十分便捷。EXCEL软件是大家最熟知的软件，因为在刚入学的时候就有计算机基础，里面就要求掌握这个软件的运用，是OFFICE的一个分支。在教学中选用这个工具可以降低教学难度，还可以提高学生的积极性，因为他们学的知识终于可以有用武之地了。这个软件最大的优点就是制作统计图像的功能很完善，并且还有非常完美的统计处理能力，它具备了其他软件基本上的功能，可以很好地与其他统计软件相匹配，共同运用。计算机领域还有很多的可以适用于统计学的软件，而且一般这些软件的运用对大多数的老师和学生来说都是不费吹灰之力的，在概率统计的教学中，老师们可以按照教学的需要适当的引入这些优秀而强大的软件，弥补以前教学方式中存在的缺点，增加老师和学生的互动，提高学生的学习兴趣，如果有条件可以让学生到计算机中心去亲自体验一下这些软件，学生一般比较愿意学习动手性比较强的知识，这也是教学中值得思考的问题。
二、设计思路
1.实验内容与专业特点相结合。作为师范类数学，毕业后主要从事教育教学工作。在教育教学工作中，免不了要对教学质量、教学效果等进行分析，需要用到统计知识。因而在设计实践教学内容时，应根据学生就业后的需求情况，结合教育统计与教学测评等内容，设计专业特点较强的实验题目（内容），如调查当地学生数学能力状况、调查某一教学内容教学效果情况等。通过实际操作，使学生掌握教育统计研究的方法，不仅提高学生的能力，也为今后在教育教学工作中开展科学研究打下基础。2.软件的选用。目前，专业的统计软件有SAS、SPSS、Eviews、R等，这些软件的专业性很强，功能也非常强大。但本人认为作为非专业的一般使用者，选用Excel就可以了，其原因主要有以下几个方面：第一，专业软件对于非专业人员要运用自如有一定难度；第二，专业软件不少需要购买，且价格昂贵，一般人难以承受；第三，Excel软件是一款使用广泛的办公软件，且较易学；最后，Excel软件提供了丰富的函数，可以进行数据处理、统计分析和决策辅助以及制图等功能，完全能够满足基础的统计分析工作。因此，在实践教学中建议选用Excel软件。3.突出实用性，增加综合运用。《概率论与数理统计》课程的实验主要以模拟和实证分析为主，缺乏结合实际、应用性强的实验。在设计实验内容时，应结合实际的应用，设计综合性、操作性较强的实验题目，以项目的形式组织学生分组开展实验实训活动。例如设计题目《中学生数学能力的调查研究》，在此题之下可以分多个小题，如《中学生空间想象能力的调研》、《中学生性别差异对空间想象能力的影响研究》等等，让学生6～8人一组，每组选择一题开展研究。
三、实践实例
在完成理论学习的基础上，利用实践教学环节，结合教育工作的需要，设计综合性的实践教学内容，并通过组织学生分组开展实验，从而加深学生对理论知识的理解，同时提高学生的实际应用能力。下面通过三个案例说明实践教学的设计和开展。实例1：2011年全国五个自治区教育经费投入情况对比分析。实验目的：（1）使学生学会利用相关资源收集、整理数据；（2）利用Excel软件描绘柱形图。实验过程设计：1.数据的收集。根据收集方式的不同，统计数据可分为间接数据和直接数据。实例1中的数据为间接数据，其收集的主要方法有：（1）通过《中国统计年鉴》、《中国统计摘要》及各省、市、地区的统计年鉴等公开出版物收集数据；（2）利用中华人民共和国国家统计局、中国经济信息网等网站查询数据；（3）到各地方统计局查询统计数据。在此实验中要求学生按5人一组，通过中华人民共和国国家统计局网站，查询相关数据（如图1所示），并对数据进行筛选、整理，得到2011年全国五个自治区教育经费投入情况数据。最后利用Excle软件绘制数据表，并录入所需数据，得到2011年全国五个自治区教育经费投入情况数据表（见表1）。由图2可知，2011年全国五个自治区中，广西的教育经费投入最多，投入最少；另外内蒙古、广西、新疆的教育经费相差不大，、宁夏相对较少。实验小结：该实验是统计分析中的一个基础性实验，主要教会学生利用网络、图书、杂志等途径收集数据，并利用Excle软件对数据进行预处理，最后根据绘制统计分析图，得出分析结论。类似的还可练习绘制饼状图、折线图、直方图等图形。另外，根据学生情况还可以适当深入（如三维数据图，多变量数据分析图等），但应保持与专业特点相结合。实例2：对学生考试成绩进行统计分析。实验目的：（1）学会制作统计表格；（2）学会利用Excel软件进行描述性统计；（3）学会使用Excel软件中的相关函数进行统计汇总。实验过程设计：1.制作统计表并录入本班学生某次考试成绩（表格前6行如图3所示）。2.在“工具”菜单中选择“数据分析”子菜单，并在弹出的窗口中选择“描述统计”，点击“确定”后将需要进行描述统计的数据选入“输入区域”，依次选定输出区域以及需要输出的统计值（如汇总统计、平均置信度等），确定之后可生成描述统计表（如表2）。3.利用COUNTIF等函数求出学生各分数段人数、优秀率、及格率等数据（如表3）。实验小结：该实验通过对学生成绩的统计分析，教会学生利用Excel软件中的相关函数和数据分析工具进行统计，对学生今后在事教育工作中进行教学质量分析有一定帮助。在此基础上，还可以进行拓展，如分析多门课程成绩情况；分析各班级间成绩是否存在显著性差异；男、女生学习成绩是否存在显著性差异等问题。实例3：中学生数学能力调查分析。实验目的：（1）使学生学会调查问卷的设计，并了解开展问卷调查的流程；（2）利用Excel软件对问卷数据进行方差分析。实验过程设计：1.设计问卷。中学生数学能力主要包括：数学的运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力、实际应用能力等，在设计问卷时，让学生分成4组，每组设计一类能力测试题。学生人数较多时，可分成8组，每两组负责一类试题，各组分别完成设计。各组设计好的试题，由大家讨论，挑选出部分题目，综合成为中学生数学能力测试卷。2.分组调查。学生分组到各中学进行问卷调查。在实施调查前，先根据该校学生名录，采用随机数表法抽取被调查学生名单，然后根据抽样名单完成问卷调查，以保证数据的有效性。最后，根据收回的有效问卷整理出相关数据。3.方差分析。利用Excel软件数据分析中的方差分析模块，对整理好的数据进行方差分析。分析内容可设置为性别对学生各种能力是否存在显著性影响；年龄对学生各种能力是否存在显著性影响；民族对学生各种能力是否存在显著性影响；等等。学生分组选择一个内容进行分析，并完成分析报告。在之后的小组交流中，每组派一名代表阐述本组的分析过程和分析结果，大家再讨论分析是否正确、结果是否合理等。实验小结：该实验综合性加强，在实验过程中涉及到抽样调查、数据预处理、统计分析等内容。该内容以项目进行，大项目中分子项目，由学生分组合作完成，在这样的实验活动中，学生既学到了专业知识，锻炼了专业技能，又培养了团结协作、互相交流的品质。
二、对课程教学改革中出现的问题的改进
在教学过程中为了更好地解决信息化背景下“概率论与数理统计”课程教学与培养学生创新实践能力和应用能力的关系,实现教学内容与教学模式的改革与学生应用能力培养的统一。下面从三个方面说明进一步的改进措施。
（一）进一步加强“概率论与数理统计”课程的分类教学与课堂教学改革
结合学校学生的实际情况，进一步加强理、工、经管、生命、社会工作等不同专业的分类教学，针对不同专业采取不同学时、内容有所侧重的分类教学模式，加强统计方法的应用教学，对不同专业的分类教学进一步进行探讨。
（二）进一步更新、优化教学内容，完善“概率论与数理统计”精品课网站的建设
定期对全校各专业进行调研，了解各专业对“概率论与数理统计”课程教学的反馈与需求，及时修订、调整和更新课程的教学内容，优化课程体系。目前长春理工大学的“概率论与数理统计”是省级精品课，为了更好地顺应信息化大环境的需求，学校会进一步完善本课程网站的建设，使得学生在自主学习的过程中更加便捷。
（三）增加课程设计、计算机实践环节，鼓励学生申报
二、巧借实例自然引入新概念
着重培养学生的数学应用意识，教师在教学中的示范作用很重要。概率统计课程的概念是教学的难点，教师上课如果直接写出来，则学生会感到很突兀，很抽象且难于接受。一个教学经验丰富的教师应当重视概念引入的教学设计，从学生的认知规律出发，先使学生对概念形成感性认识，揭示概念产生的实际背景和基础，了解概念形成的必要性和合理性。例如极大似然估计的概念教学，一般引入的第一个例子是有个同学和一个猎人去打猎，一只野兔从前方经过，只听一声枪响，野兔就倒下了，这发命中目标的子弹是谁打的？同学们一定会推断是猎人，你们会说猎人命中目标的概率比同学的大，这个例子说明了你们形成了极大似然估计的初步思想。极大似然估计的思想是在已经得到实验结果的情况下，应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θ∧。极大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出，英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步研究。第二个例子是两个射手打靶，甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.4，现靶面显示10中6，且是一个人所为，请问是谁打的？一开始学生中会形成不同意见，有的说是甲，有的说是乙，有的不知如何判断。表面看，甲的命中率高，如果说是甲好像低估了甲的水平，乙的命中率低，如果说是乙又高估了乙的水平，但现在要作一个合理推断，我们建立一个统计模型：有一个总体为两点分布，参数为P（0.9或0.4侍定），现有样本X1，X2，…，Xn（n=10），其中有6个观察值为1，4个为0，设事件A={10枪6中靶心}若是甲所射，则A发生的概率为P1（A）=C610（0.8）6（0.2）4=0.088，若是乙所射，则A发生的概率为P2（A）=C610（0.8）6（0.5）4=0.21，显然，P1（A）＜P2（A），故可认为乙所射的可能性较大。从这两个实例中教师再引出极大似然估计的原理：在已经得到试验结果的情况下，我们应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为真θ的估计，显得水到渠成。
三、合理假设形成模型意识
概率统计学科本来就是为了解决实际问题而产生的，它的起源是对赌博问题的研究。要培养学生的应用意识更应加强模型意识。数学模型是指应用数学的方法和语言符号对现实事物进行数学的假设和合理简化，可以理解为现实事物在数学世界的抽象存在，也是人们对实际问题的原型进行的数学抽象，它的目的是便于应用适当的数学工具得到对问题的量化研究。在概率统计教学中建立的数学模型应当选择问题的主要要素，模型相对比较简单并且易于教学推理和分析。
四、循序渐进培养应用能力
数学应用能力是一种综合能力，应循序渐进，慢慢培养。在现实中我们要注意：（1）概率是指某件事情发生的可能性大小。例如在天气预报中会提到晴天与雨天，预报明天下雨，只是说雨天可能性很大，这种概率不可能超过百分之百。（2）有些概率是可以估计的。比如掷骰子，你得5点的概率应该是六分之一，但掷骰子的结果还只可能是六个数目之一。这个已知的规律就反映了规律性，而得到哪个结果则反映了随机性。（3）应当在大量重复试验中出现的频率来估计生活中随机事件出现的概率。（4）多学习一些统计软件，充分利用一些直接的或间接的数据来源。
二、结合专业，注重案例教学
在地质类专业中，很多实际问题都直接用到了《概率论与数理统计》中的内容，比如:区间估计、假设检验、参数估计等，都是在地质类专业教学中常用的数理统计方法。那么，我们在《概率论与数理统计》的课堂教学中就可以有的放矢地将地质类学科中的案例与数理统计中的这些方法相结合，把地质学中的实际问题当作例子在《概率论与数理统计》课堂中进行讲解，地质类专业的案例在很多时候就是在具备专业背景下的统计学的应用，用这类问题来替换课本上枯燥的数学例子，一方面可以增强课堂的趣味性，提高学生的学习兴趣和积极性，另一方面也为将来学生在专业课中使用概率论与数理统计知识打下基础，帮助学生顺利地完成从基础课到专业课的自然过渡。
概率论以及数学统计这门课程具有较强的实践性，因此，在教学课程上，教师需要在教学的基本内容中加入更多的实例教学，帮助学生理解这门学科的基本知识点，加深学生对基本理论的记忆。例如：在讲概率学中最基本的加法公式时，加入数学建模的基本思想，利用俗语“三个臭皮匠”的相关内容作为教学实例。俗语中有三个臭皮匠的想法能够比的上一个诸葛亮，意思就是说多个人共同合作的效果比较大，可以将这种实际中的问题引入到数学概率论的教学中，从科学的概率论中证明这种想法是否正确。首先需要根据具体的问题建立相应的数学模型，想要证明三个臭皮匠能否胜过诸葛亮，这个问题主要是讨论多个人与一个人在解决问题的能力上是否存在较大的差别，在概率论中计算解决问题的概率。用c表示问题中诸葛亮解决问题的能力，ai表示其中（ii=1，2，3）个臭皮匠解决问题的能力，每一个臭皮匠单独解决问题存在的概率是P（a1）=0.45，P（a2）=0.6，P（a3）=0.45，诸葛亮解决问题存在的概率是P（c）=0.9，事件b表示顺利解决问题，那么诸葛亮顺利解决问题的概率P（b）=P（c）=0.9，三个臭皮匠能够顺利解决问题的概率是P（b）=P（a1）+P（a2）+P（a3）。按照概率论中的基本加法公式得P（b）=P（a1+a2+a3）=P（a1）+P（a2）+P（a3）-P（a1a2）-P（a2a3）-P（a1a3）+P（a1a2a3）解得P（b）=0.901。因此，得出结论三个臭皮匠顺利解决问题存在的准确概率大于90%，这种概率大于诸葛亮独自顺利解决问题的概率，提出的问题被证实。在解决这一问题过程中，大部分学生都能够在数学建模找到学习的乐趣，在轻松的课堂氛围中学到了基本的概率学知识。这种教学方式更贴近学生的生活，有效的提高了学生学习概率论以及数学统计这一课程的兴趣，培养学生积极主动的学习。
2.课设数学教学的实验课
一般情况下，数学的实验课程都需要结合数学建模的基本思想，将各种数学软件作为教学的平台，模拟相应的实验环境。随着科学技术的不断发展，计算机软件应用到教学中已经越来越普遍，一般概率论以及数学统计中的计算都可以利用先进的计算机软件进行计算。教学中经常使用的教学软件有SPSS以及MABTE等，对于一些数据量非常大的教学案例，比如数据模拟技术等问题，都能够利用各种软件进行准确的处理。在数学实验的教学课程中，学生能够真实的体会到数学建模的整个过程，提高学生的实际应用能力，促进学生自发的主动探索概率论以及数学统计的相关知识内容。通过专业软件的学习和应用，增强学生实际动手以及解决问题的能力。
3.利用新的教学方法
传统数学说教式的教学方法并不能取得较高的教学效果，这种传统的教学也已经无法满足现代教学的基本要求。在概率论以及数学统计的教学中融入数学建模的基本思想并采用新的教学方法，能够有效的提高课堂教学效果。将讲述教学与课堂讨论相互结合，在讲述基本概念时穿插各种讨论的环节，能够激发学生主动思考。启发式教学法，通过已经掌握的知识对新的知识内容进行启发，引导学生发现问题解决问题，自觉探索新的知识。案例教学法，实践教学证明，这也是在概率论中融入数学建模基本思想最有效的教学方法。在学习新的知识概念时，首先引入适当的教学案例，并且，案例的选择要新颖具有针对性，从浅到深，教学的内容从具体到抽象，对学生起到良好的启发作用。学生在学习的过程中改变了以往被动学习的状态，开始主动探索，案例的教学贴近学生的生活学生更容易接受。这种教学方法加深了学生对概率论相关知识的理解，发散思维，并利用概率论以及数学统计的基本内容解决现实中的实际问题，激发了学生的学习兴趣，同时提高了学生解决实际问题的综合能力。在运用各种新的教学方法时，应该更加注重学生的参与性，只有参与到教学活动中，才能够真正理解知识的内涵。
4.有效的学习方式
对于概率论以及数学统计的相关内容在教学的过程中不能只是照本宣科，而数学建模的基本思想并没有固定不变的模式，需要多种技能的相互结合，综合利用。在实际的教学中，教师不应该一味的参照课本的内容进行教学，而是引导学生学会走出课本自主解决现实中的各种问题，鼓励学生查阅相关的资料背景，提高学生自主学习的能力。在教学前，教师首先补充一些启发式的数学知识，传授教学中新的观念以及新的学习方法，拓展学生的知识面。在进行课后的习题练习时，教师需要适当的引入一部分条件并不充分的问题，改变以往课后训练的模式，注重培养学生自己动手，自己思考，在得到基本数据后，建立数学模型的能力。还可以在教学中加入专题讨论的内容，鼓励学生能够勇敢的表达自己的想法和见解，促进学生之间的讨论和交流。改变以往教师传授知识，学生被动接受的学习方式，学会自主学习，自主探究，勇于提出自己的看法并通过理论知识的学习验证自己的想法。有效的学习方式能够调动学生学习的积极性，加深对知识的理解。
5.将数学建模的基本思想融入课后习题中
课后作业的练习是巩固课堂所学知识的重要环节，也是教学内容中不可忽视的过程。概率论统计课程内容具有较强的实用性，针对这一特点，在教学中组织学生更多的参与各种社会实践活动，重在实际应用所学的知识。对于课后习题的布置，可以将数学建模的思想融入其中，并让这种思想真正的解决现实中的各种问题，在实践中学会应用，不仅能够巩固课堂学到的理论知识，还能够提高学生的实践能力。例如：课后的习题可以布置为测量男女同学的身高，并用概率统计学的相关知识分析身高存在的各种差异，或者是分析中午不同时间段食堂的拥挤程度，根据实际情况提出解决方案，或者是分析某种水果具体的销售情况与季节变化存在的内在关系等。在解决课后习题时，学生可以进行分组，利用团队的合作共同完成作业的任务，通过实践活动完成训练。在学生完成作业的过程中，不仅领会到了数学建模的基本思想，还能够将概率统计的相关知识应用到实际的问题中，并通过科学的统计和分析解决实际问题，培养了学生自主探究以及实际操作的综合能力。
教学研究概率论和数理统计是教育领域中的两个不可或缺的学科，而这两者都有着较为抽象的特征，这就意味着学生在学习时难免会遇到这样或那样的困难。倘若无法正确认识相关概念，那么在今后的深入学习中便会遇到更多的难题。在很多情况下，日常练习与考试中出现的大部分错误主要就是因为学生未对概念有正确的认识，更不用说知识拓展了。这就要求教师在包括课前、课上以及课后的教学过程中考虑怎样设置教学才可以使学生愿学，好学以及学好。笔者将从以下几个方面分析概率论与数理统计教学优化的对策。
1以课程发展历史切入，激发学生兴趣
数学学科中涉及到的理论、思想以及思维等都是社会得以进步的关键，同时还是衡量人类发展水平的标尺。不管是学习个体，还是全人类，其发展均离不开数学的辅助。数学并不单单是一门课程，同时还是一类文化。不仅如此，它还是人们得以进步的重要手段与思想理念。数学中蕴含的意义不受时间和空间的限制，它存在于人们发展的各个时期。西方数学家早已明确提出，多种学科，包括心理学，语言学等，都和数学之间有着千丝万缕的联系。所以，在教学过程中，教师可以向学生讲述概率论与数理统计和其他学科间的关系及其发展历史，以此来激发学生的学习兴趣。只要学生对学习产生了兴趣与热情，那么概率论与数理统计教学质量必将会得到有效提升。
2弥补传统教学中的不足
从整体上看，《概率论与数理统计学》课本本身十分重视与概率论有关的理论知识。相比之下，数理统计的实践知识所占比例则要稍显偏少。笔者通过深入研究分析后发现，教材所关注的更多的是概率论知识理论层面上的传授，而对于数理统计在实践中的应用则涉猎的非常有限，也没有进行具体的分析。例如，数理统计一般都只讲解到区间估计与假设检验两个环节就停止，造成学生无法真正掌握并运用有着良好实用特征的回归与方差分析方法。而在一些其他的部分，也仅仅介绍了概率论，没有突出数理统计，学生尽管掌握了概率论的率计算法则，却并没有真正掌握这一方法的实际运用。通常情况下都是在学习了理论知识后便快速遗忘，其最终结果就是学生虽然拿到了实践数据，但并未掌握具有较强实用性的分析方法。这种现象不利于学生实用能力的有效提升，也背离了应用型本科院校重视提升学生应用型能力的教育思想。
3揉合数学建模实现应用能力的提升
人们都知道，学习数学学科的最有效方法就是“学以致用”。就现阶段的教育现状而言，学生从最初接触数学开始，对数学的认识就仅限于能够解题，获得高分。无可厚非，这是一种衡量学生知识掌握情况的重要标准，但绝不是仅有的标准。尽管学生拥有牢固的理论基础，但如果无法将所学应用到生活实践中，那么整个学习过程将毫无意义。在计算机水平持续提升的阶段，概率统计软件层出不穷，且使用规模也在不断扩大，这为学生的实际应用创造了难得的机遇。数学建模实际上就是以社会生活中的某些生产与生活现象为基础，借助数学方法来获取缓解或解决对策，这需要学生有较强的实践能力。对学生的数学建模思想进行针对性的提升不仅能够提升学生应用概率论与数理统计学理论的实践能力，还可以有效提高学生的问题分析技巧。所以，教师在教学过程中应做好对学生数学建模思想的渗透工作，融入到实践性较强的案例中，从而使学生可以在不断的分析与研究过程中领悟应变能力与问题解决能力的重要性。
4改进教学方法和教学手段
现实案例和学生的生活环境有着密切的联系。学生对所处环境进行评价与研究，从而透彻的理解各个案例，探寻问题的根源，最终联系所学的概率论与数理统计知识来获得问题的解决办法。这一教学方式和生活息息相关，能够在很大程度上刺激学生的主动探索热情，增强他们的实践观念，帮助他们获得学以致用的成就感。就拿二项分布与正态分布而言，它们就能够解释多种生活实践中的现象，包括硬币的抛掷概率等，有着非常强的现实意义。这些案例能够激发学生主动投入到实践探索过程中去，在翻阅资料，搜集信息，并结合概率论与数理统计有关理论的过程中透析案例并寻求解决办法。不仅如此，保险理赔、公交车是否准时以及商业用电等都是学生在生活工作中随处可见的实际案例，学生通过了解、分析这些问题，探析其本质，从而逐渐增强自身的概率论与数理统计应用观念，并提升数学能力。
5完善考核方式
考核在整个教学环节中扮演着不可或缺的角色。它不仅能够用于了解学生学习过程中存在的问题，还能够对教师的教学水平进行一定的评价。概率论与数理统计课程是考试课程，所以不应完全根据期末成绩占总分70%，平时成绩占30%的计算方法得出学生的最终文化分。而是应把考核体制中的成绩评估进行进一步细化，这不仅可以提升学生的学习主动性，还可以突出学生在应用概率论与数理统计知识方面的技能与水平。在这样一种详细的考核机制中，学生的实践能力才可以得到最终的提升。因此，概率论与数理统计教学必须要完善考核方式。
6总结
总而言之，概率论与数理统计教学过程中，教师不应将教学目标定位使学生掌握有限的概率论与数理统计解题方法，而应考虑帮助学生在学习这一学科的各个环节中开拓学生的思考方式与视野。同时，还要使学生感受到这一学科在实践当中的使用价值，从而有效增强学生分析与解决问题的技能。只要教师在教学中实施精心教育，那么学生的自身素质必然会有所提高，也会为学生的就业打下良好的基础。
作者:王晓敏 单位:西安外事学院工学院
0.引言
在统计学领域，有关讨论和争议时间最长同时也是范围最广的问题就是统计学科问题。统计与数学社会经济统计现状纠纷愈演愈烈，消除门户之见，越来越多的人们趋向于建立大统计学科的；现阶段，有人提出将数理统计的数据取向作为唯一取向。
1.两门统计学的对比分析
1.1内容与特点对比
就科学内容而言，社会经济统计主要涵盖以下两个部分：社会经济体量的核算工作和社会经济的定量工作。社会经济体量的核算工作的主要核心内容是宏观经济核算表，设计到统计雪中的分类理论、数据收集和整理、会计理论和统计理论等，同时还涉及到已经开发或者准备开发的科学、环境等相关的社会统计数据的会计核算。社会经济的定量工作则更多的涉及到有关社会经济数据的总量、社会结构、经济效益及其动态趋势发展等。
概率论从整体上来研究，主要是围绕统计学的目标进行的，在经济管理中起着直接的作用，研究的内容是有关数据计量、指标分析以及数据索引等内容。数理统计主要涉及两方面：描述统计和推论统计，在内容上，这两门统计学科相互关联，但是两者依然存在差异性。数理统计的基本上是围绕模型假设、研究和论证。在概率论分析所用方法群中，数理统计方法是一门最基本同时也是最重要的研究方法，同时，数理统计学也是其中应用的一个范围较广的领域。可以这样说，社会经济统计和数理统计之间的差异大于相似，社会经济统计数据具有独特的服务对象，它与实际工作之间有着密切的关系。数理统计一般认为是自然科学的一个科学的方法，所采用的理论基础是概率论，主要源自于生物学研究和农业试验等方面。
1.2发展与创新机理对比
社会经济统计和数理统计在统计领域影响不同，都受到各自的内容限制，导致这两门学科研究的驱动力也具有差异性。社会经济统计的经济核算主要研究力量来自一些政府机构和高等院校，主要服务于官方统计机构等一些宏观管理部门；数理统计理论的主要理论源于实践，通过数学推导，由分析研究人员经过一系列的推算和理论得出分析结果。科学实验在早期的研究方法中具有重要的影响。、是比较大的。在不久的将来，数学推导、社会实践的影响及其作用将进一步扩大。
1.3地位与影响对比
在国际统计学界中，数理统计学占据着重要的地位，世界上最有影响力的数学统计学会是一个国际统计学会，这个学会所采用的统计学术基本上是以数理统计为主。然而，概率论的发展是逐步进行的，其采用的统计方法也越来越多，同时概率论在很多研究应用领域的重要性越来越突出，包括社会生活、国家和地区经济的宏观调控和企业管理。
2.大统计学现状与发展趋势
2.1统计学观点的价值判断
近几年，有关概率论和梳理统计学的研究和讨论越来越多，态势也越来越激烈，许多人从学科发展角度，以视觉的辩论的广度观察，提出了将概率论和梳理统计学作为一个整体的“大统计”学科的理论。从观念上看，由于概率论和梳理统计学的统计口径不同，即使可以形成一个大的统计体系，但就大统计学科的内部关系而言，这一门新兴的学科更像是一个松散的学科群。此外，通过对包括概率论和梳理统计学在内的多门学科统一性的强调，并不足以否定在更多方面多分支学科的差异性。
数理统计学是从统计学科中纵向转变而得，例如生物统计数据、气象数据经以及济统计数据等是从中分离出来的，这有利于提取方法本身的改进，同时也是学科发展的必然，更加有利于方法的应用推广。事实上，隐藏在这学科分化的表面真实的理论基础，正是在更多的水平和综合领域中使用不同的统计方法的融汇与综合。到目前为止没有很好的理由认为：数理统计和社会经济统计数据（或其他的纵向统计）将来会重新在一起。
2.2核算统计理论大有学问
大家都知道，随着我国改革开放，原先长期沉闷学术气氛被打破，过去在统计学界一直相信的理论也在一步步的研究中开始反思和讨论。由于长期以来，我国在社会经济统计数据方面，包括概率论和数理统计学等在理论、时间等方面存在许多问题，有些学者虽然有关社会经济统计数据持有怀疑的态度，但考虑到社会经济统计学仅仅只是一个政府工作中的一个统计数据而已，缺乏必要的历史、辩证的使用态度，导致负面的社会经济统计数据链反应。
通过对指标和指标体系在统计理论的经济统计数据的研究，以及在社会经济现象的数量之间关系的研究，现阶段概率论和数理统计学科依然具有活力，也就是核算统计理论不会消失，在现阶段，导致核算统计理论大有学问主要是由于：一方面，是一种特殊的社会现象及其复杂性的数量变化边界的决定统计理论的价值。另一方面，价格因素决定着会计理论的价值，包括广泛性和综合性统计调查的内容。
2.3统计理论研究极端化现象的根源
随着我国改革开放，原先长期沉闷学术气氛被打破，国内统计行业兴起对统计学科的改革性思考。现阶段在统计学领域，国内统计学科研究者一方面要面对着国内外有关统计双向的问题的研究，另一方面，由于我国统计学科基本单薄，国内一些学者运用传统的统计理论的彻底批判国内理论，固执地独自理解西方寻求理论并寻求经验支持，逐步走向极端化，试图通过国外，尤其是西方有关“大统计”学的定义和理论对我国的统计理论设计和规划的发展目标“指手画脚”。
在极端的趋势下，是对西方通用的统计理论和应用的假设的有效性的“肯定”，思维模型的研究，这个假设是简单的二分法处理。当谈到过去和现在的中国统计理论，就“以一概全”的、自觉或不自觉地、统一文字修改，这给我国传统统计理论造成负面影响，所谓的现代统计理论往往根据西方社会因素发展的经验和成果的统计理论抽象，或是任意类型的处理来界定，传统与现代的相互渗透性从根本上被否定了。这种观点认为，传统的就是落后的，落后的阻碍现论的进一步发展；这种“错误”的观念的研究，忽略传统统计中所隐含的向现代统计转型的深厚的正确性资源。割断历史，闭塞本国经济统计学科的理论和实践发展，或者一味的坚持传统理论，另起炉灶，抵御国外整体统计学发展理论结果。而应该站在在国家统计科学有效的、合理的基础上，积极与国际合作，因为任何一个单纯地模仿他国的理论成果都没有成功的先例。
3.结束语
统计学产生于应用，在应用过程中发展壮大。随着经济社会的发展、各学科相互融合趋势的发展和计算机技术的迅速发展，统计学的应用领域也将不断发展，、统计学的应用展现它的生命力和重要作用。
在应用统计这门学科中，概率论与数理统计的应用过程将会更加的发展壮大。随着经济和社会的发展以及计算机技术的飞速发展，统计理论与分析方法在更多领域应用广泛，统计学的应用将会展现它的生命力和重要作用。（作者单位：福建师范大学）
参考文献
关于该问题,有现成的求解公式:
(1)
及
(2)
但由于f(x,y)本身形式的差异性,学生往往掌握不好上面两个积分的计算方法。我们现在就给出求解该问题的一般方法和步骤。
步骤1:在平面直角坐标系画出f(x,y)不为零的区域Ω。
如果f(x,y)在整个平面域上只有一个表达式,那么Ω就是整个xoy面,这时情况就很简单;否则,如果f(x,y)在不为零的区域上只有一个表达式,那么Ω为xoy面的一个子区域;更复杂的情况,如果f(x,y)在不为零的区域上有两个以上不同的表达式,那么我们可以把Ω再分成若干个子区域。
步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
我们以式(1)中的积分为例,来进行分析。在积分的过程中,x被看作常数,y是积分变量、并且y的变化范围是从正无
穷到负无穷。所以我们可以认为 f(x,y)dy的积分域是xoy
面上平行于y轴的一条直线,而该直线的位置由x决定。我们根据该直线和Ω相交的不同情况对x分情况进行讨论。如果直线和Ω不相交,则积分为零;如果直线和Ω相交,则积分限就是该直线落在Ω内的线段对应的纵坐标的变化区间。
对式(2)中的积分,可做类似分析。
步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
下面我们通过两个例子来说明上面各个步骤的具体实施方法:
例1,已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,
y)= ,求(X,Y)关于X和Y的两个边
缘密度函数fX(x)和fY(y)。
解:
步骤1:f(x,y)不为零的区域Ω如图1所示。
步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
(1)当x1时,平行于y轴的直线和Ω不会相交,所以
=0
(2)当0≤x≤1时,平行于y轴的直线和Ω相交情况见图2:
从图中我们可以看出,该直线落在Ω内的部分的纵坐标的变化范围是从x2到1,所以:
步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
综合上述讨论,故:
同理可得
下面我们再看一个较复杂的例子。
例2,已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:
求(X,Y)关于X和Y的两个边缘密度函数fX(x)和fY(y)。
解:先计算fX(x)。
步骤1:f(x,y)不为零的区域有两部分,分别记为Ω1和Ω2,如图3所示:
步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
(1)当x2时,平行于y轴的直线和Ω1及Ω2都不会相交,所以:
=0
(2)当0≤x≤1时,平行于y轴的直线和Ω1相交,情况见图4:
从图中我们可以看出,该直线落在Ω内的部分的纵坐标的变化范围是从0到x,所以:
(3)当1≤x≤2时,平行于y轴的直线和Ω2相交,情况见图5。
从图中我们可以看出,该直线落在Ω内的部分的纵坐标的变化范围是从0到2-x,所以:
步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
综合上述讨论,故:
再计算fY(y)。
步骤1:同上。
步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
(1)当y1时,平行于x轴的直线和Ω1及Ω2都不会相交,所以:
=0
(2)当0≤y≤1时,平行于x轴的直线和Ω1及Ω2都相交,情况见图6。
从图中我们可以看出,该直线落在Ω1内的部分的纵坐标的变化范围是从y到1,落在Ω2内的部分的纵坐标的变化范围是从1到2-y,所以:
步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
综合上述讨论,故:
