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《数学课程标准（2011年版）》要求把培养计算能力作为小学数学教学的一项重要任务。可见，在整个小学数学教学阶段，低年级计算教学的基础性和重要性不言而喻。因为学生只有掌握好低年级计算的算理算法，才能运用它们进行知识的迁移，触类旁通，是为后续计算学习奠定下坚实的基础。
一、重视加减法含义的理解
首先，在情境中理解加减法的含义。加法表示把几部分合起来，减法表示从一个数中去掉一部分，求另一部分。减法含义的情境图是加法情境图的继续，因此可以在加法含义教学的基础上继续进行。如：在教学加法含义时利用课件动态演示3个红气球与1个蓝气球合并在一起的过程，使学生明确：把气球合并在一起，求一共有多少个气球用加法计算；而减法含义的理解可以借助加法含义的情境图：课件动态演示合并在一起的那4个气球里，飞走了1个气球，还剩几个气球的过程，使学生明确：求还剩几个气球，就是从4里面去掉1，用减法计算。通过课件演示全过程，学生在对比中加强了对加减法含义的理解。
其次，设计摆一摆、演一演、画一画、说一说等多种学习活动，在活动中强化对加减法含义的理解。如：让学生摆一摆、说一说：2块橡皮擦和1块橡皮擦合并在一起，求一共有几块橡皮擦用加法计算，算式是2+1=3。
接着，让学生感受加减法算式在生活中的应用。通过让学生举例说一说加减法算式可以表示生活中的哪些事，感受数学与生活的紧密联系。让学生在充分观察的基础上说一说算式表示的含义，让学生的感受更真实、更直观、更深刻。
再次，鼓励学生用自己的方式表示加减法算式的含义。如：在表示算式2+1=3的含义时，学生有的用自己的手指表示，有的用画图形的方式表示等等，让学生在作品交流中，加深对加减法含义的理解与认识。
最后，让学生感受加减法之间的关系，进一步认识两个加法算式和相应的两个减法算式之间的关系，使学生更好地掌握加减法。如：在教学8的加减法时出现算式5+3=8、3+5=8、8-5=3、8-3=5，可以先引导学生横看、竖看，发现其中的规律，直观感知加、减法之间的关系。然后通过讨论：“在加法算式中整体在哪儿？两个部分在哪儿？两个部分在哪儿？”还可以提出“看到3+5=8你还能想到哪些算式？”等问题，使学生联想出其他3个算式，从而帮助学生逐步提高计算能力。
二、注重算法的理解过程
学生理解算理的过程需要经历实物操作——表象操作——符号操作的基本思维过程。教师可以设计摆一摆、圈一圈、说一说等多种形式的活动，充分展现计算过程。在充分理解算理的基础上，特别要关注学生计算过程和计算方法中“想”的活动上，强调让学生口述思考过程，同时引导帮助学生简缩思维过程，从而让学生在理清思路、熟悉思考的过程中，做到“理清”“法明”。最后应向学生说明：熟练以后，哪种方法的过程都可以不再一步一步地想，做到直接说出得数。
如：在9加几的教学中呈现的实物图，为学生提供了实物操作，接着在算式下面标注出口算过程图，组织学生进行表象操作，让学生在头脑中重现分一分、摆一摆的过程，并用数学语言表征出来。这是学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的桥梁。这是在充分理解算理的基础上，学生进行抽象的符号操作，直接说出计算的结果。如：9+4，学生口述思考过程：把9凑成10还需要1，从4里拿走1给9，4还剩3，10加3等于13。当学生充分理解算理后，可以让学生简缩思维过程，如9+4，想10，13。
三、计算练习注重丰富性、坡度性和趣味性相结合
20以内的加减计算是本册教材的重点。能熟练地口算20以内的加减法是学生需要练好的基本功之一。为了避免学生在计算练习中感到枯燥，因此计算练习在内容上要体现丰富性，在形式上要体现趣味性，同时计算练习的内容和形式要随着学生能力的提升而变化，即体现坡度性。
学生计算中的难点是如何拆数，在学生刚刚学完每一小节新内容时，可以先从“如何拆数”练起。如：出示“9+3”，要求学生能说出“把3分成1和2”。在学生能够比较正确、熟练进行“拆数”的基础上，进行“凑十说得数”练习。教师指导学生将“拆数”的过程在头脑中完成，而把练习的着力点放在“拆数”以后的部分——两数凑十，再加上拆得的数。如：“9+3”，要求学生只说出“9加1等于10，10再加2等于12”。在学生熟练掌握凑十法的计算算理的基础上，进行直接说、写得数练习，之后可以适当进行对比练习。在日常教学中，教师还应注意收集学生在计算中易错的题目加强练习。如：教师可以将易错的口算题分成三组：先练第一组，发现问题及时帮助学生找出错误原因；第二组练习，学生就会达到一种认识掌握；再练第三组，逐步熟练掌握。通过这样有针对性的行为跟进训练，提高学生计算的能力。最后是找规律练习，教师组织学生通过计算、观察寻找规律。如：列出另一组算式：2+1=、2+2=、2+3=、3-2=、3-1=、4-1=、5-1=，让学生通过计算观察发现：一个加数不变，另一个加数不断变化，和也随之变化；减数不变，被减数不断变化，差也随之变化以及数的组成中3个数之间的关系，接着组织学生讨论：发现的这些规律对我们有什么用处？最后设计一组习题让学生利用规律巧计算，感受利用规律计算带来的便捷。
除了练习内容的丰富，教师还应不断变换练习形式，注意从直观到抽象、由易到难，逐步提高要求。丰富多彩的练习形式激发了学生的兴趣，使学生能在情趣盎然的气氛中计算，在“玩儿”的过程中不断地加快自己的计算速度，从而提高学生的计算能力。如：设计有竞赛性质的计算游戏：爬山比赛、射击比赛、投篮比赛、数学转轮等形式。另外，学生不仅能视算，还可以进行听算练习，帮助学生逐步加快计算的速度，以达到对学生计算的要求。
四、对所学计算进行简单的梳理
本册教材所涉及的计算问题不论是数的范围，还是计算方法，都存在一定的差异。教材采用“分类”加”举例“的方式对所学习的计算进行整理。学生在正确计算的基础上，应能将算式进行分类，并按要求举出每一类的例子，形成对所学计算的整体认识。在此基础上，学生能结合具体算式，对计算方法进行回顾。
教师把上面的算式以算式卡片的形式贴在黑板上，首先让学生观察运算符号，挑出不同的2道题，使学生明确：我们学习的计算有加法，也有减法。接着，比较8+5和13+2这两道题在计算时有什么不同，使学生进一步认识加法有进位加法和不进位加法。再让学生指出卡片上的加法题中哪些是进位加法、哪些是不进位加法。最后，让学生举例分别说一个减法算式、一个不进位加法算式和一个进位加法算式。对于每一个计算的问题，学生应能根据已学知识准确判断出怎样计算，并选择自己喜欢的方法进行计算。
同时，可以通过加法算式表、减法算式表和进位加法表对所学习的计算进行整理，对加法表和减法表的整理要全面而有序。教师要注意引导学生进行探索和发现，并让他们切实经历这种探索和发现的过程。
如：进位加法表的整理：让学生根据9+1=10，说出9+几的其他进位加法算式，确认其他的进位加法算式都写出后，让学生按照一定的顺序排列算式。教师注意引导学生按竖行找规律，再按横行找规律，最后从全表找规律，找出哪些是大数加小数的算式、哪些是小数加大数的算式，并说说分别可以用什么方法计算，同时感悟得数不变的情况下，两个加数的变化规律。
五、自选算法，不必统一。
不同算法是不同思维发展水平的体现。在学生知道有多种方法可以得到计算结果后，可以让学生自主选择自己喜欢的方法来进行计算，不必强求一致。在计算时，有多种不同的计算方法，可以根据题目的具体情况，选择自己喜欢或掌握得比较好的方法进行计算。
在多种计算方法中，10以内的计算主要是采用“接着数” 和“想数的组成”两种方法。随着教学的进行可以慢慢引导学生按数的组成进行计算，注意逐步提高对学生计算的要求，让学生从看图计算逐步过渡到想数的组成进行计算。因此，在练习中要加强学生用组成进行计算的训练，引导学生能用数的组成较快地算出得数。在20以内进位加法教学中，“凑十法”是学生新接触的一种方法，教材在算法多样化的基础上，突出了“凑十”的计算方法。“凑十法”包括“拆小数，凑大数”和“拆大数，凑小数”两种。如：在“9加几”部分呈现“接着数”“凑十法”，鼓励学生说说自己口算的方法；在计算“8+9”时，有“拆小数，凑大数”“拆大数，凑小数”和“交换加数的位置”的方法，允许学生用自己喜欢的方法进行计算，尊重学生的自主选择。
总之，计算教学是一个长期而复杂的教学过程，要提高学生的计算能力不是一朝一夕的事，教师应在认真学习数学课程标准，深入解读教材和做好学情分析的基础上，把课改中的新理念运用到自己的计算教学中，才能不断改进、完善计算教学。
参考文献：
《数学课程标准》指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”而数学学科的逻辑性，恰恰反映在它的严密性和新旧知识的连贯性上。每一部分的新知识往往是旧知识的延伸和发展，又是后续知识的基础。因此，在小学数学课堂教学中，巧用新旧知识的联系，突破教学重点，显得尤为重要。
统观现行的小学数学教材，每个“知识块”都是按照由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋上升的原则，分为各循环段，各单元，各章节来编排的。如计算教学整数是从20以内数的认识和计算，到百以内数的认识和计算，由万以内数的认识和计算到万以上数的认识和计算;小数和分数则是由包括初步认识两个循环段组成。从章节上看，整数的加减法由不进位到进位，由不退位到退位;分数则是由同分母加减法到异分母加减法等等。这样，循环段与循环段之间，单元与单元之间，章节与章节之间，既存在纵向联系，又存在横向联系，既有知识系统的标志，也是研究新旧知识的着眼点和切入口。
有位教育家曾经这样说过“教给孩子借助已有知识去获取新知，是最高的教学技巧。”所以教师只有非常明确各知识间的内在联系，掌握新旧知识的衔接点，做到有的放矢，才能在数学教学中运用迁移规律搞好旧知识向新知识的过渡，形象思维向抽象逻辑思维过渡。这就需要在两个新旧知识的连接点上做文章，形成了容易解答的一个新知识，这样过渡自然.，学生接受起来才会轻松顺畅。平时教学中，我正是充分考虑这一点，才会以学生原有知识为起跑线，提供冲刺的跑道，让学生在老师的有序指导下完成从旧知识到新知识的顺利跨越。现就本人在十几年的教学实践中，如何巧用新旧知识的联系来提高课堂效率谈点粗浅的看法：
一、抓住纵向联系，深化知识生长点
如学习异分母加减法的时候，考虑到学生已经掌握了整数，小数加减法，同分母分数加减法等计算，在这些计算学习中只要牢牢抓住了“只有计数单位相同，才能相加减”这一概括性很强的观念，为“异分母分数加减法”奠定相关的旧知基础，“异分母分数加减法”的问题也就迎刃而解。
二、加强横向比较，突出知识连接点
如学生学习了万以内数的读法和写法，掌握了个级的读写法，理解了数位顺序和计数知识，到学习多位数的顺序和读写法就可以水到渠成地以旧引新了。
三、巧用新旧联系，强化概念的衔接点
在传授新知时，必须注意抓住新、旧知识的联系，指导学生进行类比、对照，并区别新旧异同，从而揭示新知的本质。如讲解整数乘法运算定律推广到小数，可通过应用整数乘法运算定律进行整数简便计算进行引入讲解等等，让学生在学习时有一种“似曾相识”之感。
在旧知识向新知识过渡的时候，教师通过设计出一系列由浅入深的问题，一环紧扣一环地设问，可以启发学生运用迁移规律，沟通新旧知识之间的联系，达到旧知识向新知识过渡的目的，从而使学生的认识逐步深化。如教“三角形的面积计算”时，可以这样设问：①两个完全一样的三角形可以拼成一个已学过的什么图形？②拼成的图形的底是原来三角形的哪一条边？③拼成的图形的高是原来三角形的什么？④三角形的面积是拼成的图形面积的多少？⑤怎样来表示三角形面积的计算公式？⑥为什么求三角形面积要用底乘高再除以2？这样的提问既有逻辑性又有启发性，不仅使学生较好地理解三角形的面积计算公式，而且能发展学生的思维。
二、在知识的关键处提问
善于围绕教学中心抓住课堂教学的关键提问，能起到突出重点、突破难点的作用。如：在教学“倒数的认识”时，关键是让学生理解倒数的概念。老师在引导学生归纳了倒数概念之后进行提问：你对这个概念是怎样理解的？（突出三个要点：积是、两个数、互为）这里的积是1的两个数是指什么样的两个数？谁能举例说明如果学生没有讲到“1?=1，这个例子，老师可以继续提问：1有倒数是多少？（1的倒数是它本身）你对“互为”是怎样理解的？请举例说明。由于问题提在关键处，学生围绕关键处观察、思考，所以理解得深、记得牢。
三、在相似易混淆处提问
小学数学教材中，有许多形式相近、联系紧密的概念、法则、公式等极易混淆，影响学生准确掌握和运用。因此在这些相似易混处设问，可以引导学生分析、比较，弄清它们之间的联系与区别。如：“除法的两种分法对比”是易混淆的两个概念，教师可以采用图解配合设问的方式辨折。 提问：（1）把6只小兔平均放在3个笼子里，求每个笼子放几只，是什么意思？（把6平均分成3份求每份是几）怎样分？用什么方法列式计算？（学生回答后，教师板书：6÷3=2）；算式每部分表示什么意思？（2）把6只兔子每2只放在一个笼子里，一共需要几个笼子？是什么意思？（把6按每2个分一份、可以分成几份，怎样分？……（学生回答后，老师板书：6÷2=3）。通过以上设问，引导学生进行两种分法的异同点比较，经过对比，可以沟通过两种数量关系的内在联系，帮助学生初步了解除法的两种应用。如：“除法的两种分法对比”是易混淆的两个概念，教师可以采用图解配合设问的方式辨折。
四、探索规律时提问
引导学生发现规律，不仅有利于调动学生的学习积极性而且有利于培养学生观察、比较、判断和推理的能力。在探索规律中提问，可以有效地引导学生的思维，对知识获取鲜明的印象。如：在教学“7的乘法口诀”时，首先让学生在方格中进行7连续加7的计算，然后再出示1条用7个三角形摆的鱼图，提问：一条鱼共用了几个三角形？怎样列式并算出得数。（7×1＝7）“7×1=7”表示什么意思？谁能根据算式表示的意思编一句乘法口决？（一七得七）“一七得七”表示什么意思，摆2条鱼共用几个三角形，怎样列式计算，（7×2＝14）谁能根据算式表示的意思编一句乘法口诀？这样通过围绕所提问题进行摆、看、说的活动，就能独立编出其它几句有关7的乘法口诀，从而对编7的乘法口诀有了较深刻的印象。重要的规律出之学生之口。在探索、发现规律的过程中，也进一步提高了他们的逻辑思维能力。
五、在总结知识的规律处提问
如教学“商不变的性质”时，根据算式:60÷20＝3，则 (60×2)÷(20×2)=3 (1)
(60×100)÷(20×100) =3 (2)
(60÷4)÷(20÷4)=3 (3)
(60÷10)÷(20 ÷10) =3 (4)
设疑:1.比较上面4个算式的商有什么特征？2.以原式为标准，(1),(2)式与原式比较，被除数、除数是怎样变化的?(都扩大了2倍、100倍……)商怎样? 3.追问:“都扩大”是什么意思?(同时扩大)经过、分析上面问题，学生在教师的引导启发下就能概括出商不变的性质。这种提问能培养学生观察、分析、综合、比较、概括能力。
六、在知识的对比处提问
如教学小数加减法，整理计算法则之后，可以向学生提问：小数加减法与整数加减法的计算法则有哪些相同和不同?经过讨论得出，相同点:(1)相同数位上的数对齐，(2)从低位算起。不同点:对位的方法不同。整数加减法是末位对齐，小数加减法是小数点对齐。通过计算法则的对比，学生更加理解和掌握整数、小数加减法的计算法则，发展了学生的认知结构。
推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用的一种思维方式，推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中，推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成，合情推理用于探索思路，发现结论，演绎推理用于证明结论。
由于小数加减法的意义和整数加减法的意义完全相同，小数加减法的计算法则和整数加减法的计算法则原理一致，因此，在进行小数加减法的教学时，注意了新旧知识的联系和区别，在组建新的知识结构时，引导学生发现小数和整数间的共同点，迁移类推出小数加减法的计算方法，怎么做到计算方法与推理能力培养并重呢？
路琳：
1 创造性地使用教材，重新对教材内容进行合理的编排，意在培养推理和迁移能力
郭晶晶和帕卡琳娜几轮比赛成绩的出示，我们不难看出，每一次成绩的出示都有一定的教学目的，完全为教学目标服务。教师注意加强整、小数加、减法运算意义之间的联系，注意联系整数加减法的计算法则。通过共同因素“相同数位对齐”，类比推理，突出小数点的处理问题，实现知识正迁移，进而推理归纳出计算法则，再进行运用。小数加减法的计算法则是整数计算法则的推理结果，所以，在教学中，培养学生的推理能力是本节教学目的之一。
2 找类比推理的起点，抓法则的形成
小数加减法法则形成的关键是解决为什么“小数点对齐就是相同数位对齐”这一问题。九年义务教材小数加减法的教学分两个阶段，第一阶段在第六册结合小数的初步认识，借助元、角、分引导学生把小数的各个数位和元、角、分一一对应，弄清把小数点对齐也就是相同数位对齐，然后开始相加、减得计算过程。第二阶段在第八册结合小数的再认识，在明确了小数的计数单位和数位的基础上，结合整数加减的计算法则，总结出小数加减法的计算法则，培养了学生的推理能力。
“用字母表示数”教学片段
文/刘波
一、游戏导入
1 智力大比拼
师：同学们，我们先来做个游戏吧！游戏的名字叫做（课件）智力大比拼。老师给大家准备了一些图片，一会儿老师会把这一些图片打乱顺序，一一出示。看谁能在较短的时间内按顺序记住图片，你可以用笔在老师提供你的记录单上帮助做记录。听明白要求了吗？准备好，开始。
师：图片播放完了，你都记住了吗？我考考大家，第七张图片是什么内容？
生：第七张图片是肯德基。
师：老师能采访你一下，你是用什么方法，快速地记住这张图片的？
生：我在记录单上写了KFC就代表了肯德基。
师：提到KFC我们就想到了肯德基，大家也是用他的方法记住这张图片的吗？大家还使用了什么方法记住别的图片的？谁来说一说？
生：我画了三条波浪表示北京的水立方。
生：我画了一个笑脸，来表示微笑的小孩。
生：我是用一个月亮图案表示夜晚的。
2 生活中用字母表示的事物
师：除了老师提供给大家的信息，你还想到了哪些生活中用字母表示的事物呢？
生：老师，我知道NBA表示美国职业篮球赛。
生：看到P，就代表这里是停车场。
生：WC，表示厕所。
生：我还知道麦当劳的标志是一个大写的M。
师：同学们说的都很对，生活中有很多用字母表示的事物，看到CCTV，我们就知道它代表着中央电视台。生活中用特定的字母或符号可以表示一定的含义，那在数学上，字母又表示什么呢？想研究吗？今天我们就一起走进数学王国，研究“用字母表示数”。（板书课题。）
二、层层递进。逐步建构
1 让学生亲历用字母表示数的概括抽象过程
百宝箱――找密码。
师：一天，（课件）数学王国的“零”国王得到了一个百宝箱，可没有密码打不开，密码是由以下横线上的三个数字组成的，请你猜一猜。
（生猜。）
师：谁能猜到密码箱的密码？你能说一说为什么吗？
（生说原因。）
小结：经过共同的努力，我们破译了数学王国的密码箱，像这里、n、m都可以表示特定的、唯一的数，不是所有用字母表示的数都是唯一的、特定的呢，我们继续在数学王国寻找答案。
2 初步理解含有字母的式子既表示结果也表示数量关系
数学魔盒。
（1）师：数学王国的零国王打开百宝箱，发现了一个魔术道具，对它产生了兴趣，你们想看看吗？我们一起来用它变个魔术。试一试。
我先输一个数，5――穿过魔盒――15。
（老师请一位同学说一个数。）
（2）揭示秘密
师：同学们你们发现秘密了吗？
师：魔术这样变下去，变得完吗？肯定永远也变不完。我们能不能用简单的方法，把所有进去的数和出来的数全表示出来。先自己想想，再把自己的想法和同桌交流交流。
（自主思考，同桌讨论。）
师：a可以表示几？（给时间让学生想a的取值范围）
师：出来的数可以是几？当出来的数是料，你知道进去的数是多少吗？
师：从魔盒里出来的数如果用b表示，进去的数怎样表示呢？
师：你们的确发现了魔盒的秘密，进去的数在不断变化，出来的数，也在不断变化，但什么永远不变？
师：这样进去的数在变，出来的数也在变，但a+10所表示的关系却始终不变。所以说用字母不但可以表示数，还可以表示数与数之间的关系。
3 用规定的字母表示计算公式
师：同学们我们曾经认识不少图形，知道好多图形方面的知识，数学王国的零国王又从百宝箱里拿出一个图形，想考考大家，（出示正方形）你还记得吗？
师：回忆一下，正方形的周长和面积计算方法。
（生汇报。）
师：（课件）如果用字母a表示正方形的边长，C表示正方形的周长，S表示正方形的面积，那么，正方形周长和面积计算公式可以怎么表示呢？
（生在练习本上试写，找生到黑板上书写。）
师：a×4和a×a还能写得更简单呢，你想知道吗？让我们听听数学王国的零国王是怎么说的。（出示课件。）
师：听明白了吗？谁来说说你明白了什么？
师：黑板上的三个式子，谁能帮老师改写得更简便一些呢？
（找写a的平方的同学领大家读两遍）你能领大家读一读这个式子吗？关于a的平方的写法，你想提醒大家注意些什么呢？
师：当a=6时，正方形的周长是多少？面积呢？
4 师：让我们做几道判断题，看看大家是不是真学会了。快速抢答。
5 （课件）之前我们学过一些运算定律，根据我们今天新学的知识，看看哪些能简写的。能简写的定律写在记录单二上。
师：谁来汇报一下？
师：大家同意吗？看到简写前后的字母式，你有什么感受？
符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决数学问题的工具，是数学的重要组成部分，只有会正确运用数学符号才能学好数学。因此，在数学教学活动中要结合教学内容，适时地培养、发展学生的符号意识，可以利用以下几种策略。
1 激活经验，唤醒潜在的符号意识
在现实生活中，商店的招牌，医院的红“十”字标记，公路上的交通标志……各种各样的符号处处可见。在这个“符号化”的世界中，学生获得的生活经验已让他们初步感受到符号存在的现实意义。可以说，这种符号意识对数学符号感的形成起着积极的促进作用。
例如，我在教学“用字母表示数”一课时，在课堂教学的第一个环节设计了“记忆大比拼”，“记忆大比拼”是一组没有直接联系，并且在时间上又有一定限制的条件下，让学生记忆10幅图片的播放顺序。由于时间及其短暂，如果学生不使用一些简单的文字、符号，显然有难度，让学生通过此环节真切地体会到使用符号带给我们的直接好处，也自然而然地引出我们本节课学习的内容与符号有关。我感觉这样的导人趣味化，体现符号的简洁、方便、使用范围广，可以唤起学生潜在的符号意识。调动学生学习的积极性，激发学习兴趣。然后让学生谈谈生活中还发现了哪些用字母表示的事物，引导学生发现生活中用特定的符号可以表示一定的含义，接着引发思考，在数学中符号又表示什么呢？学生带着这个问题学习，目的性更强了。
又比如，我在教学二年级下册“找规律”一课时，设计了这样的教学内容，课件出示：路边的灯笼是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。提问：我们能不能想办法把这排灯笼的规律表示出来呢？由于灯笼是较难直接画出来的，这就容易引发学生利用已有的符号经验，自主思考。结果有的学生画出了不同的图形：…………■■■……有的学生用数字表示：121212……这些富有个性的符号正是已有的符号意识在起作用，学生惊喜地发现自己也是一个研究者、探索者和发现者。
2 结合具体情境和数学活动，引导学生经历符号化过程
所谓“符号化过程”是引导学生从具体情境中抽象出数、数量关系和变化规律，并用符号表示。结合适当学习内容，鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数、数量关系或变化规律，让学生经历“具体事物――个性化符号表示――数学化表示”这一逐步符号化的过程，发展学生的符号意识。
如，在教学“用字母表示数”时，课件出示魔盒，通过输入进出的数，引导学生发现进出数相差10。通过变化引发学生积极的思维，使得学生很自然地去思考魔盒的秘密是什么。提问：进去的数是1时，出来的数是多少？进去的数是2、3、4……时，出来的数是多少？学生回答：1+10、2+10、3+10、4+10……教师进一步提问：进去的数在变化，出来的数也在变化，但是什么没有变化？
上面的每一个式子只能表示具体进出数的关系，能不能用一个式子简明地表示出所有的关系呢？学生讨论后汇报：用a+10可以表示出任何进数与出数的关系。教师进一步引导学生体会符号的概括性：a表示什么？a+10又表示什么？这样的教学，使学生经历从具体到抽象的认知过程，逐步体会字母的现实意义，感受数学符号的简洁美。在实际的教学中，还有一部分学生，提出进去的数是a，出来的数是b的情况，此时顺水推舟组织学生自己辨析优化“你更喜欢哪种表示方法，为什么”，经过分组讨论，学生明白了a+10不但可以表示出来的数，还可以表示进去与出来的两个数的关系。这里的a+10并不是唯一的，学生会发现字母表示数还有不确定性的，也初步感知抽象的作用。
3 训练用字母表示数，体会符号的抽象性，建立符号意识
用符号表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，逐步提升学生对符号的认识。用符号表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，逐步提升学生对符号的认识。
4 进行符号转换，增强符号意识
建构主义理论认为，教学不能无视学习者已有的知识经验，简单强硬地从外部对学习者实施知识的“填灌”，而应当把学生原有的知识经验作为新知识的生长点，生长新的知识经验。数学符号意识的形成同样应该遵循这样的规律。
如，教学“三角形面积的计算”，在引导学生推导出三角形的面积=底×高÷2后，及时写出字母表达式：S=ah÷2，便于记忆和使用。在应用这一面积公式解决一些简单的实际问题后，可以让学生解决类似的问题：已知三角形的面积为40平方厘米，三角形的底为16厘米，求三角形的高。这就需要学生把三角形的面积公式进行变形：S=ah÷2S×2=ahS×2÷a=h，从而求出三角形的高为：40×2÷16=5（厘米）。为了帮助学生实现这样的符号运算，教师可以再次结合三角形面积公式推导的过程，体会“S×2”表示的是先根据三角形的面积求出与它等底等高的平行四边形的面积，“S×2÷a”表示用平行四边形的面积除以底就等于高，也就是三角形的高。对符号的灵活使用，大大增强了学生的符号意识。
5 灵活运用符号解决问题，发展符号意识
一、创设情境，激发兴趣
兴趣是发展学生思维的关键，是学生学习的直接动力。数学教学的成败很大程度上取决于学生对老师的课堂教学是否感兴趣。学生只有对所学知识，所研究的问题感兴趣，才能积极地去参与，才能保证学习效果的提高。
例：教学分数意义这一节，概念抽象，难以理解。我采用多媒体教学，极大地调动了学生学习的兴趣。屏幕上显示8个大红苹果，请学生思考，这8个苹果能否看作单位“1”？它可以平均分成几份？每份是几个苹果？
同学们争先回答：把8个苹果看作单位“1”，平均分成8份，每份是1个苹果；也可以把8个苹果看作单位“1”，平均分成4份，每份2个苹果；还可以把8个苹果看作单位“1”，平均分成2份，每份4个苹果。
接着，屏幕上又显示一堆苹果、一筐苹果、一车苹果。
画面把对单位“1”的理解过程充分地表现出来，使静止在纸上的图形活跃起来，静态的数学概念动态化了。由于彩色画面的多种变换深深地吸引了同学们的注意力，课堂上出现了学生异常活跃、主动参与的热烈气氛。大家积极讨论，勇于思考，充分地展示自己的才能。在这样的学习情境中，通过愉快地观察、思考，同学们更加透彻地理解了单位“1”和分数的意义。
二、做好铺垫，以旧引新
数学具有很强的系统性，即前面已学内容是后面要学内容的必要基础，而后面要学的内容又是前面已学内容的引伸、发展和提高。如在教学“异分母分数加减法”一节时，我先出示一组同分母分数加减法的练习题，请同学们计算后讨论算理，并说明同分母加减法为什么只把分子相加减，分母不变。从而强调同分母分数加减法分数单位相同，加减的是分数单位的个数。接着，再出示异分母加减法的计算题，问这两道题能直接把分子相加减吗？为什么？为学生掌握异分母分数加减法计算方法铺路搭桥，使学生很容易接受了新知，感到掌握新知识并非高不可攀，而是旧知识的发展和继续。他们会为自己顺利地掌握了新知识而高兴，对学习产生信心。
三、动手操作，促进创新
思维源于动作。直观动作思维是诸思维的源头与基础。课堂教学中，教师应精心设计组织一些操作活动，将抽象的知识形象化、具体化，帮助学生形成鲜明的表象，促进学生去发现建构新知。在教学长方体和正方体这部分内容时，我注重引导学生动手操作，直接参与。通过做一做，量一量，摸一摸，看一看，来掌握长方体、正方体的特征，加深对表面积等概念的理解。
在学生掌握了长方体、正方体表面积的计算方法后，再通过拼一拼、切一切等直观操作，来帮助学生讨论、解答下面一些问题：
1.两个一样的正方体拼合成一个长方体，表面积发生了怎样的变化？三个一样的正方体拼成一个长方体，表面积又怎样变化？四个、五个呢？学生通过拼一拼，观察分析得出：两个拼合后，减少2个面，三个拼合后减少4个面……
2.用大小一样的小正方体木块拼成一个大正方体，至少要几块？先让学生想象回答，出现不同答案后，再让学生动手拼一拼，得出正确答案（至少8块）。
通过拼一拼的操作找到了解决上述问题的思路，进一步提高了学生对立体图形的想象能力。
在学生挖掘了几个正方体拼成一个长方体表面积变化规律之后，再让学生思考：将一个长方体切成两个一样的长方体，怎样切才能使表面积最大？学生动手比划、操作，很快知道怎样切的方法。通过切一切，激发了学生的创造意识，进一步发展了学生的思维能力。
加减法本是初等数学中的一级运算，加则多，减则少。数学中的加减法，相信人人都谙熟于心，运用自如。可在基础素描中的加减法，就不一定是人人都能运用自如，得心应手了。因为素描的加减法常常不是一加一等于二那么简单，如果运用不当，则会一加一小于一，或等于零，或等于负，最后的效果恰恰适得其反。教学有法，但无定法，重在得法，如何在基础素描教学中巧用加减法，这就是本文所要探讨的问题。
一、结构素描要遵循先减后加的原则
现代绘画之父、法国印象主义画家塞尚认为：世间万物其形态无论结构多么复杂、都可以概括为几种最简单的几何形体，如：立方体、圆球体、圆柱体、椎体等，这种“几何化归纳法”可以帮助我们正确把握客观物象的形体特征，认识和表现其形体结构及其规律。掌握基本几何形体的形体特征、结构方式和写生方法，是认识、概括客观物象形体、结构的一把“金钥匙”。石膏头像写生属于基础造型训练的重要课程，也是较难掌握的课程，初学素描的学生由于缺乏对客观对象的认识和理解的能力，不能正确分析形象的特征、结构和内部联系，碰到这类复杂形体经常是眼花缭乱，不知从何下手，因而往往看到一条线画一条线，通过线与线的拼凑勉强凑出一个形体，长此以往，就会走很多歪路。罗马尼亚著名画家巴鲁曾讲：“画素描是从我们看不见的东西开始，而以看见的东西结束。”为了让学生不机械地模仿形状和外貌，我在讲解的时候充分运用“几何体归纳法”，化繁为简，排除一切干扰对复杂的石膏头部形体进行最大限度的概括。以伏尔泰像为例，先将伏尔泰各个部位简化成大的几何形体，（图一），接着把头部主要形象块面化，分成半球体的脑颅部、立方体的耳钉眼眶体、梯形体的鼻子，半圆柱状的上颌体、三角状的下颌体，（图二），在确定块面结构的基础上从整体出发，不断地做加法，用长的、短的、垂直的、水平的、倾斜的辅助线准确地定出五官的结构和透视变化（图三）。我们还可以利用这种先减后加的方法去理解更加复杂的人物头像。通过加减法，学生在理解的基础上绘画，收到了事半功倍的效果。
二、明暗素描要遵循边加边减的原则
明暗素描的“加法”是通过明暗调子不断地充实、塑造形体，表现形体结构、空间透视、光影变化的一种过程，它能使画面的形象更具有体积的真实性，更具体地体现形体的起伏转折和变化。而“减法”则是在整体观察、比较观察、本质观察的基础上概括和调整统一，达到进一步的升华。那么，明暗调子的加减有没有诀窍？什么时候该做“加法”，什么时候该做“减法”？许多初学素描的学生在刚接触明暗调子的时候都有诸如此类的困惑。西方曾经有一则寓言，其结论是“聪明人做加法，智者则做减法”。如果没有掌握好的方法，即使再聪明的人，也是不够智慧的。能够在明暗素描中将加法减法并举，在绘画中遵循边加边减的原则，则是既聪明又睿智的人。
从技术层面来说，很多初学明暗素描的学生在绘画训练中往往错误多于正确，其中一个突出的、带有倾向性的问题就是画面“脏”、“花”、“灰”。这是明暗素描中常见的“灰”的现象（图四），画面沉闷，不明亮，犹如罩上了一层薄灰，该暗的暗不下去，该亮的亮不起来。对症下“药”，方能“药”到“病”除，首先必须让学生认识到造成这种现象的主要原因是作画时缺乏整体明暗层次的比较，中间色调层次重复，不懂或者说不擅长做“加减法”，最后导致明暗层次拉不开。伟大的艺术家米开朗基罗认为绘画是用脑画而不是用手画的一门艺术，古人也认为用手画仅仅称为“能画”，而用脑画出来的画就称得上“妙画”了。因此，遇到诸如此类的问题的时候，我要求学生把笔停下来，把画板放在远处重新审视画面，同时回顾课上所讲的五调子的知识点对明暗层次重新排列，开始做多动脑少动手的慢功，充分发挥主观能动性，该加强的加强，该减弱的减弱。从哲学的角度上来说，“加”与“减”其实就是“取”与“舍”的关系，没有取，画无形；没有舍，无主次。如图五，增加暗部和亮部的对比关系，从而加强形体结构的转折关系；减少繁杂重复的中间层次，在反复的比较中重新调整黑白灰的大关系，塑造肯定、扎实的形体。由此可见，绘画本身是一个去粗取精，去伪存真的过程，懂得取舍，懂得收放自如，才能获得质的飞跃。
三、“减”比“加”更重要
画的多即是好吗？未必，很多时候看到学生一支笔画到底，一味地加深死抠，只会做“加法”，却很少做“减法”，自以为刻画得十分精细。要知道面面俱到并不意味着入木三分。“我们反对所谓的画的像画的真，反对所谓的细致、精细和繁冗。绘画要懂得高度的概括和提炼。”徐悲鸿如是说。的确，有舍才有得，敢舍敢得，不舍不得，小舍小得，大舍大得。舍并不意味着“弃”，恰恰相反，舍是为了更多的获得，是为了艺术更高层次的追求和升华。西方有位画家叫弗朗兹・克兰，他的画极其简练抽象，画面削尽冗繁，只取黑白两色，视觉冲击力很强。他讲究以少胜多，画面深沉而有意蕴，让人感觉到更深度的美感，这似乎同中国传统绘画有异曲同工之妙，徐悲鸿墨寥寥数笔画《奔马》，享誉画坛，独领；宋梁楷在《泼墨仙人图》中用大笔大笔粗阔而洗练的线条传神地刻画了一位袒胸露怀，憨态可掬的仙人形象，潘天寿画兰草，三笔就可以画出兰草的风姿绰约，清冲淡远，真可谓是将减法做到了极致。由此可见，有的时候“减”比“加”重要，“舍”比“取”重要。针对本段开头学生出现的问题，我认为如果在绘画过程中能够懂得“巧”用橡皮做减法，问题就会迎刃而解。许多学生都存在这样一个认识上的误区：橡皮的作用就是用来擦除，他们不敢擦甚至不愿意擦，从一幅画开始到结束，橡皮成了摆设。事实上，橡皮不仅仅是用来擦除某些错误的线条或者色块，更重要的是它是我们绘画的“第二支”笔，起到调整画面的明暗对比、加强画面的虚实效果的作用，使画面层次更加丰富、有序。初学绘画的人往往不懂得处理画面虚实“秩序”，特别是遇到暗部的地方就有点无从下手，要么急于表现丰富的层次，将暗部刻画得过于琐碎；要么一味地加深层次，造成暗部一团“死气”。要知道，“锋芒毕露”有时候恰恰会适得其反，暗部关系需要画得简练、微妙、含蓄。这时候，用橡皮轻轻将一部分线条擦虚，加强明暗对比关系，拉开前后空间关系，适度修善调整，就可以起到“化腐朽为神奇”的作用。
数学中的加减法简单，固定不变，而素描中的加减复杂而富于变化。素描中的“加”并不是简单的线条排列和色块的堆砌，“减”也不是盲目的删减和擦除，素描中的加减更多地反映了画者的一种绘画方法，一种对艺术的态度。不管加法也好，减法也罢，都要建立在立足整体、放眼全局的基础上。适得其所的添加会使画面生机盎然，恰到好处的减去会使画面主次分明，反之就只会使画面凌乱无章、乏味单调。老子曰：道生一，一生二，二生三，三生万物，任何事物都是相互联系、相互制约的。因此，我们要辩证地看待基础素描中的“加减法”，不仅要善做加法，更要巧做减法。
参考文献：
［1］魏国诗.素描.高等教育出版社，2010.5.
每节课都有它的重点，只有把重点逐一攻克，这节课的教学任务才算基本完成。因此，我们要在教材的重点处设计有坡度、有层次的问题，引导学生解惑除难。例如分数的基本性质，其重点是归纳、理解分数的基本性质。教学中，引导学生直观操作，得出==，==后，可围绕教学重点提出下列问题让学生思考：（1）这两组分数，分子、分母变化了，为什么分数的大小不变呢？规律是什么？（2）从左往右看，分数的分子、分母怎样变化，分数的大小不变？（3）从右往左看，分数的分子、分母怎样变化，分数的大小不变？（4）分数的分子、分母都乘以或除以0可以吗？为什么？（5）谁能把刚才的两个结论用一句话概括出来？（6）“分数的基本性质”里哪几个词非常重要？（7）分数的基本性质与学过的商不变规律有什么联系？这些问题明确、具体，既抓住了重点，又富有启发性，遵循了学生的认识规律。
2.问在关键处
众所周知，有的老师上课，问题提了不少，但过于简单没有思考价值，学生往往一下子就能作出判断“是”“对”“错”，这样的提问随心所欲、想问就问，往往达不到预期效果。因此，精心设计问题，要在教学关键处提问，给学生指明思维方向，巩固所学的新知。如在教完求平均数的解决问题后，学生的作业中出现了“老人的平均年龄为7.6岁”。于是，在讲评作业时可说：“同学们，明天你们上学时和爷爷一起来，让爷爷也来听课，为什么呢？因为你们的爷爷平均年龄才7.6岁。”这一说，全班学生哄堂大笑，意识到列式错了。求平均年龄，应该用总的年龄数÷总人数。这样的提问抓住了关键，给学生提出了思维的方向，从而有效地达到了教学目标。
3.问在难点处
教材的重点是知识的障碍点，是教学的主攻方向，在此处恰当地提出问题，有助于学生对知识难点的突破。例如，学生建立分数概念是一个不断认识、不断深化的过程。单位“1”代表一个整体是“分数意义”这一节核心内容，学生不易接受。这时教师可配合教科书主题图出示下面的问题：
（1）观察直观图，想一想这里把谁看作单位“1”。（2）部分占了整体的几分之几？为什么？
4.问在衔接处
抓住知识衔接点，沟通知识联系，创造迁移条件，从本质上揭示新旧知识的联系和区别，避免知识间的混淆现象，在此恰当提出问题能化难为易，以简驭繁。例如，学习异分母加减法，先复习整数、小数，同分母分数加减法的计算，明确计数单位相同才能加减的道理。然后结合例题提问：（1）异分母分数加减法为什么不能直接相加减？（2）异分母分数加减法的计算方法是什么？与同分母分数加减法有什么联系和区别？
5.问在疑难处
在新知的练习中，我们经常会碰到学生这样或那样的思维错位，教师应抓住这一时机，分析错误原因，摸准疑点，巧设问题。这样不仅可以纠错，更重要的是能让学生开启心智，暴露思维，有利于及时占据和调控。如教学“三角形的认识”，当学完三角形的分类，可以分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形后，可拿出三个纸袋，里面各装着三角形纸片，并且露出一个角问学生“纸袋里装的各是什么三角形？”学生很顺利地判断出①、②号分别装的是直角三角形、钝角三角形。但是第③个纸袋答案各不相同，这时我们可以这样设问：（1）什么样的三角形是锐角三角形？什么样的三角形是直角三角形？什么样的三角形是钝角三角形？（2）观察这三种三角形中各有几个锐角？（3）能根据“一个角是锐角”这一条件来判断这个三角形是什么三角形吗？这样一问，学生豁然开朗、茅塞顿开。最后教师从第③个袋中分别拿出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形进行验证，进一步加深了学生对新知的理解。
6.问在深度处
为启迪学生智慧，发展学生的求异思维，在知识的深化拓宽处提出问题，引导学生从不同角度、不同方面去理解知识，探求新的思路，建立新的知识系统。如练习课中出示下题：“要修一条15千米的公路，头3天修总长度的60%，照这样计算，剩下多少天可以修完？”针对这个有关百分数的实际问题，提出下列问题：（1）分析数量关系，根据分数、百分数应用题的解题规律，你有几种解题方法？（2）比一比哪种思路的解题方法较为简便。
成功的课堂提问能恰当地调节课堂气氛，引导学生开动脑筋，但失败的提问会扰乱授课的秩序，甚至造成师生对立。那么提问时应该注意哪些问题呢？
1.宽松的情境
首先，教师应当创设有利于学生积极思考、大胆发言的情境。特别是对那些胆小内向、表达能力不强的学生，更应该给他们撑腰鼓劲。只有心情愉快，大脑思维才最活跃。如果只是为了揪出不会的学生让其出丑，则学生害怕都来不及，怎样集中精力思考呢？
2.恰当的提问
所提问题要明确而简洁，让学生有清晰的思维方向。要避免模棱两可或冗长繁复的提问，因为课堂上的思考时间本来就短促，再加上学生多数都会紧张，如果还要在记忆问话及理解题意上费精力，是不太适当的。同时，课堂提出的问题也不能太难，在短时间内不宜提出思维链过长的问题。
3.广泛的动员
提问是为了每个学生都积极思考，所以应面向所有学生。应当首先向全班学生提出一个问题，留一段时间，然后再点名学生回答。这样虽然是个别同学回答，可参与思考的是全体学生。
在小学数学教学活动中，我们发现面对同一个数学情境，有些学生反应迅速，思路简洁；有些学生冥想苦思，艰难作答。这实质上就是一种独特的心理结构和思维现象――数学气质。不同的反映说明不同的学生具有不同的数感。“数感”是一个很广泛的概念，它既指个人在学习过程中对数字、数字系统和运算等所形成的有意义的观念，也指个人根据多年的有关数字与运算的经验所发展出的一整套认知结构或图式。小学数学新课程标准中提到数感的主要表现形式为：“理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果合理性作出解释。”它是当前数学教学中最容易被忽视，但又必须受到重视的一个教学观念。那么如何培养小学一年级学生的数感呢，我有如下感悟。
通俗的数感就是对数学的感觉、感受乃至感情。小学一年级的学生刚刚进入系统的数学学习，让他们乐学、好学是教学的关键。从认识数字就让他们对数学产生兴趣是诱发数感的最佳时机。教学0的认识时，孩子们对0的第一种意义：一个物体也没有可以用0表示，很容易理解。但对另外三种意义：0表示起点；0表示分界限；0在数位中用来占位置便很难理解。如果抽象地介绍这三种意义是很难达到教学目标的，所以我采用了游戏、操作相结合的方式教学。教学0作为起点时，我介绍了用直尺从0刻度开始测量的方法，并让他们实际操作，在操作中体会从0开始，0就是起点。教学0作为分界限时，学生受第一种意义的影响，认为0摄氏度就是没有温度，借机我告诉孩子们冰点温度的相关知识，并让孩子们表演在0摄氏度时人们的动作、神态。最后简单介绍了正5摄氏度和负5摄氏度的区别，让学生在对比中了解0作为分界限的作用。教学0在数位中用来占位置时我给孩子们讲了一个有趣的故事：数字王国里住着1―9十个数字小人，9是国王，8是国王的大儿子，经常嘲笑0妹妹没用。一天0妹妹伤心地离家出走了，数字8考试得了100分却因为没有0写不出100只得了1分，这是它才知道0是多么重要。孩子们开心地笑了，笑声中他们初步感受到了0用来占位置的重要性。因为有了操作，有了故事，本来复杂的问题简单了，枯燥的知识有趣了，最重要的是孩子们有了“数感”（对数字的感情），喜欢上了数字。
在认识数字的过程中培养了孩子们对数字的感情，对数字的大小，奇、偶性等特性的把握是进一步培养数感的需要，这可以在数的组成中逐步训练。以往教学数的组成，我们关注的是8的组成有几组，学生有没有记牢？现在我力求通过学习数的组成让学生多角度、全方位认识数，事实证明我的尝试给予了我意想不到的惊喜。教学8的组成时我让学生观察最特别的是哪一组，学生很快找到4和4，因为两个数字一样。我又让学生联想还有哪些数也可以像8一样可以分成两个相同的数。学生根据已有知识想到了2、4、6，我让他们观察这些数都有什么特点，他们发现这些数都是双数。我再让学生根据此特点找出更多的像8一样的数，学生联想到了10、12、14、16等等。我板书出了这些数的组成中最特别的那一组证明学生的猜想是正确的。此时一个学生突然举手说：“老师，我还有发现。”他说：“2、4、6、8、10依次增加2，把它们分成两个相同的数是（1、1）（2、2）（3、3）（4、4）（5、5），正好是1、2、3、4、5依次增加1。”我惊讶于孩子们敏锐的观察力，便借机问到：“为什么上面依次增加2，下面会依次增加1呢？”又有孩子答到：“一个数分成了两部分，一边增加1，两边合起来就增加了2。相信，如此精彩的回答，对数字如此高水平的感悟定会让其他的孩子在潜移默化中形成良好的数感。可精彩还在继续，又有孩子举手了，他的发现是：2、6、10等是分成了两个相同的单数，而4、8、12等是分成了两个相同的双数，6也可以分成相同的双数，但必须分成3个2。我从惊讶变成了无限的惊喜，正如我们常说的：如果老师为学生提供思维的空间，学生就可以在这个空间展翅高飞。我很庆幸给了他们高飞的机会，让他们的数学能力得以展示，数学思维得以发展，数感得以增强。
数的组成之后的20以内加减法的教学是一年级上册教学的重点。学生在入学前大多学过一些简单的加减法，缺少学习的新鲜感，加上计算题本身相对比较单调，教学极易陷入枯燥、呆板，缺少思维性。如教学进位加时，在教学了9加几、8加几的算式之后，学生对进位加的基本计算方法已掌握，按照原来的教学方法，后继教学可能会陷入机械重复之中。为此，我将单元复习中的教学内容提前，让学生对9加几、8加几的算式进行了整理，并引导观察规律，再让学生根据规律独立写出7加几到2加几的算式。从观察规律到运用规律，学生兴趣盎然，思维活跃，让单调的计算再现活力。更为重要的是在观察运用规律的同时，学生的数感进一步加强。他们知道运用规律快速记忆加减法表（如：只看加法表的前两竖，按规律背出后面的内容）虽然数学不能靠背出来，但有方法的记忆过程也是感悟数感的过程；知道用联想法进行速算（如：计算7加8有困难可以联想7加7等于14）。结合十几减9的算式中得数依次增加的规律，我让学生分析产生这一规律的原因，有学生提到了第一个数依次增加，第二个数不变，但多数孩子仍不能理解。我给孩子们举了一个形象的例子：把第一个数看作妈妈买回来的苹果总数，第二个数看作你吃掉的苹果个数，第三个数看作剩下的苹果个数。妈妈买回来的苹果个数越多，你吃掉9个不变，剩下的就会越多。在实例中学生很快理解了规律产生的原因，并能迁移到第一个数不变，第二个数变大，得数变小等规律的解释中去。有了这一过程，相信学生在以后学习加减法中各部分变化的规律时将十分容易。这是为后继教学做铺垫，是思维训练，也是对学生数感的培养。
我们需要培养的是具备良好数感的学生，他会自然地去分解数，发掘和运用最基础的内容，利用运算间的联系以及数概念的知识去解决实际问题，估计出问题的合理答案，并且具有能形成对于数、问题及结果的直觉的能力。具备蕴藏于数感中的技能的学生，能自信而聪明的运用数学。这不是一朝一夕的事，也不是某一方面的训练，我仅从一年级学生认识数意义、组成及简单的加减法计算上简谈了我的看法。我想培养学生的数感需要教师在长期的教学中，创造性运用教材、使用教材，把培养学生的数感、提高对数学的感知能力作为教学的终极目标。随着数感的建立、发展和强化，学生的整体数学素养也会有所提高。
一. 将数学思维融于计算教学之中。
培养学生基本计算能力是小学一年级的重要教学任务，尤其是口算训练更是占很大的比重。很多教师认为计算能力的培养离不开常态化的训练，要做到“节节有口算，天天有口算”，反复训练能增加学生的熟练程度，达到熟能生巧的目的。我不否认这是一个很有成效的方法，但是我不认为这是科学的、符合学生数学学习发展规律的方法。科学的方法应将培养学生的计算能力和发展学生的数学思维结合起来。比如，在学习10以内的加减法时，让学生通过借助手指、小棒或者其它教具，直观了解10这个数字可以拆成那些数字组合，既要引导学生将10拆成两个数字，比如，1和9、2和8、3和7・・・・・・也要引导学生将10 拆成多个数字组合，比如，3、3、3、1/4、4、2/2、2、3、3等。学生在直观形象的基础上学会“拆十”和“凑十”，这既是一个动手操作、直观感受的过程，也是加强学生记忆、促进学生数学思维形成的过程。这样，当遇到10以内的计算题时，曾经演示过的直观的现象能帮助学生做出快速的反应，得出正确的答案。随着学习难度的增加，教师可以将这种学习方法继续延伸，运用到更高一级的计算过程中，比如，8+9=？教师可以指导学生将8拆成7+1，然后将1和9凑10，再加上7，实现学生计算能力的提高和思维发展同步。
这种将计算能力和数学思维发展结合起来的教学方法，随着年级的提高，越来越能显示出其明显优势。学生能将“凑十”、“拆十”的思维迁移到百、千、万上，对提高学生的计算能力大有益处。另外，学生学习分数加减法时，采用计算和思维能力相结合的教学方法，能促进学生对分数意义的理解，将分数计算和生活现象联系起来，形成以生活来检验计算结果的习惯，加强数学学习的直觉，全方位提高学生的数学能力。
二. 将数学原理融于计算教学之中。
小学生理解能力较弱，很多时候并不清楚要计算的题目的数学和生活意义，只知道按照教师传授的方法去机械照搬。然而，数学计算与数学原理密不可分，比如，小数点位置的移动引起小数大小的变化，积、商的变化规律，分数的意义与性质，分数单位的概念，分数与除法的关系，约分与通分等。这些数学原理的理解都会对学生的计算能力的提高有很大的影响。教师要尽可能多地设计动手操作的学习环节，让学生在操作中领悟、理解数学原理，并自觉将其运用到计算过程之中。比如，在学习分数加减法时，教师可以采用实物操作法、画图展示法等来理解同分母加减法的意义，让学生真正懂得同分母加减法，为什么分母不变，只需将分子相加减。让学生通过实物操作法，辅助学生理解不同分母的分数相加减时，只能先通分，然后再进行计算。
在学习不同图形的周长、面积、体积时，教师更要结合数学原理培养学生的计算能力。让学生首先搞清楚周长、面积、体积的数学意义，一起探究其计算公式，指导在运用公式时，要考虑将各个数据的单位进行统一换算，并在得出计算结果后与给出的条件进行对比，在对比中直观感受结果的正确率。比如，计算出的长方形周长还没有一个长和宽的和大，那绝对是错误的；在计算圆柱体的表面积时，结果还没有侧面积大，答案的错误显而易见。因此，在理解数学原理的基础上进行计算，不但学生的计算过程会有清晰的数学思维相伴，不会出现低级的、原理性的错误，而且能办助学生进行简单的结果验证，发现一些低级的错误，及时改正，提高计算的正确率。
三. 有步骤地训练学生的计算能力。
提高学生的计算能力是一项长期细致的教学工作，需要教师将其作为一项常规教学渗透到教学的各个环节之中。在课堂教学中，有意识地安排一些问题，增加学生口算、板演、或书面演算的机会，及时发现学生在计算时存在的问题，并探究出现这种错位的原因，并采取有针对性的措施加以解决，将学生各种计算错误消灭在萌芽之中。教师还要认真批改作业，找出共性的作物，分析错误成因，找出错误规律，重视培养学生的良好审题、做题和验算的习惯，从而有效解决学生计算出现错误的问题。另外，要提高学生的计算能力，除了要重视算理的教学，常抓不懈外，还要有计划的组织学生进行计算练习。结合不同阶段的学习特点设计有效的训练方式，比如，一年级加强口算训练，提高学生对数学计算的敏锐性；二三年级加强学生的笔算训练，增强学生的简算意识，培养学生细心观察、认真分析、善于发现事物规律，训练学生思维深刻性、敏锐性、灵活性，提高计算效率；四五六年级，培养学生的估算能力，养成主动尝试着从数学的角度运用数学的思想方法寻求解决问题策略的习惯，懂得什么情况宜于估计而不比作准确的计算，并以正确的算理为基础，通过迅速合理的观察和思考，从众多信息中间寻求一批有用的或关键的数学信息，从而得到尽可能接近理想状态的结果。
每个阶段有教学的侧重点，并将学到的计算机能综合运用，大幅度提高学生计算能力，同时促使学生的数学能力全面发展。
小学数学教材关于计算教学中运用转化思想方法的实例很多，像小数加减法、小数乘除法、异分母分数加减法、分数乘除法等等，都需要利用转化的思想方法将新知转化成已经学过的旧知来解决。在实际教学中，很多数学老师为了节省时间直接将计算的方法交给学生，然后进行操练，达到计算熟练的程度。这样，表面上看是提高了课堂教学的效率，实际上是剥夺了学生自主探究算理，获得新知的权利，使学生变成了一个不会思考，不会探究，只会机械接受知识的容器。为了避免这种现象的出现，作为数学老师必须更新观念，认真研读教材。研读数学教材，就是要分析新知往前向后的知识系统，分析学生已有知识的基础，把握住新知识的最近发展区，理清知识的来龙去脉，准确地找到新知产生的相关旧知，有效帮助学生在原有知识的基础上实现获取新知的跨越。
比如，小数加减法计算是在整数加减法的基础上教学的，在研读分析教材时应该关注这一点，教材通过引导学生利用已掌握的整数加减法的旧知迁移到小数加减法，反过来就是用转化的方法把小数加减法转化成整数加减法，即小数加减法和整数加减法在算理上是相通的，只是多了一个小数点处理的问题。这里的转化思想方法的渗透符合学生的学习心理规律。因此，准确找到新知的生长点可以有效促进学生由旧知向新知的转化，这应该成为教师课前钻研教材的重点之一。
二、创设情境，提供由旧到新的支撑点
教学时，常常会出现这样的情况，学生已经具备新知学习的知识基础，但他们自身却不能充分利用。教师不但要在学生学习新知前设法唤起旧知的重现，简单复习旧知，还要创设一定的情境，善于变化旧知的呈现方式，使之更加贴近新知，为新知学习提供巧妙的支撑。
例如，在教学小数乘整数，需要唤醒学生对乘法的意义、整数乘法等相关旧知时，没有简单直接呈现这些旧知让学生复习，而是创设了一个购物的情境，将整数乘法的几种情况包含其中。购物情境是比较简单的：出示超市情境中的四幅图（面包：4元/个 5个，火腿肠：0.8元/根 3根，进口蛇果：16元/个 12个，西瓜：2.35元/千克 3千克），组织学生自主选择其中一种食品，并根据所提供的信息，提出一个用乘法计算的数学问题。根据学生自己提出的问题，从而得到4道乘法算式。继而组织学生观察四道乘法算式，将它们分分类。这样，通过情境的创设，巧妙地将整数乘法分为一类，小数乘法分为另一类。整数乘法是过去学过的旧知，自然地对与新知有关的旧知进行了复习，这些旧知与新知学习中出现的小数转化成整数、用加法计算和把小数乘整数先看成整数乘整数计算等更为接近。实践证明，学生的旧知被充分利用后，与之相关的新知识才能水到渠成。
三、依托旧知，实现由旧到新的转化
有意义的数学学习都是在学生原有的学习基础上进行的，几乎不存在不受原有知识影响的学习。转化的思想方法很多情况下渗透在学生对旧知的正迁移过程中，旧知与新知之间的关系是垂直方向的纵向联系，依托旧知的复习，把新知顺应于原有的认知结构中，从而实现对新知的学习活动。这个获取新知的学习过程，即新知的形成过程，一定要让学生亲身经历。
例如，异分母分数加减法，依托的旧知基础是分数的意义、通分、约分和同分母分数加减法，涉及到的知识点较多，在转化的过程中，细节是很重要的，一定要提供时间和空间让学生依托旧知，经历这个由旧知到新知的转化过程，而不要直接告诉他们把异分母分数化成同分母分数进行计算，然后就进行操练，达到熟练的程度。这样的学习过程记得快忘得也快，是不符合学习规律的。
在实际教学时，通过班级黑板报版面设计的情境让学生提出问题，复习相关的旧知后，小组讨论“1/2+1/4”该怎样计算呢？出示研究提示：先独立思考，可以画一画、想一想、算一算，把自己的方法记录下来。把自己的想法在小组内交流。然后让学生汇报交流，说说是怎么想的？学生出现的三种方法逐一展示：（1）画一画。这种方法可以让学生先在实物投影上展示，让学生说说思考的过程。（2）化成小数。转化成小数，变成我们学过的知识。（3）通分。老师引导学生重点理解这一种方法。根据学生回答，板书并明确将异分母分数加法转化为同分母分数“2/4+1/4=3/4”。提出问题：为什么要通分？通分的依据是什么？通分后怎么计算？引导学生理解“2/4+1/4”的算理：分母不同，就是分数单位不同，转化成分数单位相同的分数后，就是“1个1/4加2个1/4等于3个1/4，也就是3/4”。这时候引导学生比较这三种方法：刚才同学们用画图、化成小数、通分化成同分母分数这几种方法算出了二分之一加四分之一的结果，这几种方法有什么相同的地方？通过探究发现这几种方法都是把新知识转化成旧知识，对学生渗透了转化是一种很好的数学学习方法，它帮助我们用已经学过的知识解决新的问题。
四、加强对比，形成新的算理算法
《新课程标准》指出：“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者.”数学教学活动应体现“以人为本”的理念，实现“教”与“学”的统一，从而更好地促进学生的数学能力发展. 因此，教师在教学时要从学生的实际出发，尊重学生的认知结构，遵循学生的学习规律，满足学生的情感需求，符合学生的个性特点，激发学生学习的愿望. 只有这样，学生的学习过程才会更自然、更有效、更主动，我们的数学课堂才会更具生命力.
尊重学生的认知结构，让学习
更自然
在教学中，有些教师容易犯经验主义的错误，即在确定教学目标、设计教学过程时，忽视一个最基本的前提――学生. 我们应在全面了解学生、研究学生的基础上，认真研究教材、考虑教法，这样才能尊重学生.
1. 尊重学生的知识基础
学生已有的知识经验是学习新知的基础. 教学时，教师应从学生已有的知识经验出发，拉近数学与学生之间的距离，调动学生学习的积极性.
例如，教学五年级（上册）“解决问题的策略”第二课时时，我设计了学生较为熟悉的住宿问题进行导入：
国庆长假我校有5个女教师出去旅游，晚上到旅馆住宿，住3人间和2人间. 你觉得该怎样安排呢？住2个3人间，可以吗？好不好？为什么不好？如果是8个人呢？该怎么安排呢？用表格记录下来. [3人间/间＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&2人间/间＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]
如果有23个人去住宿呢？一共有几种不同的安排？小组合作，探讨住宿方法，并记录上表.
上述环节的设计，既可以让学生根据生活经验来安排人数较少时的住宿，又很自然地创设了新的问题情境，引导学生思考人数较多时如何安排住宿，并通过小组合作、自主探索，把满足题意的安排方法用表格的方式记录下来. 这样做，既唤起了学生已有的知识经验，又激发了学生学习新知的欲望和兴趣.
2. 尊重知识的结构化
数学知识的教学往往是循序渐进、螺旋上升的. 在相关内容教学之后，我们要注意引导学生认识知识的发展脉络和内在联系，完善学生的认知结构. 因此，教师要认真研读教材，厘清教材的内在知识结构，在知识结构与认知结构之间寻找最紧密的联系，将数学知识串联起来.
例如，整数、小数和分数加减法的教学，虽然教学内容不同，但这三个内容的教学都遵循同一条算理：计数单位相同才能相加减，因此，教学“整数加减法”时，可通过小棒图让学生理解：个位上几个一与几个一相加，十位上几个十与几个十相加，只有相同数位对齐了，相同的计数单位才能相加减. 教学“小数加减法”时，可通过文具商店购物的情境图让学生理解：小数加减法时，不能末尾对齐，只有小数点对齐了，才能保证相同数位对齐，才能保证相同数位上的数相加减. 学生掌握了整数与小数加减法的算理后，在学习“分数加减法”时，就能更好地理解同分母分数加减法、异分母分数加减法的算理与计算方法，促进知识的正向迁移.
尊重学生的学习规律，让学习
更有效
学生获得知识与形成技能的方法有所不同. 知识靠理解和接受才能获得，技能则要通过体验与实践才能形成，但获得知识与形成技能都需要学生的“感悟”. 因此，在教学中，教师必须尊重学生的学习规律，让学生亲身经历“感悟”的过程，从而促进数学知识的获得与技能的形成，进而切实提高数学学习的有效性.
1. 灵活选择学习方式
学生学习应当是一个主动探究、发展个性的过程. 认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式. 教师在教学活动中，应根据学生的学习情况，灵活地选择多种学习方式，既要学生认真听讲、积极思考，更应重视动手操作、自主探索与合作交流.
例如，在教学五年级（下册）“圆的面积”时，可先复习旧知，让学生归纳出平行四边形、三角形、梯形等图形的面积计算公式推导的共同特点：都是把新图形转化成以前学习过的图形，再根据转化前后两个图形之间的相等关系，推导出新图形的面积计算公式. 我按照这样的教学模式组织教学：提出问题（圆的面积怎么计算？）提出猜想（是否可以转化为已学过的图形来计算？）验证猜想（操作体验）归纳方法实际应用. 这一教学环节充分体现了获取新知的一般方法：运用转化策略把新知转化为旧知来解决. 这种转化策略的运用，为学生后继探究圆柱、圆锥的体积公式指明了研究方向.
2. 有效组织学习活动
首先，关注问题的设计. 问题是思维的起点，好的问题能激发思维、引导思维. 如果问题设计不到位，不仅浪费宝贵的学习时间，而且很难促进学生开展积极的思维活动. 如在教学四年级（上册）“认识平行”时，我围绕教学目标设计了三个引导学生理解平行概念的问题. 在要求学生在纸上任意画出两条直线之后，提出第一个问题：“你们能根据两条直线的位置关系把它们分分类吗？”在学生分类引出平行线之后，提出第二个问题：“你们能用哪些方法来说明这两条直线互相平行？”在揭示平行线的概念之后，又引导学生以生活实例丰富对平行线的认识：“生活中哪些地方存在平行线？”……教师能较好地设计问题，以问题驱动学生的思维活动，才能促进教学目标的有效达成.
其次，关注学生的参与度. 新课标实施了十多年，我们欣喜地看到了课堂的变化，教师们都在自觉地应用“小组合作学习”这一学习方式，学生在课堂上积极参与小组讨论、交流展示，课堂上呈现出一派热闹的景象. 但在这看似热闹的背后我们也可以发现，有些学生在小组合作学习过程中参与热情不高，小组合作学习的参与度并不均衡，往往是小组内几个活跃分子在交流，其他学生旁听. 在小组交流汇报时，往往是少数学生作代表，在发表自己的意见与结果. 而教师也往往更关注问题解决的结果，小组学习的过程则被忽略了，因此，教师应努力还课堂于学生，让每个学生在课堂上主动思考、积极参加小组讨论、参与交流展示，让课堂呈现出一片生机.
第三，关注学生的反思活动. 反思能让学生在体验活动后进行总结与提炼，有利于学生的思维活动进一步发展，也有利于知识间的沟通联系. 如我在教学五年级（下册）“确定位置”时，在回顾本课知识之后，出示了介绍笛卡儿由蜘蛛织网而创造出数对的过程的资料，并引导学生反思：为什么说数对的产生是人类一项伟大的发明？学生踊跃发言，各抒己见，对用数对确定位置在数学史中的价值有了进一步感受和体验.
尊重学生的情感需求，让学习
更主动
在教学中，我们要通过多种渠道丰富学生的内心情感需求，帮助学生获得积极的情感体验，这样学生的学习才会更主动，否则，学生会对学习产生厌倦心理，认为学习是一种繁重的任务.
1. 优化师生关系
美国心理学家罗杰斯认为：“创造活动的一般条件是心理安全和心理自由，只有心理安全才能导致心理自由，也才能导致学习的创造性. ”因此，我们要围绕以人为本来开展教学，课堂上要努力创设宽松、平等、合作的学习氛围，精心设计课堂提问，满足学生积极的情感体验. 其次，要将课堂的主动权交给学生，让学生自主地去学习、去研究，鼓励其质疑问难、独立思考、自主探索.
2. 创设有效的问题情境
创设良好的问题情境，把学习引入一种与研究未知问题相联系的情境中，可把学生的思维带入新的情境中，使学生意识到问题是客观事实的存在，从而引起学生的有意注意，唤起学生的学习需求.
例如，在教学五年级（下册）“圆的认识”时，我设计了一个学生感兴趣的问题情境：两只小兔子正在举行一场激烈的自行车比赛，小白兔骑的自行车的车轮是圆形，小灰兔骑的车轮是长方形，它们同时从家出发去小木屋. 猜一猜，最后哪辆自行车先到达终点？学生都猜想是圆形车轮的自行车先到达终点，教师接着引导：“为什么圆形车轮先到达终点？”这样的情境创设，能唤起学生已有的生活经验，引起学生的有意注意，激发学生的学习需要与热情.
3. 适当设置认知冲突
