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在高中数学函数教学中运用数学思想方法，有助于学生构建完善的知识体系，提高学生解决问题的能力。文中根据高中数学教学例题，对高中数学函数教学过程中渗透分类讨论、化归、数形结合等思想，不断提高学生的数学思维能力，为日后学习复杂的知识奠定坚实的基础。
一、数学思想方法的涵义及其重要意义
数学思想方法是指针对某一数学问题的分析及探索过程，形成最佳的解决问题的思想，也为准确、客观分析、解决数学问题提供合理、操作性强的方法。函数是高中数学的主要内容，也是考试的重点。高中数学学习过程中遇到函数的题目，复习时必须有针对性地了解高考常见命题和要点，重点进行复习，做到心中有数。将数学思想方法当做数学基础知识也是新课标提出的，新课标规定在教学过程中，要重视渗透数学思想方法。高中数学函数教学中应用数学思想方法是推进全面素质教育的重要手段。目前，从历年高考的试题来看，高考考试的重点是查看学生对所学知识的灵活应用及准确性。数学科目考查的关键点是学生数学思想方法及解题能力。因此，高中函数教学中应用数学思想方法发挥着重要作用。
二、高中数学函数章节中应用数学思想方法的策略
（一）函数与方程思想的应用
函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间却存在着密切联系，方程f（x）=0的根就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标。通过方程进行研究，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决。反之，许多函数问题也可以用方程的方法解决。
解析：这是一道较典型的函数与方程例题，老师根据数学思想的要求传授学生解题方法，也可以依据这一道例题对其他相关例题的解题方法进行概括性讲授，确保学生遇到这类题目可以快速、准确地找出解题方法。
本例题构造出函数g（x），再借助函数零点的判定定理解题非常容易。这道例题展现出函数与方程的数学思想，实际解题时我们一般会构造一个比较熟悉的模式，从而将不熟悉的问题转化为所熟悉的问题进行思考、解答。另外，我们还可以利用函数的图像和性质，用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，对拓展学生学习的深度和广度具有重要意义。
（二）数形结合思想的应用
数形结合作为数学解题中比较常见的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
解析：数形结合思想是数学教学的重要思想之一，主要包括“以形助数、以数辅形”这两方面的内容，求解几何问题也是研究数形结合的重要手段。同时，在求解方程解的个数及函数零点问题中也能应用。以形助数和以数辅形可以让繁杂的问题变得更直观、形象，增强数学问题的严谨性和规范性。因此，某些问题从数量关系观察无法入手解题时，如果将数量关系转变为图形，运用图形的性质规律更直观地描述数量之间的关系，从而将复杂的问题变得简单。因此，对部分抽象的函数题目，数学教师应正确引导学生运用数形结合的思想方法，使得解题思路峰回路转，变得清晰、简单。
（三）化归思想的应用
化归思想是指将抽象、复杂的数学问题转化成简单、熟知、直观的数学问题，提高解决问题的速度和准确性。函数章节中多数问题的解决都离不开化归思想的应用，其中化归思想是分析、解决问题的基本思想，从而提高学生的数学思维能力。
解析：这一例题解决过程将x0展现出化归的数学思想。化归是一种最基础、最重要的数学思想方法，高中数学老师必须熟悉化归思想，有意识地利用化归思想解决相关的数学问题，并将这种思想渗透到学生的思想意识中，有利于增强学生解决数学问题的应变能力，提高学生的数学思维能力。
（四）分类讨论思想的应用
分类讨论思想就是依据数学对象本质属性的共同点与不同点，把竖向对象划分成多个种类实施求解的一种数学思想。高中数学函数章节教学中使用分类讨论思想方法，有利于学生形成缜密、严谨的思维模式，养成良好的数学品质。解决数学函数问题时，如果无法从整体角度入手解决问题，就可以从局部层面解决多个子问题，从而有效解决整体问题。
分类讨论就是对部分数学问题，当所给出的对象不能展开统一研究时，必须依据数学对象本质属性的特点，把问题对象划分为多个类别，随之逐类展开讨论和研究，从而有效解决问题。高中数学函数教学中，经常根据函数性质、定理、公式的限制展开分类讨论，问题内的变量或包含需要讨论的参数时，必须实施分类讨论。高中数学教学中，必须循序渐进地渗透分类思想，在潜移默化的情况下提高学生数学思维能力和解决问题的能力。
解析：本例题可以借助二次函数图像解决，展现出分类讨论的思想，讨论对称轴x=a与区间[0，2]的位置关系。对复杂的问题进行分类和整合时，分类标准与增设的已知条件相等，完成有效的增设，把大问题转换成小问题，优化解题思路，降低解决问题的难度。分类讨论教学方法要求将各类情况各种结果考虑其中，依次研究各类情况下可能出现的结果。求解不等式、函数和导数是考查分类讨论思想的难点，为确保突出重点，日常教学中必须对学生渗透分类讨论思想方法。
三、结语
高中数学函数章节是整个数学教学的重要部分，对其日后学习高等函数发挥着重要作用。高中数学函数知识涵盖多种数学思想方法，数学思想方法是解决数学问题的钥匙和重要工具，因此数学老师必须对函数实施合理教学，让学生更全面地掌握数学思想方法，从而提高学生的综合思维能力。
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）30-203-01
很多初中生在步入高中阶段后回来向笔者反映，在数学学习方面跟不上节奏、进不了状态，尤其是成绩比较好的学生表现的更加明显。他们逐渐陷入数学神秘莫测的幻觉，产生畏惧感，动摇了信心，甚至失去了学习的兴趣。根据笔者初中、高中两个阶段的教学经历和经验分析，造成这种现象的原因是多方面的，最主要的原因还在于初、高中数学教学衔接上，下面我就这个问题谈谈在教学中的两点认识。
一、基础知识、思想方法的“断点”衔接
随着高中的学习慢慢深入，大量的作业也铺天盖地地来了，同时所牵扯到的方法和知识一下子多了起来，初中刚毕业的学生很容易被吓倒，原来学习的信心和兴趣和学习热情被扼杀。由于初中全面推行新课程标准数学教材实验，而高中数学新课程改革相对滞后，造成了初高中数学内容上存在过渡问题，其中主要的问题在于数学基础知识和数学的基本思想方法不衔接，出现“断点”。 因此初中新课程标准下的数学教材在高一数学教学补充以下内容及思想方法：
1、数和式
（1）立方和（差）公式、平方和（差）公式。在必修1单调性的证明时要求学生能够掌握；和（差）的立方公式，它是二项定理的最佳接洽点，也即是二项定理最直接的推广。
（2）十字相乘法和分组分解法。尤其是十字相乘法，它是解一元二次方程最快的方法，同时也就是解一元二次不等式的最快的方法。涉及“分组分解法因式分解”.初中课标、教材中已不作要求。
（3）二次根式：适当补充相当的运算。如整体运算等。
2、方程
可化为一元二次方程的高次方程、分式方程和无理方程。这部分初中教材删除了。同时也就删除了用换元法解分式方程和无理方程中的平方关系和倒数关系；删除了换元法；删除了解方程的基本思想方法：降次；分式转整式；无理转有理的重要思想方法。一元二次方程根与系数的关系。补齐公式只需三五分钟，但它同时也缺乏整体运算的思想方法，缺设而不求的思想，而这些思想方法在高二的解析几何：直线和二次曲线的关系中应用极大。当然也就缺少机会强调一元二次方程根与系数的使用条件。
3、函数
二次函数所学内容有：定义，平移，基本性质，应用最值解答实际问题。应补充三个二次的关系和二次函数在给定区间上的最值。当然拓展到 “含参”在给定区间的分类讨论――“定轴动区间”和“动轴定区间”；二次方程的根的分布以及二次函数的其他性质，相应的可安排在函数性质学习完后，插到指数函数前学习。
4、证明
现行教材中“证明”的内涵与以前有所差别：现行初中数学教材中 “证明”是一个局部的公理化体系，它是从4条“基本事实”出发，证明40条左右的结论，除此之外的知识一般不在“证明”部分涉及。即使等式的性质、不等式的性质有的初中课标教材也不把它作为证明的依据，涉及的内容仅仅局限于“相交线与平行线”、“三角形”、“四边形”。而高中数学教材中，凡是学过的知识几乎都可以作为“证明”的依据.
初三学生数学计算能力、逻辑推理的能力、思维的深刻性和思维的严谨性等都较差。但他们在应用数学知识解决实际问题、探究与发现、合作与交流等多方面很优秀。因此，在初中教学中，要着力提高学生计算、推理等方面的能力，养成学生良好的思维习惯；而在高一教学中则要充分应用其优点，适时、适当补其知识和能力的不足。
二、教法和学法“断点”的衔接
课堂教学是师生的互动。初中毕业生一开始总觉得课堂简单，要求有挑战性问题、作业马虎、课堂乱喊爱表现，此类男生居多；对数学有畏惧心理，不是很自信，此类主要是女生；不预习，不及时复习当天的知识就开始盲目地做题；有的学生不能很快地适应高中的教学模式，更多的是不能适应高中的老师；有的学生认为老师不够亲切太严厉，说话声音小，板书有点小，语速太快……这些习惯上的“断点”如果不能很好的解决，对高中学习进步会有很大的影响。
对此，首先要让学生了解高中数学的特点，明确高中数学的学习方法，端正学习的态度。要把对学生加强学法指导作为教学的重要任务之一。指导要以培养学习能力为七点，狠抓学习基本环节，不要要求学生干什么、而是引导他们怎么干。具体措施有三：一是寓方法指导于知识讲解、作业讲评、试卷分析等教学活动之中，这种形式贴近学生学习实际，易被学生接受；二是举办系列讲座，介绍学习方法；三是要求学生写数学学习日记，及时总结反思。要求学生端正学习态度，养成良好的学习习惯，调节自身学法，以尽快适应高中数学教学。其次，教师也要根据学生实际随时调节教学方法。在高一，教师可适当降低要求，循序渐进，逐步提高。老师要先给学生搭个梯子，做个示范走一遍，再扶着他们慢慢自己摸索，直到学生能够自己不断的向高处攀登。不能开始就“撒手”，让学生摔得很惨。
很多老师把高中的学生出现的问题推到初中的数学教育，我们应该明白一点，高中的教育更多的是提高拨优的教育不再是“义务基础教育”，在这个过程中势必要淘汰掉一部分。说起来有点残酷，但这就是事实。新课改强调要注重学生的基础，注意螺旋式地上升。如何“引导学生做好过渡阶段的学习”是一个很有研究价值课题，作为老师也要多多找找自己的原因。参考文献：
在必修3中第一章算法是独立的一章，看似与传统数学内容的联系很少，因此教师在教学中容易将它孤立起来，机械地、照本宣科地实施教学任务，教完后不会像函数、方程、数列那样在后续的教学中重复出现。学生常常是在高一新授课时利用两周学完，在高三复习的最后阶段做两套练习，此外就极少再接触到算法，有些学生及教师将算法比喻成“鸡肋”，食之无味，可有可无。
《普通高中数学课程标准》写到“算法是一个全新的课题，已经成为计算机科学的重要基础，它在科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用。算法的思想和初步知识，也正在成为普通公民的常识。在高中数学必修课程中将学习算法的基本思想和初步知识，算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分。”由此可见，不能孤立地教学算法，要使学生将算法的核心思想融入到已有的认知结构中去。结构主义也提出：学科教育的实质是使学生理解学科的基本结构，建立新知识和原有知识之间的联系。
二、数学的算法如何和信息技术的算法整合
如何整合数学的算法和信息技术的算法，将两者有机地结合起来，使得算法课既有数学味，又不失计算机的特色，这是困扰中学教师的又一个问题。
《标准》明确指出：“在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。”可见数学的算法和信息技术的算法是不同的。信息技术的算法即编程，是一项浩大的工程，通常要涉及大量细碎的技术问题。数学的算法不会让学生过多地纠缠于程序的调试和实现，而是要让学生感受算法的思想，理解算法的“算理”。
当然数学的算法也不可能完全脱离计算机的技术，教学中也要让学生体会算法的程序性、明确性、有限性等特点。必须帮助学生认识计算机工作的一些基本原理。
三、算法思想如何自然地在高中数学教学中渗透
《标准》要求“算法的思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。”其实这个要求不过分，算法对学生来说并不陌生。从小学的四则运算所遵循的先乘除、后加减的规则，括号的处理规则，到初中的方程组的解法，高中的二分法求方程的近似解，数列、递推数列求和都是算法的典型体现。几乎每个问题的解决都对应一个算法，高中数学的教学需要让学生站在较高的角度解决问题，算法思想的渗透和研究是必要的，这是每位高中数学教师都明白的。要学生很自然地认识到算法思想的重要性，使之成为学生的一种意识、一种思想、一种方法、一种工具，这也是教学过程中的重中之重。
四、突出算理，牢牢把握算法教学的重点
笔者认为首先必须明确算法的教学重点，算法的含义是“对一类问题的机械的、统一的求解方法”，其精髓是算理，算理具有概括性，它指向一类问题，以系列步骤为载体。因此教学的重点是突出算理，以教科书中提供的案例为载体，体会算法的基本思想，提高学生的逻辑思维能力，要防止将算法的教学变成程序语言和程序设计的教学。
教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能,发展能力。
1.强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
教师在教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握对一些核心概念和基本思想(如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等),要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质。
2.重视基本技能的训练
熟练掌握一些基本技能,对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中,要重视运算、作图、推理、处理数据,以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应避免过于繁杂和技巧性过强的训练。
3.与时俱进地审视基础知识与基本技能
随着时代和数学的发展,高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化,教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能。例如,统计、概率、导数、向量等内容已经成为高中数学的基础知识。
二、注重数学知识与实际大联系,发展学生的应用意识和能力
在数学教学中,教师应注重发展学生的应用意识;通过丰富的实例引入数学知识,引导学生应用数学知识解决实际问题,经历探索、解决问题的过程,体会数学的应用价值。帮助学生认识到:数学与我有关、与实际生活有关,数学是有用的,我要学数学,我能用数学。
在有关内容的教学中,教师应指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题。例如,运用函数、数列、不等式、统计等知识直接解决问题;还应通过数学建模活动引导学生从实际情景中发现问题,并归结为数学模型,尝试用数学知识和方法去解决问题;也可向学生介绍数学在社会中广泛应用,鼓励学生注意数学应用的事例。
三、改善教育学的方式,使学生主动地学习
丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中,教师的讲授仍然是重要的教学方式之一,但要注意的是必须关注学生的主体参与,师生互动。教师在教学别应注意以下几个方面。
1.高中数学的新增内容,教师要把握标准的定位进行教学,应努力提高自身的数学专业素质和教育科学素质。
2.在教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的坚守和指导,又要有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情景,鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程。
3.加强几何直观,重视图形在数学学习中的作用,鼓励学生借助直观进行思考。在几何和其它内容的教学中,都应借助几何直观,揭示研究对象的性质和关系。例如,借助几何直观理解圆锥曲线,理解导数的概念、函数的单调性与导数的关系等。
4.在数学教学中,学习形式的表达是一项基本要求,不能只限于形式化的表达,应注意揭示数学的本质。例如,有些概念(如函数)的教学是从已有知识和实践出发,再抽象为严格化的定义。
5.对不同的内容,可采用不同的教学和学习方式。例如,可采用收集资料,调查研究等方式,也可采用实践探索、自主探索、合作交流等方式,还可采用阅读理解、讨论交流、撰写论文等方式。
6.教师应根据不同的内容、目标,以及学生的实际情况,给学生留有适当的拓展、延伸的空间,对有关课题做进一步探索、研究。例如,反函数的一般概念、概率中的几何概型的计算等都可作为拓展、延伸的内容。
7.教师应充分尊重学生的人格和学生在数学学习上的差异,采用适当的教学方式,在数学学习和解决问题的过程中,激发学生对数学学习的兴趣,帮助学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的态度、勤奋好学、勇于克服困难和不断进取的学风。
8.教师应不断反思自己的教学,改进教学方式,提高自己的教学水平,形成个性花的教学风格。
三、要善于应用现代化教学手段
在我国传统的数学教学中十分重视变式教学，正是因为应用了变式教学，我国中学生在基础知识和基本技能方面远远超过了西方学生，可以说变式教学是具有中国特色的教学方法，但是我国学生在解答开放性问题及动手能力方面逊于西方学生.我国的专家学者对变式教学的理论研究比较多，实践研究比较相对较少，对理论的研究大都停留在感性知识上，甚至在有些理论的认识上还模棱两可，还有就是很少有高中教师能在教学实践中深层次地剖析变式教学，因此，对变式教学的实践探究就有非常重要的理论和实践意义.下面笔者列举数学教学案例就对变式教学的实践谈谈体会.例如，与直线和圆锥曲线位置关系有关的问题是各级竞赛及高考的热点问题，同时也是考查学生数学综合能力的主要载体，对相关问题的变式、探究是培养学生数学基本思想方法、形成数学能力的重要途径.本文主要结合2013年全国数学联赛的一道试题重点研究与直线和抛物线位置关系有关的度量问题及轨迹问题，其基本的思想方法可以类比到直线与其他二次曲线的问题中.
【评析】本题是2013年全国高中数学联赛一试的一道填空题，题目内容简洁清晰，以学生比较熟悉的抛物线及向量的数量积运算为背景，主要考查学生综合运用坐标法和函数与方程的思想进行分析问题、解决问题的能力，题目本身容易上手，解题思路自然流畅.通过深入思考发现，本题内涵丰富，对相关问题的变式分析更是培养学生探究能力的一个很好的素材.
变式3：求坐标原点在直线AB上的投影的轨迹.
总之，变式探究学习模式在课堂教学实施中，就是在科学的教育理论指导下，借鉴科学家发明创造的思想方法和数学问题，通过创设一定的情境帮助学生主动投入多角度的解题教学中，对数学问题作多层面探究.首先，引导学生运用数学基本策略和方法发现和提出问题，并解决问题.其次，引导学生合作交流，开发学生潜能；让学生在教师的指导下，理清知识结构，寻找科学有效的方法，对数学问题进行独立探究和合作探究，归纳综合，拓展创新，深层探究，发展学生的创新能力.
参考文献：
数学思想所指的是，对于数学事实以及概念和理论的本质认识，这是对数学知识的一种高度概括。数学思想在数学认识活动中，它的具体反映和体现是数学方法，并且数学方法还是处理探索解决数学问题，以及实现数学思想的手段以及重要工具。在教学中，渗透数学这种思想方法，对于提高学生的综合数学素质，起到的作用是不可替代的。对渗透数学这种思想方法的重视，对于教学取得成功是非常关键的。因此，在高中数学函数教学中渗透数学思想方法的研究是很有必要的。
一、集合思想
集合的定义是：一些特定的事物，它们所组成的整体，在这些事物中，它们中的每一个都被称为这个集合的一个元素。我们可以把集合这种思想融入到高中函数教学中，增强学生的集体意识，还可以利用高中数学的重要特点，也就是严谨性，学会在逻辑用语中，尽力地教会学生，应该认真看清楚题目，充分理解题目的意思，而且还可以从题目中已经给出的条件，用来推敲出其他的条件，并且可以分析出来哪些是有帮助的，而哪些是没有意义的。将那些有帮助的、会用到的条件归为一个整体，为成功解题做好铺垫。
二、方程与函数思想
方程与函数思想，可以说是高中数学函数的基本思想，在历年的高考中也是经常出现，而且是重点和难点。目前所使用的高中教材，大部分是以知识结构作为编写体系来进行的，并且这其中所蕴含的各种数学教学思想，还是见于整个教材之中，所以，对于大多数的学生来说，如果只侧重于用一种方法来解答题目，不会做到举一反三，很容易导致数学思想方法的主观随意性。函数思想的含义是：运用运动以及变化的观点，可以来建立函数关系，或是构造函数，并且运用函数的图像，以及性质去分析问题，或者是转化问题，从而达到解决问题的目的；方程思想的含义是：分析数学教学问题中的各个变量间的等量关系，并据此建立方程，或者是方程组，也可以构造方程，并运用方程的各种性质去分析问题、转化问题，进而解决问题。方程与函数的思想，在数学教学中，它非常强调对学生能力的培养，而且非常注重对学生的运算能力以及他们的逻辑思维能力的训练，让学生将他们所学的知识尽量都运用到生产以及生活中，运用到实际工作去，与此同时，还可以了解题的技能以及技巧，以及理解题目中蕴含的各种数学思想，使得学生会主动地将所学的知识应用于社会实践中去。
三、化归、类比思想
化归、类比思想指对于需要解决的问题，将其转化归结为已有知识范围内的，可解的问题的一种数学意识，简单地说是将陌生化为熟悉，或者是将复杂化为简单，也可以说是将抽象的问题，充分转化为具体直观的问题，更通俗的是将一般性的问题，经过转化，成为直观的、比较特殊的问题。而且，化归、类比思想可以说是高中数学函数中最常见、最基本的思想方法，以至于函数中，几乎一切问题的解决，几乎是离不开化归以及类比。在高考中，很大部分试题，它们条件与目标的联系一般都不是显而易见的，只有通过在不断的转化过程中，才有机会去发现题目所给条件与目标之间的联系，因此归结出来一个能够解决问题的方法。
四、整形结合思想
数形结合思想的含义：在研究与解决数学问题的时候，可以将反映问题的比较抽象的数量关系，通过与直观的平面以及空间图形相结合起来进行思考，从而得出解决问题的办法。图形整合也是通过将抽象思维，与比较形象思维有机地结合起来解决问题，这是一种重要的数学解题方法。这种方法具有直观性以及灵活性的特点。
五、结束语
数学思想在数学认识活动中，它的具体反映和体现是数学方法，并且数学方法还是处理探索解决数学问题，以及实现数学思想的手段以及重要工具。在高中数学函数教学中，具体而言它包括集合思想、方程与函数思想、化归类比思想以及整形结合思想等。在教学中，渗透数学这种思想方法，对于提高学生的综合数学素质，起到的作用是不可替代的。因此，在进行数学教学时必须积极进行数学思想方法的传授。
参考文献
[1]邓勤 新课程背景下初高中数学教学的有效衔接――从函数概念的教学谈起[J].数学通报，2011，（02）。
[2]孙雪飞 浅谈三角函数章节教学中学生数学思想的培养[J].新课程学习（基础教育），2010，（10）。
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是高中数学学科知识的重要组成部分，在各章节知识体系中具有桥梁和纽带的作用，函数概念的产生标志着数学思想方法的改变，从常量数学转成变量数学，函数的教学能够使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系与制约中的，从而了解事物的变化趋向及其运动的规律，对于培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的能力是一个有效的工具。
一、数学思想方法的定义
数学思想方法是一种对问题的分析以及探索的技巧，是更好地解决问题的一种思路，同时也是为更好地分析及解决问题提供的一种有效的、具有很强可操作性的数学解题方法。
二、数学思想方法运用的重要意义
对数学思想方法的运用是全民推进素质教育的需要。全面地推进素质教育是在我国当代教育中比较重要的一项任务，从现在的高考试题来看，它重点考查的内容是学生对知识理解的准确性、深入性以及灵活运用的能力。对于学生的考查更加注重于数学思想方法以及数学能力，所以说数学思想方法在高中函数教学中的应用具有重要的意义。
三、函数
1.函数的概念
现代数学家对函数概念的定义方法大致可以分为四种：第一种就是把函数定义为具有某种函数特征的状态，而不是定义函数本身；第二种就是把函数看成一种法则或者规律，按照事物的发展，对其以后发展的物质有着定量或者不定量的影响；第三种就是把函数解释成一种对应关系，一种固定事物对应一种关系的关系；第四种就是把函数描述为一种特殊关系或者一种特定关系。通过不同的定义方法我们可以理解出不同的函数定义。函数作为数学中最基础的概念之一，进一步分析后，可以比较清楚地了解到其中包括极限理论、积分数、微分过程及至泛函分析等。包括其他科目，比如物理学等也是以函数的基础知识研究本学科的物质的变化归路的，以函数为基本来研究和解决并作为解决问题的最终工具。这就充分证明了，函数本身就蕴藏着极其丰富的辩证思想。
2.函数的本质
迪尔卡提出“变量”一词本身就是一种函数的表现形式。恩格斯评价说：“数学中的转折点是迪尔卡的变量，有了变量，运动进入数学；有了变量，辩证法进入了数学；有了变量、微积分和积分也就立刻成为必要，而他们也就立刻产生啦！”。进入十六世纪，数学理论不断发展，数学中描述运动变化的概念―――变量以及函数的概念成为百年数学研究的中心。所以，函数的本质就是以公式或图形的形式，表示物质或事物在变量下的一种积累的过程。
3.函数的发展
在函数成为近、现代数学研究的基本理论后，函数很快充斥数学的一切研究领域，并成为数学研究的基本思路之一。随着科学技术的发展和科学知识的不断普及，人们对变量、函数的认识不断加强，数学科学也从初等数学时期进入高等数学时期。函数对人类思维方式的影响有了质的变化，也促进了数学科学和现代科技的蓬勃发展。因此也就可以说，函数是近、现代数学的基石。函数概念产生本身就标志着数学思想方法的一种重大挫折。而函数的应用就改写了数学的面貌，从对象到理论，方法，结构发生了根本的变化。
4.函数在高中教学中的应用
在高中时期，学生学习的函数一般可以分为函数、函数的表示方式、函数的单调性和反函数等四个方面，函数作为高中教育阶段最主要的内容之一，对高中时期的概念和性质，在给正面数量关系后，还必须借助图形来直观地揭示函数的另一面，并用不同的语言、不同的形势、不同的角度来认识和解释函数问题的本质。函数在高中教学体系中，占有主要地位。它与中学数学的很多学科有着密切关系。在初中“函数及其图像”就属于函数教学的内容。高中数学中主要学习函数包括：指数函数、对数函数、三角函数，它们都是函数教学的主体，通过不断被对函数的研究，能够充分认识函数的性质、图像及其初步的应用。包括在普通高等教育中的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。而高中的函数等都属于初等函数，其他的教学内容也都与函数有着或大或小的关系。
四、高中数学函数教学中渗透数学思想的实践策略
1.在概念形成过程中渗透数学思想
通常在教学过程中对于一个新知识的传授首先是要掌握知识的概念，再是概念形成的过程，教师要给予充足的解释，使学生在一开始接受新知识的时候就意识到数学思想在概念形成过程中的重要性。下面我们以二次函数为例。一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a成为二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。x是自变量，y是因变量。函数图象是轴对称图形。对称轴为直线x=-[ b 2a]，顶点坐标是（-[b 2a]，[4ac - b2 4a]）。交点式是y=a（x-x1）（x-x2）（仅限于与x轴有焦点的抛物线），与x轴的交点坐标是A（x1，0）和B（x2，0）。通过教师对数学函数概念的描述可以优化学生对概念的理解以及应用能力。
2.教学过程中应用例题强化对数学思想的理解
下面我们举出一个例题并根据上述对函数概念的描述对其进行解析。例题有二次函数y=x2-x-6，分别判断此二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点。解可知此函数的a=1，b=-1，c=-6，那么该函数图象的对称轴为直线x=-[b2a]即x=[12]，顶点坐标是（-[b2a]，[4ac - b24a ]），即（[12]，-[251]）；因为此函数y=x2-x-6可以分解为y=（x+2）（x-3），其中a=1，所以该函数与坐标轴的交点分别是A（-2，0）和B（3，0）。在教师描述完函数的概念后引入例题让学生们能及r消化对概念的理解，并通过例题将数学思想应用于计算与分析、解决问题的过程。
此外，课堂教学确定合理的教学目标十分重要，在不同的教学阶段应该给学生以不同层次的学习体验。高一、高二新授课的函数教学，要十分注重基础知识和基本技能，并在此基础上注重引导学生感悟数学函数的基本思想，从而为后续的教学和高三的复习教学作必要和可能的铺垫。
【基金项目】本文为重庆市教育学会第八届（2015-2017年）基础教育科研立项课题（重点课题）“高中数学教学中问题呈现的直观化对学生思维的影响”（课题批准号：XH2015A15）系列论文之一.
一、“数形结合”思想方法概述
（一）数形结合思想方法
中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.“数”与“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系有形象和直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确描述.那么“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，著名数学家华罗庚说过：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”这首小诗形象、生动、深刻的指明了数形结合的价值，也揭示了数形结合的本质.
（二）数形结合思想的价值
数形结合这种思维方法的应用，有助于我们解决许多问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.
通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛、更深入了，研究的对象也更宽泛，方法更一般化了.其次是为代数问题提供了几何直观.由于代数借用了几何的术语，运用了与几何类比而获得新的生命力，如线性代数正是借用了几何学中的空间、线性等概念，用类比的方法把自己充实起来而迅速发展的.代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合、相互促进，使我们加深了对数量关系与空间形式的认识.数形结合把点与数、曲线与方程之间建立一一对应的思考方法，启发我们将方程视为点，把某类函数的全体视作空间.形成了一种联想的思维方式，拓展了我们思维的广度与深度.
（三）“数形结合”思想方法在中学教学中的地位
1.从新课程对“四基”的要求来看数形结合思想
四基是基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.教师应帮助学生领会数学思想方法、掌握知识与技能，积累经验.数学知识之间是相互联系的，数学核心概念、基本思想始终贯穿于中学教学.由于数学高度抽象性，新课标把数形结合思想作为中学数学的重要思想.
2.从新课标对思维能力的要求来看数形结合思想
数形结合思想能帮助学生思维意识的提升.通过数形有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，让学生抽象思维具体化，初步形成辩证思维能力，同时帮助学生多角度、多层次思考问题.
3.从新课标数学内容的特点来看数形结合思想
数学过于抽象、过于形式化、过于符号化给人产生遥远的距离感.再加上它曲折奥妙的逻辑推理造成学生认知上的特殊难度.可是通过数形结合思想可以形象直观的揭示问题的本质，减轻学习的负担，引发学生对数学的兴趣.
4.从教与学的现状来看数形结合思想
数形结合思想方法已深入中学解题功能，但在实际教育中还未真正落实到位，主要表现在数形结合思想方法的教育目标不够明确，课堂教学随意性，盲目性大，而计划性、系统性、有序性、层次性、过程性则显得不足.造成学生用数形结合思想方法来分析解决问题能力太差.因此，在教学中如何充分发挥数形结合思想的作用，重视数形结合方法的运用，是一个值得研究的课题.
二、数形结合在高中数学教学中的体现
在高中数学教材中，许多数式与方程都有几何意义，许多图形又都可以用数式与方程表示，这种对应关系是相互联系密不可分的.如：
（1）实数对（a，b）与平面内的点（a，b）对应.
（2）方程y=kx+b的几何意义是直角坐标平面上的一条直线，其中数k的几何意义是斜率，即直线倾斜角的正切值；数b的几何意义是直线在y轴上的截距.
（3）函数与图像的对应关系：如：二次函数对应抛物线；三角函数对应正弦曲线等等.
三、部分案例分析
（一）利用数形结合思想解决最值、值域问题
利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题.特别是一些三角函数的题目.
应用数形结合解题时要注意以下两点：其一数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题必须是等价的；其二，利用“数”的精确性和“形”的直观性.总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是片面的.教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质.
【参考文献】
高中阶段的主要教学目的就是要突出培养学生的计算能力、空间想象能力、逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。虽然这些能力在初中数学教学过程中也有所体现，但是在高中阶段才真正被提上日程，充分地表现了出来。要做好初高中数学教学的衔接工作，笔者认为可以采用以下几种措施。
一、明确教学要求
学生进入高一，一方面。教师不应该是忙忙碌碌于教授新课，而是应该对自己所教班级中学生的数学知识情况进行必要的摸底考试，了解学生的知识掌握程度和学习习惯；另一方面，教师不应该只专注于高中数学教材和大纲的研究和学习，还应结合初中数学知识体系，分析相对于初中的数学来说，高一教学内容的特点。在这个联系和比较中，就很容易地找到初高中知识的衔接点，建立知识网络。这样既能达到温故而知新的教学目的，又能帮助学生真正地理解数学知识和基本思想方法。
二、引领学习方法
密钥共享的基本思想，可以通过如下例子来表述：某个银行的保险库，每天至少需要用密码（即密钥）打开一次；银行雇佣四位出纳，但是银行为提高保险库的安全性并不想将密钥委托给单个出纳。这时，银行可以利用密钥共享的方法来设计一个安全的系统保护这个密钥。在该系统中，银行把密钥分成四部分并独立分发给四位出纳；该系统保证任意三位或四位出纳同时在场才可用密钥打开保险库，而任意单独或两位的出纳不能打开保险库。此外，即使有一位出纳的那份密钥意外地丢失，其他三位出纳仍然可正常恢复整个密钥。对于上述的问题和要求，如何用一个数学的方法来有效地解决呢？
二、问题的求解
解法一：解方程组方法
1979年，著名密码学家阿迪・沙米尔利用解方程组的方法给出了一个简单且有效的方法。我们用一个简单的例子展示该方法：在数字化世界中，可假设密钥是一个数字，这是发挥数学作用的第一步。具体地，设密钥为2，四位出纳分别用1、2、3和4表示，选取一个二次多项式f（x）=2+3x+x2，它满足f（0）=2，即当x取零时，由这个多项式计算的结果恰好是密钥值2；计算f（1）=6，f（2）=12，f（3）=20和f（4）=30，并把这四个值分别秘密地分发给四位出纳。这样，我们已经完成这个保护系统的设置，该密钥的部分密钥分别由四位出纳安全地保管。假设前三位出纳同时在场，此时只需把由他们保管的秘密值6、12、20拿出来，大家就可以用解方程组的方法简单地恢复得到密钥值，计算过程如下：假设该二次方程是f（x）=a+bx+cx2，则可得到如下方程组：
a+b+c=6a+2b+4c=12a+3b+9c=20
通过求解该方程组，可得a=2，即f（0）=a=2为密钥值。若只有一位或两位出纳同时在场，由解方程组的方法可知，则他们只能得到有一个方程或两个方程的方程组，但有三个未知数，故该秘密值无法正确地被恢复。
解法二：几何方法
现在，从几何角度来更直观地分析一下上述方法。我们先把出纳的代表值和各自的部分秘密值分别看成直角坐标系中的坐标点，即（1，6）、（2，12）、（3，20）和（4，30），且把密钥也看一个坐标点（0，2）。可把二次多项式看成一条二次曲线，密钥值是该曲线与纵轴的交点，每位出纳的部分秘密值均是曲线上某个点的纵坐标值（见图1）。由二次曲线的性质可知，若已知曲线上的三个坐标点，可容易在直角坐标系上画出完整的曲线，即可以获得与纵轴的交点值；若仅知道曲线上一个或两个坐标点（如A和B，见图2），那么该曲线与纵轴的交点可能有无数个（如：C1， C2， …， Cn），即无法确定该密钥值。
综上所述，我们分别从代数的观点和几何的观点，分析了密钥共享的基本思想，充分展现了高中代数学习中“数形结合”的思想方法。从这两个角度看问题，不仅可以让学生直观体验到数形结合的思想方法，提高学生对数学的鉴赏力和学习数学的兴趣，而且可以帮助学生对密钥共享方法的理解，提高他们对“信息安全和密码”学习的兴趣，有利于学生进一步发展，对实现“信息安全与密码”模块教学也起到探索的作用。
高三数学复习量大面广、思想方法多，联系紧密，内涵丰富，相对于其他学科而言，内容抽象，逻辑严谨。因此不少学生既感到畏惧，又无从下手。另外高中数学内容多，复习时间紧，学生的学业负担较重。如何提高高三数学复习的针对性和实效性呢？因此在数学备考复习时，需要讲究方法，注重实效，老师要引领到位、不做无用之功，减轻学生的学习负担。
一、回归教材，构建完整的数学知识网络
教材是考试内容的媒介，是高考命题的重要依据，也是学生思维能力的生长点。只有吃透课本上的例题和习题，才能全面、系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法及基本思想，构建完整的数学知识网络，以不变应万变。
重视数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法的掌握和运用。基础知识、基本技能和基本数学思想方法仍是考生复习的重中之重，复习中要以课本例题、习题为载体，抓好基础题型和通性通法的熟练掌握，淡化特殊技巧。教师应通过教材练习题的重组、演变、推广，使学生从不同角度和不同侧面深入地把握问题的本质，形成理解数学概念、解决数学问题的基本活动经验。学生也应做到：课堂勤做笔记，课后认真思考，对任何问题先思考、后解答，对错题要经常反思总结，将平时每一次考试都当成高考一样认真对待，形成良好的应考心理、技能，以及规范答题的习惯。
二、强化基本概念的复习，培养学生的解题技巧
数学是概念的游戏，概念是实施数学教学和创造的源泉，没有概念，教学就无法入手，解题也就失去依据。因此在高中数学总复习中，必须牢牢把握高中数学概念的复习，使每个考生对高中数学考点中的概念做到心中有数，有的放矢，同时根据高中数学概念推导出相应的公式和定理。比如等差数列，首先应明确等差数列的概念，然后再根据等差数列的概念推导出等差数列的通项公式，通过等差数列通项公式的研究再找出等差数列的性质，在根据等差数列的和的定义，再推导出等差数列的前n项和公式与前n项和公式的相关性质。实际上，高中数学公式很多都是根据概念推导出来的，这样不仅熟悉了数学概念，同时也让学生掌握了公式的来龙去脉，展示了公式的推导过程，培养了学生的逻辑推理能力和数学公式的发现过程，极大的培养了学生的创造能力，因此公式、定理的推导过程本来就是一个再创造，再发现的过程。当然，还要注重知识间的联系与整合，加强数学知识网络交汇点处试题命制的研究，培养学生的解题策略和答题技巧。
三、注重数学思想和数学理性思维能力的培养
我们在总复习中既要重视数学思想、数学方法的复习，还要重视数学理性思维能力的复习。中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法主要有：数形结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想。数学思想方法和数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段就应该对数学思想和数学基本方法进行疏理、总结、逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题。实际上近几年的每一道高考试题几乎都考虑到数学思想或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查。因此，在平时的复习中，就要有意识、有目的的加强数学思想和数学基本方法的总结、应用和反思。中学数学知识中所蕴涵的理性思维能力包括：逻辑推理、演绎证明、归纳抽象、直觉猜想、运算求解等方面的内容。在复习时，我们要有意识地从多角度、多纬度、多视野地提高数学思维能力，既不要只是局限于逻辑思维能力的练习，还要训练归纳抽象、直觉猜想、运算求解等，使自己的思维能力能够较全面地、系统地得到提高。
四、精选习题，强化训练，提高备考复习的有效性
