时间：2023-07-09 08:24:32
序论：速发表网结合其深厚的文秘经验，特别为您筛选了11篇勾股定理的研究范文。如果您需要更多原创资料，欢迎随时与我们的客服老师联系，希望您能从中汲取灵感和知识！
【关键词】施工；安全；管理；加固；顶进
【Keywords】construction； safety； management； reinforcement； jacking
【中图分类号】U445.462 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2017）04-0149-02
1 引言
大型框构桥下穿铁路营业线施工工序复杂，安全隐患多，事故屡屡发生。为确保此类施工安全，总结沈阳铁路局多处此类施工经验，结合灯塔市忠旺路下穿沈大线351km500m公铁立交桥工程具体情况， 现就线路加固和顶进过程中应注意的事项作简要论述。此框构桥3孔，自重6000t，全长45m，高8.8m，轴长22m，采用纵横抬梁进行线路加固。
2 做好地勘核定并配合相关单位做好施工设计等工作
2.1 准确地验证线下地质条件是进行线路加固顶进施工的可靠前提
施工单位必须重视设计给定的地勘资料与实际对照工作，从工作坑开挖时，立即就要复核地下水和地质情况，确认降水有效、地质条件相符后才开始进行下一步施工。降水井的设置必须满足降水的要求，降水标准应降至框构底板下1.5m。鉴于非岩石地段，较大结构的框构桥，在顶进脱离滑板1/2时，普遍出现下沉情况，建议对顶程范围内基底进行注浆加固措施。
2.2 准确确定工作坑的设置位置和放坡坡度，是确保线上加固作业方便的重要条件
在纵横抬梁施工作业前，施工单位首先要与相关设备管理单位共同踏勘现场，综合考虑地下光电缆及路基稳定情况，研究确定工作坑的开挖方案，一般工作坑前沿顶坡脚与线路留足不小于12m的距离，线路侧工作坑边坡按1：1.75放坡，这样做为施工机械架设纵横抬梁提供了作业场地，也保证了工作坑不出现坍塌情况。
2.3 框构桥顶进的线下入口、出口设置路基防护桩，是控制框构顶进侧天窗的有效措施
设计单位要对顶进入口、出口设置路基防护桩进行设计，防护桩布置位置与框构桥顶进到位位置紧密结合，形成对路基的有效防护。防护桩布置位置与线路的距离要满足使用反循环钻机钻挖防护桩的条件，又能在取消线上加固的条件下，进行补齐刃角的施工。防护桩顶做冠梁连接，冠梁顶面标高与横抬梁支点带顶面标高一致。实践证明，采用种形式的防护，能够有效控制框构桥顶进过程中的侧天窗[1]。
2.4 合理确定框构桥预制形式，是确保顶进安全的重要环节
设计单位应根据地质情况、框构桥外部结构尺寸，合理给定框构桥预制滑板的上船坡度和框构桥前部底板下的上船坡，框构桥前端必须合理设置“前刃角”。
3 合理确定施工加固方案，做好线上加固工作
3.1 合理确定加固范围
本次框构桥全长45 m，高8.8 m，轴长22 m。设计单位根据框构桥高度按1：1放坡，考虑斜交角度，线路加固长度给定72 m，横向最长横抬梁长度52m，实践证明加固范围满足加固要求。
3.2 合理布置横抬梁支点带
本次施工设计支点带截面为50cm×50cm。施工单位为更大地发挥支点带作用，增大了支点带截面面积，改为宽80cm，高60cm。支点带下方进行砂石填平夯实，侧壁采用模板支护，顶面抄平，确保支点带结构尺寸一致。实践证明，采用该种结构的支点带，搭设横梁时，不但确保了下部基础牢固，横抬梁搭设平整、便于拼接，能够起到有效控制前天窗的作用，同时确保了线路的平顺状态。即便支点带下土体塌落时仍能起到防护横梁的作用。建议支点带在出、入口处纵梁下方各设置一条，出口侧在纵梁外侧3.5m处再设置一条。
3.3 合理确定横抬梁布设方式和施工方法
本工程线路加固采用50kg/m的3-5-3扣轨梁加I56C工字钢横抬梁加固方案。线路下方采用16.5m的I56C工字钢横抬梁横向贯通沈大上下行线，避免了12m工字钢需要在两线间进行拼接的过程。横抬梁间距为0.8m，在框构桥投影的加固范围内，横抬梁采用栓接的方式拼接成55m长的整体。拼接时腹板及上下盖板用螺栓全部连接，避免相邻横抬梁接头在同一截面上，相邻两片梁体的接头相错布置，间距2m。横抬梁的一端放置在框构桥顶板上，另一端放置在出口端支点带和路基顶面上。
3.4 合理架设纵梁，布置辅助纵梁，做好纵梁支墩施工
纵梁由3片I56C工字钢组成，使用U型螺栓与横抬梁连接。每道纵梁全长72m，采用10.5m、12.5m和16.5m规格的工字钢，使用螺栓进行腹板拼接组成，三道纵梁的接缝错接2m布置。入口侧的辅助纵梁架设在入口端路基防护桩冠梁上，出口侧辅助纵梁架设在纵梁外4～5m处。辅助纵梁对线上纵横梁加固整体强度的提高起到了关键作用。纵梁端部设置2m（长）×1.5m（宽）×2m（高）的C25混凝土支墩。在支墩施工时，将顶面标高降低300mm，上垫短枕木，确保日后线路进行大机清筛、机捣时不受影响。
3.5 做好抗移桩的设置
钢轨抗移桩由设计的一根钢轨增加为两根，增大了抗移桩的强度。横抬梁工字钢与钢轨抗移桩之间用薄钢板等塞缝，确保工字钢与钢轨抗移桩之间刚性连接。由于钢轨抗移桩有弹性变形，顶进过程中有回弹现象，建议以后可以设计成带基础的混凝土抗移桩，桩顶采用L形冠梁设计，即能起到横向支顶的作用，又能起到增加一道支点带作用[2]。
3.6 做好防联电措施
加固范围内砼枕全部更换为2.9m长I类木枕，确保线路外侧扣3轨与铁垫板间有足够绝缘距离。同时将横抬梁U型螺栓增设绝缘套管，扣板下增设橡胶垫，杜绝了联电隐患。
4 合理确定顶进方案，做好线路监测工作
4.1 确定顶镐配置形式
框构桥自重6000t，备用框构桥自重60%以上的顶力，采用4台泵站带32台320t顶镐进行配置。为防止传力柱弹崩，使每道传力柱受力均匀，采用大断面传力柱，每隔6m安设一道钢分配梁。
4.2 确定挖土范围
为防止塌方，每次前天窗土方开挖按1：0.5坡度控制，采取随挖随顶进的方式施工。为减少侧天窗，侧墙处土方开挖至框构桥里侧边墙或边墙一半即可。顶进过程中，随时检查框构顶板两端的吃土状态，该部位与横抬梁之间不可留有土方，防止框构顶进过程中线路被该处土方推挤变形。
4.3 做好顶进过程中临时支墩设置及调整工作
顶进过程中，框构桥面上横抬梁底面与桥面之间用枕木头、木板、接^夹板搭建临时支墩，并在接头夹板表面涂抹黄甘油，减少摩擦阻力。随顶进过程及时调整桥面与横抬梁之间支墩的位置，防止支墩的木板、接头夹板等刮碰U型螺栓，造成线路变形。
4.4 桥上桥下密切配合，指派专人做好动态观测，确保线路稳定
框构桥的顶进必须在列车间隔时间进行。顶进过程中，安排专人观察线路的方向及长平，发现变化立即停止作业，并及时恢复线路；安排技术人员对框构桥高低、方向变化进行动态观测，发现偏差及时调整。桥上桥下作业人员采用对讲机呼唤应答，相互之间保持密切联系。
5 结语
公路下穿铁路营业线公铁立交桥施工，只有通过设计、施工、监理、设备管理单位共同努力，严格执行铁路的相关管理办法及制度，才能确保下穿铁路立交桥施工的绝对安全。
烟台市福山区人民医院骨科，山东烟台 265500
[摘要] 目的 比较采用克氏针张力带配合骨锚钉与锁骨钩钢板配合喙锁韧带在治疗肩锁关节脱位重建的临床疗效。方法 选取该院收治的肩锁关节脱位患者32例，应用克氏针张力带配合骨锚钉治疗肩锁关节脱位17例(骨锚钉组)，应用锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位15例(锁骨钩钢板组)。术后3个月取出锁骨钩钢板和克氏针张力带，骨锚钉不取出。采用Karlsson标准评定患肩功能。结果 两组患者均获得9～45个月以上随访，平均27.6个月。术后3个月，两组内固定物均未发生松动、断裂。按Karlsson标准评定疗效，骨锚钉组：优12例，良4例，可1例，优良率94.1%。锁骨钩钢板组：优10例，良4例，可1例，优良率93.3%。两组肩关节功能评分差异无统计学意义(P>0.05)。结论 采用克氏针张力带配合骨锚钉或锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位疗效无明显差异，都是安全有效的方法。
关键词 肩锁关节脱位；喙锁韧带；内固定器
[中图分类号] R684.71 [文献标识码] A [文章编号] 1674-0742(2014)03(a)-0098-02
[作者简介] 朱建军(1973.7-),男,山东烟台人,硕士,主治医师,研究方向：骨科。
肩锁关节脱位是肩部常见损伤，多由外力自肩上部向下冲击肩峰或跌倒时肩部着地引起。临床上对肩锁关节脱位的治疗手术方法种类很多，包括克氏针张力带、锁骨钩钢板固定及交叉克氏针，包括或不包括韧带的修补重建。随着生物科技的发展，骨锚钉已成为修复韧带损伤的常用材料之一。该院自2008年1月—2012月12月采用克氏针张力带配合骨锚钉与锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位(Rockwood[1]分级Ⅲ型及以上)患者32例，以比较两种方法的疗效,现报道如下。
1 资料与方法
1.1 一般资料
克氏针张力带配合骨锚钉组(骨锚钉组)患者17例，其中男12例，女5例，年龄22～65岁，平均39.3岁；Rockwood分型，Ⅲ型10例，Ⅳ型4例，Ⅴ型3例。术中使用的骨锚钉为带线锚钉，锚钉直径3.5 mm，长度12 mm，尾线为2#Fiberwire线。
锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建组(锁骨钩钢板组)患者15例，其中男11例，女4例，年龄25～63岁，平均37.8岁；Rockwood分型，Ⅲ型9例，Ⅳ型4例，Ⅴ型2例。韧带重建材料为自体阔筋膜肌腱。
所有患者受伤至手术时间1～3 d，平均1.5 d。术前所有患者应拍摄肩关节正位X线片，以确定肩锁关节脱位损伤的类型及程度，同时术前应完善常规检查，评估麻醉和手术风险。
1.2 治疗方法
全部患者于颈丛或全身麻醉下手术。取沙滩椅，自肩锁关节至喙突行“L”样弧形切口，长约 6～8 cm，术中为注意保护锁骨上神经，应沿锁骨走行方向横行切开附着于锁骨、肩峰端的斜方肌及三角肌，充分使肩锁关节及喙突显露。必要时切除肩锁关节盘状软骨。
骨锚钉组：复位肩锁关节，自肩峰向锁骨平行钻入2枚直径1.5 mm克氏针，钢丝张力带固定，可吸收线修复断裂喙锁韧带，在喙突基底部拧入2枚骨锚钉，在距2.5～3.0 cm锁骨肩峰端处(正好对着喙突上方)，用2.5 mm钻头在锁骨中心位置钻孔，将每枚骨锚钉的1束尾线穿过骨隧道，另外2束分别置于锁骨前面及后面，收紧穿过骨孔的尾线前后并打结固定。
锁骨钩钢板组：取自体阔筋膜肌腱，折叠缝合，直径3.5 mm，长约8.0 cm，对肌腱预张，防止重建韧带松弛。复位肩锁关节，根据术中情况选择适当长度的锁骨钩钢板、塑形，将钢板钩端从肩锁关节后肩峰骨膜下插入，使得钢板与锁骨远端贴服良好，并拧入螺钉固定。在喙突体部、锁骨(正好对着喙突上方)各作一骨隧道，将肌腱穿过隧道，收紧，肌腱两端重叠缝合固定。
最后修复肩锁关节囊及肩锁韧带，缝合斜方肌及三角肌。
1.3 术后处理
术中及术后24 h 内使用抗生素。术后三角巾悬吊 4 周，术后第3天肩关节可进行被动功能锻炼，2 周后可进行主动功能锻炼，3个月内禁止进行重体力劳动、体育运动。3 个月后可取出内固定物，骨锚钉则不取出。
1.4 疗效评价标准
术后患肩功能均采用Karlsson标准评定[2]。
1.5 统计方法
采用spss 16.0统计学软件对数据进行处理，计数资料采用χ2检验。
2 结果
所有患者术后切口均Ⅰ期愈合，无感染。术后随访18～45个月，平均27.6个月。锁骨钩钢板组术后2例出现患肩部疼痛，外展活动受限，术后3个月取出内固定物后疼痛消失。按Karlsson标准评定疗效，骨锚钉组：优12例，良4例，可1例，优良率94.1%。锁骨钩钢板组：优10例，良4例，可1例，优良率93.3%,见表1。两组肩关节功能评分差异无统计学意义(P>0.05)。
3 讨论
肩锁关节的稳定由关节囊及其加厚部分形成的三角肌及斜方肌的腱性附着部分、肩锁韧带、喙突至锁骨的喙锁韧带3部分维持。其中喙锁韧带对维持肩锁关节的完整性最为重要，只有喙锁韧带断裂，锁骨远端才发生垂直移位。Lim[3]研究表明，当韧带未修复并且断端存在间隙时，瘢痕愈合的强度仅为正常韧带的35%。所以，对于肩锁关节脱位的各种术式中，内固定只是暂时的，韧带的修复或重建才是保持长期稳定的关键。
对于单纯行喙锁韧带修复配合骨锚钉或者重建手术治疗肩锁关节脱位，远期效果并不理想。Mlasowsky [4]通过长期随访研究发现，术后5年肩锁关节半脱位率超过35%。这可能是早期没有在内固定保护下，修复或重建的韧带在应力下发生松弛、磨损或撕裂；重建的肌腱在骨隧道滑动，影响了肌腱在骨上的愈合。所以肩锁关节早期的内固定非常重要。
锁骨钩钢板固定牢靠且操作简单。通过穿过肩峰下的钢板钩端和锁骨远端的钢板固定形成杠杆作用，对锁骨远端产生稳定的下压力，致使锁骨远端不向上脱位，使肩锁关节的解剖对应关系达到恢复，提供了稳定无张力的环境于组织愈合中，同时还保留了肩锁关节的生理微动，提高了关节、韧带的修复质量。有利于进行早期的功能锻炼，避免关节僵硬。但是术后也可能出现脱钩、肩峰骨折、肩痛、锁骨远端骨溶解等并发症。该组术后有2例患者出现患肩疼痛，外展活动受限。可能是由于钢板钩部占据了肩峰下一定的空间，对肩峰下软组织、肩袖(其是冈上肌腱)造成一定的压迫，磨损所致。Yehia[5]对275例行锁骨钩钢板内固定患者通过肩关节镜检查发现，75%的患者1年后冈上肌腱磨损严重，钢板存在时间越长，肌腱磨损越重。其建议对于肩锁关节内固定尽量不使用锁骨钩钢板，若使用最好不超过8～10周。
骨锚钉丝线的强度和喙锁韧带的强度相仿，牢牢地限制了锁骨远端上移，可以使断裂的喙锁韧带得到坚强修复。同时进行克氏针张力带短暂固定，更有利于喙锁韧带在稳定的环境下愈合。术后3个月取出克氏针张力带，防止了克氏针松动、断裂等并发症，减少了创伤性关节炎的发生。该组术后无一例患者出现患肩疼痛。
对于内固定物取出的时间仍存在争议[6-7]。由于肌腱愈合达到正常强度需要12周，该研究认为应以术后3个月取出内固定物为宜。
该研究表明，两组术后肩关节功能优良率比较差异无统计学意义(P>0.05)。这可能与该研究样本量少，随访时间短有一定关系。
因此，对于肩锁关节脱位患者，在修复重建喙锁韧带的同时，应同时进行短暂的关节内固定，采用克氏针张力带配合骨锚钉或锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位，都为安全有效的方法。
参考文献
[1]Rockwood Jr CA,Williams G,Young C. Injuries to the acromioclavicular joint// Rockwood Jr CA,Green D,Bucholz R. Fractures in adults[J]. Philadelphia: Lippioncott-Raven,1996：1341-1414.
[2]Karlsson J,Arnarson H,Sigurjonesson K. Acromioclavicular dislocations treated by coracoacromial ligament transfer[J].Arch Orthop Trauma Surg，1986,106(1)：8-11.
[3]Lim YW，Mbbs，Mmed(Surg)，Frcsed(Ortho). Acromioclavicular Joint Reduction，Repair and reconstruction using metallic buttons-early results and complications[J]. Technique Shoulder Elbow Surg，2012,8(4)：213-221.
[4]Mlasowsky B,Brenner P,Duben W,et al. Repair of complete acromioclavicular dislocation(Tossy stageⅢ)using Balser’s hook plate combined with ligament Sutures[J].Injury,2012,19:227-232.
[5]Yehia B, Abd-El-Rahman AE,Mazen A. Acromioclavicular joint reconstruction using anchor sutures: surgical technique and preliminary results[J].Acta Orthop Belg,2010,76(2):307.
1.课程内容的变化
新课程相对于老教材增加了“蚂蚁怎样走最近”这一节，并在教材中增加勾股定理的历史的相关素材，书中提供了较为丰富的历史或现实的例子来展示勾股定理的应用。
2.教学要求的变化
老教材对勾股定理的教学要求是：（1）使学生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长，会用勾股定理判断一个三角形是不是直角三角形。
新课程下的勾股定理教学要求是：（1）经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；（3）掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；（4）通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
由上可知，新课程下的勾股定理在已知直角三角形两边求第三边中，给出的两边数据相对于老教材简单得多，删去了烦琐的计算过程，勾股定理逆定理的理论证明，利用勾股定理的逆定理解题的数据均不会过大，通过古埃及的结绳来说明，省去了烦琐的证明过程。新课程中加强了勾股定理的实际运用，利用勾股定理及逆定理解决实际问题成了重点，例如：“蚂蚁怎样走最近”这一节突出了勾股定理及逆定理的实用性。书中提供了较为丰富的历史或现实的例子，来展示它们的应用，体现它们的文化价值，并且在知识发生过程中，作了较高要求。
3.课程关注点的变化
老课程比较关注运用勾股定理及逆定理的相关运算，即已知直角三角形两边长求第三边和判定一个三角形是否是直角三角形。新课程则强调了勾股定理在现实生活中起着重要作用，是数形结合的典范。
二、教学中应注意的问题及建议
1.重视实际情景
新课程创设实际情景，让学生感受到现实生活中勾股定理的应用，从实际情景抽象出勾股定理。因此，建议为学生创设丰富的实际情景，使学生经历知识发生的过程。在证明勾股定理逆定理中，可将一根绳子打上13个结，将绳子分成12等分，让三位同学上讲台，一位同学握住第1和第13个结，一位握住第4个结，一位握第8个结，创设此情景，让学生自己思考、分析，从而判断此三角形为直角三角形，最后归纳出勾股定理逆定理。
2.重视数形结合
新教材里，勾股定理的探索和验证过程中，数形结合有较多体现，渗透了代数运算与几何图形之间的关系。因此，建议在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，有助于学生认识数学的内在联系。例如：在探索勾股定理过程中，应引导学生由正方形的面积想到a2、b2、c2，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数a2、b2、c2想到正方形的面积。
3.重视实际应用
对于勾股定理，新教材不仅要求能从实际情景中抽象出勾股定理，而且要能将它用于实际问题中，从而体现出数学的应用价值。因此，建议在教学中充分利用教科书中的素材让学生体会这种应用，如古埃及人利用结绳的方法做出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4.重视学生经历探索勾股定理的过程
新教材中安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动。因此，建议在教学中不要直接给出结论，要鼓励学生，通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。例如教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应引导学生通过由特殊到一般的探索得到结论。
5.重视自主探究与合作交流
新教材自始至终为学生提供自主探索、合作交流、积极思考的空间和机会，课堂上引导学生主动参与探究或学习，激发学生学习数学的兴趣，调动学生的积极思维，督促每个学生都在这个过程中积极参与，从而培养探索与创新的精神。
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.
在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.
历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.
根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.
2编写时考虑的几个问题
2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.
教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.
2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.
课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.
题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《图形的相似》复习题C组第20题：
（1）已知，如图1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
图1图21质疑证法
华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。
（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.
（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：
图3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.
因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
证二：如图3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如图2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.
这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.
图4改进证法（1）如图4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）证明.
2质疑猜想
问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：
（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个图形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.
3变式探究
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0146
勾股定理是初中数学中的一个重要定理，2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，但在众多的证明中，主要是以面积的变化进行证明。笔者通过勾股定理的证明发现了“以直角三角形的各边为边长做边数相同的正多边形之间的面积关系”。
一、勾股定理的证明
1. 将4个全等的非等腰直角三角形拼成一个大的正方形。
由图可知：（a+b）2-■ab・4=c2
a2+2ab+b2-2ab=c2
即：a2+b2=c2
也就是说：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
2. 如图将4个全等的直角三角形拼成一个大正方形
由图可知：c2-■ab・4=（a-b）2
c2-2ab=a2-2ab+b2
即：a2+b2=c2
这样又得到了勾股定理的另一种证明方法。
3. 如图将两个全等的直角三角形拼成如图的梯形
由图可知：■（a+b）2-■ab・2=■c2
■a2+ab+■b2-ab=■c2
即：a2+b2=c2
以上是勾股定理的3种证明方法，实际上勾股定理的证明到目前已有3000多种。
二、勾股定理的应用
下面我们利用勾股定理说明以三角形的三边长围成的正多边形的面积之间的关系。
1. 如图，在RtABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正三角形，求证S2+S3=S1。
如图做三角形S2的高h，因为S2是以b为边的等边三角形，易得
h=■b，S2=■・b・■b=■b2
同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根据勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1
即：S2+S3=S1
2. 如图，在RtABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正四边形，求证S2+S3=S1。
证明：S2=b2，S3=a2，S1=c2
根据勾股定理：a2+b2=c2
S2+S3=S1
3. 如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，
求证： S2+S3=S1。
证明：如图连接正五边形的中心O与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h，
cotα=■，h=■cotα，
S1=■c・■cotα・5=■c2・cotα，
同理：S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，
S2+S3=■b2・cotα+■a2・cotα=■cotα（b2+a2）
由勾股定理得：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1
即： S2+S3=S1
依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n边形时，S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，S1=■c2・cotα，根据勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1
即：S2+S3=S1
通过上面的证明我们可以得到“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和。”
同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”。
下面我们来看证明：
已知：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，分别以a，（上接第146页）b，c为直径做半圆。
求证：S2+S3=S1
证明：S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2
S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，
由上表可以看出，勾股定理是倍受命题者青睐的知识点，考查题型多种多样，有选择、填空和解答题，试题内容涉及面广、命题形式灵活、多样的特点，所占分值在5分到10分之间。
一、夯实基础――直接利用定理进行计算与证明
综观近几年的中考试题可以发现，有关勾股定理的简单应用主要体现在求三角形的边长、面积题,以及判断三角形的形状上.
点评：勾股定理是一个数形结合定理，所以在运用勾股定理时如果没有图形常先画图，以增强解题的直观性
例2 （2008年广东考题)已知ABC的三边长分别为5，13，12，则ABC的面积为（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能确定
解析：因为52+122=132，所以ABC为直角三角形，因而其面积为 ×5×12=30，故选A.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，对勾股定理的简单计算仍将是命题的重点，试题难度不大，主要通过求三角形边长、面积作为考查勾股定理的掌握程度.题型以选择、填空为主，针对这些命题趋势，同学们在复习时应夯实基础知识，提高计算能力，注重对勾股定理的理解和运用.
二、提升能力――定理的实际应用
勾股定理在初中数学知识体系中具有重要的应用价值，在现实生产、生活和其他学科中有着广泛的应用，在解决这些实际应用问题时，首先要将这此实际问题转化为数学问题，然后再利用勾股定理及逆定理来解决.在应用时要明确勾股定理的适应范围是直角三角形，如果没有直角三角形，常通过作高来构造直角三角形，从而创造利用勾股定理的条件.
【例题精析】
例3（2008黄冈考题）如图2是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
解析：如图2，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M，由垂径定理可知：MN为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC，
ABBD，CDBD， AB∥CD．
AB=CD,四边形ABCD为矩形,
AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
AG=GC= AC=100 cm．
设O的圆心为R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
MN=2R=520 cm.所以这个圆弧形门的最高点离地面的高度是520 cm．
点评：本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.
中考题型总结与预测：2009年的中考试题中仍将加大勾股定理的应用力度的考查，题型以填空和解答题为主，分值在5至8分之间.
三、归纳运用――定理应用中的思想方法
数学思想是解决问题的灵魂，在勾股定理的应用中常用到的数学思想方法主要有：
1.数形结合思想：抓住“数”与“形”之间的本质联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，把抽象问题转化为直观的形或把复杂的形转化为具体的数，从而避开烦琐运算，简捷解题.
2.方程思想：是指通过列方程（组）求解的一种思想方法，是解几何计算的重要策略.勾股定理实质是一个等式，其表达式中有三个量，当已知其中两个量求另一个量时，往往通过设未知数，通过构建方程来解决.
3.转化思想：转化思想就是把所要解决的的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题.例如，在解有关几何体上的路线问题时，常将其转化为平面上的路线问题，然后借助勾股定理来解决.
4.分类讨论思想：分类讨论思想就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行进行解决，从而达到解决整个问题的目的.例如，当题中没有具体说明已知边是直角边还是斜边的情况时，常进行分类讨论.
【例题精选】
例5（2008年新疆建议兵团考题）如图3，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
解析：设经过x秒时两人相距85m，根据题意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化简得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合实际情况，舍去），当x=9时，4x=36，50+3x=77，当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
例6（2008青海考题）如图4，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______cm（结果用带根号和 的式子表示）．
解析：解此题的关键是把侧面展开，利用两点的连线中线段最短和勾股定理作答.如果说将圆柱体的侧面沿AC剪开铺平，如图5, 则ADBC为长方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，将加大对数学思想方法的考查，难度有所加大，值得我们关注和重视，此类题将以计算题和图形操作题的形式出现，分值在5分左右.
四、融会贯通――勾股定理的拓展应用
勾股定理常应用于解决图形折叠、拼接问题以及在新情境下的探索性、开放性试题，这些试题起点低，但综合性强，能综合考查同学们对知识的融会贯通能力，相对较难.
【例题精选】
例7（2008年临沂考题）如图6，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________.
=70，AB=30. 求：BC的长.
【再认识】勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，它只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此解题中，常常需要构造适当的直角三角形.
【分析】本题中，考虑构造直角三角形. 由条件∠B=60°想到构造含30°角的直角三角形，为此作ADBC于D，则有∠BAD=30°，BD=■AB=15，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解：作ADBC于D.
∠B=60°，∠BAD=90°-60°=30°.
BD=■AB=15.
在直角ABD中，根据勾股定理，
AD2=AB2-BD2=302-152=675.
在直角ACD中，根据勾股定理，
CD2=AC2-AD2=702-675=4225，
则CD=65.
BC=BD+DC=15+65
=80.
【变式】已知：如图2，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=4，CD=2.
求：四边形ABCD的面积.
【分析】如何构造直角三角形是解本题的关键. 此题中，可以通过连接AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E来构造直角三角形，而结合本题给定角的条件应选后两种方法，再进一步根据本题给定边的条件选第三种方法较为简单.
例2 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=■AB，那么DEF是直角三角形吗？为什么？
【再认识】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，它通过三角形三边的数量关系来研究图形的位置关系. 解题时，需找到某两边的平方和等于第三边的平方，从而将数转化为形.
【分析】这道题中有许多隐藏条件，解题时要仔细读题，找出边之间的关系：由FB=■AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a，AF=3a，BF=a，再利用已有的直角三角形分别表示出DEF的各边的平方，最后利用勾股定理逆定理去判断DEF是否直角三角形.
解：设BF=a，则BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a，在直角BEF中，根据勾股定理，EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2.
在直角CED中，根据勾股定理，
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.
在直角ADF中，根据勾股定理，
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2，
DF2=EF2+DE2.
根据勾股定理的逆定理，∠DEF=90°.
DEF是直角三角形.
【变式】已知：ABC的三边分别为m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m>n），判断ABC是否为直角三角形.
【分析】本题是利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形，只要证明a2+b2=c2即可. 我们把能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，勾股数除了m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m>n）这一组数外，还有n2-1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n为正整数）.
突破点2：对勾股定理及逆定理的再应用
例3 （1） 如图4，图（1）是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积.
（2） 现有一张长为6.5 cm、宽为2 cm的纸片，如图4（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.
（要求：先在图4（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）
【再应用】用面积法验证勾股定理是认识和理解勾股定理的重要手段，通过对图形的割补与拼接，加深对勾股定理的认识，提高解决问题的能力.
【分析】本题第（1）问关键在于找到直角三角形两直角边与小正方形边长间的关系，并且利用两直角边满足的条件得到正方形的面积. 第（2）问中的长方形面积为13，在割补拼接过程中面积不变，所以可借助图4（1）来寻找割补拼接的方法.
解：（1） 设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
则小正方形的边长为a-b.
根据题意，可得：a+b=5. ①
由勾股定理，可得：a2+b2=13. ②
①2-②得2ab=12.
（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1.
所求的中间小正方形的面积为1.
（2） 长方形的面积为6.5×2=13（cm2），
要拼成的正方形的面积也等于13（cm2）.
所以可按照图4（1）制作.
由（1）知a+b=5，a-b=1，a=3，b=2.
根据题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片的长边上截取，截去四个直角三角形后，余下的面积恰为中间小正方形的面积.
于是，得到以下的分割拼接方法：
【变式】已知：如图5（1），长方形ABCD被分割成四部分，其中某些线段的长度如图所示，已知这四部分可以没有重叠、没有空隙地拼成一个正方形.
（1） 求出所拼得正方形的边长，并写出计算过程；
教材简介：
本课教材选自苏科版《数学综合与实践活动（八上）》初中数学教材中勾股定理与平方根一节。
教材分析：
勾股定理是初中数学教学中一个非常重要的定理，之前学生们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定理。本课不只要求学生掌握验证方法，更重要的是通过丰富有趣的拼图活动，通过教师的指导、同伴的合作和学生亲自动手剪纸、拼图、验证等一系列数学活动，体会数形结合的思想，体会勾股定理的数学价值和文化价值。
教学目标：
1.经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
3.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣。
教学重点难点：
重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。
难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。
教学方法：
引导、操作、合作、探究，多媒体辅助教学
教学过程：
本节课主要是通过几个活动让学生体验并探究勾股定理的一些验证方法，首先通过情景创设激发学生探究的激情。
情境创设：
1.你知道勾股定理的内容吗？说说看。
画直角三角形并写出勾股定理的表达式。
2.你知道关于勾股定理的哪些历史故事？你知道勾股定理的来历和有多少种证法吗？
课件展示毕达哥拉斯的雕像图片和地砖图片，讲述毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。
3.前面我们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定
理。今天我们再来探究勾股定理的其他验证方法。
活动一：
活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直角三角形（不妨设两直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c），再剪2个边长分别为c和（b-a）的正方形。
活动要求：你能选用这些中的部分图形拼成一个大正方形吗？
你能用拼成的图形验证勾股定理吗？
学生小组合作交流探究并展示。（了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。）
通过对弦图的分析，得到面积的关系
c2=（b－a）2＋4ab 化简得：a2+b2=c2
课件介绍三国时期东吴人赵爽的“勾股圆方图”，也称为“弦图”，并出示赵爽弦图和世界数学家大会会标。
活动二：
四个直角三角形还可以怎么摆成正方形呢？
学生先独立探究，再小组活动交流，并上黑板展示拼图方法和验证：由面积关系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化简得：a2+b2=c2。
活动三：
你能用两个直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼图并验证勾股定理吗？
如图：两个全等的直角三角形ABC和BEF的三边长分别为a、
b、c可得面积关系 （a+b）2＝ c2＋2× ab
化简得：a2+b2=c2
课件介绍：“总统证法”――美国第二十任总统伽菲尔德。
活动总结交流：活动二和活动三的证法其实完全相同。
课件展示与欣赏毕达哥拉斯证法和印度婆什迦罗的证明，并让学生展示课前查找资料了解到的证明方法。
活动四：制作五巧板验证勾股定理。
步骤：
1.做一个RtABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DFBI，CG=BC，HGAC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
2.取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方
形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）
归纳小结，形成技能。今天这节课你有何收获？
（如验证勾股定理的方法、数形结合的数学思想、我国古代科学家的成就、合作交流的方法与经验………）
课后作业：
上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明的方法，每人至少能说出一种与本课提到的不一样的方法，若有好的方法可用小论文的形式写出来。
教学反思：
一、教学目标
（1）知识与技能目标：用数格子（或割、补等）的方法体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（2）过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
（3）情感态度与价值观目标：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理的由来，激励学生发奋学习。
二、教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程，并能用它来解决一些简单的实际问题。
难点：用面积法探索勾股定理。
三、教学过程
（一）创设情境，提出问题
工人师傅用长为4米的直梯将一幅宣传横幅挂在墙上高3.4米的位置，如果梯子的底部离墙的距离是1.2米，请问工人师傅能不能完成任务？
设计意图：这样的设计是以实际问题为切入点引入新课，反映了数学来源于实际生活，产生于人的需要，也体现了知识的发生过程，解决问题的过程也是一个“数学化”的过程，从而引出本节课探究的主题。
（二）分类探究，发现定理
1.探究铺垫
观察下图，你知道正方形C的面积是多少吗？说说你的方法。
设计意图：学生通过合作交流，尝试探索方格中不同边长的正方形的面积求法，这样设计有利于降低新课的探究难度，为突破难点打下基础。
2.问题探究
例1：边数为整数的直角三角形
类型一：等腰直角三角形。
观察下图，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
类型二：一般的直角三角形
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
观察下图，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
结论2：“以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
做一做：
（1）你能用直角三角形的边长，b，c来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以3cm，4cm为直角边作出直角三角形，并测量斜边的长度，（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
结论3：直角三角形两直角边的平方和，等于以斜边的平方。
设计意图：由直角三角形三边长为边的三个正方形的面积关系，发现直角三角形三边的平方关系，初步得到勾股定理的内容.同时，引导学生具体画出一个直角三角形，通过计算，进一步验证勾股定理。
例2：边数不为整数的直角三角形
运用几何画板进一步验证上面的结论，改变直角三角形的三边的长度，学生发现结论仍然成立。
设计意图：由于边数为整数直角三角形的三边的平方关系，对于一般的直角三角形是否也成立？在这里，让学生画图探讨较为困难，因而利用几何画板进一步验证前面得到的结论，在此基A上，进一步探讨出本节课的重点----勾股定理。通过边数为整数和不为整数两方面的分类探究，充分地让学生经历了探索勾股定理的过程，得出的结论也更具有一般性，较好的突出了重点，突破了难点。
例3：勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a，b，c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么[a2+b2=c2]。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）
设计意图：通过介绍勾股定理由来的历史，激发学生热爱祖国，激励学生发奋学习。
（三）回归生活，应用新知
解决情境问题。
设计意图：让学生解决开头情景中的问题，前呼后应，增强学生学数学、用数学的意识，增加学以致用的乐趣和信心。
（四）知识拓展 ，巩固深化
1.情境题：
小明妈妈买了一部29in（74cm）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58cm长和46cm宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
设计意图：增加学生的生活常识，也体现了数学知识源于生活，并用于生活。
2.探索题：
做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。
设计意图：提升难度，学生通过交流讨论的方式，拓展学生的思维、发展空间想象能力。
（五）课堂小结，概括要点
教师提问：
1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流。
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a，b，c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么[a2+b2=c2]。
2.思想：分类讨论、特殊―一般―特殊、形结合思想。
设计意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动，培养学生语言表达和交流的能力。
（六）布置作业，思维延伸
1.教科书习题1.1。
2.思考：是不是任意的三角形的三边长都满足[a2+b2=c2]？若不是，你能探究出它们满足什么关系吗？和同学们交流。
设计意图：巩固基础知识；引发思考，强化认识勾股定理适用的条件。对于锐角三角形和钝角三角形，引导学生利用本节课的方法得出相应的结论，将本节课的研究方法延伸到课外。
参考文献：
一、教学目标
1.知识与技能。
(1)理解并掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法;
(2)学会用拼图的方法验证勾股定理,培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。
2.过程与方法。
(1)通过丰富有趣的拼图,经历观察、比较、拼图、推理、交流等过程,发展空间观念和有条理地思考与表达的能力,获得一些研究问题和合作交流的方法与经验;
(2)经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题的方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值;通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想,以及数学知识之间的内在联系。
3.情感、态度与价值观。
(1)通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维;
(2)通过获得成功的体验和克服困难的经历,增进数学学习的信心,在探究活动中,体会解决问题方法的多样性,培养学生合作交流的意识和探索精神;
(3)利用拼图方法验证勾股定理,是我国古代数学家的一大贡献,借助此过程,对学生进行爱国主义教育。
二、教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值。
三、教学难点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理。
四、教学过程
1.活动一。
师:每个小组都有四个全等的直角三角形和一个正方形(如图1),其中直角三角形的直角边长分别为a和b,斜边长为c;正方形的边长为b-a。你能用它们拼成一个正方形吗?你能用它们拼成两个正方形吗?你能说出每个正方形的边长吗?
小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。
第4小组:我们首先拼成这样一个正方形(如图2),它的边长为c,然后拼成两个正方形(如图3)。(由两人合作完成)
学生:我在资料上看到,刘徽在证明勾股定理时,也是用的以形证数的方法,只是具体的分合移补略有不同。刘徽的证明原来也有一幅图,可惜图已失传,只留下一段文字:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。”后人根据这段文字补了一张图(图13)。
3.活动三。
师:其实,在国外也有很多很好的用拼图证明勾股定理的方法。(如图14)直角三角形ABC的直角边分别为a和b,斜边为c,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的边长分别为a、b、c,我们一起试一试:首先用一条水平直线和一条竖直的直线将正方形Ⅱ分成四部分,再将它们与正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。
小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。
第6小组:我们按照这种方法,也将正方形Ⅱ这样(演示)分成四块(图15),但发现拼不成。
第4小组:他们的竖直线画得和我们不同(图16),我们认为要用一条水平直线和一条竖直直线将正方形Ⅱ分成四个四边形,再将四个四边形有公共顶点的四个直角与正方形Ⅲ的四个直角相对应,最后将正方形Ⅰ放在中间,正好拼成正方形Ⅲ。
第5小组:我们发现无论横线还是竖线在正方形Ⅱ内部的长度都必须等于直角三角形的斜边长c。
学生:想不到这么高深的数学问题我也能解决!
学生:现在我知道了动手做也可以研究数学问题。我不再感觉数学是枯燥的了,数学其实很有趣。
学生:我知道了原来我们中国古代数学家曾经取得非常高的成就,我要向他们学习,学好数学,成为像他们那样的数学家。
五、教学反思
通过“拼图与勾股定理”探究活动的教学,笔者有以下几点体会。
1.探究活动的起点不宜过高。
探究活动重在引导学生主动参与、乐于探索、善于实践,把握知识的全过程,明晓数学的来龙去脉。在“拼图与勾股定理”的探究活动中,笔者以中国古代和外国已有的证明勾股定理的方法为基础,精心设计了三个拼图活动,使学生在教师引导下,通过动手操作和思考,发现用拼图可以验证勾股定理,并明白其中蕴涵的数学原理和思想方法。所有的问题,学生通过观察、比较、拼图、推理、交流等都能得到解决,既不浅显,又不是高不可攀,使学生能做、乐做,同时又享受到做中的乐趣。
2.探究活动中学生的参与度很重要。
在“拼图与勾股定理”的探究活动中,90%以上的时间是学生在思考、交流、操作、发言和演示。每一个小组都有展示,每一个学生都在做、想、说,虽然其中有困惑、有障碍、有失败,但每个学生乐此而不疲,做的专心致志,想的眉头紧锁,听的津津有味,说的深入浅出,而且总会冒出一些出乎意料的问题和方法。这些得益于各小组的明确分工,使得每个学生都有动手操作的机会和发言的空间,也得益于教师对失败和错误的包容、对成功和精彩发言的表扬鼓励。整个过程中学生的意见得到发表,创造得到肯定,每个学生都有收获。
3.探究活动中学生有创造。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形中非常重要的性质。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形问题的主要根据之一，它在实际生活中用途广泛。新课改强调培养学生的动手能力和探究能力，通过实际操作与探究活动，使学生获得较为直观的印象，从而掌握勾股定理，以利于正确地运用。
一、通过引趣设疑，引发学生探究勾股定理
在教学中教师可通过导入课外有趣的内容，作为课堂教学的切入点。例如：在地球之外的浩瀚宇宙中，到底有没有外星人？如果有，我们如何与他们联系？著名的数学家华罗庚就曾建议，让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3∶4∶5的直角三角形，你知道华罗庚为什么会提出这样的建议？等等。通过一系列的问题，激发学生的兴趣，抓住他们的注意力。原来古老的勾股定理，竟然成为了地球与外星人的联络密码。这样学生就会在感叹人类古老文明的同时，更加体会到学习勾股定理的重要性。也可以通过一系列生活中随处可见的直角三角形的实例，引起学生的关注。如给学生讲一个故事：相传在2500年前，数学家毕达格拉斯在他的朋友家做客时，发现朋友家的地面砖能反映直角三角形三边的某种数量关系。这个小故事让学生懂得，科学家的伟大发明都是在看似平淡的现象中发现的。数学知识来源于现实生活，只要我们学会观察与思考，就能激发学生的学习兴趣。
二、学习勾股定理，体会数形结合的思想
新课改强调，数学教学要看学生能否在活动中积极思考与探究，能否探索出解决问题的办法，能否进行积极的联想，以及学生能否有条理地表达探究过程与获得的结论等。也可以鼓励学生用拼得的正方形来验证勾股定理，引导学生体会数形结合的思想方法，培养数学应用意识。勾股定理描述的是直角三角形的三边之间的关系，应用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形。要强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系，要从代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到代数表示。勾股定理是人们在实践中通过图形的分割，并探讨图形之间面积的关系过程中总结出的规律。教学中要引导并鼓励学生多动手探索，体验数学活动充满着探索与创造。按课本中的方法证明这个定理，例如：用四个全等的直角三角形拼成正方形，大正方形面积可以表示为（a+b）2，四个全等的直角三角形的面积+小正方形的面积=c2+2ab，得出（a+b）2=c2+2ab，化简可得a2+b2=c2。我们还可以把公式变形为：a2=c2-b2或b2=c2-a2，于是可知在直角三角形中已知两边可求出第三边。
三、拓宽学生视野，但弱化对定理的发现
对于勾股定理的发现，我们认为应该做弱化处理，没有必要让学生在此太花精力引导学生探究怎样发现勾股定理的。如果处理得不当，很容易导致学生盲目地探究。在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在设计上存在着困惑：通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系。所以，教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生。如何处理这一困惑，一条途径就是教科书直接把勾股定理呈现在学生面前，而更多地把空间留给介绍与勾股定理相关的数学史料上，借此拓宽学生的视野。第二条途径是参考顾泠沅、王洁等人的结论：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知学习任务的难度的跨越。这样的处理也具有一定的可行性。不过大多数人更倾向于第一条途径，弱化发现，而强化证明，重视应用，把重点放到定理的证明与应用上，这样也许对学生的思维更有利。
四、注重数形结合，实现教学方式的转变
学了数学却不会解决实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当前初中数学教学的现状，教学中到处充斥着过量的、重复的题目训练。真正的教学应该关注学生学习的过程。首先要关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考，能否探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合），以及能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等。其次要关注学生学习的知识性及其实际应用。教学主要目的是掌握勾股定理，体会数形结合的思想。现在的情况是学生知道了勾股定理而不知道在实际生活中如何运用勾股定理。因此在学生了解勾股定理以后，不妨出一个类似于《九章算术》中的应用题，例如：在平静的水面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖与水面平齐，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？教学方式的转变在关注知识形成的同时，更加关注知识的应用，特别是所学知识在生活中的应用，真正起到学为所用的作用。
参考文献：
