时间：2023-07-24 09:24:14
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思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现.它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质.函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围所组成的集合)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途.在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的.本文就常见的函数解题与函数定义域的密切解析以具体案例的形式展开论述。
1.函数解析式与定义域
函数解析式包括定义域和对应法则，所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域，否则所求函数解析式可能是错误的.
案例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数解析式？
解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：S=x(50-x)
故所求函数的解析式为：S=x(50-x)．
如果解题到此为止，则本题的函数解析式还欠完整，缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0
即：函数的解析式为：S=x(50-x) （0
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性.
2.函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果不注意定义域，将会导致最值的错误.
案例2：求函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．
解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4
当x=1时，ymin=-4
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.
其实以上结论只是对二次函数y= ax2+bx+c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：
⑴ 当 时，y=f(x)在[p,q]上单调递增函数f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
⑵ 当 时，y=f(x)在[p,q]上单调递减函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
⑶ 当 时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min= ，
f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值.
故本题还要继续做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3
f(5)=52-2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性.
3.函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.
案例3：求函数 的值域．
错解：令t= ,则2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
故所求的函数值域是 ．
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1．
故所求的函数值域是[1, +∞）．
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
4.函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.
案例4：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]
定义域区间[-1,3]关于坐标原点不对称
函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数．
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性.
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函数y=x3, x∈[-1,3]是奇函数．
错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.
5.结束语
综上所述，在求解函数解析式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性.
学生进入高中，学习集合这一基本工具后，就开始了高中函数的学习。用集合的观点定义了函数，进而开始了对函数的研究。然而，不管是求函数解析式、值域，还是研究其性质，都离不开对定义域的研究。
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：用篱笆围一个矩形菜园，现有篱笆总长度为100m，求矩形菜园的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=（50-x）
故函数关系式为：S=x（50-x） .
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围： 0
即：函数关系式为：S=x（50-x） （0
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。这体现了思维的严密性，培养学生此项品质是十分必要的。
另外如：y=x和 虽然对应关系相同，但定义域不同，也是不同的函数。
二、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例2：求函数 的值域.
错解：令
故所求的函数值域是 .
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数 在[0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1， +∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围的重要性，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
求函数值域，往往也会想到函数最值的求解。这里以二次函数
为例举例说明。
例3：求函数 在[1，4]上的最值.
解：
当 时，
初看本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到此题定义域不是R，而是[1，4]。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。学生只知道利用对称轴求二次函数最值。然而，那往往是定义域是R的时候，当条件改变时，需要考虑完善。本题还要继续做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函数 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，应注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，这说明思维的灵活性很重要。
三、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：求出函数f（x）=1n（4+3x-x2）的单调区间.
解：先求定义域：
函数定义域为（-1，4）.
令 ，知在 上时，u为减函数，
在 上时， u为增函数。
又
即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。此题正解应该是函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。
四、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数 的奇偶性.
解： 定义域区间 不关于坐标原点对称
函数 是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性可能得出如下错误结论：
函数 是奇函数.
综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生辨析理解能力，有利于培养学生的数学思维品质，激发学生的创造力。
在数学教学中往往会出现求解函数的关系式，遇到这样问题时如果忽视了所求函数关系式的定义域，将会使求解函数出现错误的结论。
例1：用长14.8m的钢条来制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边长为x，且比另一底边小0.5m，求容积V关于边长x的函数关系式。
解：设容器高为h，则4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x
V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x
本题解答到这里并没有结束，从题目中我们不难发现函数关系式还缺少自变量x的取值范围。此时如果引导学生注意解题思路的严密性，强调函数三要素，学生将会有所发现：
因为边长x和x+0.5以及高h均大于0，所以由：
x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0
学生思维一旦缺乏严密性，就很容易忽视函数自变量定义域，所以在用函数方法解决实际问题时，务必注意函数自变量的取值范围对实际问题的影响，对学生加强必要引导和训练。
二、利用函数最值与定义域，培养思维灵活性
数学函数求最值的问题充分体现函数定义域的重要性。如果忽视定义域，将会导致最值的错误。
例2：已知函数f（x）=■，x≥1
（1）当a=■时，求f（x）的最小值。
（2）若对任意x≥1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围。
分析：此题第（1）问，学生会产生三种思路：①利用单调性的定义证明f（x）的单调性再求最值；②利用导数判断函数的单调性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前两种方法都较为繁琐，所以学生很容易偏向第三种解法。
错解：（1）a=■时，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，当且仅当x=■时，即x=±■时，f（x）■=2+■
剖析：尽管学生想到了均值不等式这样简洁的方法，但是忽视了均值不等式的应用条件和函数的定义域。因为±■ 1，+∞，所以“=”取不到，故此解法错误。
（2）在（1）的教训下，学生在解答这一小题时开始注意到“x≥1”这个条件，于是作如下解答：
由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函数的知识可知，只需要令
或者作如下解：
若x■+2x+a>0恒成立，则a>-x■-2x恒成立，则只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。
但是这两个答案都是错的，都是没能把定义域考虑完全，尽管在开始的变形与转化中已经注意到这个问题，但是随着解题的深入，在思维定势的影响下，定义域又忘了。
正解：思路一，x≥1，若f（x）=■>0恒成立，则只需要x■+2x+a>0恒成立，二次函数g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上递增，若在x≥1时，g（x）恒大于0，则只需要g（1）>0。3+a>0，即a>-3。
思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，设g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，则只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。
由此我们可以发现，学生在解题过程中的思维严密性和灵活性不是短期内就能养成的，这时，教师应当提醒学生注意自变量的取值范围，这样就可以打破学生的思维定势，提高其灵活性。
三、利用函数值域与定义域的关系，培养思维批判性
在数学函数中当定义域和对应法则确定下来，函数的值也将会随之而确定。因此，我们在解答函数值域的问题时，要高度重视函数定义域的问题。
例3：已知函数f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。
错解：设sinx+cosx=t，则sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域为[1，+∞）。
剖析：换元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）-■≤t≤■
g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1
f（x）的值域是[-1，■+■]。
自变量的取值范围对函数值域非常重要，因此，教师要能够严格要求学生对做完的习题进行检验，发现和修订错误，从而培养学生良好的学习习惯，提高学生思维的批判性和严谨性。
四、利用函数单调性与定义域，培养思维深刻性
在解答函数习题时，千万不能忽略函数的单调性，应强调在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，讨论函数单调性在给定的定义域区间上的变化情况。
例4：指出函数f（x）=■的单调区间。
解：先求定义域：log■（x■2x）≠0，x■2x≠1
又x■2x>0，所以函数定义域为：
（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）
设u= x■-2x，则u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上递减，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上递增。根据复合函数单调性的判断方法，可知f（x）的单调减区间是（-∞，1-■）和（1-■，0）；单调增区间是（2，1+■）和（1+■，+∞）。
（一）在看图读题中“说数学”
低年级数学课本有大量形式多样、富有趣味性的主题图呈现数学信息。培养学生学会从数学的角度观察画面，从中选择有用的数学信息提出问题，解决问题。可以有效提高学生的数学语言能力。比如，学习人教版一上《比多少》时，可以这样指导学生读图和看图方法。
片段描述：
【课件呈现主题图】
问题1：我们来比一比，小兔的只数和它们手中搬的砖头的块数，谁多谁少？
生：兔子有4只，砖头也有4块，它们同样多。（根据学生回答贴出兔子图和砖块图）
师：兔子有4只，砖头也有4块，1只兔子对应1块砖头，一一对应起来，最后谁也没多出来，谁也没少。我们就说它们“同样多”。这种1个和1个对应起来比较的方法，我们称它为“一一对应”的方法。
问题2：你还能从图中找出同样多的东西吗？
生1：凳子有4张，砖头也有4块，它们同样多。
生2：兔子有4只，凳子也有4张，它们同样多。
生3：木头有4根，凳子也有4张，它们同样多。
……
根据学生的回答，课件出示相应的东西，并一一对应起来。
问题3：比一比小猪的只数和木头的根数，它们也同样多吗？为什么？
生1：小猪有3只，木头有4根，木头的根数比小猪的只数多。（根据学生回答贴出小猪图和木头图。）
生2：3只小猪扛着3根木头，地上还多出1根，木头比小猪多。（用虚线一一对应起来。）
师：1只小猪和1根木头一一对应起来，木头多出1根，小猪少了1只，我们就说，木头比小猪多，小猪比木头少。
由上述示范，大部分学生也能准确、完整地用数学语言表达图中的各种信息。
在孩子们的眼里，主题图中的画面更多的是故事情节而不是数学信息，需要教师通过提问的方式指导学生读图、掌握看图方法，从而恰当地“说数学”。如问题1是引导学生通过观察兔子的只数和砖头的块数，进而发现，采用一一对应方法，直接得到数量是同样多的，经历了“一样多”的生活语言到“同样多”的数学语言的转化。长期坚持引导学生在看图读题中“说数学”，就能提高学生的读图、读题能力，发展学生的思维。
（二）在变式训练中“说数学”
数学思维的深刻性来自对事物本质属性的理解，如何培养这种思维品质？变式训练无疑是一种好策略。如学习人教版一下“求一个数比另一个数多（少）几”时，可以引导学生进行一次“答案不变，换个说法”的比赛。
片段描述：
【黄气球9个，红气球27个，共有多少个气球？】
师：你能给题目换个说法，又能使题目答案不变？
根据学生的回答，有以下几种变换形式：
①红气球27个，黄气球比红气球少18个，共有多少个气球？
②黄气球9个，比红气球少18个，共有多少个气球？
……
课堂中让学生参与这样的变式训练，以丰富的语言变换形式表达特定数学信息，从而培养学生的分析、综合、判断、推理等思维能力，以“说数学”的行为发散思维。再如复习人教版二上“表内乘法”这一单元时，例如2×9=（ ），3×8=（ ），教师可以放手让学生通过变式设计成（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=18，（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=24，通过这样的设计，让学生的数学思维得到扩展，更能让学生对《表内乘法》更加深入理解，切记表格更深入。
变式训练能帮助学生认识事物的本质特征，理解基本概念和原理，促进学生思维的发展和智能的提高。
二、基于学习方法的数学语言表达
（一）在动手操作中“说数学”
低年级的学生以形象思维为主，操作活动为形象思维提供直观的载体，用数学语言描述操作过程，把动手操作、动脑理解、动口表达结合起来，可以把感知转化为智力活动，达到深度理解知识的效果。
如在学习人教版二下“有余党法”这一课时，可设计如下操作活动。
片段描述：
1.【呈现要求：3根小棒摆一个三角形，6根可以摆几个？】学生动手操作后进行反馈。呈现学生作品：；引导学生借助图示说算式含义，回顾表内除法含义。
2.【跟进要求：同理，7根小棒呢？】学生猜测并再次动手操作验证，展示反馈：；指名学生借助图示说算式含义，教师引导学生重点交流“1根”小棒产生的原因及含义，再以对比的方式，借助具体情境理解“余数”含义。
教师引导学生通过操作、对比理解余数及其含义，因为余数是平均分完后剩下的那部分，直观操作、借图说理和对比有利于学生建构对余数含义的理解。
（二）在算理表达中“说数学”
理解算理是正确计算的重要保证。低段学生机械模仿能力较强，但不善于思考问题。计算教学时通过“说”的训练和“说”指导，重视说想的过程，能加深对算理的深刻理解，巩固算法，提高计算能力，培养学生表达能力，发展思维。
如学习人教版二上“两位数进位加法”，动手操作建立了35+37=72的表象后，强化说算理的过程。
片段描述：
1.【根据情境列出算式35+37】
提问：35+37等于多少？请你用手中的小棒或小正方体摆一摆，也可以用计数器拨一拨，算一算。
汇报交流：①把个位上的小棒捆成1捆。②把个位上满10的珠向十位进1。
追问：为什么两种不同的学具操作时都要把个位上的一个10给十位？
学生一边操作，一边解释“进1”的原因。
在低年级数学课堂上只有手脑并用，引导学生边动手操作、动眼观察、动脑思考、边口述操作过程，借助语言，把思维过程明确、清晰地表达出来。把想与说，看与说，做与说有机地结合起来，在充分感知的基础上，并通过语言将操作过程“内化”为思维。
2.【学生尝试列竖式计算】
生：个位上5加7得12，个位写2。然后在十位上记下1，十位上3加3得6，再加上记下的1是7。
师：你为什么要记下这个1呢？
生：进位呀！
师：什么时候进位？怎么进位？
生：满十就要进位，从个位向十位进位！
根据学生的回答，完整地出示计算过程。
个位：5+7=12，它里面有1个十和2个一。
在个位上写2，向十位进1。
十位：3+3+1=7表示7个十。
著名数学家华罗庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之变，生物之迷，日用之繁”无一能离开数学。对数学地位如此精辟的概述，可见数学传递给世界的，除了逻辑推理知识以外，也有其独特的艺术魅力。农村小学生参与到家务工作中去的时间较多，在基础理论方面的把握和理解上相对薄弱，因此，需要从数学符号本身传达的实质含义、生活化含义入手，培养学生对数学符号的阅读兴趣，使学生在阅读数学符号的同时能够感受到数学逻辑思维带给他们的愉悦的情感体验。
一、从数学符号开始阅读
“×÷■±≠=≮≯∑”是运算符号；“∠⌒≌°|a|∽”是几何符号；“∪∩∈Φ？埭”是集合符号；“@ # ￥”是特殊符号；“ ”是推理符号。数学符号作为一种语言象征独立于其他类别的语言符号而存在，它们的出现比数字出现要晚得多，人类创造了数字并付诸实践，发现单纯的数字呈现并不能完整意义地说明数量之间的逻辑关系。因此，在早期货物交换过程中，为了表达数量之间的逻辑关系，人们不得不再进行口语化解释。后来口语现场解释解决不了异地、非面对面的交易问题，因此，数学符号随着书面文字的发展就应运而生了。如，“+”来源于十六世纪意大利科学家塔塔里亚的数理运算，它用意大利文“plu”的首个字母来表示“加”。随着时代的迁移最终演变为“+”的形态并沿用至今。
农村小学生基础数理知识的学习，要从符号抓起。而让他们爱上数学要从爱上阅读数学符号开始，而爱上数学符号又要从解读数学符号的真实含义开始。
二、融入生活中的数学阅读
数学教师用自己的符号语言在黑板上做了如下表述：2x+3y+z=13，不出现一个汉字。学生问老师：“这些符号是什么意思呢？”学生A回答说：这是个和苹果有关的故事，甲小孩拿了2个苹果，乙小孩拿了3个苹果，丙小孩拿了1个苹果，一共拿走了13个苹果。学生B回答说：这是一个三元一次方程式，已知数是“2、3、1和13”，x、y、z是这个不定式方程的求解未知数。学生C回答说：将x乘以2，将y乘以3，将z乘以1，三者相加的结果是13，问x、y、z各是多少？
老师笑了笑说：这些符号语言，就是我们用来进行数学学习的工具――数学符号。里面的2、3、1、+、=都是符号化的数学语言。但是三个学生的理解是有偏差的，A同学看到的是语言情境，B同学看到的是语言形式，只有C同学看到的才是符号本来的含义。从句式结构上讲，同学B口中的三元一次方程式既不能是陈述句，又不会是感叹句，而应该是疑问句。方程式在没有正式解答之前都是疑问句。
数学符号的实质含义都是一种没有答案的逻辑推理，将文字语言和数学符号相互转换能够最大限度地激发学生对符号的学习积极性，从而提高学生对数学题目的生活化阅读能力。
三、感受数学符号化语言带来的阅读体验
数学符号就像是积木，每一个小小游乐园里的建筑物都是由不同形状、不同颜色的积木块搭建而成，而这些积木构造中又蕴含了建筑知识的所有信息，需要搭建者去认知、领悟、理解和应用。学生除了要知道积木的“形状、颜色、构造”等本质特征以外，还需要进步掌握A积木与B积木或者C积木之间的建构关系，在积木搭建过程中应用好这些积木之间的逻辑关系，从而搭建出理想中城堡的样子。
符号串联融入习题的教学方法给学生带来了一种不一样的思维模式，传统课堂上学生只知道数学符号是解题的线索和答题的工具，并不完全了解数学符号在数学发展史中举足轻重的地位。而符号融入高中数学教学中，最大限度地将数学符号的原始面貌呈现在学生面前，让学生“脑洞大开”，思维上受到不一样的洗礼，长远来看，是非常具有数学意义的。
概念口语训练的主要内容有数和形的含义、数的组成的读法和写法。训练重点应放在概念含义的形成过程和应用过程的表述上。教师可以在学生有一定感知基础上，由扶到放，达到理解概念的含义。例如第一册加法意义的教学。教师创设情境，借助生活让学生懂得如何说，如2+1，可以设计成2只兔子在一块圆形的草地上吃萝卜，教师用圆圈将草地圈上，再出现1只兔子跑进来也要吃萝卜，外面再来一个大圈。这时，教师问学生共有多少只兔子要吃萝卜（让学生体会共有多少个就是把它们合并起来）。这样的引导，一年级的学生就能很快复述把2只兔子和1只兔子合并在一起，求一共是多少只，用加法计算。“+”号表示合并的意思。低年级的学生抽象形象比较差，生活情境可以让他们明白加法概念的含义，虽然教师没有明白说这是概念的含义，但学生可以根据情境来复述加法计算的过程，如果学生在复述时表达不清，教师只要适当点拨就行。
数的含义和运算意义的应用过程，要训练学生看到一个数或一个运算式子，能够在头脑里把抽象概括出来的一般概念与理论，与具体事物联系起来，这是认识过程的第二次飞跃。如看到一个小数或算式，就能讲出它的含义。
二、计算训练重在算理
计算口语训练的主要内容有口算的思维过程和笔算的算理算法。每个学生在口算时都有自己的一个策略，但这个策略有一定的算理在里面，离开了算理，学生口算就会出现错误，教师要重视算理的传授，鼓励学生将怎样算的过程讲出来。如7+5=（ ），这是一年级学生最常要算的口算题，它的算理是凑十法，如何让学生快速凑十，教师要引导学生口述计算过程：7和几凑成10（7和3凑成10），把5分成3和2，7加3得10， 10再加2得12，所以7加5等于12。训练时应注意：1.先理后法，即先理解算理，后概括口算方法。2.先详后略，即先讲详尽的思维过程，再简要说明过程。如上面凑十法的口算过程，当学生说得较熟练时，可以让学生简单说：7+3=10，10+2=12。最后直接说出得数。3.先要求口算达到正确，再要求口算达到迅速。
三、应用题训练重在思路
应用题口语训练的内容有“四讲”。
1.讲题意。先是读题训练。“读”是思维的第一步，是获取信息的阶段。要求学生读得正确、清楚，不漏字、不加字、不读破句子。再是讲题意训练，训练学生用自己的话来复述题意。
2.讲分析数量关系的过程。这是口语训练的重点。数量关系是应用题的难点，只有让学生明白已知条件和问题之间的关系，学生解答时才能变得简单，再难的应用题也是由简单的组合而成的。应用题的算理训练的重点放在两个转化上，一个是把应用题中的日常语言转化为数学语言；二是把数学语言转化为数学式子。如分析“王老师买了32支铅笔，要平均奖给8个同学，每个同学可以得到几支”。学生刚接触这类题目时，教师在引导时要启发学生：把32平均分成8份，每份是几，就是每个同学得到的支数。根据“要分的总数作被除数，平均分的份数作除数”，列式成32÷8。复合应用题分析数量关系的重点放在讲思路上。常用的解题思路有综合法、分析法和分析综合法三种。综合法是从条件想起，常用的思路提示语是“知道了……和……可以求出……”；分析法是从问题想起，常用的思路提示语是“要求……，必须知道……和……”；分析综合法常用的思路提示语是“最后问题的数量关系式是什么”、“这个关系式中哪个数量是已知的，哪个是未知的”、“根据已知条件什么和什么，可以求出未知数量什么”。
数学学习的过程，是儿童认知结构不断自我构建、重组、修改、完善的过程。我们的数学教学，不仅要让学生获得数学知识，形成数学技能，更为重要的是提升学生的数学素养。笔者认为，数学教学根本价值追求在于：通过数学学习，发展学生思维力，激活学生想象力，提升学生学习力。教学中，教师要潜泳到儿童数学“核心素养”的天然地带，帮助儿童积淀基本数学活动经验，形成数学思想方法，提升数学文化、精神与品格。
一、培养儿童数意识，促进数学思维走向远方
“数意识”即“数感”，是儿童数学核心素养的重要方面。数意识不仅是儿童对数的感知觉，更是儿童对数与数、数与式、式与式等之间关联的意识和灵动运用数学知识解决问题的能力。在数学教学中，教师不仅要让儿童“眼中有数”，更要让儿童“心中有数”。例如教学《“0”的认识》（苏教版小数教材第1册），笔者在引导儿童认识“0”时，让孩子们找生活中的“0”，从而巧妙地渗透数学中“0”的不同含义。课堂交流中，有孩子在牛奶瓶上找到了“0”，这里的“0”表示牛奶喝完了。笔者由此相机揭示“0”的第一层含义――“0”表示没有；有孩子在直尺上找到了“0”，笔者则顺势揭示“0”的第二层含义――“0”表示起点：有孩子在温度计上找到“0”，笔者由此揭示“0”的第三层含义――“0”表示分界，等等。通过生活与数学之间的意义关联，丰富学生数的理解，从而在儿童心中建立起“0”的心理镜像。
儿童数意识的培养，是我们数学教学活动的重要组成部分。这里，笔者通过正迁移的方式，从儿童的自我发现中及时归纳、总结，让“0”这个普通的数字的三层含义――没有、起点、分界，极其感性地呈现于他们面前，是他们惊叹于数字的丰富内涵。我们带领儿童数学学习的终极目标，就是促进他们在数学上得到属于自己的最大可能的不同发展。我们如果能够在“保底”的前提下努力促进儿童拥有良好的数意识，那么，他们的数学思维才能走向远方。
二、发展儿童思维力，真正提升儿童数学理解
数学理解是以概念、判断和推理为基础的理性理解。教学中，由于每一个儿童的知识经验、生活经验不同以及认知特质和认知状态差异使得每一个儿童的思维方式各不相同，有学生擅长操作思维、有学生擅长图形思维、有学生擅长符号思维等。教学中教师要依托儿童的思维特质，提升儿童数学理解。例如：教学《认识长方形和正方形》（苏教版小数教材第5册），不同学生运用不同方式探究长方形和正方形的特征，有孩子用“测量法”测量边的长度、角的度数：有孩子用“对折法”探究对边特征、对角特征；有孩子用“拼搭法”做长方形和正方形，从“做”中探究特征；有孩子用“画平行线和垂线”的方法寻找长方形和正方形特征……
在数学探究中，学生充分运用自己的前经验、前理解、前认知尝试解决新问题，在这样的灵动思维中，旧知得到充分的回顾和灵活运用，新知有了去陌生化的奠基，从而，新旧认知得到最合理的桥接。像这里，学生在实践、交流、讨论、思维碰撞中，真切认识到长方形、正方形的基本特征，如四个直角、对边相等、四边相等……在此基础上，教师再通过对长方形的旋转、放大、缩小等变化，让学生依据特征形成长方形的理性判断，可以再度深化学生对数学知识的本质理解。
三、开发儿童想象力，更好地建构起数学知识
数学想象是数学创造的基石。爱因斯坦说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力却概括着世界上的一切，并且推动着科学进步。”在数学教学中，教师要有意识地创设生长儿童想象力的情境、空间，激活儿童的数学想象，让儿童依托想象更好地建构数学知识。例如：教学《长方体和正方体的认识》（苏教版小数教材第9册），笔者在学生初步掌握了长方体和正方体的名称、特征以及关系后，便尝试引导学生展开动态想象：教师先擦去一条棱，让学生想象长方体：再擦去一条棱，再想象完整的长方体……这样，随着棱的条数越来越少，实际呈现的长方体完全敞开，在这不再封闭的图形变化中，孩子们发现：只要具备相交于同一个顶点的三条棱，就能通过动态想象还原、重建出长方体的框架。教师由此自然揭示长方体的长、宽、高。这样的动态想象，一方面巩固了长方体特征知识：另一方面帮助学生建立了三S思考、想象的空间，丰厚了学生的想象经验。
数学语言是数学化了的自然语言，是表达科学思想的通用语言和数学思维的最佳载体。它包含符号语言、文字语言和图表语言，具有简练、抽象、清楚以及形式多样的特点。无论是符号语言还是图表语言，最终让学生理解其含义都要通过文字语言的表述，所以，这里重点阐述数学的文字语言。
一、数学文字语言的特点
1.准确性。
自然语言具有多义性，含糊不清，而数学语言必须准确、严密、清楚，不存在歧义，它是表达数学概念、判断、推理、定理的逻辑思维语言，与富有弹性的文学语言相比，数学语言有一副“铁板的面孔”。它的每个字、词都有确切的含义，不容混淆。“一元一次方程”与“一元二次方程”、“直线和射线”、“钝角和锐角”等，一字之差，表示完全不同的两个概念；词序颠倒，也会表达两种不同的意思，如“全不为零”与“不全为零”、“方程解”与“解方程”等。数学语言中，句子的附加成分常常作为条件，如定义“底面是正多边形的直棱柱”中的定语，定理“平行四边形中，对角线互相平分”中的状语，都是不可增删的条件，这就是数学特有的性质——数学语言的准确性。
2.严谨性。
数学还有一副钢制的骨架——严谨的逻辑。特殊不能代替一般，部分不能代替整体，不能臆断、不能循环论证等。这些特点决定数学概念要表述准确，判断和推理要严密，叙述要合乎逻辑。所以，教学中教师要做到：讲概念，抓住实质，准确无误；做推理，步步有据，完整周详；得规律，字斟句酌，无懈可击。不仅如此，还要对概念的定义进行解剖，对定理、法则中的关键词语下一番咬文嚼字的功夫，并适当辅以反例，以明确概念的内涵。如，一位教师在教学分数的初步认识时，指着一张纸的四分之一处说：这是四分之一。这句话准确吗?是不是缺少一些修饰语呢?数字只是一种“表示”符号。注意我这里强调的是一种“表示”，决不能说它“是”什么。如不能指着你的手说这是“5”，而应说这是5个手指头，再如有3棵树，不能指着树说：这是3，而应说这是3棵树。所以，刚才提到的分数初步认识的四分之一正确的说法是：可以用四分之一来表示，或者占这张纸的四分之一，是这张纸的四分之一等。这样的数学语言才准确、严谨、规范。再如，分数的基本性质，分数的分子和分母同乘或除以一个相同的数(零除外)，分数的大小不变。这句话里的“同时”、“相同”、“零除外”这些词概括得非常准确、严谨，缺一不可，如果没有这些词分数的基本性质就不成立了。
3.简洁性。
数学的逻辑严谨、高度抽象必然带来数学语言的精练。用数学语言表达数学事实，要特别注意详略得当，简洁明了，凡重复的或多余的叙述应力求避免，而必须交代的事项则一定要阐述清楚，不可省略。例如加法交换律：两个数相加，交换加数的位置和不变。简短的一句话包含了三层意思：研究范围是两个加数，交换加数的位置，和不变。应该说不能再少一个字了。再如三角形的定义，由三条线段围成的图形。只有10个字，“三条”、“线段”、“围成”、“图形”再加上连接词“由”和“的”，概括得严密准确，惜字如金，没有任何多余成份。
二、如何教学数学的文字语言
1.找准每节课的核心数学语言或关键词。
数学内容是由数学语言构成的，数学教学就是数学语言的教学。教师根据教学内容，在教学时要尽量把每一节课的数学知识提炼成一两句数学语言或一两个关键词，紧扣数学语言或关键词展开教学。这样，学生不仅能理解数学知识，更能够发展思维，增长智慧。
如，教学长、正方形的周长，关于周长的描述，“围成物体一周的总长，叫做这个物体的周长”，“围成图形一周的总长，就是这个图形的周长”，这里要凸显“一周”、“总长”。
又如，教学“面积”时，“物体表面的大小或封闭图形的大小叫做面积”。这里要突出“表面”和“封闭图形”，教师在教学时表述要准确、清楚，如黑板面的大小、课桌面的大小、数学书封面的大小、墙壁面的大小等。
再如，在“分数的初步认识”一课中，把一个物体平均分成(
)份，其中的一份是这个物体的(
)，这句话要让学生结合具体物体才能够完整地表述出来，就是说，不要求学生用语言概括出分数的意义，但要能够结合具体物体把某一具体分数的含义表述完整，这样才能说明学生真正理解了某一分数表示的含义，否则就是一本糊涂账。通过这种数学语言的教学，学生才能真正理解数学知识的含义，发展思维，增长智慧。
2.数学语言的抽象过程要清晰。
数学语言的抽象就是从众多的生活事实中舍弃非数学的，提取出共性的、共同的、数学特有的东西。提取的时候要分成两步，首先，相关的生活事实要丰富，其次，进行去粗取精，去伪存真，提炼出数学本质的东西。如教学长方形、正方形的周长，教师可以先用镜框的边线进行引入：“围成这个镜框一周木线条的总长，就叫做这个镜框的周长。”教师一边说一边用手比划，接着问：“什么是黑板的周长?”同样让学生一边用手比划，一边用语言描述。再接着让学生描述什么是讲桌的周长、教室里墙壁上画框的周长、窗户玻璃的周长等。最后让学生撇开这些具体的实物，用一句话来概括到底什么叫物体的周长?引导学生总结出：围成物体一周的总长度，叫做物体的周长。即先结合具体实物用数学语言进行描述，接着再引导学生撇开具体实物概括出纯数学语言。
3.概括时要突凸显数学语言的核心词。
语文教学中要抓住关键词、关键句进行教学，同样数学教学中也要抓住关键词、句进行教学。如上述的物体的周长描述中的“围成”、“一周”、“总长”，就是周长定义的关键词，学生进行总结的时候，教师要引导学生把这些关键性的词语凸显处理。那么，如何才能凸显这些关键词呢?
首先，举反例引出关键词，如孩子在概括周长的时候，如果没有加上“围成”这个词，教师可以在黑板上随手画上一片树叶，并用红笔描出大半个周长，质疑学生这是这片树叶的周长吗?引出“围成”这个词，说明“围成”是要首尾相连和封闭的。
一谈及阅读，人们联想的往往是语文阅读，然而，随着社会的发展、科学技术的进步及“社会的数学化”，仅具语文阅读能力的社会人已明显地显露出其能力的不足，如他们看不懂某些产品使用说明书，看不懂股市走势图，等等。此即表明，现代及未来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力。因此，在只重视语文阅读能力培养的当今学校教育中，加强学科阅读教育研究，探索学科阅读教学的特殊性及教育功能，认识学科阅读能力培养的重要性，就显得尤为重要。这里就数学阅读的特殊性谈谈看法。
数学阅读的特殊性：
数学是一种语言，“以前，人们认为数学只是自然科学的语言和工具，现在数学已成了所有科学――自然科学、社会科学、管理科学等的工具和语言”。不过，这种语言与日常语言不同，“日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意地而且经常是精心设计的”。因此，美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。更有前苏联数学教育家斯托利亚尔言：“数学教学也就是数学语言的教学”。而语言的学习是离不开阅读的，所以，数学的学习不能离开阅读，这便是数学阅读之由来。
数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。但由于数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，数学阅读又有不同于一般阅读的特殊性，认识这些特殊性，对指导数学阅读有重要意义。
首先，由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用到的逻辑推理思维特别多。而一般阅读“理解和感知好像融合为一体，因为这种情况下的阅读，主要的是运用已有的知识，把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象”，较少运用逻辑推理思维。
其次，数学语言的特点也在于它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，数学中的结论错对分明，不存在似是而非模棱两可的断言，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习。
数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。但由于数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，数学阅读又有不同于一般阅读的特殊性，认识这些特殊性，对指导数学阅读有重要意义。
首先，由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用到的逻辑推理思维特别多。而一般阅读“理解和感知好像融合为一体，因为这种情况下的阅读，主要的是运用已有的知识，把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象”，较少运用逻辑推理思维。
其次，数学语言的特点也在于它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，数学中的结论错对分明，不存在似是而非模棱两可的断言，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习。
第三，数学阅读要求认真细致。阅读一本小说或故事书时，可以不注意细节，进行跳阅或浏览无趣味的段落，但数学阅读由于数学教科书编写的逻辑严谨性及数学“言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义。对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义。数学阅读常出现这种情况，认识一段数学材料中每一个字、词或句子，却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法。数学语言形式表述与数学内容之间的这一矛盾决定了数学阅读必须勤思多想。
在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用到的逻辑推理思维特别多。而一般阅读“理解和感知好像融合为一体，因为这种情况下的阅读，主要的是运用已有的知识，把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象”，较少运用逻辑推理思维。
二、数学语言的特点也在于它的精确性
每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，数学中的结论错对分明，不存在似是而非模棱两可的断言，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习。
三、数学阅读要求认真细致
阅读一本小说或故事书时，可以不注意细节，进行跳阅或浏览无趣味的段落，但数学阅读由于数学教科书编写的逻辑严谨性及数学 “言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义。对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义。数学阅读常出现这种情况，认识一段数学材料中每一个字、词或句子，却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法。数学语言形式表述与数学内容之间的这一矛盾决定了数学阅读必须勤思多想。
四、数学阅读过程往往是读写结合过程
一方面，数学阅读要求记忆重要概念、原理、公式，而书写可以加快、加强记忆，数学阅读时，对重要的内容常通过书写或作笔记来加强记忆；另一方面，教材编写为了简约，数学推理的理由常省略，运算证明过程也常简略，阅读时，如果从上一步到下一步跨度较大，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，以便顺利阅读；还有，数学阅读时常要求从课文中概括归纳出一些东西，如解题格式、证明思想、知识结构框图，或举一些反例、变式来加深理解，这些往往要求读者以注脚的形式写在页边上，以便以后复习巩固。
