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高中阶段数学课程的检验方式主要以随堂考试为主，通过分数的高低简要判断学生对课程内容的掌握程度.错题集的操作形式就是在作业中、在考试中产生，通过将学生每一次的错题加以归纳整理，引导学生在对错题的定向研究中寻找自己的知识漏洞，帮助学生学习.依据操作方式的差异，高中数学错题集可以分为以下几类. 1.以时间线索为主导的错题集.主要是针对学生在高中数学学习不同阶段的错题收集.这种类型的操作方式，主要是将学生的错题进行全面整理，但会面临主题不突出、缺乏系统性的弊端.2.以课本章节为主导的错题集.该类型的操作方式，以课程章节为主导，相比较于时间型的方式更具系统性，在分类整理中具有承上启下的作用，帮助学生进行新旧知识之间的无缝对接.3.以错题类型为主导的错题集.这种分类方式主要以错题的原因为线索进行整理.比如说，粗心大意与知识点不理解的分类，帮助学生快捷地弥补知识漏洞.这种收集方式，主要是立足于对时间型与课本章节主导型为基础的操作分析，使用更加方便，一目了然.
二、建立高中数学错题集的意义
建立高中数学错题集，对提高学生的学习效果具有明显的现实意义.
首先，错题集是提高高中数学学习效果的指导方法.通过对错题的整理分析，帮助学生明确自己的思维特性，了解常见的错题形式，对于纠正自己不恰当的思维方式有直接的指导作用.同时，在对错题的分析中，可以提高学生认真审题、了解题目意图、分析推敲等能力.
其次，建立错题集是帮助学生对数学课程查漏补缺的重要形式.在多次的考试后，倘若学生没有对错题进行及时地归纳整理，会随着时间的延长导致学生遗忘犯错，以至于学生出现同一类型的错误多次重犯的状况.建立错题集，能够弥补这一漏洞.在错题的整理中，学生形成对数学课程学习的参考依据，在二次检查中查漏补缺，提高解题能力.
最后，错题集是帮助高中学生寻找数学学习规律的重要参考依据.建立错题集，能够帮助学生了解重点内容，并进行有针对性的课后复习，寻找数学课程的学习规律，在化繁为简的过程中简化解题思路.同时，建立错题集，节约了学生的学习成本，避免了单纯的题海战术所带来的压力.在对错题的集中复习中，提高学生的数学学习能力.
一、小学数学课堂“理答”的内涵和类型
（一）小学数学课堂“理答”的内涵
理答是指教师对学生回答问题后的反应和处理，是教师对学生答问结果及表现给予的明确有效的评价，以引起学生的注意与思考。通俗地说，“理答”是教师对学生言行的理睬。有效的理答能激发学生的学习兴趣，调动学生思维的积极性，营造一种积极探索、求知创造的人文化的课堂氛围。
（二）小学数学课堂“理答”的类型
课堂“理答”根据教师的经验不同，也会出现不同的类型。有效的课堂“理答”主要有以下几种类型：激励型，发展型，诊断型和再组织型。反之，不当的理答类型则有：重复发言型，不置可否型，环顾左右型，简单判断型，语言单调型，讽刺挖苦型和一味表扬型。
二、小学数学新老教师课堂“理答”对比及分析
（一）“理答”类型使用上的对比
在日常课堂中，我们可能见过这样的场景：当一些新教师提出有难度的问题被资优生完美地回答后，新教师会迫不及待地加以肯定，并通过追问的形式将思维引向深入。而对此问题是否全体学生都理解了，尤其是一些思维比较缓慢的学生有没有明白，新教师却没有放在心上。
反之，老教师则更注重使用合理的“理答”类型，让学生有较多的自主发挥的时间和空间，因而学生对新知识的认知度提高，这样才能及时理解教师的“理答”意义。
（二）“理答”类型使用上的分析
很多新老师在学生回答时习惯性地看时间.碰到基础差的学生就有些着急，急着帮他说出答案或者干脆说“谁能帮助他”，其实这等于让该生靠边站。然而，教学本来就是为了教给学生不会的东西.正是因为有不懂的存在，才有上课的意义。当学生的学习遇到困难时，教师更需要耐心启发引导，给他思考的时间，等待他自信地抬头，这是一种尊重，也是一种唤醒。
那么老教师是如何在课堂当中使用合理的“理答”呢？
首先，适时等待，延缓思考速度。由于很多新教师对课堂的把握还不是很充分，所以会出现紧跟时间走，就会出现不置可否型和讽刺挖苦型理答。
其次，改变理答内容，拓展思维广度。如在数学人教版六年级“用数对表示位置”一课时，当学生理解了图上的每一个位置都可以用一个数对表示，因为之前的学习都是围绕纵轴和横轴上的整数展开的，再加上受生活中座位编排的负迁移，学生非常肯定地说：“是的，不是整数就找不到位置了。”老师说：“是呀，如果把我们的座位画成图，那么每个同学的位置只能用一个整数对来表示。不过，如果我将图上的数稍作改动（将横轴上的2去掉，将原来的3改为2，其余各数做相应改动），现在，是不是这组同学就没有位置了呢，或者他们的位置就不能用数对表示了呢？”，学生恍然大悟，原来图上的标记是人为的，可以是整数，也可以是小数或者字母等。通过这样巧妙的理答.既拓展了学生的思维，还渗透了学生未来要学习的内容。
再次，顺势延伸，挖掘思维深度。如数学人教版五年级下册的“轴对称图形”时，当教师出示右图，让学生判断这幅图形是否成轴对称，学生粗看后马上说“是，因为两边完全相同”。老师不露声色地说：“不要过分相信自己的眼睛哦.要知道实践是检验真理的唯一标准。”学生一听此言，马上动手，一会儿一学生说：“我把对应点连起来后，量了量，发现两个点到中问直线的距离不相等.所以不成轴对称。”其他同学附和。老师说：“你讲话有根有据。有条有理.真了不起！但是会不会问题出在图上，把对称轴的位置域错了.如果这样呢？（画成与平行四边形的斜边平行）好像对应点到直线的距离一样呀，现在成轴对称了吧！”学生稍稍迟疑后抢着说：“连线没有跟这条直线垂直.不是的，不成轴对称的。”案例中教师顺应学生的思维，将概念的本质层层展开，使学生对轴对称的性质认识更加清晰。
最后，捕捉亮点，保持课堂温度理答也是增进师生情感、提高课堂和谐度的有效手段。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）32-0141-01
一、引言
作为一门自然学科，数学知识包罗万象，但是，在高中的数学基础学习当中，数学知识更多的是复杂的逻辑关系、数字解答能力以及对几何图形的分析，对学生的抽象思维能力开始提出较高要求。老实说，相比其他科目，高中数学学习更容易让学生产生枯燥感，产生厌学情绪。但如果教学教学方法得当，在数学的学习通过理论基础知识的学习，让学生举一反三的对相同类型题做出解答，引导学生在数学的解答中运用严密的思维和发散性思维，掌握了学习方法，运用数学思维，就会让学生产生兴趣，主动的去学习。本文主要研究高中数学思想方法现状。
二、高中数学思想方法教学的内容
高中数学的思想方法教学在新课改以后，逐渐产生了变化，第一个是教师的责任意识得到了加强，教师在吸取传统教育中的精华，并积极学习新的数学思想方法，在教学中不断实践。高中数学思想方法教学让教师和学生之间的互动交流更加频繁，使教师和学生亦师亦友，教师积极帮助学生创建数学思维，让学生参与到数学的学习中。
在教学中，高中数学思想方法教学，让学生与教师之间多了一层平等的关系，教和学是相对的，在解答问题时，不是被动的学，而是倡导疑问精神，引导学生带着疑问学，带着疑问去听，和教师共同解决数学问题。在教学中引导学生正确的数学思维方式，激发学生的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，让学生自主学习，在实践和讨论中学会数学的思想方法，提高数学成绩。
三、高中数学思想方法教学现状的分析
受应试教育影响，高中数学思想方法教学现状在现阶段，并没有完全的脱离传统的教学模式，“题海战术”依然存在。学生在数学学习中并没有真正掌握学习方法和思想方法，有些学生的思维模式没有被打开，所以数学学习的方法与语文、外语的学习方法一样，死记硬背，相同种类的类型题做很多遍，达到条件反射性记忆，见到做过的类型就套用模式，一旦出现没有做过的类型题，就完全没有了破解能力。教师在教学中，依然让学生记下公式，根据习题类型套用公式，这样的数学思想方法教学，并没有真正意义的实现学生的素质教育。因为现阶段，我国实施素质教育政策，新的教育体制，让教师正在逐步转变教学方法，但是高中数学思想方法教学的培训机构较少，不能让教师有一个固定的教学理念和教学目标，教师的教学思想方法需要在实践中不断的探索，所以教师会对新的数学教学思想方法不习惯。
高中数学思想方法教学应该让教师树立正确的教育意识，在数学教学中培养学生的创造性思维和洞察力，比如：在几何图形学习中，学生看不出平面的图形，就可以让学生使用模型、工具进行理解，让学生树立立体思维模式，学习可以让学生进行美术的拓展学习，让学生更好的对数学几何进行理解。在高中数学教学中，教师不应该像传统教育一样，让学生反复做题，盲目的学习数学，这样的数学学习起不到锻炼思维能力的作用。要想学习好一门课程，首先应该对这门课程产生浓厚的兴趣，教师可以在教学中，让学生们了解学好数学的重要性，数学的知识贯穿于每个人的日常生活中，任何科学的发明创造都少不了严谨的数学思维，教师在教学中可以先让学生喜爱数学，提高学生的学习效率。在课堂上，教师应该在枯燥的数学学习中，找到有趣的知识点，让学生共同讨论，也让学生适当的休息几分钟大脑，保证讲到重点、难点问题时，学生的注意力集中。在高中数学思想方法教学中，应该主要培养学生的思维模式，提高课堂的上课效率和课后的自主学习效率。
四、结语
数学的学习是以理论知识为基础，为学生创建数学的思维能力，让学生在数学中找到自己的学习方法，遇到问题时有自己的思想方法，高中数学思想方法的教学应该让教师积极学习更好的教学模式，增强自己的教学水平，在教学中把数学的学习方法传达给学生，让学生形成自己的数学思维模式，提高学习效率。综上所述，高中数学思想方法教学应该在教学实践中不断的探索与完善。
参考文献：
一、传统的小学数学应用题的教学障碍
受到传统的教育理念以及过去的课程教学理论的影响，多年来，中国的数学应用题的教学方法模式、呈现的方式、课程内容的体系以及价值上的定位，都相对没有出现较大的突破。传统的小学数学在应用题上的教学，一般是对相关条件进行简单化或者纯粹化的实际的问题，或者是对这些实际问题的数学模拟。传统的小学数学在应用题的教学中，往往已经把问题转化成为纯粹的数学框架，然后问题以及条件都经过相关的筛选，所以这些问题的条件结构不存在任何的矛盾性，而且条件也是相当完备的，这样就导致了正确的答案也必然只有唯一的一个。所以，对于小学的数学应用题的传统教学，最大的特点就是和现实生活的脱节，影响了小学生形成综合的能力。实际上，传统的小学数学应用题教学过程之中存在的教学障碍和问题主要有以下的一些状况。
（一）应用题呈现的形式单一化
当前，小学数学的应用题教学在呈现的形式上相对单一化，并且结构较为封闭。虽然在编撰相关的小学数学教材的时候，往往充分地考虑到小学阶段学生的认知水平以及识字的水平，而且相对而言，小学低年级阶段的数学应用题的呈现方式，主要还是以表格或者图画的形式为主，而从小学中年级的阶段开始，很多小学的数学应用题主要都是使用文字形式来进行表达和述说，成片累牍的大段描述，很大程度上打击了小学生对于小学数学应用题的学习热情。而且很多传统过得数学应用题的编写，往往是要求的条件十分充足，并不多余，而且形成的答案也往往是唯一的。小学的数学应用题在结构上相对封闭，追求完备性也就让小学生在解决应用题的时候，容易形成思维上的惯性。
（二）应用题的教学知识与时代脱节，忽视逻辑化
当前的小学数学应用题教学，特别是设置编写数学应用题的时候，往往和时代的现实状况相互脱节，特别是很多小学生都不熟悉，甚至是过去时代的内容都仍然存在小学数学的应用题之中。一部分的数学教师和题目的编写者，在教学和实际编纂题目的过程当中，存在一定的惰性，导致一批题型陈旧的数学应用题题目无限循环使用，导致了小学生在解答数学应用题的时候，要碰到一些根本和时代脱节的内容。
而数学应用题的教学过程之中，忽视逻辑化的教学，导致学生的思维能力容易趋向于单一。数学应用题对于学生的思维能力的培养是非常重要的，过去很多小学的数学教师也在这一个方面积累了非常丰富的经验，但是应该说，学生的思维能力的培养，应该更加注重其专门性的思维能力，如逻辑化的思维能力，或者发散性的思维能力，这些都是过去在小学数学应用题教学时候所忽视的。
（三）应用题的教学过分类型化、封闭化
不同出版社出版的小学数学教材，在应用题板块的教学内容、编排上面，仍然是存在一定的差异的。应该明确的一点，就是数学的应用题的分类只是作为数学教师的参考，特别是作为一种教学上的依据，不过一部分的数学教师在数学应用题的教学过程当中，就往往会把这种模块化、类型化的思维灌输给学生。一部分的数学教师喜欢人为去划定数学应用题的类型模块，每一种板块都会分出几种类型，热衷于让学生去记忆公式，这样学生并不会掌握分析的方法，而只是在套用公式。所以，这样过分类型化，会造成学生知识无法产生有效化的迁移，而对实际问题的解决更加无从谈起。
二、小学数学应用题教学策略
当前，学习小学数学应用题的学生，很多都感觉到数学应用题比较难学，数学教师也感觉应用题教学是一个教学的难点，应用题成为了一个亟需攻破的教学堡垒。新的课程标准颁布之后，中国的小学数学应用的教学改革也必然要走向一些新的尝试阶段之中，并且要以解决问题作为教学的核心，小学应用题的教学将会解决更多的教学障碍，提升学生的综合素质。因此，对于小学数学的应用题教学障碍，笔者提出了下列的解决思路。
（一）对应用题的设计要趋向于开放化
数学教师可以考虑设计一些结构上不够完备的数学问题。比如，数学教师在设计数学应用题的时候，可以考虑设置一些条件不够充足的应用题，让小学生在解答应用题的时候可以自己进行分析，然后捕捉到缺乏的条件，自己进行调查并且解决。这样可以培养小学生搜集并且处理信息的能力。
而设计出一些数据上有一定盈余的应用题也是一种方法。设计出数学条件会有过剩的数学应用题，这就要求小学生在解答应用题的时候，要做到对数学应用题的准确判断，并且进行合理化的取舍，从而培养出学生对于实际问题的解决能力。
或者考虑设计出一些信息较为杂乱的数学应用题，让学生在杂乱的题目条件之中进行梳理，让学生能够进行筛选而且解决，从而让学生能够增强出更多的综合素养，提升综合能力和兴趣。
（二）对基本的解题策略的引导
基本的解题策略要包含以下一些要素：首先，是对学生的收集信息的能力进行引导。学生要更清晰地对这些已知条件以及所需要的条件进行收集，综合起来之后再继续拧解题。其次是对于数量关系的分析能力，这一方面教师要注重不要仅仅将这一项能力作为工具传授给学生，而是能够在教学过程当中，示范性地运用这个方法，让学生能够学习到这种方法，对这个方法心中有数。其次，是对于解题方法的摸索，特别是解题的步骤，对于解答问题能够分成几个部分，形成流程化的思维，这是需要教学上进行持续的培养和训练的一个要点。
学生使用数学方面的知识对实际的问题进行解决的时候，第一个步骤就是要将最为有用并且全面的信息从纷繁复杂的实际问题之中抽丝剥茧出来，抽象并且建构成为数学化的模型，然后再去运用一些数学方法对这个模型求出正确的解答或者是近似的解答，最终回归到现实问题当中去检验。
数学教育要给予每个人在未来生活中最有用的东西。因此,我们在数学教学中不能把目光停留在数学知识的讲解和解题方法的运用上,而应以它们为载体,加强对学生思维能力的训练。现代教学论认为,数学教学是数学思维活动的教学。数学教学培养的是学生的思维习惯和思维品质,是数学思维教育素质化的重要内容。思维培养的成功与否将直接影响数学教学质量的提高,影响着中学数学教育改革的深化与发展。
数学思维是人脑和数学对象(空间形式与数量关系)互相作用并按一定规律产生和发展的。数学思维的种类有很多,从具体形象思维到抽象逻辑思维,从直觉思维到辨证思维,从正向思维到逆向思维,从集中思维到发散思维,从再现性思维到创造性思维,从中体现出了多种多样的思维品质。如思维的深刻性、逻辑性、广阔性、灵活性、创造性、发散性等。我认为,高中数学教学中主要应通过对学生思维品质的培养达到提高思维能力的目的,具体体现在以下几个方面:
一、注重对基础知识、基本概念的教学
高一学生,从初中数学到高中数学将经历一个和很大的跨度,主要表现在知识内容方面的衔接不自然,对高中数学抽象的数学概念、数学形式极不适应。比如第一册第一章的集合与简易逻辑,表面上看似很简单,而实际运用中却不能准确把握那些用集合语言所描述的题目含义。再如第二章函数,这是高中数学中的重点内容,教师会花很大的精力去讲授,学生会都会下很大力气来做题,结果却不如人意。学生做题时主要是在解具体题目时很难与基本概念联系起来。如经常遇到的二次函数问题,有时是求值域,有时是解方程或不等式,学生感到茫然。我把它们统一在一起,强调二次项系数对称轴、判别式等几个因素,帮助学生克服了思维的无序性。这一章内容是思维方法从直观到抽象、从离散到凝聚的过渡,是训练学生思维深刻性和广阔性的重要阶段。
二、加强数学思想方法的渗透
高中数学的四大数学思想和十几种数学方法是教学的关键与灵魂。一是解题的方法。为培养学生的应用意识,提高学生分析问题解决问题的能力,教学中应结合具体问题,教给学生解答的基本方法、步骤。二是数学思想方法。思想方法把不同章节、不同类型的数学问题统一了起来,如数形结合思想培养了思维的形象性、创造性,化归思想提高了学生的灵活性、辨证性等。如换元法是一种常见的变形手段,它不只限于解某一章或某一类的问题。注重对这些思想方法的渗透,可以提高学生归纳总结及联想能力,将数学知识和方法的理解提高到一个新的阶段,这对思维品质的培养十分有益。
三、挖掘数学例题习题的功能
一、初中数学采取学案导学法的必要性
作为新型教学模式，学案导学教学法从上世纪末引用到教学以来，在新课程背景下日益成为教育研究者与基层的教育工作者关注之焦点。将这一教学方法引入初中数学课堂，具有多方面的优势。首先，将数学学案作为引导的合作学习、自主创新方法有助于克服初中数学传统上教学存在的不足，大大促进师生、生生的合作和交流。数学学案和教材担负传授知识、培养学生自学能力、引导思路的作用，在数学学案引导下，学生的动手动脑能力得到提升，进行自学和自练，独立阅读、思考以及解决问题的能力得到提升。其次，新教育之下的新型师生关系也得到建立。学生的探究与教师的指导互相结合，实在是为学生在教师指导之下对学习活动进行自主探究，师生间相辅相成、紧密联系，相互作用。教师的指导是学生自主探究实践的前提，教师以学生自主探究为指导基层，达到了师生相互共同学习的目的。
二、初中数学学案导学的类型
根据分类标准的差异性，学案导学教学法可以分成不同类型，每一类型都各具特色。根据现有的分类方式，和相关的调查访谈，现将学案进行以下三个维度的划分：课程进度、课程类型、以及问题设计。
1.课程进度类。依据课程内容进度的不同，学案可分为新授课、复习课和习题课。其一，新授课是以新知识的学习为主要任务，是学生获取新的知识、进行知识结构改善的过程，也是学生的认知能力、创新能力、思维能力的发展过程。在具体的教学过程中，应当依据学生们的认知规律进行学案的制定，体现注重知识的连续性、进行基础的配套练习等特点。在学案当中学习目标的确定上，要具体、完整、规范。其二，复习课目的在于巩固、加深课本的知识，对已学知识进行梳理、归纳、转化辨析，对知识间的内在联系进行挖掘，达到知识的融会贯通，以提升学生进行实际问题解决的能力。在这一过程当中，教师要选择体现学科的能力点、知识点、学科思维特点的题目作为学案的配套练习，例如经典题目、历年中考试题等。其三，习题课作为学生进行概念巩固、公式演练、提升能力的“主战场”，教师的正确引导至关重要，主要体现为在学生活动过程中，教师在教学情景设置上既要体现教学目标，又要体现知识发展的过程和学生进行事物认识的规律。习题课的学案，在选题上十分关键，教师要根据教学的内容和重点，有针对的精心选题，所选的题型应当具有代表性，其思路方法则具备一般性，联系知识上则具有广泛性。
2.课程类型类。初中数学课程类型一般分为概念课和命题课，不同的类型所使用的学案各不相同。前者的学案侧重于把抽象的概念具体化，以帮助学生在已掌握的概念基础之上进行新概念的同化，从具体到抽象进行概念的理解掌握；后者更为注重对学生的逻辑思维进行培养、训练，将锻炼学生归纳推理的能力作为重点。其一，对于概念课，学案材料一般丰富生动具体、习题的形式多样。教师应当帮助学生克服概念具有的抽象性，从感性的图形、定义当中概况本质特性，让学生对于概念的来龙去脉充分了解，以加深对于概念的理解。例如，“棱长相等的长方体称为正方体”这一概念，教师通过具体的例子，抽象出概念的基本要素——角、边及其相互间存在的数量关系与空间关系，让学生真正掌握概念本质含义，并运用到实际的问题解决当中来。其二，对于命题课，在学案编制上重视对于学生思维能力的培养，强调通过课前预习与前测学习，帮助学生对所学的知识和已有知识进行关系确定，从而找到数学命题本身的生长点，引导学生去发现定理生成的过程，为学生加深理解、认识创造条件。例如，在等式性质课程当中，学案首先阐述学习数学命题——等式性质的必要性，给予已有的概念帮助学生建立起新旧知识间的联系，尔后再引入具体的课程知识。
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）04-205-01
在本文中主要是针对数学教学中一些普遍的问题进行变式教学，通过变式教学的效果与传统教学效果进行比较，在其中发现变式教学的优越性。教师应该对所要进行的课题进行精心的设计和变式，一步步的引导学生在一系列的变化中发现问题本质的不变性，在本质不变的前提下探索变化的事物规律，从而不仅牢固的掌握到所学的知识还能不断提升自身的数学思维能力。
一、高中数学课堂变式教学的必然性
1、新课堂教育改革的需要
随着国家对教育界中提出新课堂教学改革，在高中教育中不断的进行了翻天覆地的变化。国家的教育水平是国家今后在国际中发展的基础关系这国家的未来。我国学生在进行基础教育的阶段基本上大多数时间都是在课堂中度过的，因此课堂教学对学生的成长发展具有很大的影响，在新课标的课堂教学中进行变式教学突破传统教学显得尤为重要。
2、当今社会对人才培养的需要
现代化社会对于人才的需要非常迫切，但是由于社会在不断发展，要求适应现代化社会的人才类型也越来越复杂化，学生在进行基础教育的过程就是为今后成才奠定基础。学生不仅要注重知识的积累更重要的是要注重自身全面发展，培养学生各方面全面发展就必须在课堂教学中转变教学观念，进行变式教学，不断提高学生创新思维的培养，培养出适应现代化社会发展需要的人才。
二、变式教学案例解析
1、“同角三角函数基本关系式”的案例
在这个案例中首先是明确教学的目标，教学目标是要通过学生猜想出两个计算的公式再运用数形结合的数学思想让学生了解到原始公式的得来过程，在推导公式的过程中理解同角三角函数的基本关系式。进行这类教学目标的大致过程基本为“培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式”。让学生在大致掌握到基本的公式和解题思路后通过一系列的练习训练和变式练习来提高学生的思维能力和解题能力。
在进行变式教学中首先教师要针对同角三角函数相关问题进行提问如：任意一个角α的三角函数数值的定义是什么等，通过此类问题的提出教师再组织学生成立一个讨论小组，并适当的对这些小组进行逐步的引导，逐渐得出证明同角三角函数的两种关系式。在讲解同一题目时教师能够通过这题的深刻讲解让学生首先掌握到相关的知识点，再针对同一问题不断的进行相应的变式，通过变式不断转换问题，让学生在转换的问题中不断运用所学到的相关知识进行解答，在解答过程中逐渐了解到问题的本质是没有变的，变的知识问题的形式，掌握到了相关知识点无论问题怎么转变都能够通过相关的知识去解答。
2、“已知解析式求函数定义域”的案例
在此案例中数学教师主要是通过教授学生掌握好函数定义域的球阀，主要是分式函数、根式函数并且理解函数定义域的集中常见的类型。在教学过程中教师通常会发现学生对于这类问题中往往会出现计算错误，集中函数类型的定义域定义理解不清楚等方面的问题。教师在针对此类问题中，对于这个知识点的学习首先引出相关的问题，在相关问题提出后再结合实际的例题对学生进行详细的讲解，首先要学生明确什么是函数的定义域这一概念“使得函数解析式有意义的所有实数x的集合，是函数的定义域”。掌握到函数定义域概念后能让学生在学习过程中不至于将知识点弄混。
教师在针对函数定义域解析的问题中首先讲解一道涉及面较广的函数定义域解析例题，在通过对学生的详细讲解后让学生初步对定义域的求解过程和不同类型定义域求解方式都有一定的掌握再通过同一道题进行相应的变式分析，让学生在变式过程中通过不断的练习慢慢理解不同类型的函数定义域应该采用何种解题手法去解决。这种变式的教学方式不仅能够节省教师的精力和时间，还能让学生在有限的教学课堂中增加练习的力度，在充分的练习中巩固当节课所学到的知识，提高教师的教学质量和学生的学习效率。
总结：高中数学在传统的教学模式中无法有效的提高学生的数学思维能力，对于这种模式中培养出来的学生不能完全适应现代化社会对于人才类型的需求，为了响应新课标的要求和现代化社会对于人才的需求在基础教育过程中教师要不断的改善教学方式，符合现代化教育理念的发展，在高中数学课堂教学中实施变式教学，通过变式教学的优势逐渐培养学生的数学思维和各方面能力的培养，完善我国基础教育的教学体制。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）20-0236-01
数学学科是一门典型的工具型学科，对培养学生的推理能力与思维能力均有着十分重要的意义，在初中数学教学过程中，转化思维模式是一种需要学生重点掌握的思维能力，让学生理解与应用转化思维，可以帮助学生更好的理解所学的知识。
1.初中数学的“转化思想”分析
1.1语言转化
语言转化即使用语言表达方式进行转化的一种形式，如将日常语言转化为所学的数学语言，将数学题目中应用等量关系转化为方程，将数学学科中的基本规律转化为文字语言，将几个中的符号语言、图形语言转化为文字语言。
1.2类比转化
类比转化即将对象转化为与其相类似的对象，例如，在分式中的加减乘除与通分、约分等内容就可以将其转化为分数的加减乘除与通分、约分的概念；整体因式分式的概念就可以将其转化为无理式因式分解的有关概念；一元一次不等式的概念以及解题方法就可以将其转化为一元一次方程的概念与解题方法；有理数的有关概念可以转化为算术数的有关概念，在进行解题时只需要注意绝对值即可。
1.3分解转化
分解转化即将综合性的分体分解为若干的小问题，一般情况下，在解决综合性问题时都需要采取这样的解题方法，例如，在解决分式运算的相关问题时，就可以将其转化为因式的分解，在解决平面几何问题时就可以将复杂的图形分解成为不同的基本图形。
1.4等价转化
等价转化是一种将未知事物转化为另外一种事物的转化方法，例如，将除法转化为乘法，将减法转化为加法；将多元方程转化成一元方程，将无理方程和分式方程转化成整式方程；将点与点间的距离转化为三角问题。
1.5数形转化
数形转化即在数字和图形间建立关系，并将其进行互相转化的一种解脱方式，例如，根据题意构造出函数，根据图形构造出方程，根据等式构造出图形，根据函数图像来分析其性质。
1.6间接转化
间接转化即通过间接的方法来解决问题的一种方式，例如，在解决应有题时，设置间接未知数，利用换元法来解题，在平面几何中采取逆推与添加辅助线的方式等等。
2.“转化思想”在初中数学解题中的应用
2.1已知同未知之间的转化
在数学解题之中，已知量和位置量，常量和变量并不是完全绝对的，而是具备着相对性的特征，在解决某些问题时，将字母看作已知变量，将数字看作未知变量可以达到一个意想不到的成效。
例1：
如果x= ，求x5+2x4-5x3-x2+6x-5的值。
在解题这一类型的题目时，就可以将“转化思想”应用在其中，将5作为未知量，将x作为已知量进行分析，那么在此时，根据x= 可以得出5=（x+1）2，那么x5+2x4-5x3-x2+6x-5就能够转化为x5+2x4-（x+1）2x3+[（x+1）2+1]x（x+1）2=x5+2x4-x5-2x4-x3-x2+x3+2x2+2x-x2-2x-1=-1.
2.2特殊和一般之间的转化
在解决有着任意条件的问题时，将特殊转化为一般，就能够快速准确的得出正确的答案。
例2：
已知（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18m=0，代数任何实数m均可以得到共同实数解，求该方程的实数解。
在解决这一类型的题目时，考虑到m是任意实数，那么就可以将m取0和-1，0与-1代入（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18m=0就可以得到两个方程，即x4-3x3=0与2x2-18=0，此时，可以求解出x=3
该种题目是初中数学中常见的一种类型，解题的难度也相对偏高，很多学生都存有困惑，在实际的教学过程中，教师应该强化此类型题目的训练，帮助学生掌握该种类型题目的解题方法。
2.3相等与不等之间的转化
例3，已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，求a、b、c的值。
在解决这类型题目时，根据a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c移动之后就可以得到以下的等式：
，由于 ，综合起来，就可以得出 ，这就可以解得 ，
c-4=0，那么a的值为3，b为6，c为4.
2.4多元与一元的转化
在解决某类型的题目时，可以适当选定好主元，避开其他的干扰因素，该种解题方法在多元高次多项式、代数式的求解中较为常用。
例4，分解因式x4+x2+2ax+1-a2.
在解决此类型的问题时，如果直接将x作为主元来分解因式，不仅难度较大，也会浪费大量的时间，此时，就可以转换解题思想，将a作为主元进行分解，x4+x2+2ax+1-a2经过整理与分解之后，可以得到如下的因式：
a2+2ax+（x4+x2+1）=-[（a2-2ax+x2）-（x4+2x2+1）]=-[（a-x）2-（x2+1）2]=-（a-x+x2+1）（a-x-x2-1）=（x2+x-a+1）（x2-x+a+1）。
在解决此类问题时，有着众多的方法，具体的解题方法要根据题目的条件与含义来定，选择其中最为快速、简单的解题方式。
3.初中数学中“转化思想”应用的注意事项
3.1注意转化的条件
在应用“转化思想”时，要注意到该种解题方式是具备条件的限制的，如果忽略了某些基本的条件那么解题就会出现问题，在教学的过程中，教师必须要熟知教材内容，明确各个知识点之间的转化条件，让学生明确转化思想应用的条件以及创造的方式。
3.2注意进行强化训练
在具体的教学过程中，教师应该根据教学目标的要求与教学内容的差异循序渐进的将转化思想渗透到教学过程中，同时，还需要采取科学有效的方式将方法与学习进行有机的结合，帮助学生理解转化思想的益处，在解决问题时，要帮助学生将不同的知识点进行有机的结合。此外，在日常教学中，应该加强对学生的训练与指导，遵循先易后难的训练原则，帮助学生养成良好的思维定势，如果学生顺利的完成解题过程，则适时的进行表演，让学生体会到解题的喜悦，自觉的将转化的思想应用到解题过程之中。
3.3利用转化思维来联系知识与知识之间的结构
指导学生使用转化思想就能够帮助学生通过少量的基础性问题与知识点来解决一类型的问题，从这一层面而言，转化思维能够将学生所学的知识串联起来，考虑到这一问题，教师在进行教学的过程中要重视基础性问题与知识的传授，让学生可以实现稳扎稳打。
每个人在数学学习中都存在着许多认知错误，这些错误不仅影响了学生的学习效果，阻碍其进步，也逐渐摧毁着学生们学习数学的信心。随着对数学认知错误研究的深入，越来越多的人已经意识到需要把错误看成一种有效的教学资源。为了全方面地了解学生的认知错误，明确学生通常会在哪些问题上出现何种类型的错误，本文将对数学认知错误的研究从内容、方法、结果方面进行整理。
一、研究现状
自从1925年美国学者Buswell和Judd对学生算术错误进行诊断后，德国、苏联等国家也开展了关于学生算术错误的研究，自此开始，国际上关于数学错误的研究经历了从诊断错误分析原因到发现错误合理性并研究其教育功能两个阶段的发展。而国内关于数学错误的研究最早则出现在上个世纪八十年代，经过三十几年的发展，已经形成了自身的一些特点。综合国内外的研究来看，虽然发展并不同步，但各自的关注点也不乏相同之处。
1.研究内容
学生在数学学习过程中的错误随处可见，研究者的关注点不同，研究的内容自然也是多样的。
首先受到大家关注的是学生在解题过程中出现的错误，学生的错误往往最先从做题中体现出来，自然也就吸引了许多人对其进行研究，从学生解题过程分析了学生的错误。
受到教育心理学发展的影响，学生的学习心理受到了广大研究者的关注，很多人研究了学生在学习过程中的心理性错误，对概念学习的错误进行分析，或研究学生在函数、几何、概率等知识内容学习中的认知错误。
由此可见，关于数学认知错误的研究已经涉及各类知识及各种知识点，研究的角度是多样化的，致使内容也随之丰富起来。
2.研究方法
目前，观察法、文献分析法、问卷调查法是主要研究方法。很多人通过文献分析、课堂观察等方法来初探错误的类型，再通过问卷法来分析其原因。
另有一线教师通过对自身的教学经验进行总结，分析学生的错误类型，产生错误的原因，并提出一些教学对策，发表成文与大家分享。
相比国内的研究，国外研究更倾向于访谈法，Philip通过问卷和访谈的方法深入研究了巴布亚新几内亚学生的错误类型。在对学生错误的原因分析过程中，访谈法更能够深入了解学生的情况。
3.研究结果
学习过程的主体是有着强烈差异的学生，受各方面因素的影响，学生产生的错误也是千差万别的，从心理角度出发，通过对学生在学习不同类型知识的过程中所表现出来的错误进行研究可以发现，这些看似杂乱的错误也是有其心理规律可循的。
（1）概念学习的错误类型
数学概念的学习是数学知识学习的基础，但是由于日常生活概念的干扰、学生认知现状与概念发展之间的差异、片面的认知结构，缺乏对概念意向的必要整合、不同的个体倾向等原因，致使数学概念的教学中容易出现种种错误，这些错误有顽固性、表象性、隐蔽性等特点，因此也引起了大家的关注。数学概念学习的错误可以被分为两类：过程性错误与“合理性”错误。前者包括用日常生活概念、概念原型、“形象描述”等代替数学概念，分类与比较不合理，概括与抽象不完善，概念定义与概念相脱离，概念运用僵化，建立不恰当的联系，对联系作不正确的推广或依据个人经验强行进行不正确的联系等错误。“合理性”错误包括用原来的思维审视新的概念，按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，不自觉地对思维进行限制等错误。也有学者将其分为：语言文字信息类数学错误概念、图形信息类数学错误概念、数学符号类错误概念、综合类错误概念。
（2）不同知识点学习的错误类型
对不同知识点的数学认知错误的心理分析，学者们也做了许多有益的工作。从中我们了解到，函数学习的错误可以受知识本身、学生思维和心理特点的共同影响。函数概念自身的复杂性和辩证性，函数表示方法的多样性以及其符号的抽象性，都可能会造成学生语言转换、策略选择等方面的错误。从学生本身的思维水平来看，初中生的思维水平处在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分隔地、抽象地认识所学的事物，对函数这种辩证、发展、变化的概念理解需要冲破形式逻辑思维的局限，自然会不断出错。在几何知识的学习过程中，原有知识基础的缺陷、思维缺少严密性、加工技巧的错误等都会导致认知错误。在概率知识的学习中，中小学生阶段的统计与概率问题一般都与日常生活有一定联系，因此，学生的实际生活经验往往会影响到一些统计与概率概念的理解，从而形成一些直觉性的常见误解，如：赌徒谬论、基本利率谬论、小数定律、关联谬论等，除了这些误解以外，其他一些概念如：代表性、实用性、等可能性也会给学生的理解造成困难，语言能力弱、对图表的理解也是导致错误的主要因素。
（3）解题的错误类型
从解题结果的角度，可以把解题错误分为知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误。Newman针对代数部分的内容，从解题过程角度提出错误的层级（Hierarchy），将其分为五个水平：阅读（Reading）、理解（Comprehension）、转换（Transformation）、加工技能（Process Skill）、编码（Encoding）。理解错误指的是没有掌握问题中所有信息的意义。操作技能的错误指的是与算法有关的错误。编码错误指的是书写错误，如：笔误等。我国学者在此基础上对几何知识进行研究，得出影响认知错误的因素：引起理解、技能选择错误的主要因素是过强的动机、不正确的观念；导致转换、加工技能错误的主要因素是知识基础和认知图式的缺陷；策略选择错误是由以上两个因素共同引起的，因而成为问题解决最大的影响因素。根据波利亚在《怎样解题》中将数学问题的解决所划分的四个阶段，可以将造成解题错误的原因归结为四大类：曲解题意的错误；拟定方案的错误；执行方案的错误；回顾与反思的错误。波利亚在《怎样解题》中将数学题分为求解题和证明题进行比较，之后经过学者研究和分析，发现求解题中学生的错误出现的原因主要有：运算能力差，引起计算失误；审题不清，忽视隐含条件；概念、原理、性质模糊不清；分类讨论不严密造成失误；策略不当引起错误；应用能力差，不能正确建模。证明题中错误的原因有：推理不严密，逻辑思维薄弱引起错误；证明过程犯循环论证的错误；论据本身错误，导致论证无效；推理形式有误，导致证明错误。
二、对未来研究的思考
对于数学认知错误的研究，有许多学者做了大量有益的工
作，但其中也有不足之处，需要我们继续研究。
研究内容方面可以将范围缩小并关注隐性知识学习的错误研究。目前的研究内容可谓丰富多彩，函数、几何、概率统计等都已经有所研究，但大多数的研究内容存在两个问题：首先，研究的内容包括的知识点过多，导致研究面积过大而不能深入；另外，受传统知识观念影响，只对知识技能的掌握进行研究，忽略学生知识当中的隐性知识对其表现的影响。数学教育的目标要包括知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四方面的内容，单从数学内容方面研究显然不足。因此减少研究内容所涉及的知识内容，将思想、方法、经验、情感等隐性知识纳入研究内容中是很有必要的。
在研究方法的选择上，多数文章采取问卷、访谈、文献分析等多种方法结合的方式，使得研究方法更具科学性，但在结果的分析过程中只单纯地通过问卷调查的结果进行分类，其中难免掺杂个人经验，甚至完全依据经验，这样做并不能保证分类的合理性。采用一种科学合理的分类方式将错误进行分类会使结论更具一般意义与说服力。
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在学习数学课程时，有效地利用习题，对学生在课堂上独立地、积极地进行认识活动是很有助益的。这些习题是使学生掌握系统的数学基础知识、技能和技巧的最重要的手段，又是学习数学过程中教学活动的重要形式，还是发展学生数学能力的手段。
一、习题在数学教育中的地位和作用
现在，在数学教学实践或对具体方法的研究中，谈及习题在中学数学教学中的作用和地位时，通常指的只是教学生解题这一方面。一种批评性的分析（这种分析过去和现在对于在数学教学中如何运用习题的教学法研究，一直有着一定的意义）表明：迄今为止，解一定类型的数学习题时，或者仅突出数学教学的局部目的，或者只作为让学生自觉消化教学大纲所列内容的一种手段。仅仅在个别情况下（基本上是课外小组或专题讲座上，或在全班性或全校性的一些加深内容的数学学习上），习题才明显地作为一种发展学生的数学水平、培养他们的求知兴趣和自觉性，并发展学生数学能力的手段，同时还是培养他们的辩证唯物主义世界观和个人道德品质的手段。
因此，数学习题在传统的教育体制中，在大量数学教学实践中，它对发展学生的数学水平所具有的作用和地位是第二位的，辅的。它的辅地位尤其可以明显地从长期地把利用习题过程作为测验和评价知识的一种手段中看出；传统教学又把习题作为测验和评价实际数学知识、技能和技巧的主要手段，而几乎不用来测验其他方面的数学发展水平和思想教育的因素。
二、当前中学数学习题系统的主要弊端
这个问题的完善解决要求有一整套安排有方的中学数学习题系统，因为现在中学数学教科书和辅助材料上给的习题系统不能很好地适应现代教学、教育和发展目标，而在教学中利用习题的方法，也不能全部反映学生解题的各种可能性。数学教学过程中如何配置习题这个问题，至今没有得到完满的解决。不论是习题内容，还是习题的目的，或者是为了实现某一教学目的而安排的必作题或选作题的数量，或者（仅就形式而言）习题总的系统安排，都解决得不理想。
1、追究习题内容及解法的公式化
这反映在以下各个方面：教师狭隘地理解数学习题在教学过程中的作用和教学意义；总是让学生尽可能多地作题而影响教学质量；过分地注重解题的步骤和格式，却忽视解题过程；大量习题仍侧重于培养当前实际上几乎用不到的，或即将被自动化手段所代替的一些技能技巧；以传统的作法安排习题、叙述习题的条件以及写出他们的解答，等等。
2、解题的讲授方法及通过习题讲授数学的方法不完善
其表现如下：更多是用示范的方法教学生解题，而缺少教师有的放矢的工作，以培养学生对解题过程进行评价并检验结果的能力；把解题的通用方法看作是不可改变的偶象；利用习题的主要目的只是为了巩固和复习学过的内容；不论是测验或独立作业都带有狭隘的检查性目的；对中学数学课的每道题的教学意义缺乏明确的标准，而且向学生提供的习题的数量不足以保证达到教学目的，如此等等。
3、配置及解答习题不符合数学思维的合乎规律的发展
这反映在：中学数学课缺乏。些题目，借以培养学生准备好参加以现代化生产（合理化与控制、管理、发明等）为特点的实践活动，即一些具有创造性特点的活动；中学数学课还缺少这样一些习题，它们的解题过程有可能培养中学生的重要思维技巧：如抓住实质、概括、分析、模拟、进行思维实验，等等；运用习题仅仅是为了测验学生的实际知识，而不是为了提高他们的数学发展水平；中学数学习题的类型太单一化；如此等等。
三、数学教学中习题的合理设计
1、习题的重点放在培养学生应用知识的能力
根据先进教师的工作经验，数学教学法（其他任何课程也同样）的革新首先表现在基本侧重点不是放在让学生死记教材上，而是放在深刻理解、自觉和主动积极地掌握教材上，放在培养学生在学习实践中独立地和创造性地应用这些知识上。
我们来分析下面这道题：如果xyz+xy十yz十xz+x十y十z =1975，试求出自然数x、y、z。此题的解可通过对1976这个数进行因数分解得到（并同时把等式左边增加1）：（xyz+1）（xyz+1）（xyz+1）=23×13×19。利用x、y、z都是自然数这一条件，不难找出各个解。解这道题不需要学生掌握数学大纲内容以外的知识；同时此题针对的是深刻理解已学的内容和创造性地运用已学知识的能力。
2、习题的目标取向培养学生创造性的数学思维
解决问题在小学教学中占有重要地位，它是培养学生运用数学知识解决实际问题能力的重要途径，也是提高学生逻辑思维能力的重要手段。因此“解决问题”始终是小学数学教学中的重点问题。但与此同时由于解决问题教学涉及的知识面广，分析推理过程较复杂，学生学习起来比较困难，因此它又是教学的难点问题。
一、解决问题“难”的主要原因分析
解决问题中往往涉及一些与生活实践相联系的应用问题。解决这类问题时，首先需要把生活问题数学化，寻找问题中包含的数学关系，并用严谨的数学语言进行表达，再用数学方法求得结果，最后还要还原到最初的生活问题之中。在这个过程中，既需要有从实际问题中提取数学内容的抽象能力，也需要具有能够用数学语言表达实际问题的语言能力，而这两点对于小学生而言，都是正处于发展初期的薄弱点，因此“解决问题是小学生学习的难点问题”在小学是一个客观存在。
例如，数学语言具有抽象性，这决定了学生必须能对解决问题中抽象的数学术语和符号进行形象感知，在这个过程中，需要对它们之间的逻辑关系进行分析，形成自我建构，这导致数学解题思考强度大。 以下面的集合图来说明：
上图表示的是“非0自然数按约数的个数可分为质数、合数和 1 三类”这一概念，学生如果不认识这种特殊表现形式而去观察、比较质数和合数哪一类所占面积更大；或把集合图割裂开，孤立地认为质数在左面，合数在右面；或是干脆当成一幅图片来记忆，就会在理解上偏离语义的本质。
又比如，一个本1元钱，小明买了5个本花了多少元钱？
这道题对很多学生来说很简单，可以直观求解，但是，若让他们根据“单价×数量=总价”来计算出5元，这对他们而言反而具有相当的难度。
原因就在于小学生正处于具体运算阶段。这一阶段的学生思维正处于具体、形象思维为主并逐渐向抽象逻辑思维的过渡期。他们的理解能力有限，从实际问题中抽象出数学关系有一定难度。
在这种现实存在下，如何采取一种小学生可以理解的方法突破难点呢？
考虑到小学生重直观的特点，本文从直观图示的方法入手试图建立以图示为主的数学模型，以帮助小学生突破难点、走出困境。
二、线段图建模类型研究
通过研究小学数学中出现的线段图的各种可能情形和分析小学数学中各种解决问题的题目，发现解决问题的相关题目基本上可以划归为与交集有关的线段图、与并集有关的线段图和复合型线段图三种类型，这样就可以将三类线段图作为解决问题的数学模型，借助线段图的直观性，发现问题中的数量关系，减少思维难度，促使问题得到迅速解决。
（一）线段图的分类及其特征分析
如果将线段图看作是一个集合，那么数学问题中的各种数量关系就反映为集合之间的关系，综合考虑小学数学中的应用问题，可以发现其中主要涉及的数量关系可以通过交集型线段图、并集型线段图和复合型线段图表现出来。
1.交集型线段图
交集型线段图的主要特征为数量关系之间有重叠部分，如下图所示：
图中集合间关系：B∪C-A=U，B∩C=A
本类型线段图适合解决重叠类问题，如：一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？
这个问题的特点是要求重叠部分：这个班两队都参加的有几个人？全班人数42人就是整体，看作全集U，参加体育代表队的30人和参加文艺代表队的25人是部分，分别看作集合B和C，则A就是所求，它们之间的关系图示为：
这个图示与原来教学中习惯采用的文氏图表示方法本质相同（如下图）。
2.并集型线段图
并集型线段图的主要特征为数量关系之间没有重叠部分，并且几个部分合并之后恰好就是整体。如下图所示：
图中集合间关系：A∪B=U， A∩B=￠或A∪U=U，A∩U=A
这一类型的线段图适合解决整体和部分之间关系互求类型的问题，如已知整体求其中的某一部分，或者已知各部分，求总共有多少等等。
如：在暑假中，王晓伟抄写了85个成语，还差56个才完成老师的要求，老师要求抄写多少个成语？
这个问题中老师要求抄的成语数就是整体，它与已知之间的数量关系可以用线段图表示为：
图中数量关系清晰明确，显然便于问题的解决。
3.复合型线段图
复合型线段图的主要特征为综合包含了交集型与并集型线段图的特征，数量关系表现的较为复杂，需要通过多层次体现。
如下图所示：
图中集合间关系：E∪B=A，E∪D=C，A∪E∪C=U，A∩C∩E=E
这种图示下的问题，一般涉及两步以上的应用题，需要分步摸清数量关系后解决问题。
如：小涛有56本书，小玉借走■，剩下的书小红借走■，再剩下的书小明借走■，现在小涛还剩多少本书？
题目中56本书是全集，三个人分别从不同总数中借走其中的一部分，是造成问题解答困难的关键，现在把它们之间的关系用线段图表示如下：
显然要想求最后剩余的，就必须分步求出每次剩余书的本数。
（二）线段图模型应用举例分析――以“并集型线段图”为例
并集型线段图主要反映部分与整体的数量关系，并且部分与部分之间没有重叠关系。如下举例说明。
例1 一列火车4小时行驶了480千米，平均每小时行驶多少千米？
分析：题目中的总数为480千米，按照题意需要平均分为4份，这四份不能有重叠部分，因此本题可以利用“并集型线段图”。作图如下：
从图中可以看出把总数480千米，平均分成4份，每份就是1小时行驶的路程，用除法计算出480÷4=120（千米）即可。
例2 两个数相除商5余11，已知被除数、除数、商与余数的和是237，问被除数是多少？
分析：根据被除数÷除数=5……11可知，商是5，余数是11。要求的被除数=除数×5+11，也就是说被除数比除数的5倍多11，这就是说，除数的5倍以及多出来的11都是被除数中的一部分，并且没有重叠，因此本题仍然可用“并集型线段图”表示为：
由已知条件首先可以算出被除数与除数的和是237-5-11=221，再从图中可以看出除数是一倍数。被除数如果减去11，就正好是除数的5倍，也就是221-11对应的是5+1=6倍，1倍就是（221-11）÷（5+1）=35，即除数。
例3 修路队修一条路，第一天修了全程的■，第二天修了360米，完成全部修路任务。修路队第一天修了多少米？
分析：修路队第一天修全程的■和第二天修360米构成全部修路任务，并且两者没有重叠部分，因此本题仍然可用“并集型线段图”表示为：
从图中可以看出360米相当于总任务的■，则总任务是360÷■=900（米）。进而可知，第一天修了900-360=540（米）。
如上三题告诉我们，“并集型线段图”可以作为一个数学模型，不仅可以解决行程问题，还可以解决工作量等问题，如果把握它的本质特征，那么它就可以运用到更广的范围之中。
三、建立线段图模型的意义
（一）运用线段图可以使已知条件直观呈现
线段图能比较形象直观地揭示应用题中的条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形，明确显示已知与未知的内在联系，使隐蔽的数量关系变得明朗化，容易发现隐含的条件，激活学生的解题思路，是分析和解决“解决问题”的有效途径。
例如：小刚和妹妹二人同时从家去学校，小刚每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。小刚到学校门口时发现忘记带作业，立即由原路回家去取，行至离学校180 米处和妹妹相遇。他们家离学校多远？
运用画线段图的方法可以发现本题隐含的条件有三个（如图示）：
第一个是小刚和妹妹两人一共走了两个全程，即：
第二个是小刚共比妹妹多行了两个 180 米，即：
第三个是同样多的时间内小刚比妹妹多走了两个180米。
（二）运用线段图可以使等量关系显性呈现
利用线段图将问题中蕴含的抽象的数量关系以形象直观的方式表达出来，能够使已知条件和所求问题联系起来，便于揭示它们之间的等量关系，通过形象直观的等量关系，便于列出符合题意的算式，有效促进问题的解决。
（三）线段图可以开阔学生思维，帮助学生一题多解
工地有一堆黄沙，用去了总数的■后，又运来480吨，这时的黄沙相当于原来的80%，原来有黄沙多少吨？
分析： 解答此题的关键是求出480吨相当于原来黄沙的几（百）分之几？
根据题意画线段图如下：（为了叙述方便，图上的端点和分点分别用A、B、C、D表示）
该图中，线段AB表示原有黄沙，BC表示用了的黄沙，CD表示运来的黄沙。
解法1：
从线段图的左边看，CD=AD-AC，由此可以得到： 480吨相当于原有黄沙的80%-（1-■）
所以可以列式为： 480÷[80%-（1-■）]=1200（吨）
解法2：
从线段图的中间看，CD=AB-AC-BD，由此可以得到： 480吨相当于原有黄沙的[1-（1-■） -（1-80%）]，所以可列式为： 480÷[1- （1-■ ） -（1-80%）]=1200（吨）
解法3：
从线段图的右边看，CD=BC-BD，由此可以得到： 480吨相当于原有黄沙的[■-（1-80%）]，所以可以列式480÷[■-（1-80%）]= 1200（吨）
解法4：
从线段图的两边看，CD=AD+BC-AB，由此可以得到： 480吨相当于原有黄沙的（80%+■-1），所以可以列式为： 480÷（80%+■-1） =1200（吨）
答： 原来有黄沙1200吨。
一题多解可以培养学生思维的深刻性、灵活性，有助于开拓学生的视野，克服墨守陈规的弊端，使学生敢于标新立异，从而有助于学生学会创新。
显然，归类运用线段图就是指将三类不同的线段图作为三种数学模型，在解决问题中，不必考虑问题的具体情境及范畴，只需关注问题中所反映的数量间的本质关系，这样可以将学生从植树问题、年龄问题、差倍问题、行程问题等诸多具体情境问题中解放出来，透过现象看本质，既反映了数学的模式化特征，又教会学生解决问题时综合思考的思想方法。
四、结论
借助线段图解题，可以化抽象的语言到具体、形象、直观的图形；可以化难为易，促使判断准确；可以化繁为简，发展学生思维；可以化知识为能力。使用线段图便于抽象建模，反映数学的模式化特征。实践证明，线段图具有直观性、形象性和实用性，如果学生从小掌握了用线段图辅助解题的方法，分析问题和解决问题的能力将会大大的提高。
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