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【中图分类号】O13
引 言
高等数学是所有数学分支的基础，可以当作整个数学的树干.但是，大部分学生觉得此课程枯燥，难以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等数学中函数可积与存在原函数这两个概念进行探讨，希望给学生有益的启示.
一、函数可积与原函数存在没有必然的联系
本节首先给出与函数可积及原函数存在这两个概念相关的三个定理.
定理1 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，则y=f（x）在区间[a，b]上可积；
（Ⅱ）若有界函数y=f（x）在区间[a，b]上仅有有限个间断点，则y=f（x）在[a，b]
上可积；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调，则y=f（x）在区间[a，b]上可积.
定理2 若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，则y=f（x）在区间[a，b]上原函数存在.
定理3 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上含有第一类间断点，则y=f（x）在区间[a，b]上
不存在原函数；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上有无穷间断点，则y=f（x）在[a，b]
上不存在原函数.
二、通过反例揭示函数可积与存在原函数两者互不蕴含
本节将通过反例揭示函数可积与存在原函数这两个概念互不蕴含.
1.可积不一定存在原函数
2.存在原函数不一定可积
三、小 结
本文通过比较函数可积与存在原函数这两个概念，给出两个经典反例，揭示了二者互不蕴含的关系.希望通过本文的探讨，给学生有益的启示，提升学习高等数学的兴趣.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
一、高等数学函数一致性连续性的基本概念
高等数学中的一致连续性是从函数连续的基本概念中派生出来的新释义，它是指：存在一个微小变化的界限区间，如果函数定义域以内的任意两点间的距离永远不超过这个界限范围，则这两点相对应的函数值之差就能够达到任意小、无限小，这就是所谓的函数一致连续性概念。一直以来，高等数学函数一致连续的概念都是教学过程中的重点，也是难点之一，在多年的高等数学教学实践过程中，笔者深刻感受到学生在学习和掌握函数一致连续概念时的疑惑和困难。甚至有不少学生会有这样的疑问：函数连续和一致连续的本质区别究竟体现在哪里？
带着上述问题，我们对函数一致连续性进行研究和分析。函数的一致连续性是函数的一个重要的特征和性质，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”现象，并对其连续性进行归纳总结。函数一致连续性，要求函数在区间上的每一点都保持着连续的特点，不允许出现“突变”现象，同时还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上呈现均匀变化的趋势。换句话说，函数一致连续性的定义为：对于任给定的正数ε，要求存在一个与自变量x无关的正数δ，使对自变量在定义域区间内的任意2个值x'和x"，只要二者的距离x'-x"＜δ，那么函数所对应的函数值f（x'）-f（x"）＜ε。显然，函数一致连续性的条件要比函数连续的条件强。在目前采用的高等数学的教材中，只是给出一致连续的基本定义，以及利用该定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，进而呈现出了函数一致连续的完美逻辑结果。这种教学理念是很好的，但是，从实践教学效果上看，又很不利于学生对定义的理解，尤其不利于学生对定义中提到的“δ”的理解，因此笔者建议教学工作者将函数一致连续性概念中所隐含的知识逐步解释清楚，以此来帮助广大学生更快更好地充分理解一致连续的概念和意义。高等数学函数连续性的基本定义为：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，则称函数f（x）在区间I上连续。该定义说明了函数f（x）在区间I上连续的基本特征。函数一致连续的基本概念是：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。要特别注意的是，连续概念中δ与一致连续概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定义，才能避免混淆概念。为了帮助大家更好地理解函数一致连续性概念，现将函数函数不一致连续的概念进行一下描述：存在某个ε0，无论δ 是怎么样小的正数，在I上总有两点x' 和x"，虽然满足x'-x" ＜0，却有f（x'）-f（x"）＞ε。这就是函数不一致连续的概念，理解和学习函数不一致连续的相关知识，有利于我们更好地学习和研究函数一致连续性问题。
二、高等数学引入一致性连续性的意义和价值
高等数学教材中涉及了较多的理论和概念，比如函数的连续性与一直连续性，以及函数列的收敛性与一致收敛性等，都是初学者很容易混淆的相近概念，因而也成为了高等数学学习中的一个难点问题。在工程数学中，这些概念非常重要，笔者认为，搞清楚和弄明白函数的一致连续的基本概念，以及掌握判断函数是否具有一致连续特性的基本方法，无疑都将是理工科学生学好高等数学函数一致连续性理论知识的核心环节，也是日后成熟运用该数学方法的基础和前提。通过学习和比较，我们能够得出一个很明显的结论：一致连续要比连续条件强。高等数学函数一致连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其他工程学科中常常会用到一致连续的知识，而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切的相互关系。实际上，我们在进行函数列的收敛问题研究时，常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛等概念及其关系。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点问题，证明某一个函数是否具有一致连续性是其中的瓶颈问题，这让很多理工科同学感到无从下手。为了解决这一难点，达到化抽象为简单的教学目的，笔者建议给出一致连续性的几种常见等价形式，能够很好地帮助学习高等数学的同学更易于理解和掌握函数一致连续性这一知识要点。高等数学中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点，也是教学大纲中的重点。因此，牢固掌握这些概念及与之有关的理论知识，对于培养学生良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
函数一致连续的几何意义非常非常重要。数学分析抽象而且复杂难懂，这门学科本身就有着极强的逻辑思维和严密特征，主要体现在它能够采用最简明的数学语言来准确表述其他语言无法量化的复杂多变的事物发展过程。换言之，其作用在于，能够量化抽象事物的动态发展过程。其几何意义将在高等数学课程入门中起到一个有利引导作用，清晰明朗地向学生展示高等数学中最基本的思想方法和思维方式，帮助学生理解抽象概念，提高学生培养自身的创新思维能力。另外，探讨函数一致连续和一致收敛的关系，同时在有界区间上给出一致连续和一致收敛的等价关系，有利于学生在今后研究连续、收敛问题中拥有更多的参考依据。
三、解决高等数学函数一致性连续性问题的对策
1.一元函数在有限区间上的一致连续性
由于用函数一致连续的定义判定函数 是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。
定理1 若函数 在 上连续，则 在 上一致连续。
这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。
分析：由函数一致连续的实质知，要证 在 上一致连续，即是要证对 ，可以分区间 成有限多个小区间，使得 在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于 。
证明：若上述事实不成立，则至少存在一个 ，使得区间 不能按上述要求分成有限多个小区间。将 二等分为 、 则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为 ；再将 二等分为 、 依同样的方法取定其一，记为 ；......如此继续下去，就得到一个闭区间套 ，n=1，2，…，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足
（2-13）
且属于所有这些闭区间，所以 ，从而 在点 连续，于是 ，当时，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使 ，从而对于 上任意点 ，都有 。因此，对于 上的任意两点 ，由（2-14）都有 。（2-15）
这表明 能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间 的取法矛盾，从而得证。定理1对开区间不成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点；（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。
定理2函数 在 内一致连续在 连续，且 与 都存在。
证明：若 在 内一致连续，则对 ，当 时，有
，（2-16）
于是当 时，有
。（2-17）
根据柯西收敛准则，极限 存在，同理可证极限 也存在，从而 在 连续， 与 都存在。
若 在 连续，且 和 都存在，则
令（2-18）
于是有 在闭区间 上连续，由Contor定理， 在 上一致连续，从而 在 内一致连续。
根据定理2容易得以下推论：
推论1 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。
推论2 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。
当 是无限区间时，条件是充分不必要的。
2.一元函数在无限区间上的一致连续性
定理3 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 都存在。
证明：（1）先证 在 上一致连续。
令 ，由柯西收敛准则有对 使对 ，有
。 （2-19）
现将 分为两个重叠区间 和 ，因为 在 上一致连续，从而对上述 ，使 ，且 时，有
。 （2-20）
对上述 ，取 ，则 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函数 在 内一致连续。
（2）同理可证函数 在 内一致连续。
由（1）、（2）可得 在 内一致连续。
若将 分为 和 ，则当 与 分别在两个区间时，即使有 ，却不能马上得出 的结论。
由定理3还容易得出以下推论：
推论3 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。
推论4 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。
推论5 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。
推论6 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。
参考文献：
[1]王大荣，艾素梅；分段函数在分段点处的求导方法刍议[J]；沧州师范专科学校学报；2005年03期
【摘 要】一直以来，高等数学课程学习困难、教学效果不显著，给专业课程的学习带来一定障碍。从教与学两个不同的角度分析了高等数学学习过程中遇到的问题后，给出了概念教学的对策。
关键词 高等数学；数学概念；教学
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念教学是课堂教学的一个重要组成部分，如何教好概念课，让学生深刻理解并准确掌握数学概念，是学生学好数学基础知识，提高学习成绩的前提，也是培养学生能力的关键。
1 高等数学概念的特点
高等数学是变量的数学，它研究变量的运动过程、无限过程；初等数学是常量的数学，它研究静态问题、均匀问题，高等数学从观点到方法都和初等数学有着本质的差异。高等数学的思想方法中，蕴涵着丰富的辨证唯物主义的思想，表现出相互依存与相互转换的对立统一关系，如常量与变量的关系，有限与无限的关系，近似与精确的关系等。刚从中学跨入大学校门的新生，他们还习惯于用静态、有限的方式来思考问题，所以教师在讲授高等数学的概念时，要求学生在思维模式上有本质的转变，从常量转向变量，从有限转向无限，从而把握高等数学的基本思想和方法。
2 学生学习高等数学概念的现状
概念是高等数学的基础，基础夯不坚实会严重影响高等数学的学习。在实际的教学过程中我们发现，每个教学班大概会有50%的学生虽然花大量的时间学习高等数学，上课认真做笔记，恨不得把老师黑板上写的每个字都记下来，下课也会做大量的习题，但到最后还是有30%左右的学生不能通过这门课程。无论是课堂提问还是与学生课后交流，我们发现一个普遍现象：60%左右的学生对高等数学中的概念不重视。我们做过一个小范围的调查，调查400名学生学完《极限与连续》后对本章基本概念的掌握情况，此次调查结果大致是：完整说出极限和连续概念的人数为15%，大概了解极限和连续概念的人数为25%，对极限与连续有点印象的人数为20%，几乎不知道极限与连续概念的人数为40%。在后续章节的教学中，我们又进行了类似的调查，最终与期末考试的成绩进行对比，结论非常明显：基本概念掌握好的同学无论是基础题还是能力题都做的比较好；对高数概念一知半解、只会套公式的同学的基础题还行，但是能力题的得分几乎为零。高等数学的概念通常会以公式的形式出现，刚从中学跨入大学校门的新生，受中学教育的影响，把数学的学习简单归纳为背定理和公式，套定理和公式。高等数学的学习不仅仅是会运用定理和公式，更应会运用所学知识灵活处理实际问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，这些能力需要在学习基本定义、定理的过程中慢慢积累，因此在高等数学的学习中，概念的教与学是非常重要的环节。
3 高等数学概念教学的重要性
高职教育强调学生对职业技术的掌握,强调学生的应用能力和实践动手能力，为此课时都主要放在专业课的教学和实习实训上，在高职的课程设计中基础理论课教学时数一般都不多，高数老师在有限的课时内，要系统完成一元微分学的教学内容，势必每堂课包含的教学内容会非常多，通常是高中课堂的三、四倍，因此在课堂上教师不可能像高中教学那样通过反复讲解和训练的方式达到既定教学目标，只能靠讲授基本的概念和定理，在理解概念的基础上加深知识点的理解，这也培养了学生的自学能力。我们对高等数学在后续专业课中运用的广度和深度做过调查，发现专业课程对高等数学的需求绝大多数是基本概念和定理的运用，因此更要突出概念教学。一般来说，理工类专业的后续课程都需要用到导数和微分，而复合函数的导数是难点，绝大多数学生都学得不扎实，简单常见的复合函数会求导，但碰到复杂一点、特别是分段函数的求导时，就会束手无策，这也使得专业课老师对高数老师颇多微词。在学生的问卷调查中发现：60%的学生不知道复合函数、基本初等函数和导数的定义。在讲解导数时，我们在不同的教学班做了对比实验，在甲教学班讲复合求导法则时，先详细复习基本初等函数的定义、复合函数的分解和导数的定义，并且加强导数定义类题目的训练，用定义推导了几个基本函数的求导法则，对复合函数链式法则做了简单的说明，并要求学生记忆基本概念和定理；在乙教学班直接讲解复合函数的求导法则，没有对基本初等函数的概念，复合函数的分解进行复习，把教学重点放在求导公式的记忆和应用上，最后用同难度和数量的题目进行测试，发现强调概念教学的甲班对导数的掌握情况，无论从基础题还是能力题都要比乙班好30%左右。虽然不同的教学班会有一些不确定的随机因素影响结果，但一般来说差异不会这么大，所以概念教学是非常重要的。
积分在经管类专业课程中使用较多，学生一般只会机械地套用基本的积分公式，解决简单的积分问题，但由于积分公式比较多，学生感觉记忆负担较重，碰到类型相近的问题经常混淆，这些问题产生的原因是学生对原函数的概念的理解不透彻，甚至有些学生连原函数的概念都说不出，更谈不上灵活运用积分了。如果学生能够吃透原函数的概念，书本上那些基本积分表根本用不着记忆，它只不过是求导公式的逆运算，记住了求导公式，弄清楚了不定积分的概念，就能很容易记住积分表了。不过绝大多数学生对原函数的概念只是停留在字面的理解，搞不清它的实质，也就搞不清积分与导数之间的关系，感觉不定积分学起来比较费劲，从而给定积分的学习带来很大的困难。
总之，无论是教还是学，为了让高等数学这门工具性学科更好地服务于专业课，在高职教育“必须，够用”的理念下，概念教学是解决诸多矛盾的行之有效的方法之一。
4 高等数学概念教学的注意事项
高等数学概念是一系列探索活动的产物，我们应该让学生亲历知识发现的过程，在暴露数学概念生成的思维方式上多下功夫，并注意揭示出概念的本质，完成由较为直观的表述向严格的形式化表述的转化，把生动活泼的理性思辨通过数学概念的生成传导给学生，实施能动的心理和智能的导引。高等数学的概念通常比较抽象和严谨，因此概念课容易给人枯燥乏味的感觉，学生会比较排斥它，教师在讲课时，要讲究一些技巧，把严谨的概念用通俗易懂的语言描述（如原函数概念描述成导数的逆运算，用加和减、乘与除的关系类比两者的关系），可以用形象直观的图象语言来描述（如极限概念），也可以用专业课程中的专有名词来描述概念，让学生提前感受高数的作用（如经管专业中的边际就是导数）。另一方面，学生上概念课有一种错觉：为什么我把概念背得滚瓜烂熟，但不会解题呢？事实上，学生会背概念不一定表明他已获得概念，真正意义上的获得概念，就是运用概念做出判断和推理，能够根据概念解决数学问题，因此教师在讲授概念时不能就事论事，死抠书本，概念的引入要合乎逻辑, 更要合乎情理；概念之间要讲究逻辑次序， 更要注意认知次序。针对相同的数学概念， 不同的时代、不同的时间、不同的教学对象在理解的深度、侧重点以及要求上都不相同，这要根据自己的理解选取不同的诠释方法，体现各自的风格。
参考文献
［1］毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报,2003,5,12(2).
［2］王华丽.高等数学中极限概念教学的思考[J].科技创新导报,2012(1).
［3］王树禾.数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003.
高等数学的很多概念是中学数学的延续，命题者往往以高等数学中的基本概念为切入点，命制一些高中数学教材中涉及到而未给出具体定义的，或是直接给出高等数学中的新概念的试题。学生需阅读题目中所包含的信息，并将高等数学的信息与初等数学知识灵活地结合来解决问题。
例1 （2004年复旦大学）若存在M，使任意 为函数 的定义域），都有 ，则称函数 有界，问函数 在 上是否有界。
解析：否。取 ，则 当 趋向于正无穷时，趋向于正无穷。
评析：本题是以高等数学中的有界函数概念作为背景，来判断函数是否为有界函数的一类试题。从所给的信息知道，判断f(x)是D上的有界函数，是否存在M（M＞0且对任意x∈D），求|f(x)|的值域，要求学生有较强的知识转化能力。此题是通过取特殊值，确定函数 在 上可以趋向于无穷大，从而确定其不是有界的。
例2 (2010年复旦大学)设集合 是实数集 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，则称 为集合 的聚点。用 表示整数集，则在下列集合： (1) ； (2)；(3) ；(4)整数集 中，以0为聚点的集合有()
A. (2) (3)B. (1) (4) C. (1)(3)D. (1)(2)(4)
解析：“聚点”这个概念根据定义，应理解为以任意无穷小为半径，以 为圆心的圆内都至少有 的一个元素（不包括 ）。对集合（1） ，若取 ，则不存在 满足 。显然（2）、（3）是以0为聚点。对（4），若令 （不是唯一的取法，也可取 ，只要 均可），则也不存在 使得 ，综上，应选A。
评析：直接定义高等数学中“聚点”的概念，解此类新定义型题时应在仔细阅读分析材料的同时，要认真领会定义的实质，尤其是定义中隐含的或特殊情形，结合所学的数学知识和方法，通过对定义的仔细推敲和概念的全面认识使问题获解。
二、性质型
以高等数学有关性质为背景的自主招生试题经常出现，例如函数图像的凹凸性、拉格
朗日中值定理以及极限思想等。
例3 （2010年华中师范大学）已知当 时，函数 的图像如图1所示。
（1） 设 ，试用 的图像说明
当 时，不等式 ①成立。
（2） 利用（1）中不等式证明：若 ，则
对于任意的正数 ，不等式 ②成立。
（3）当 ，且 时，求 的最小值。
解析：对于（1）要求利用图像解释不等式①成立，这就需要将代数语言转化成几何语言。在 的图像中解析 的几何意义，再利用这些几何意义说明不等式①成立，从而有如下解法：
设 ，由图2可知，当 时，有
即
对于（2）要求用不等式①证明不等式②，此时要求
学生明确不等式①成立的条件，并将不等式②与不等式①
作比较分析，选择适当的代数变形方法。由于不等式①成立的条件是 ，将②式两边 次幂，则不等式②等价于 ③
由于 ，由①易得③。
对于（3），可由不等式①求解，
将 做适当的代数变形即有：
所以 等号当且仅当 时成立。
还可由不等式②求解：
因为 故有 ，从而 等号当且仅当 时成立。
评析：所谓“高等背景，初等解法”，没有现成解法或套路可模仿，要灵活运用所学知识。
三、结论型
在高等数学中很多结论与中学数学比较靠近，这些既是中学数学的重要知识，也是高等数学中的基础知识，其中某些结论只要稍加叙述和改造，就可以以中学数学的形式出现，这样的试题既可以考察学生能力，又有利于高等数学与中学数学的紧密结合。
例4(2010年南开大学)求证：
解析：令
单调递增。
又 ，
则 单调递增。
分段函数是指在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子表示的一个函数。分段函数在每段内对应的解析式是初等函数,在分段点处的特性往往会发生很大的异常,这也是用作反例的重要价值。本文主要将一元分段函数作为反例,在高等数学中学生不易理解或者易混淆的几个重要概念中进行应用。
1 初等函数与分段函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数。由于分段函数是由几个式子表示的函数,有些老师讲解初等函数的概念时,只强调初等函数用一个式子表示,轻易地得出分段函数非初等函数的结论。事实上并非所有的分段函数都不是初等函数。
例如,函数y=3x+2,x?叟0x+2,x<0为分段函数,但是该函数可以用y=2x+■+2一个式子表示,显示该分段函数是初等函数。其实分段函数在满足一定条件下是初等函数,可参考文献[2]。通过此分段函数例子可以加深学生对分段函数和初等函数概念的理解,并且扩大学生的思维。
2 有界函数与函数值
若函数f(x)在区间I内有界,则称f(x)在区间I内为有界函数。初学有界函数概念的学生易与有限的函数值混淆。事实上函数有界是函数在研究区间整体的一个性质,函数值是某点按照对应法则计算的结果,这两个概念是整体和局部上的区别。
例如,分段函数f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0点的函数值为有限值■,但是对任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,从而知函数f(x)为无界函数。
3 函数极限与函数值
如果在xa的过程中,对应的函数值f(x)无限地接近于常数A,则称数A是函数f(x)在点a的极限。初学函数极限的学生易想当然的认为函数的极限就是函数在点a处的函数值。事实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值无关。
例如,已知函数f(x)=■,x≠25,x=2,极限■f(x)=
■■=■(x+2)=4,而在x=2处的函数值f(x)=5≠4。
4 无穷大与无界函数
若对于任意给定的不论多么大的正数M,总存在δ>0,当0<x-a<δ时,有f(x)>M成立,则称函数f(x)当xa时为无穷大。初学者常错误的将无穷大等价为无界函数。事实上无穷大是在研究范围内为无界函数,但反之不一定成立。无界是指自变量在定义域内,函数值没有界限,但是可能并没有一个趋势。无穷大是在自变量的某个变化过程中有确定的趋势。
例如,已知数列函数f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k为整数。显然它是一个无界数列函数,但当n+∞时,它不是无穷大,因为奇数子列是收敛的,极限值为0。
5 原函数和可积
Abstract: this article through the course of higher vocational higher mathematics nature, design idea, objective, teaching content, teaching methods and evaluation methods, compiling teaching materials, and other aspects of the design, the characteristics of higher vocational education outstanding, design science, and the actual curriculum standard
Keywords: high vocational colleges, the curriculum standard, the reform
中图分类号：S611文献标识码：A 文章编号：
一、前言
1.课程性质
高等数学课程是高职高专院校各专业的一门重要的基础课程，是理工、财金类各专业的必修课之一。它对培养、提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。《高等数学》课程既有鲜明理论性、知识性，还具有极强的现实性与实践性，是推动专业人才培养模式的改革和创新的一门重要的必修课程。
2．课程设计思路
依据课程的基本理念，根据专业群的需要，在内容的选择上，要从提高素质和加强应用的角度选择教材的内容，大胆取舍，以满足专业岗位的需求。针对专业群的学生特点及专业课程数学的需求，增加专业数学的应用内容，舍去不必要繁琐证明，重新进行组合，构成专业群的数学课程体系。实施模块化的、弹性的、互动的、多层次的教学，以满足职业岗位群的需求。打破传统的数学教学内容的限制、打破现有教材系统的约束，将留下的基础数学内容和增加的专业数学的应用内容，进行分析、改造、筛选、拆分和整合，然后理顺，形成一套崭新的教学内容。这套内容要弱化形式化的推理论证，强化知识的应用，体现数学的应用价值
二、课程目标
通过对高等数学课程的学习，使学生能够获得专业课程需要使用，适应职业岗位及终身学习所必需的重要的数学知识，掌握基本的数学思想方法和必要的应用技能；使学生学会用数学思维方式去观察、分析工程实际，从而进一步增进对数学的理解和兴趣；使学生具有一定的创新精神和提出问题分析问题解决问题的能力，从而促进知识、素质全面充分的发展。
三、教学内容和具体标准
根据专业课程设置教学目标和涵盖的工作任务要求，确定课程内容和要求，说明学生应获得的任务、知识和技能要求。
学习内容 工作任务 知识要求 技能要求 专业相关案例 学时安排
1.
函数、
坐标系 1.函数概念的建立
2.建立实际问题中的函数关系，建立简单的数学模型。
3. 作简单的函数图像。
4．认识空间常见图形。 1. 理解函数概念及记号、表示法.
2.了解反函数和复合函数的概念。
3.掌握基本初等函数的性质及其图像。
4.能列出简单的实际问题中的函数关系。
5.理解一般平面方程及其各种特殊情形。
6.了解球面和母线平行于坐标轴的柱面的方程与旋转曲面的方程和图形，了解空间曲线的参数方程，一般方程。 1. 会求函数的定义域并能用区间表示。
2.会求函数值及函数表达式。
3.能作简单的函数图像。
4.会求空间两点间的距离。
5．会求简单的平面方程。
2.
极限 1.由实际问题引出极限概念.
2.极限的运算。
3.极限应用 1.知道函数极限及左、右极限的概念，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。
2. 掌握极限的四则运算法则。
3.会用两个重要极限求函数的极限。
4.了解无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质。 1.极限的运算。
2.极限的应用。
3.无穷大、无穷小的判定。 10
3.
连续 1.函数连续的有关概念。
2.间断的概念及其求法。 理解函数在一点连续的概念，知道闭区间上连续函数的性质 1.会判定函数在一点的连续性
2.会求函数的间断点并判定其类型。 8
4
4.
微分学 1.研究导数、偏导数的有关问题 1、理解导数的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性的关系，并能用导数描述一些简单的实际量。
2、熟练掌握导数运算法则以及导数的基本公式，会求函数的导数和偏导数。了解高阶导数的概念，能熟练地求初等函数的一阶，二阶导数。
3、了解隐函数和参数式所确定的函数导数的求法。 1.导数概念及几何意义的应用。
2.会求初等函数的导数；
4.多元复合函数一阶偏导数的求法。 12
2.研究微分及全微分的有关问题 1.理解函数微分和全微分的概念，知道全微分存在的充分条件。
2.掌握微分在近似计算中的应用。 1.会求函数的微分和全微分。
2.会利用微分进行近似计算。 4
3.导数的应用 1.了解罗尔定理和拉格朗日定理。
2.理解函数的极值概念。掌握求函数的极值、判断函数的增减性与曲线的凹、凸性、求函数图形的拐点等方法。会求水平与铅直渐近线。能描绘简单函数图形。会解较简单的最大值、最小值的应用问题。
3.会用洛必达法则求极限。 1.利用罗尔定理研究方程的根。
2.利用拉格朗日定理证明等式和不等式。
3.利用洛必达法则求未定式的极限。
4.利用导数求函数单调区间、极值、曲线的凹凸区间和拐点。
5.利用导数求一元、二元函数的极值。
6.最值的实际应用。 8
5.
积分学 1. 不定积分 1.理解不定积分的有关概念，了解其性质。
2．熟悉不定积分的基本公式和运算法则。熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。 积分运算 12
2. 定积分及其应用 1.理解定积分的概念与性质。
2.掌握定积分的计算。
3.掌握牛顿—莱布尼兹公式。
4.掌握定积分的换元积分法和分部积分法.
5.会用定积分表达一些几何量及物理量（如面积、体积、弧长、功等）的方法。掌握利用定积分的微元法求平面图形的面积 1.积分运算
2. 会计算定积分
3.利用定积分求几何量和物理量。 10
6.常微分方程 1.解微分方程
2. 利用常微分方程解决实际问题 1.了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3.知道二阶线性微分方程解的结构。
4.熟练掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。
1.解微分方程
2.利用微分方程解决实际问题。 8
7.
矩阵及其运算 1. 行列式2. 矩阵 1 矩阵的概念与运算
2 行列式及计算
3 矩阵的初等变换及矩阵的秩
4 逆矩阵
12
合计 90
四、教学方法
采用启发式讲授、引导发现法、讨论法、目的教学、任务驱动、讲练结合法和实例教学法等。教师根据不同的教学内容选择不同的教学方法。总之：改变以教师为中心，强调以学生为主体，给学生以更多的活动空间，让他们积极地参与教学过程，提高学生的学习主动性。在课堂教学中注意精讲精练，适当增加课堂练习时间，以减少学生课外负担。在教师讲课中要贯彻设疑（提出矛盾）、析疑（分析矛盾）、解疑（解决矛盾）三个环节的启发教学，引导学生对数学现象有好奇心，并能进行独立思考，提出解决问题的方法和探索问题的思路。教学中应尽量使用现代教学技术和现代信息技术等。提高教学质量和教学效果。
五、评价方式
教学评价分为过程评价（占20-40%）和结业评价（占60-80%）两部分。
过程评价可以采取课堂评价、作业评价、阶段测验评价、解决实际问题的创新能力评价相结合的方式进行。
结业评价是学期终结业考试的形式来评价学生。
六、教材编写建议
根据《标准》的要求，教材的内容要以应用为目的，以必需、够用为度和少而精的原则，在保证科学性的基础上，注意讲清概念，减少数理论证，注重学生基本运算能力和分析问题、解决问题的能力的培养，重视理论联系实际，内容通俗易懂，既便于教师教，又便于学生学，努力体现高等职业技术教育特色。在内容的组织上，在保证相对系统性的前提下，突出以问题解决为核心来组织编排内容，并及时配备与教材内容吻合，灵活多样难度量适中的习题。在内容的呈现上要形式多样化，力争将抽象的内容形象化，这样就要求文字描述简洁明快流畅、多配图形，版面整洁新颖，从而编写出具有自身特色，为师生所喜爱的教材。
参考文献：
1．侯风波主编的《高等数学》及《高等数学训练教程》（教育部高职高专规划教材），北京，高等教育出版社。
2．同济大学、天津大学、浙江大学、重庆大学编写的《高等数学》（教育部高职高专规划教材），北京，高等教育出版社。
《复变函数与积分变换》课程是大学本科理工科类专业的一门基础课。复变函数论主要是在研究流体力学、电力学、空气动力学、热力学以及理论物理学中发展起来的，为解决这些学科的一些实际问题起了相当大的作用。复变函数与积分变换理论和数学的其他分支也有密切联系。复变函数是高等数学的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有着重要的应用；积分变换中的傅立叶变换在微分方程、积分方程、概率与数理统计论、泛函分析学以及数论等学科中都是重要的工具。即使是最简单的函数，比如多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数等，也只有在复变函数中才能体现其本质。另外，作为一种特别有用的工具，复变函数当中的留数理论可以用来解决很多高等数学中难以解决的问题。因此，复变函数与积分变换以它的完美的理论与精湛的技巧成为大学数学的一个重要组成部分。
虽然《复变函数与积分变换》这门课程有着重要的作用，不过大部分高校对此课程设置的课时都比较少，基本上都是三十二学时或者四十八学时，相对于《高等数学》来说，这些课时是非常有限的。在有限的时间内，如何能让学生充分利用每周的少量课时，理解和掌握这门课程的精髓，并为以后的各门专业课打下坚实的基础，这一点对于每一位授课老师以及学生来说都是极其重要的。以下根据我任教十几年来对该门课程的理解，简单谈谈我对复变函数与积分变换教学的几点看法。
1 总结同一概念和性质在复变函数和高等数学中的相似与不同，加强理解和记忆
《复变函数与积分变换》这门课程的内容主要有两部分，前半部分是复变函数，后半部分是积分变换。其中复变函数以理论为主，积分变换以应用为主。复变函数是以高等数学为基础，同时也是高等数学中实数域向复数域的扩展，因此复变函数中的大部分概念都是和高等数学的概念类似，性质也基本上都是相同的。其中第一章复变函数的概念中，区域的概念，复变函数的概念，复变函数的极限的概念，复变函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质等和实数域中相似；第三章复变函数的积分中，积分的概念和实数域的定积分，重积分的概念一致，都是通过对所求变量按照“分割，近似替代，求和，取极限”这四个过程来定义的；第四章级数中，复变函数的幂级数，泰勒级数也与高等数学中函数的级数，泰勒级数的概念一致。在讲授这些内容的时候，任课老师可以先和同学们一起简单的回忆《高等数学》中的概念和性质，与复变函数结论有区别的地方可以重点说明，接着讲解新内容，相似点可以直接类比，对于不同的地方需要重点强调，而且可以启发学生去思考不同之处的根源。复变函数中的正弦函数和余弦函数是无界函数，指数函数是周期函数，对数函数是多值函数等，这些内容如果任课教师在讲台上只是一味的照本宣科，学生会觉得这是内容的重复，听起课来肯定兴趣不高；如果老师能充分调动学生的积极性，让他们自己去带着问题思考，带着问题听课，让他们自己找到相似点和区别，不仅师生之间可以有良好的互动性，学生也会对自己总结的这些知识加深印象。
2 把握侧重点，强调课程的特色
《复变函数与积分变换》这门课的课时一般不多，但是它包含的内容却很多，因此要想在比较少的时间内将所有的内容都详细的介绍，那肯定是不可能的。授课老师在上课之前应该掌握该课程的侧重点，合理的安排好每个章节的授课时间。在第一章复变函数中，复数的辐角和复数的模，复数的三角表示和几何表示以及复数的运算是以后各章内容的基础，这部分内容只有讲透，学生才能在以后的学习中有个扎实的基础。复数域中的无穷远点是唯一的一个点，很多课时少的学校将这部分内容作为选讲内容，但我个人认为这是个基础知识，无穷远点可以在很多时候简化计算量，是个很有用的工具，而且在积分变换的内容中也会涉及到这方面的知识，这个知识点需要强调一下；第二章解析函数中，解析函数以及解析函数的充要条件是重点，也是研究复变函数在孤立奇点处留数的前提；第三章复变函数的积分，这部分内容可以简单介绍原理，为以后介绍洛朗级数和留数做前提；至于用柯西积分公式，柯西古萨定理和高阶导数公式去计算封闭曲线的积分可以简单让学生理解；第四章级数，洛朗级数是重点，任课老师要让学生理解洛朗级数和泰勒级数的联系和区别，并学会如何将同一复变函数在不同点，不同的圆环域内，展开成洛朗级数；第五章留数是个新的概念，也是复变函数的核心，对学生来说是个全新的知识，任课老师在讲授这部分内容时可以适当放慢速度，利用解析函数和洛朗级数的相关理论让学生理解核心概念-留数的定义，掌握利用留数和洛朗级数去解决积分问题的方法。留数是复变函数理论当中一个重要知识点，留数理论也可以用来解决一些高等数学中很难求解的积分问题。这样学生可以感受到复变函数除了是实数域中理论的拓展，还可以反过来解决实数域中的很多难题。
3 积分变换是一个工具，侧重于应用
积分变换中主要有两个积分变换-傅立叶变换和拉普拉斯变换。这两个变换是相互联系又有区别。傅立叶变换是由周期函数的傅立叶级数推广得到的，拉普拉斯变换是在傅立叶变换的基础上优化得来的，这一部分的概念可以简单讲解。积分变换部分关键是要让学生学会利用这两个工具解决一些实际问题，比如在现代信号处理的应用等等；也可以增加一些时尚的和生活实际的应用问题，提高学生的学习兴趣。当然这也对授课老师提出了较高的要求，要求教师能够对积分变换的可能的应用领域以及在其他实际中的用途等多方面的知识都有了解，以方便在教学中随时可以调动学生的学习积极性。
4 结合多媒体，缩短板书时间；缩短上课的周期，提高效率
复变函数中有部分概念需要很强的空间想象能力，例如基本初等函数的实部与虚部、复数的模与辐角、复球面的概念，函数在孤立奇点处的留数等；积分变换部分，工程上经常出现的单位脉冲函数，这些对于刚刚接触到这门课程的学生来说，都是是非常抽象的。如果可以通过多媒体软件展示这些概念，就会直观的多，学生也容易理解。对工科的大部分学生来说，复变函数与积分变换只是一个解决问题的工具，很多结论没有必要要求学生去掌握具体原因，只需要学会并熟练运用结论就可以了。比如第三章的柯西-古萨定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式等这些结论，学生只要能会运用就可以了。但是这几个结论相对来说都很长，如果授课老师板书到黑板上需要浪费很多时间，如果只是照着课本念一下，学生又没有什么印象。利用电子ppt，在每次需要用的时候可以直接拿出来，而且可以针对每个结论，对应的举例说明，那样就可以节省不少的时间。
最后对于小学时的课程，希望能够缩短上课的周期，变成前半学期或者后半学期教学。这一点部分高校已经开始实行，一周一次的课程教学效果远远有一周两三次的效果好。
当然授课老师在课堂上为了增加学生的学习兴趣，可以适当渗透一些现代的数学思想，为学生进一步学习现代数学知识提供一些接口；联系其他相关课程的知识和工程实际应用，以加强学生的综合应用能力。比如利用留数计算积分是复变函数理论中一个重要知识点，课堂上除了详细介绍这些之外也可以介绍一下留数计算的物理应用，如在数字滤波器性能分析和形状设计中的应用等，这对于部分同学来说也是激起他们学习兴趣的一些理由。
【参考文献】
中图分类号：O13
1， 反例在高等数学教学中的作用
高等数学的反例是指符合某一个命题的条件，但又和此命题结论相矛盾的例子。正确的命题需要严密的证明，错误的命题则靠反例否定。
1.1 有助于基本概念的深化理解
关于二元函数的极限的概念，现在的描述性定义尽管比过去的“ ”定义简单，但 是表示点 以任何方式接近于点 ，所以在讨论极限是否存在时，只要选择两条不同路径，而按这两条路径计算的极限值不同，既可说明极限不存在。
例 讨论二元函数
是否存在极限？
解 当点 沿直线 趋于点 时，有
，当点 沿直线 趋于点 时，有 。可见沿不同路径函数趋于不同值，该函数的极限不存在。又
同理可得 ，二元函数在一点不连续，但其偏导数却存在。但对于一元函数是可导必连续，连续未必可导。
1.2 有助于基本定理的理解掌握
在高等数学中，学生对定理条件和结论之间的“充分”、“必要”性的理解通常是学习难点。而反例使学生打开眼界，拓宽思路，从而全面正确理解高等数学的基本定理。拉格朗日定理是微积分的基本定理，关于它的学习，一般先介绍定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导，则在 内至少荐在一点 ，使得
成立），再结合图形给予证明。对给定的具体函数，要求能够判断其是否在所给区间上满足指定的定理的条件，并能求出满足定理中的 。
1.3 有助于错误命题的有效纠正
在一元函数中有两个重要结论。一是可导必连续，连续未必可导；二是若f （x）在某某区间（a， b）内只有一个驻点 ，而且从实际问题本身又能够知道f （x）在该区间内必定有最大值或最小值.则 就是所要求的最大值或者最小值。按照常规的思维模式，人们很自然把它们推广到二元函数。
2 在高等数学教学中反例的应用
在高等数学教学中加强反例思想的渗透，能够强化学生对一些基本概念和定理的学习和理解，并能够激发学生学习数学的兴趣，进一步提高教学效果。
2.1 恰当构造反例，加深对概念的理解
理解概念是学生学好高等数学的基础，也是其能力培养的先决条件。通过反例，从反面消除一些容易出现的模糊认识，严格区分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本质。在高等数学的极限概念教学中，恰当地构造反例，会得到事半功倍的效果。在极限概念的学习中，学生认为：①有界函数的极限一定存在；
②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述两种想法都是错误的.对于①构造反例
因为当 时， 不能无限接近于一个确定的常数 ，所以，极限 不存在，对于②构造反例 ，
2.2正确应用反例，加深对定理的理解
定理教学中，反例和证明具有同等重要的地位，通过严密的证明才能够肯定一个命题的正确性，而巧妙的反例即可否定一个命题的正确性。
在高等数学的定理教学中，正确地应用反例，能够全面地理解定理的条件和结论，更好地应用定理解决问题。关于罗尔定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导；. 。则在（（a，b）内至少存在一点 ，使得 成立）的教学，因为它只是拉格朗日的特例，一般是结合图形给予说明，不做重点讲解。但能够应用反例加深对定理的理解，说明罗尔定理的三个条件是使 成立的充分条件，而不是必要条件。
2.3 有效利用反例，纠正习题中的错误
学习高等数学需要解题，在解题中要鼓励学生从多方面进行思考，多角度进行探索，挖掘新思路：鼓励学生去联想发挥，改变条件，对习题进行拓宽。有些失误难以通过正面途径检查出来，而举反例就能在较短的时间内，较直观地反映出错误所在，而且，由此往往能产生正确的途径。
“反例”揭示了数学上这种“失之毫厘，差之千里”的特点，达到了教学中那种“打开眼界，拓宽思路”的效果。所以，在高等数学教学中，广大教师应重视和恰当地应用反例。
参考文献
究其原因有以下几点；一是学生抽象概括能力欠缺。从客观世界的现实中抽象概括出数学概念，对接受过高中教育的人而言，应该初步具备了这种能力。但目前高职学生这方面能力普遍较差。二是学生对极限思想和方法的不适应。由于高等数学是建构在极限理论的基础上、以极限为基本工具研究函数的一门数学学科，因此，研究问题的思维方式总体上由“静态”变成了“动态”。而函数的连续性是运用极限理论定义的第一个概念，学生对于运用极限思想刻画函数的这种动态特性，需要一个适应过程。三是教材的简化。现在选用的高职高专《高等数学》规划教材，在“必需、够用”原则的指导下，降低了理论难度、简化了知识内容。多数教材的“函数连续性”一节直接给出函数在点连续的定义，缺少必要的例证加以辅助。学生很难通过阅读教材理解函数连续的概念。针对上述原因，教师在教学时应着重抓住以下几点，帮助学生建立起函数连续性的概念。
函数连续性的本质特征
要理解函数连续的概念，首先要抓住连续的本质特征。自然界中植物的生长、河水的流动、温度的变化等等现象，都是连续变化着的，把这种现象进行抽象，反映在函数关系上就是函数的连续性。如果只是这样概括，学生对连续本质特征的把握是不到位的。此时可再从以下现象分析：两个人几天不见，再次见面时并没有感觉到彼此的变化，难道这几天俩人真是都没有变化吗？显然不是。人从出生到衰亡，时时刻刻都处在连续变化之中，尽管这种变化很微小，不宜察觉，但它是不间断的。如果我们从函数的角度分析，上述现象就相当于函数的自变量在某一区间段上连续变化时，因变量也随之连续变化，即使自变量的变化很微小，因变量也会随之有微小的变化。经过的这样分析，学生就能较好地把握函数连续性的本质特征了。
函数连续性的研究方法
函数的连续性反映了现实世界中连续的动态变化现象，如同一个动点能够沿着一条延绵不断的曲线运动。如何才能使学生认识到，研究函数的连续问题必须先从研究函数在一点上的连续开始呢？我们从自然界的连续现象中很容易认识到一个断点就能打破一条连续链。同样，观察函数的图像也会发现函数的曲线也呈现这个规律，如动点在曲线y=sinx上可以顺畅地移动，而在曲线y=tanx或f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0上移动时，会在点x=kπ+，（k∈Z）或x=0处被“卡住”。通过这样的观察分析，学生就很容易归纳出：曲线上一个点便可决定一个函数在某个定义区间上的连续性。这样，函数连续的问题就归结到了研究函数在一点上的连续。
用什么方法确定函数在一点上的连续呢？函数在一点上的连续是一个局部概念，反映了函数在一点处两个变量增量间的变化关系，即当函数的自变量有一微小变化时，因变量也随之有一微小变化。如果利用初等数学的方法刻画这种关系，显然是行不通的，只有借助于极限工具进行深入的分析研究。通过教师适当引导，学生便会知道要想解决函数在一点上的连续的问题必须运用极限的思想方法。
函数连续性的定义
一个数学概念的形成过程，是人们对客观现象进行探索归纳、抽象概括的过程。教学上如果对这一过程进行情境再现，不仅可以使学生了解概念的形成背景，而且对学生理解掌握概念的本质及其应用大有益处。若只是“填鸭式”传授，把概念直接灌输给学生，效果可想而知，也失去了通过数学教学过程对学生进行观察分析、抽象概括能力培养的作用。
讲授“函数连续性”一节时，可以先借助多媒体给学生播放植物的生长、河水的流动、汽车在高速路上奔跑等连续现象，再播放一棵大树被拦腰截断、一条大坝截住河水流动、一座断裂的桥梁造成车辆停滞不前等不连续现象，与学生一起分析探索上述现象引出函数连续尤其是在一点上的连续的问题，并形成定义。
通常，关于函数y=f（x）在点x0连续的定义有两种形式：
定义1：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量x=x-x0趋于零时，对应的函数的增量y=f（x0+x）-f（x0）也趋于零，即y=0，那么就称函数y=f（x）在点x0连续。
定义2：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f（x）当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f（x0），即f（x）=f（x0），那么就称函数y=f（x）在点x0连续。
不同的教材，给出两个定义的顺序不同。无论哪种顺序，关键是使学生理解并掌握函数y=f（x）要在点x0连续，必须满足条件f（x）=f（x0）或y=0。为了使学生搞清楚条件的含义，教学时可以从反例入手，借助函数的图像加以分析。
若先讲定义2可以列举以下实例：
例1：考察函数y=在点x=1处的变化情况。
如图1所示，函数y=的图像是直线y=x+1去掉了点（1，2），显然函数y=在点x=1处就像一条绳子被剪断为两截不再连续，究其原因是函数在此点没有定义。
例2：考察函数f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在点x=0处的变化情况。
如图2所示，函数f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在点x=0处出现了“跳跃”断开了，这种断开不是因为没有定义造成的。学生要问是什么原因造成的呢？这时应引导学生从极限角度进行分析，由f（x）=0，f（x）=2，可知f（x）=0不存在，由此便知，函数在有定义无极限的点处不连续。
例3：考察函数f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在点x=1处的变化情况。
如图3所示，函数f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在点x=1处遇到了“陷阱”。直观观察，函数在处的函数值不是f（1）=12+1=2，而是f（1）=0.9。再进一步观察发现，函数在点x=1处有定义极限也存在，可是f（x）=2，与函数值f（1）=0.9不相等，所以出现了“陷阱”。
三例过后进行小结，得出函数y=f（x）在点x0处若遇到下列三种情况之一就会不连续：（1）没有定义；（2）有定义、极限不存在；（3）有定义、极限存在、但极限值与函数值不相等。这时善于思考的学生就会产生下列想法：“当函数y=f（x）在点x0处同时满足了有定义、极限存在、极限值与函数值相等三个条件时，情况会是怎样呢？”这时教师可以引导学生观察连续函数曲线在一点上的状况。
例4：考察函数y=x2在点x=2处的连续情况。
通过看该函数的图像发现，函数y=x2在点x=2处没有断开是连续的，并且同时满足上述三个条件。这样学生就可以比较充分地认识到：函数要在一点上连续，必须满足条件f（x）=f（x0），以及其中的含义。从几何角度分析，动点在经过曲线上的一点时，经历了沿着曲线无限接近于这一点的过程，如果函数在此点连续，动点就能到达此点并顺利通过，否则就会被“卡住”。
在讲解定义1时也可以采取同样的方法，使学生理解函数y=f（x）要在点x0连续，必须满足条件y=0。可以借助下列函数的图像进行直观地分析。假设函数y=f（x）在点x0处有增量x，当时x0时，由图4所示的函数中发现，其相应函数的增量yA（A≠0），即y=A≠0。从图5所示的函数中看出，相应函数的增量y不能够收敛于一个确定的常数，从而导致y不存在。在图6所示的函数中，相应函数的增量y∞，即y=∞。以上三种情况，函数y=f（x）在点x0都是不连续的，三个函数在点x0处都不满足条件y=0。而在图7所示的函数中，函数y=f（x）在点x0处连续，而条件y=0恰恰在点x0处得到了满足。这样就加深了学生对函数y=f（x）在点x0处满足条件y=0就连续的理解。而条件y=0刻画了函数连续的实质：当自变量有一微小变化时，因变量也会随之有一微小的变化。
函数连续性的整体概念
如果只将函数的连续性局限在一点上连续的层面上，还不能全面把握函数连续的概念。如当考察函数y=sinx在点x=0处的连续性时，根据函数在一点连续的定义，由等式sinx=0=f（0）便知函数y=sinx在点x=0处是连续的。而当考察函数y=sinx在其定义域（-∞，+∞）上的连续性时，该如何进行呢？这需要进一步建立起函数连续性的整体概念。
一般的，知道了怎样判定函数在一点上连续后，应给出函数在开区间（a，b）上连续的概念，即在开区间（a，b）内连续的函数y=f（x），必须在开区间（a，b）内每一点都连续。根据上述要求，在探讨函数y=sinx在（-∞，+∞）上连续的问题时，要说明y=sinx在（-∞，+∞）内的“每一点”都连续，显然逐点验证是不可能的，如果能够寻找到可以“代表”每一点的“点”，通过证明函数在此点连续，进而就可说明函数在区间上连续。
经分析发现，只要在区间（-∞，+∞）上设出任意一点，用“任一点”代替“每一点”加以证明即可使问题得到解决，这也正是数学简约美之所在。如果考察函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的连续性，不仅要求它在区间（a，b）上连续，而且还要满足在区间的左端点a处右连续，右端点b处左连续。至此，关于函数连续性的概念就完整了，学生就会达成这样的共识：函数的连续是动态变化的，是通过函数在其定义区间上的每个点上的连续实现的。连续函数的图形呈现为一条连绵不断的曲线。
参考文献：
[1]曹之江．谈数学及其优教（名师谈数学）[M]．北京：高等教育出版社，2008.
[2]罗韵蓉．浅谈函数的连续性与间断点的教学体会[J]．科学咨询，2009，（4）.
[3]张景中．数学与哲学[M].大连：大连理工大学出版社，2008.
[4]同济大学应用数学系．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2007.
摘要:为了让大一新生尽快适应高等数学的学习,本人认为加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。
对于刚迈进大学的理工科的学生来说，高等数学是首当其冲的一门重要的基础课。很多新生一时还难以适应，常常产生各种各样的问题。如何帮助学生度过这一“非常时期”，使之尽快适应大学的学习生活学好高等数学这门主要的基础课？笔者认为，加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。
一、正确理解数学概念是学好高等数学的前提
无论是初等数学还是高等数学总是从繁杂纷纭的客观世界中抽象出一系列的数学概念，然后以这些概念为基础，进行合理的判断和推理，引出一些定理和公式，形成一个理论体系，然后把“这些符合论理的结论”应用到新的应用领域或实际问题中，因此可以说，概念是数学的基础，概念教学应成为高等数学教学的核心与重点，它是教师教好与学生学好高等数学的关键。只有当教师深刻全面地理解了概念的内涵与本质之后，才能透彻地讲解给出来，学生才能很好的接受，才能以此为基础进行推理、判断、分析等思维活动，理解数学理论体系的来龙去脉，掌握运算的技能技巧。从而获得应用数学方法去分析问题与解决问题的能力。
在初等数学中，大多数概念都比教具体直观，学生容易接受，再加上课时较多，进度较慢，教师由浅入深，亦步亦趋，使一般学生都不会对接受新概念感到很困难。即使有一些学生不重视概念学习只注意计算方法与技巧，但在长期与大量的练习中，由于反复接触，潜移默化，不知不觉地对概念由知之不多过度到知之较多，逐步掌握了概念。但在学习高等数学时，情况发生了很大的改变，高等数学是研究变量的数学，常常需要用运动的观点来讨论，因此更显得抽象、复杂。例如极限、导数、积分等概念都是初学者所不能透彻理解的，加上大学里的教学进度快，反复练习的机会少。难免会使一些新生感到不适应，概念掌握不好，以致于以概念为基础的理论及计算方法当然也就很难学好。因此能不能用有限的时间加强概念教学就成为提高教学质量的关键。
二、注重概念的引入是学习概念的先导
众所周知，数学概念都是由客观实际或客观规律抽象出来的。很多概念都可以在实际中找到它的“原型”。例如：从曲线切线的斜率、变速直线运动的速度的计算等问题抽象出导数概念。从求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等问题抽象出定积分的概念，这种方法符合学生的认识规律，学生只有透彻地理解解决这些问题的思路，才能真正地理解概念的实质及价值。因此，教师不能认为花费一定时间讲解这些背景是没有价值的、是在浪费有限的时间，因而便三言两语草草了事或者根本不讲背景，直接拿出定义，接着便是计算，一个例题接着一个例题，这是不妥当的。再者从客观实例引进概念，也为以后应用这些概念及有关理论去解决应用问题作了一定的准备。
值得注意的是并非每一个概念都要求由实例引入，教师可灵活掌握。对于一些较易理解的概念也可以从已知的概念引出新的概念。例如：无穷小量可由极限概念中当极限值为零时来得到，连续概念也可由极限概念中极限值等于函数值来得到。而原函数的概念自然而然的可由导数的逆运算引出。这些概念对于学生来说都是不难接受的。
总之，不论是由实例抽象出概念还是由旧知识直接引出新概念，教师的主要目的应该放在使学生理解概念的形成，掌握概念的内涵上，所以所用的例子都不宜太复杂或者专业性太强，否则会造成喧宾夺主，反而影响概念的形成与引出。
三、数学概念的定义是概念属性的体现
高等数学中的概念的具体内涵通常用定义的形式给出，有的概念还同时规定了所采用的符号。当教师以实际问题或学生的原有知识为基础抽象出概念以后，就应引导学生理解定义所指出概念的本质属性，从正面和反面等不通角度去反复领会，并利用自己的语言正确地叙述概念。
以导数的定义为例，教师应该使学生层层深入，理解以下各点：
第一、由于函数 在点 处的导数是函数增量 与自变量增量 之比当 时的极限，所以该函数必须在 处及其一个领域内有定义，否则就不可导，比如： 与 在 处就不可导。
第二、函数增量与自变量的增量有不同的表示法。因此导数定义式也有不同的表示法。如： 在 处的导数可以分别表示为 与 等。当极限不存在时此函数在该点不可导。
第三、定义同时给出了求导数的三个步骤：①求函数增量 ②求函数增量与自变量增量之比 ③求极限 ，告诉学生按照这三步就可以求出一些简单函数的导数。
高等数学中有不少概念的定义都明确指出了计算的方法与步骤，除上述导数外，连续概念、定积分概念、级数收敛性概念等都是如此。教师在进行这类概念教学时应该花费一些力气按定义指明的方法与步骤进行有关的计算，以加强学生对这一概念的理解。同时教师也应向学生指出按定义直接进行计算一般是很困难的，因此有必要研究其性质及别的计算法则，这样做就可以唤起学生强烈的求知欲望。
当然高等数学中并非所有的概念都是如此，有些概念的定义只是明确了概念的内涵，而并没有给出计算方法与步骤，如极限的精确定义、原函数与不定积分等等。教师在这类概念的教学中，为了加深学生的理解，一般都要按定义作一些验证工作，如：证明 ，证明 和 都是 的原函数。
学生在学习高等数学时往往有一个不良习惯，轻概念重计算，以为学习高等数学无非就是要会计算、会做题。常常有这样的事情发生，有的学生学完了高等数学也知道 却说不清楚符号 所表示的确切含义，更有甚者学完了高等数学却不知道微商是什么。因此从始至终抓紧概念的教学是很重要的，这不仅要熟记定义的条文、定理的条件和结论，更重要的是透彻地掌握其本质。
四、在概念系统中学习概念
教师经常会遇到这样的情况，有的学生学习一个概念时，以为明白了定义的本质，但是若把这个概念与其它有关概念放在一起时，就糊涂了，比如极限、连续、可导、可微之间的关系，教师都会给学生讲清楚，但学生一碰到下面的问题就举棋不定，不知道从何写起:
设
1) 取何值时， 在 处连续？
2) 取何值时， 在 处可导？
3) 取何值时， 的导数在 处连续？
为什么会出现这种情况呢？一方面是学生还没有真正领会概念的本质，有的学生当时弄清楚了但缺乏巩固措施，不久就忘了。另一方面是学生习惯孤立地学习概念，不善于把相关概念相比教，找出它们之间的联系与区别。因此，在进行概念思维时就会出现“断线”现象，无从下笔，或者写不清楚。要解决这个问题，教师必须在概念系统中教会概念，学生必须在概念系统中学会概念。数学是由概念与命题等内容按一定的逻辑关系组成的知识体系。概念与概念之间总有一定的内在联系，特别是一些相近的概念，其联系更为突出，学生最易混淆。因此，教师在进行概念教学时要不时的将这些概念与前面所学过的相近概念相比教，找出它们的联系与区别，前面说的极限、连续、导数、可微是如此，在此之后的四个中值定理更是如此。
总之，把概念放在概念系统中教学是教师应当把握的教学规律。教师每讲一个新概念，首先必须对这一概念的地位、作用以及与其它概念的联系做到心中有数，使学生对已学过的概念能做到融会贯通，同时，又为今后要学的新概念埋下“伏”笔。
最后要说明的是，对于工科高等数学中的概念的教学，教师必须掌握分寸。工科数学毕竟不同于数学专业的数学，应该着重于应用，而不宜在纯数学理论推导上花费过多的精力，另外专业之间也应该有所区别，这些都是我们从事工科数学教学工作的教师应该注意的。
【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2009）01－0071－01
高等数学的基本研究对象是函数，而研究函数的基本方法是极限，极限的概念是个比较抽象的概念。对于那些从初等数学进入高等数学的高职高专学生而言，不论从知识结构方面，还是从思维方式上来讲，都要有一个本质的转变。为了更好的实现这个转变，就要求我们教师必须把要教的知识内容进行必要的加工，按照学生的实际情况逐渐引导学生走上正确的分析思维，抽象，概括，解决实际问题的道路。
一、讲解实例，使学生获得有关极限概念的感性认识。
为了使学生更好的理解极限的概念，我们先从以下2个例子来讲解。
例1：如何求圆的面积？
解题思路：用圆内接正n边形的面积去逼近圆的面积。
设有一圆，其面积记为s，做它的正四边形，正八边形……正n边形，记做s4，s8……sn，当圆内的正多边形的边数越来越多的时候，它的面积就越近似于圆的面积，即当n∞时，sns。
这个例题是非常有名的“刘徽割圆术”，虽然当时没有严格的极限定义，但是他的这种思想正是体现了极限的概念。
例2：求变速直线运动的瞬时速度。
对这个实例应着重弄清两个问题：第一，要求瞬时速度，为什么要先考虑平均速度？第二，为什么要规定瞬时速度是平均速度的极限？在瞬时速度的概念提出之前，已经有了匀速直线运动的速度概念及其计算方法，引出平均速度只要是将非匀速直线运动转化为迅速运动来处理，从而求出瞬时速度的近似值。
（s―位置的改变量；t―时间的改变量）
表示物体在t时间内的平均速度，它随t的变化而变
化，当时间改变量t越来越小时，位置的改变量s也越来越小，
而平均速度 越来越接近一定值，即平均速度作为瞬时速度的
近似值，其近似程度越小越好，但不管t多么小，所求得的平均速度还不是t时刻的速度，而只是它的一个近似值。要把这个近似值转化为精确值，即求出了t时刻的速度，只有缩小t，当t0时，v（t）v平均，也就是说t越变越小，v平均与v（t）就越接近，有近似值而飞跃到了精确值。
重点讲清这个事例后，从而使学生认识到研究非均匀变化的变化问题确实是世界中存在的普遍问题，而这类问题的解决都归纳为求极限的问题。
二、根据实例给出函数极限的定义
通过上面两个例子，我们可以将它们看作是一个函数。如果给定一个函数y＝f（x），其函数值y会随着自变量x的变化而变化，若当自变量无限接近于某个“目标”，这个目标可以是任意一个确定的常数x0，也可以是＋∞或－∞。此时，函数值y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f（x）以A为极限，下面就以例题并结合它的数值表充分说明函数的极限。
例3：考察当x3时，函数 的变化。
解：函数 在（－∞，＋∞）有定义。
设x从3的左、右侧无限接近于3，即x的取值及对应的函数表如下：
x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …
f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …
数值表给出后，教师应该引导学生去从静态的有限量来刻画动态的无限量，通过直观的数据让学生看到，当x越来越接近于
3时，也就是我们所说的那个目标，函数值 的值就
无限接近于3，体现了我们最后用近似值代替精确值的思想。那么，由这个例题，教师可以给出极限的定义。
定义：设函数f（x）在点x0的某一空心领域内有定义，如果当自变量x无限接近于x0时，相应的函数值无限接近于常数A，则称A为xx0时，函数f（x）的极限，记作： 或
f（x）A（xx0）。
极限的定义给出以后，教师可以让学生根据极限的定义写出
例三的极限，即 。
这时，有些同学可以看到， 的极限值与f（3）的函
数值相等，这是怎么回事？它会给同学们一个错误的概念，求极限就是在求函数值，虽然在后面我们会讲到某些函数求极限是靠函数值求出来的，但是这二者之间没有任何关系。
例如，求 ，如图所
示，当x＝1， 无意义，所
以函数值是不存在的，而当x1时，从图象上可以看出
，所以说，极限是否存在与这点有没有函数值没有
任何关系。
参考文献
