时间：2024-04-16 16:05:05
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有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.在数学里这种方法叫反证法.
反证法不但在实际生活和初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.即：提出假设――推出矛盾――肯定结论.
“反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其他各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用.下面通过具体的例子来说明其应用。
一、否定性命题
证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过P点有ABEF，且CDEF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾.假设错误，则AB∥CD
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的.一般总是在命题的相关领域里考虑（例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点.因此在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾.只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束.
【中图分类号】G633.6
1 引言
公元前六世纪中期的古希腊七贤之首--泰勒斯最早引入了数学证明的思想，公元前三世纪的古希腊数学家欧几里德第一个最广泛、最娴熟地运用了数学证明，我国数学家江泽函则指出："没有数学证明，就没有数学"。反证法是数学证明中的一种间接证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里德证明"素数有无穷多"、欧多克斯证明"两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方"、"鸽子原理"和"最优化原理"的证明等都用了反证法。但是由于在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，学生对反证法原理的理解和恰当地运用也存在不少的问题，故本文在此"抛砖引玉"。
2 反证法内涵
2.1 什么是反证法
法国数学家阿达玛说过："反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。"即先假设命题中结论的反面成立，结合已知的定理条件，进行正确的推理、论证，得出和命题中的题设或前面学习过的定义、公理、定理、已知的事实相矛盾，或自相矛盾的结果，从而断定命题结论的反面不可能成立，因而断定命题中的结论成立，这种证明的方法就叫做反证法。
2.2 反证法的原理
2.2.1 矛盾律
矛盾律是亚里士多德的形式逻辑的基本规律之一，其基本内容是：在同一个论证过程中，对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断，其中至少有一个是假的，它的公式是：不是。如对""这个对象，"是有理数"和"是无理数"的两个判断中至少有一个是假的。
2.2.2 排中律
排中律是形式逻辑的由一个基本规律，其基本内容是：在同一个论证过程，对同一对象的肯定判断和否定判断。这两个相矛盾的判断必有一个是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三种情况的可能，在数学论证中常根据排中律进行推理。如要证明"是有理数"，只要证明"不是有理数"不真就够了。这是因为"不是有理数"和"是有理数"是对象的两个相矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个是真的。
2.3 运用反证法证明论题的步骤
运用反证法证明数学命题""，首先，必须弄清楚命题的条件和结论，然后按以下步骤进行论证：
第一步：否定命题的结论，作出与相矛盾的判断，得到新的命题；
第二步：由出发，利用适当的定义、定理、公理进行正确的演绎推理，引出矛盾结果；
第三步：断定产生矛盾的原因，在于判断不真，从而否定，肯定原结论成立，间接证明了原命题。
分析上述三个步骤可以发现，运用反证法的关键在于由新的论题演绎出一对矛盾，一般为推出的结果与某一定义、定理、公理、已知条件、所作题断矛盾，或是推出两个相互矛盾的结果。
值得注意的是在运用反证法证明命题时要认真细致地审题，若发现与论题结论相矛盾方面有不止一种情况，必须予以一一否定。且有时并非全部运用反证法，它可能只在证明过程中部分地出现。
3 反证法在证明论题中的运用
反证法是重要的证明方法，在几何、代数等领域都有广泛的运用，现分类举例说明。
3.1 反证法在几何中的运用
3.2 反证法在代数中的运用
4 结语
由上可知，用反证法证明一些问题时，有着其它方法所不能替代的作用。师生在了解了反证法的特点、证明过程及应用"须知"后，加强训练、不断总结，就能熟练地运用了。
参考文献：
[1] 杜永中.反证法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.
反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，属于“间接证明” 的一种（引用于现行人教版数学教材）.所谓反证，就是将要证明的反面情况驳倒就可以了.首先假设原命题不成立（即我们在原命题的条件下，假定结论不成立），据此推导出明显矛盾的结果，从而得出结论说原假设不成立，原命题得证.
关于反证法的逻辑依据不得不提两个重要的思维方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的.排中律：任何一个命题判断或思想或者为真或者为假（不真），二者必居其一. 法国数学家J・阿达玛曾概括为：“这证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这就是说反证法并非直接证明命题的结论，先是提出与需证结论反面的假定，然后推导出和公理、定理、定义或与题中假设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证命题的结论相反的假设无法成立，从而肯定了原来待证命题.用反证法完成一个命题的证明，大体上有三个步骤：否定结论 推导出矛盾 结论成立.
二、反证法在数学解题中的应用
（一）在肯定性命题中的应用
即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法进行尝试.
如（代数问题）求证：无论n是什么自然数，总是既约分数.
证明：假设不是既约分数，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k>1）
既约，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不成立，故假设不成立，分数是既约分数.
（二）在否定性命题中的应用
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题.
（三）在限定性命题中的应用
在命题结论中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等词语.
如（代数问题，抽屉原理）把2110人分成128个小组，每组至少1人，证明：至少有5个小组的人数相同.
证明：如若128个小组中，没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组是：128÷4=32个，对32个小组，我们这样分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组……有4个组每小组32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
这样2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人或2人，那么相同人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故至少有5个小组的人数相同.
（四）在不等量命题中的应用
不等式是学生需掌握的一大重点.当不等式的反面情况比较少时，题中若要求证明不等式成立时，那么只需用反证法来证实其反面不成立.
（五）在互逆命题中的应用
已知原命题是正确命题，在求证其逆命题时可使用原命题结论，此时反证法为解题提供更多便捷.
如（平面几何问题）
原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.
逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.
逆命题的证明：
三、对反证法运用的思考
（一）在解题时，仔细审题是第一步.当运用反证法时，正确否定命题的结论是首要问题.要使一个待证命题的结论成立，需根据正难则反的原则.从结论的反面来间接思考问题，值得注意的是命题结论的反面情况并非唯一.若结论的反设只有一种情况，称之为简单归谬.例如，证明根号2是无理数，只需证根号2不是有理数.若结论的反面不止一种情况，称之为穷举归谬.必须将所有可能情况全部例举出来，并需要不重不漏地一一否定，只有这样才能肯定原命题结论成立.例如，证明某类数不为正数，则可以从正数的反面负数与零入手.
（二）明确逻辑推理的特点
反证法的任务首先需否定结论导出矛盾.至于出现什么样的矛盾，何时出现矛盾，矛盾是以何种方式存在，都是我们无法计算和预测的.证明的过程没有一个机械的统一标准，但最终都会得到矛盾，而这个矛盾一般总是在命题的相关领域内进行考虑.例如，空间解析几何，平面几何，代数等问题常常与相关的公理、定理、定义等相联系.正因为与这些公式的规则，定理相互矛盾，进而说明原结论的正确性.这便是反证法的推理特点.做到正确否定命题结论，严格遵守推理规则，推理过程中步步有理有据，矛盾出现时，证明就已完成.
（三）了解产生矛盾的种类
通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证，由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式进行间接论证，这就是我们通常所説的反证法。
看下面例子：
例1 把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎样分法，至少有四只猴子得到的花生一样多。
解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所需花生最少的情况考虑：
3只猴子各分得0颗花生，
3只猴子各分得1颗花生，
3只猴子各分得2颗花生，
、、、 、、、
3只猴子各分得32颗花生，
最后一只猴子分得33颗花生。
这样，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）
这与题设只有1600颗花生矛盾，故原命题成立。
通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？
（一） 通常来说，用反证法时有三个步骤：
ⅰ 反设
“反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意：
1 首先要弄清题目的条件和结论；
2 强调“反设”是对结论的全否定。
例如 求证：若a，b为自然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。
结论的反面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。
ⅱ 归谬
以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出矛盾。这是反证法的核心。
由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂，因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生疑惑，因此，举例説明推出矛盾的主要类型：
①与客观事实矛盾
例 高一有400名学生，求证：这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的。
证明：假设400名学生的生日都不相同，那么一年将有400天，这与客观实际相矛盾，故原命题成立。
②与公理，定理矛盾
例 如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平行。
证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行公理矛盾。
③与题设矛盾
例如 前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生1617颗，而题设只有1600颗花生，矛盾。
④与反设矛盾
ⅲ 存真
由所得矛盾肯定原命题成立。
（二）反证法的适用范围
什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来説，对于“若A则B”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同，就多数题来説，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反证法。
通常来说，下列情况可以考虑使用反证法：
（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；
（2）命题的结论以否定形式出现时；
（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；
（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；
（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；
（6）关于存在性命题；
（7）某些定理的逆定理．
总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．
以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便一些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。
参考文献
1 “正难则反”好思路 峰回路转现通途
作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期
反证法完全解读
作者：陈素珍 中学生数理化（高二版）2010年第02期
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0310-02
法国数学家达玛说：“反证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。在数学教学中，作为一名教师不仅要重视知识的传授，更应该重视对学生进行智力开发和能力培养。反证法是突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，无疑是一种开拓思路的方法，可以增强学生的学习兴趣和思维转换能力，对提高学生的分析问题和解决问题的能力将大有益处。
一、反证法的概念
反证法就是从否定命题的结论出发，经过推理，得出和已知条件或和其他命题相矛盾的结论，或在推理过程中得出自相矛盾的结论，从而达到命题结论正确的数学方法.欲证命题“A是B”，从反面推导“A不是B”不能成立，从而证明“A是B”。它从否定结论出发，经过正确，严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，查处产生矛盾的原因，不是由于推理的错误，而是开始时否定结论所致，因而原命题的结论是正确的。以上内容可以简单概括为：反设、归谬、结论三个步骤。
二、反证法证题的步骤
用反证法证题一般分为三个步骤：
1.反设 假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；
2.归谬 由“反设”出发，根据已知公理，定义，定理等进行层层严密正确的推理；
3.结论 在推理过程中出现矛盾，说明反设不成立，从而肯定原结论成立。
下面举几个例子来说明数学中是如何应用反证法的。
例1 证明：在ABC中，若sinA
证明 假设∠A不是锐角，则∠A必是直角或者钝角。
I.如果∠A是直角，则sinA=1
II.如果∠A是钝角，令∠A=180°-？琢（？琢为锐角）.则sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢
由于∠B是锐角，所以a
综上所述，由I，II可知，∠A必为锐角。
三、反证法中常见的矛盾形式
1.与题设矛盾
例2 若0°
证明 设sinx=cosx，则sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.
所以 即x=45，这与0°
从而sinx≠cosx.
2.假设矛盾
例3 已知？琢，？茁为锐角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求证？琢
证明 设？琢≥？茁，则2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.
因此2？琢，？琢+？茁都是锐角.
所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.
由此可得：cos？琢>1与假设矛盾.
从而？琢
3.与已知的定义，定理，公理矛盾，即得出一个恒假命题
例4 已知如图，弦AB，CD都不是直径，且相交与点P，求证： AB，CD不能互相平分.
证明 假设AB与CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.
又因AB，CD，都不是直径
所以P点与圆心不重合
故存在线段OP，连接OP
又因PA=PB
所以OPAB（平分弦的直径垂直与弦）
又因PC=PD
从而OPCD（平分弦的直径垂直与弦）
这样，过点P有两条直线AB，CD都垂直与OP，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的公理想矛盾，故AB与CD不能互相平分.
注：有些题看似简单，但要从正面入手几乎是不可能的。
4.自相矛盾
例5 如果一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.
已知在ABC中，角平分线CW，CV相等.求证：AB=AC
证明 如右图，过V与W分别引直线平行于BA与BV，设交点为G，连接CG，分别用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分别表示∠VCG，∠VGC，则由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.
设AB≠AC，则？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因为VG=BW，所以VC
但在CBV与BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG
四、应用反证法证题中应该注意的问题
1.有些几何问题用反证法证明时，常常把图形故意作错，在否定了假设之后，这些图形就被否定了。
2.反证法中要对结论做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”这一类结论，而要否定时，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全体”含义的词后面，犯了否定不全的错误。
3.否定结论后要求推理正确无误，步步有据，并且要真正推出矛盾。由推理本身的错误而产生的矛盾，不能作为反证法的依据。
4.在推理过程中必须要用到“已知条件”，否则证明将会出错。
5.反证法一般无需特意去证某一特定结论，只要由否定结论而导致矛盾即可。
通过以上对于反证法的种种表述，我们知道了反证法在数学解题中有着举足轻重的作用，它不仅是一种重要的证题方法，而且对于传统的定向解题的思维模式是一种创新，这更有利于提高数学中提倡的逻辑思维，因此掌握好反证法是非常重要的。
参考文献
[1]沈文选.初等数学解题研究[M].湖南：科学技术出版社，1996.
2 反证法的定义
什么是反证法？法国数学家阿达玛曾对它做了一个精辟的概括：此证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．可见，利用推理中出现的矛盾可以证明数学中的一些结论，这就是反证法．
反证法是从一个否定原结论的假设出发，经过正确的推理而得到（与公理、定理、题设等）相矛盾的结论，由于推理和引用的证据是正确的，因此出现矛盾的原因只能认为是否定原结论的假设是错误的，从而得到原结论成立．
用反证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真．
既然反证法是间接证法,那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的。反证法是指:“证明某个命题时,先假设它的结论的否定成立,然后从这个假设出发,根据命题的条件和已知的真命题,经过推理,得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果。这样,就证明了结论的否定不成立,从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法,叫做反证法。运用反证法证题一般分为以下三个步骤。
1.假设命题的结论不成立;
2.从这个结论出发,经过推理论证,得出矛盾;
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
即:提出假设―推出矛盾―肯定结论。
反证法在线性代数解题中的应用非常广泛,但什么时候应该使用反证法,证明哪些命题适宜使用反证法,都没有一定的规律可循。原则上说,应该因题而异、以简为宜。首先从正面考虑,当不易证明时,再从反面考虑。当由假定原命题结论的否定成立去推出矛盾比证明原命题更容易时,就应该使用反证法。
二、反证法在解线性代数题时的应用
1.对于结论是否定形式的命题,宜用反证法。
由于定义、定理等一般是以肯定的形式出现,因此用它们直接证明否定形式的命题可能会有困难。但否定的反面是肯定,因而从结论的反面入手,即用反证法来证会比较方便。
例1.设矩阵A的特征值λ≠λ,对应的特征向量分别为α、α,证明:α-α不是A的特征向量。
证明:假设α-α是矩阵A的特征向量,则存在数λ,使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由题设条件可知Aα=λα、Aα=λα,于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα,则有λα-λα=λα-λα,即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是属于不同特征值的特征向量,故α、α线性无关,则λ-λ=λ-λ=0,也即有λ=λ。与题设λ≠λ矛盾,所以α-α不是A的特征向量。
2.对于证明结论是“肯定”或“必然”的命题,宜用反证法。
即命题结论中出现“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式,而且从反面较易入手解题时,可考虑使用反证法。
例2.若λ不是A的一个特征值,则矩阵λE-A一定是可逆矩阵。
证明:用反证法,即设矩阵λE-A不可逆,则行列式|λE-A|=0,说明λ是特征方程|λE-A|=0的根,也即说明λ是A的一个特征值,与已知矛盾。所以矩阵λE-A一定是可逆矩阵。
例3.设β可由α,α,…,α线性表出,但不能由α,α,…,α线性表出,证明α一定可由β,α,α,…,α线性表出。
证明:用反证法,由题设可知,存在一组常数k,k,…,k,使得β=k,α+kα+…+kα。假设k=0,则存在一组常数k,k,…,k,使得β=kα+kα+…+kα成立,所以β可由α,α,…,α线性表出,这与题设矛盾,即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α,即α一定可由β,α,α,…,α线性表出。
3.对于证明结论是“惟一”或“必然”的命题,宜用反证法。
即命题结论要求证明某元素是“惟一”或某种表示方式是“惟一”的,而直接去找某个元素或某种表示方式比较困难时,则可考虑从其反面入手。
例4.设向量β可由向量组α,α,…,α线性表出,证明:表示式惟一的充分必要条件是向量组α,α,…,α线性无关。
证明:由题设,存在常数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=β(1)。
证明充分性:设向量组α,α,…,α线生无关,来证β由α,α,…,α的线性性表示式惟一。
假设β由α,α,…,α的线性表示式不惟一,设还有线性表示式为lα+lα+…+lα=β(2)。则k≠l(i=1,2,…,m),则(1)式与(2)式相减得:
(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。
由于α,α,…,α线性无关,故得k-l=0,即k=l(i=1,2,m)。这与k≠l(i=1,2,…,m)矛盾,即β由α,α,…,α线性表示式是惟一的。
证明必要性:设线性表示式(1)惟一,来证α,α,…,α线性无关。
假设α,α,…,α线性相关,则存在一组不全为0的数λ,λ,…λ,使得λα+λα+…+λα=0(3)。则(1)式与(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因为λ,λ,…,λ不全为0,从而存在β的两种不同表示方法,这与β由α,α,…,α的线性表示式惟一矛盾,因此向量组α,α,…,α线性无关。
4.对于证明结论是“至少什么”或“至多什么”的命题,宜用反证法。
例5.试证:向量组α,α,…,α(其中α≠0,s≥2)线性相关的充分必要条件是至少有一个向量α(1≠i≤s)可以被α,α,…,α线性表出。
证明充分性:设有向量α可以由α,α,…,α线性表出,则α,α,…,α线性相关。由于α,α,…,α是α,α,…,α的一个部分组,所以α,α,…,α线性相关。
证明必要性:用反证法,假设每个α(1≠i≤s)都不能由α,α,…,α线性表出。我们接下来来证明α,α,…,α线性无关,设有一组数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=0(1),
则必有k=0,否则k≠0时,α可由α,α,…,α线性表出,与假设不符。这样(1)式成为kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0,…,k=0,因此(1)式成为kα=0。
又已知α≠0,故得k=0。所以向量组α,α,…,α线性无关,与必要性的题设矛盾,假设不成立。即至少有一个向量α可以由α,α,…,α线性表出。
5.对于某些逆命题的正确性,可用反证法。
当原命题与其逆命题都成立时,其逆命题的正确性可用反证法来证明。
例6.设A是n阶实对称矩阵。试证:r(A)=n的充分必要条件是存在矩阵B,使AB+BA是正定矩阵。
证明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩阵,取B=A,则有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E为正定矩阵。
证明充分性:用反证法,假设r(A)≠n,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解,即有X≠0,使AX=0,也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA,说明AB+BA是实对称矩阵。
上述X≠0时,f=X(AB+BA)X=0,与AB+BA是正定矩阵矛盾,所以r(A)=n。
参考文献:
[1]钱椿林.线性代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005.
[2]王中良.线性代数解题指导[M].北京:北京大学出版社,2004.
一、三段论的格
作为一门古老的学科，逻辑已有两千多年的历史。所谓逻辑就是一种能够保留预设真值的推理方法。作为逻辑的基础，我们当然不能忘记亚里士多德和他的三段论。然而关于三段论人们还是广泛存在着误解。
通常人们所言的三段论并非完全意义上亚里士多德的理论，就如同中学课本中的几何公理化体系与《几何原本》相差甚远一样，生活中最常见的三段论只是亚里士多德所划分的二十四个式中的一种形式，而亚里士多德的成就更多体现在《后分析篇》中关于公理化的研究，这一点离大众过于遥远，在此不作讨论。
更重要的是，人们对于直言三段论的基本形式过于忽略，而这种形式对推理有决定性的作用，请看下面两个例子。
推理1 推理2
所有植物都需要水 所有植物都需要水
三叶草是植物 三叶草需要水
所以三叶草需要水 所以三叶草是植物
这两个推理都正确吗？尽管前提都正确，结论就常识而言也没有错，但是从逻辑角度看，推理2是错误的，因为从“三叶草需要水”推出“三叶草是植物”其实证据不足，如推理1所示，正确的推理形式是这样的：
1.所有B是A
2.并且所有C是B
3.那么所有C是A
这就是基本的逻辑定理，其中1、2称为前提，3称为结论。正确的形式为前提1的主项是前提2的谓项，其余词项组成结论，此时前提的真值必然决定结论的真值。这种形式称为三段论的格，用Venn表示如图1，C是A的子集是很明显的。
图1
反观推理1与推理2，我们在应用三段论时一定要严谨。其实很多结论不严密的推理大多都犯有词项位置的错误。
二、反证法的原理
反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛使用。它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。最基本的事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。
在反证法中，我们把待证的结论的反面作为一个前提，依据正确的三段论原理推理，并最终寻找出与现实的直观矛盾或于理不符之处。而结论的真假由前提而定（前文已论述），这个矛盾说明假设有误，因此它的反命题（即待证命题）是正确的。
三、反证法在中学阶段的应用
以上叙述了逻辑推理的基础和反证法的原理，下面是关于反证法应用的讨论。
中学阶段中，反证法在几何中的应用并不多见。然而，平面几何中的反证法却妙不可言，它们精妙的构思令人赞叹，阿基米德甚至用此法证明了圆的面积计算公式。在此我摘录《原本》中的一个命题为反证法的一个例子。
如果两圆相交，那么它们不能有相同的圆心。
设：圆ABC与圆CDG相交与B、C两点（如图）。
证明：假设有相同的圆心为E，连接EC，任意连一条线EFG，
因为G为圆ABC的圆心，所以EC等于EF，
又因为E为圆CDG的圆心，所以EC等于EG，
所以EG等于EF。
于是部分大于整体（违背第5公理）这不可能。
所以：E不是圆ABC、CDG的圆心。
所以：两圆相交不可能有圆，证完。
另一个例子来自图论，有过竞赛经历的人对此模型是非常熟悉的。
两人或两人以上的人群中，人们互相与熟人握手，那么至少两个人的握手次数相同。
证明：以人为顶点，仅当两个人握手时，在此二人间连一边，构成一个图G（V，E），设V=［V，V，…，V］，不妨设各项的度数为d（v）≤d（v）≤…≤d（v），
若等号皆不成立，则有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），
（1）若d（v）=n-1，则每个顶点皆与v相邻，于是d（v）≥1，
所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n与d（v）=n-1相违.
（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，与d（v）＜n-1相违，故假设不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一处等号成立，即至少两个人握手次数相同，证完。
通过两个例子的展示，反证法行之有效的特点一目了然。不过反证法构造的技巧性是有难度的。因此我在这里总结中学数学中反证法的常用场合。
（1）命题以否定形式出现；
（2）唯一性的命题；
二、克服反证法教学心理障碍
学生的心理结构的发展过程包括图式—同化—顺应—平衡等四个过程。当一个新知识出现时，学生首先是用旧的认识结构对其进行解释与吸收，将新知识纳入原有的认识结构之中。当原有的认识结构不能解释，不能容纳新知识时，则内部系统及对原有认识结构进行重新改组，扩大。使之足以包摄新知识，达到新的平衡。学生在以往学习的只是直接证明方法，推理中的每一步在感知上和逻辑上都不会与原有的知识系统和认识图形相互矛盾。他们在具体证明某一题目时，只须将题目具体内容“同化”到他们原有的认识结构或演绎体系中去。这种感知上与逻辑上的一致性已经形成了他们进行演绎推理的心理基础，成为他们达到心理平衡的依据。运用直接证明方法时，也有心理障碍存在，但那是由于在错觉影响下，或在下意识作用下的原因所造成的。而学习反证法时，推理过程中出现的是感知与逻辑上矛盾的情形，与错觉或下意识是不同的。要使学生真正掌握反证法。不将学生原有的演绎体系提高到更高的层次，也就是进行“顺应”的过程，是不可能的。反证法的教学，不应拘泥于教材，宜采取分散难点，逐步渗透，不断深化的方法。有步骤、有计划地落实到教学之中，着重培养学生进行形式演绎的能力。
结果，指导学生练习时，一定要突出两点：一是要将结论的反面当成新的已知条件后，才能由此推出矛盾的结果，否则就不能导致矛盾。二是推理要合乎逻辑，否则即使推出了矛盾后，也不能断言假设不成立。也就是说在“归谬”的过程中其推理应是无懈可击的，其矛盾的产生并非别的原因，只因反设不成立所致。同时，导致矛盾又有如下几种情况：一是与已知条件矛盾。
二是与已学定义、公理、定理相矛盾。三是与题设相矛盾。
3、“结论”的练习：“反证法”中的结论是指最后得出所证命题的结论。教学时，一定要严格要求“结论”准确。否则，将前功尽弃。
（四）比较辨析，恰当运用“反证法”
“反证法”在几何、代数、三角等方面都能应用。教学时，为了扩展学生的视野，激发学生积极性，可适当补充这方面的练习题。另一方面，学生学了“反证法”之后，企图什么证明题都想用“反证法”来证，结果使一些简单问题复杂化了，以致弄巧成拙。教学时还应强调，什么时候用“直接证明法”，什么时候用“反证法”，应依所证命题的具体情况恰当使用。 原则上是“以简
（一）浅显事例引入“反证法”的基本思想
学生刚接触“反证法”时，对于此法中根据排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教学时，可通过学生已有实践体会的浅显的生活方面的事例让学生逐步领会。开始将“反证法”用于解题时候，也宜于用学生已掌握的而且也是最浅显的例子引入。
（二）精讲例题，找出“反证法”的基本规律
有前面的基础，就要注意讲好每一个具有代表性的例题。特别是重要讲好建立新概念或引出新方法时的第一个例题。教学时，宜于运用具体的几何实例。逐步说明证明的过程，并启发学生沿着思维规律进行思考，得出“反证法”的一般步骤和规律：
1、反设：将结论的的反面作为假设。
2、归谬：将“反设”作条件，由此推出和题设或者和公理、定义、已证的定理相矛盾的结果。
3、结论：说明“反设”不成立，从而肯定结论不得不成立。
（三）加强练习，培养用“反证法”证题的基本能力
在学生初步领会“反证法”的基本思想，掌握“反证法”的基本方法以后，还应靠足够的练习来逐步培养学生运用“反证法”证题的能力。练习要有针对性，要重点突出，根据“反证法”的特点，练习的着重点应放在“反设”、“归谬”、“结论”三个方面。
1、“反设”的练习：“反设”即为“否定结论”，它是反证法的第一步，它的正确与否，直接影响着“反证法”的后续部分，学生初学时，往往去否定假设，教学时，应注意纠正。要突出“反设”的含义就是“将结论的反面作为假设”。在思考途径上可指导学生按以下几步进行：第一要弄清所证命题的题设和结论各是什么。第二找出结论的全面相反情况，注意不要漏掉又不要重复。第三否定时用“不”或“不是”加在结论的前面，再把句子化简。
2、“归谬”的练习：“归谬”即“假定结论的反面成立，而导致矛盾。”就是说将结论的反面作为条件后，经过逻辑推理，导出矛盾的结果，这不但是反证法的主要部分，而且也是核心部分。学生初学时，为宜”。一般来说，用“直接证法”的时候居多，但遇下列情况可考虑用“反证法”。
1、当直接证明某个命题有困难或不可能时，可考虑使用“反证法”。
2、否定性问题：在此类问题中，结论的反面即可能就更为具体，常常可以由此去推出矛盾，从而否定可能，而肯定了不可能。
3、唯一性问题：此类问题中，结论的反面是不唯一的，那么，至少可有两个不同者，由此去推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一。
在当前数学教学中常采用的反证法和公式、定理的逆用等都是运用了逆向思维，以下本文将简单介绍如何在初中数学教学中开发和应用逆向思维。
一、逆向思维在初中数学教学中的应用
逆向思维的重要意义就是要打破学生的思维定式，解除学生固有的思维框架，逆向思维就是在思考问题时思维发生突变和跳跃，从而获得全新的解题思路和方法，逆向思维是建设新理论、发展新科学的重要途径。在数学教学中常应用的假设需求解变量为x，即逆向思维在数学中最常见的应用，其原理就是把原本需求解的未知数假定为x代入算式中，视x为已知，利用关系式反推而最终求出x的值。早在19世纪逆向思维就被应用到数学教学中，从而得出了“非欧几何”，20世纪的“模糊数学”也是逆向思维在数学教学中应用的典型事例。
二、数学教学中逆向思维的开发和锻炼
关于如何在初中数学教学中开发和锻炼学生的逆向思维，笔者有以下两点建议。
1.将逆向教学渗入基础知识的教学中
数学是初中教育的基础学科之一，在重视学生对基础知识熟练掌握和应用的同时，将逆向思维、逆向教学引入，不但可以加深学生对基础知识的了解，还能够开拓学生的思维能力和思考方式。在概念等基础知识的教学上应着重加强逆向思维的教育。例如在概念中存在很多的“互为”关系，如“互为相反数”“互为倒数”等，教师可以利用这样的概念来引导学生从正反两个方面分析和解决问题，培养学生逆向思维的能力，帮助学生建立双向的思维模式。如果教师能够在数学教学中适当、适时地引导学生从命题的反面来思考问题，那么学生的逆向思维能力就会在基础知识的教学中逐渐被开发出来。
2.强化逆向思维在解题方法上的渗透
①分析法。分析法注重由结论倒推需要得出解题答案的条
件，倒推过程中会发现解题需要的充分条件都在已知条件中，分析法可以帮助学生认识到解题过程是可逆的，有助于学生逆向思
维能力的培养。②反证法。反证法就是利用已知条件推理论断来证明命题的相反面不成立，从而证明命题成立，反证法属于间接求证的方法，数学中的很多命题从正面得出结论是非常难的，这时一般都会采用反证法，加强学生对反证法应用的锻炼，有助于开发学生的逆向思维、拓展学生思维的深度和广度。③举反例法。在解决数学问题时，若要证明某个命题是错的，除直接证明外，还可以采用举反例的方式来证明。即找出一个符合命题的条件，但是在该条件下命题结论并不成立的例子，这样就证明这个命题是错误的，举反例法需要学生从逆向来看待问题、解决问题。因此，加强学生举反例的锻炼，也可极大地开发学生的逆向思维能力。
数学作为一门重要的学科之一，学生十分有必要学好数学，
这样学生才能更好地发展自身的学业。在新课程标准的推动下，逆向思维的应用对于初中数学教学来讲尤为重要。学生只有掌握好逆向思维的应用，才能更好地掌握数学基础知识，拓展想象力，进而有效拓展新的解题思路。
参考文献：
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，使其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式，通过配方解决数学问题的方法叫做配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式，配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分广泛。在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的最大值最小值以及解析式等方面，都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，因式分解是恒等变形的基础之一，它作为数学的一个有力工具、一种解题方法，在代数、几何、三角的解题中起着重要的作用，因式分解的方法有许多，除课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法外，还可利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等来分解。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式中，用新的变元去代替原式的一个部分，或改造原来的式子，使它简化，从而使问题易于解决。比如，在解分式方程时就会用到这种方法。
4、待定系数法
在解数学题时，有时所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，那么我们可以根据题设条件列出关于待定系数的等式，然后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。在反比例函数、一次函数的问题中，经常用到这种方法。
5、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法：通过对条件和结论的分析，构造辅助元素（它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等），架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法，运用构造法解题，可以使代数、几何、三角等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
6、反证法
反证法是一种间接证法。它先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定原先的假设，达到肯定原命题正确的目的，反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：⑴反设；⑵归谬；⑶结论。
7、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质、定理，不仅可用于计算面积，而且用它们来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果，运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积法，它是几何中的一种常用方法。在证明勾股定理时，我们就常常用面积法。
