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中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）13-350-01
姓名： 班级：
六年级一班 上课日期：
执行思路： 学案内容
学习目标 1、使学生理解和掌握求圆锥体积的计算公式，并能正确求出圆锥的体积。
2、培养学生初步的空间观念、逻辑思维能力、动手操作能力。
3、向学生渗透知识间"相互转化"的辩证唯物主义思想，在联系实际中对学生进行学习目的方面的思想教育。
重点、难点 1、圆锥的体积计算。
2、圆锥的体积公式推导。
预习提纲
或自学题目 1、圆柱的体积公式是什么?字母怎样表示？
2、求下列各圆柱的体积。（只列式不计算）
（1）底面积是5平方厘米，高是6厘米。
（2）底面半径4分米，高是10分米。
（3）底面直径2米，高是3米。
3、介绍一下圆锥的各部分名称及其特征。什么是圆锥的高？生活中你见过哪些物体的形状是圆锥形的？怎样测量这个圆锥形的体积?
探究与
展示内容 1、我们以前学过哪几种立体图形？拿哪种立体图形来帮助研究圆锥的体积更合适呢？为什么？
2、动手实验，解决问题
实验报告单
一、实验目的
研究圆锥和圆柱体积的关系
二、实验过程
1.比较圆锥和圆柱的底和高，我发现（ ）
2. 观察并记录：在圆锥里装满沙，再到入圆柱内，到（）次可以把圆柱到满？或者在圆柱里装满沙，再到入圆锥内，到（ ）次可以到完？
三、问题讨论
1、通过实验，我发现圆柱的体积和圆锥的体积之间的关系是（）
2、根据圆柱的体积公式可以得出圆锥的体积公式为（ ）
3、讨论：如果已知圆锥的底面半径和高能不能求它的体积？或者已知圆锥的底面直径和高呢？圆锥的底面周长和高呢？
用公式表示结论：
练习
巩固
基础 1、半径3厘米，高10厘米
2、工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥，这个沙堆的底面直径是4米，高1.2米，这堆沙子大约有多少立方米？（得数保留两位小数）
2.过程与方法：培养学生初步的空间观念、逻辑思维能力和动手能力。
3.情感、态度与价值观：向学生渗透转化的思想。
教学重点：
圆锥体体积计算公式的推导过程。
教学难点：
正确理解圆锥体积计算公式。
教学过程：
一、复习
1.提问
圆柱的体积公式是什么？求下列圆柱的体积：（1）底面积是7平方厘米，高是6厘米。（2）底面半径是4分米，高是15分米。
投影出示圆锥体，学生说出圆锥的底面和高。
2.导入
同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题。
二、探究新知
1.指导探究圆锥体积的计算公式
教师手持一铅锤，问怎样求出它的体积。把它放入水中，看水面升高了多少，这种方法行吗？（不行）这样求每个圆锥的体积太麻烦了，下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法。老师给每组同学都准备了三个圆锥体容器、一个圆柱体容器和一些沙土。实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒入圆锥体（或圆柱体）容器里，倒的时候要注意：把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想想通过实验有什么发现？
学生分组实验，并汇报实验结果：
（1）圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土，往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满。
（2）圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，圆锥体容器装满沙土，往圆柱体容器里倒，倒了两次，又倒了一些，才装满。
（3）圆柱和圆锥的底面积相等，高相等，圆锥体容器装满沙土，往圆柱体容器里倒，倒了三次，正好装满。
教师演示，并引导学生发现：圆柱体的体积等于和它等底等高的圆锥体体积的三倍，或圆锥的体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一。
用字母表示圆锥的体积公式并板书。
思考：要求圆锥的体积，必须知道哪两个条件？
2.运用公式求圆锥的体积
（1）一个圆锥的底面积是6平方分米，高是4分米，求它的体积。
（2）一个圆锥的底面积是12平方米，高是5米，求它的体积。
3.讲解例题
多媒体出示例题：工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥，这堆沙子的底面直径是4米，高是1.2米，这堆沙子大约有多少立方米？（得数保留两位小数）
这堆沙子是什么形状？（圆锥）
求这堆沙子的体积，实际上就是求谁的体积？（圆锥）
要求圆锥的体积需要和道哪两个条件？（底面积和高）
哪个条件是已知的？另一个条件怎么求？（高是已知的，底面积可以由底面直径求出。
生独立完成，教师巡视指导，集体订正。
三、巩固练习
1.一个圆柱的体积是75.36立方米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方米。
2.一个圆锥的体积是141.3立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方厘米。
3.一个圆锥的底面积是13平方分米，高是3分米，它的体积是多少？
4.一个圆锥的底面半径是10厘米，高是8厘米，它的体积是多少？
教学设计是教师教学工作最初的环节，也是确保课堂教学实效的关键点之一。新课标下的小学数学教材体系比较开放，内容的跳跃性比较大，知识间的联系不够紧密、明显。针对现实教学中对教材把握不准确，而出现教学设计不到位的问题，笔者近年来尝试了“基于教学教材研读的教学设计”， 就是指通过对数学教材的细致、深入阅读，清理知识线索，选择学习素材，确立教学组织思路。
一、把握“本质”，正本清源
鉴于小学生的认知水平，小学数学许多知识内容，特别是纯数学的概念等内容，均以描述性语言，操作性活动，体验性感受等形式呈现，而回避了抽象的学术内涵。比如：自然数、整数、等数域的概念，平面图形、立体图形的构成要素等。这有利于小孩子的数学学习兴趣培育。由此新课程教材内容概括性的东西少了。比如“圆”（北师大版六上）直径、半径的概念就完全依托在图例中，用了“像AB这样线段是直径”的语言。作为数学老师应该明确相关概念的真正内涵，着眼完整的知识体系，去引领建立数学知识网，这是数学老师的根本要求。所以，数学教师阅读教材要读出这些概念的“本质”，把握准本质内容，还原数学真实面貌，再从源头思考，选择更合适的教学方式。如“三角形的稳定性”。教材关于三角形稳定性这个知识点的呈现思路是：“让学生拉一拉三角形框架，发现拉不动（牢固），再举自行车等生活实例，强化这种牢固不变性，以此让学生建立三角形稳定性的认识。教材这样呈现是完全基于学生年龄特点和认知能力。但是“拉不动”不是数学意义上三角形稳定性的真内涵。不然就无法解释“红领巾是三角形，但拉得动这种现象”。所以我们老师要“正本清源”把握三角形稳定性的“本质”。
二、切中“核心”，架桥引导
任何一个知识点都有其核心内容。但教材为方便学生掌握，往往会进行必要的分割呈现。面对这些内容，我们老师务必主动沟通前后，找到知识核心，根据知识结构特点，合理搭桥，帮助学生自主链接知识，健全认知结构。如“用字母表示数”。这个知识点有好几个内容节点，用字母表示特定数，表示不确定数等。教学中我们一般先引导认识“用字母表确定数现象”。并追问“你还见过其他用字母表示的例子吗？”这样的设计，孩子往往很难自主思考、发现“字母表示不确定数“现象。所以，明确用字母表示数的核心是既可以表示确定数，也可以表示不确定的数。我们就应该考虑在这两个点之间架桥。
三、珍视“留白”，开放促思
数学教材中除一些描述性的概念表述这种开放的形式外，还有些内容是全“留白”的，结论要求学生在老师组织探讨中最终生成。这是教材中最开放的空间，也是孩子思维挑战最真实的机会。我们要十分珍惜这种内容，打开思路，创新设计，开放空间，让孩子经历最“动人”的思维历练体验。如“圆锥体积的计算”（北师大版六下）。“圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一”这是圆锥体积计算方法的生发点，其中等底等高是这个方法成立的必要条件，“3倍关系”是方法形成的结构。教材并未直接呈现这种倍数关系，却通过图示将推导实验思路进行了暗示。但这种暗示对孩子探寻圆锥体积计算驱动不强。因为学生对操作并没有先期的自我思考（大概是什么关系？）；其次，探索的需求度不高（等底等高圆锥体积与圆柱体积有特殊关系，学生操作前没有充分感受）。这样，学生在教师安排下的活动，起步阶段的操作十分盲目，当第三杯水刚好注满圆柱时，才调动学生的思维热情，或说突然发现“3倍关系”现象。对这种关系的发现心理准备不足，期待过程十分短暂。就会导致学生对结论印象度下高，影响后续圆锥体积计算公式的记忆与应用。所以，要充分挖掘学生操作需求性，激活学生的心理期待。让学生在逐步经历等底等高圆柱和圆锥体积关系的累计和聚焦过程。抓住两种关系：“等底等高”关系和“体积3倍关系”。这其中“等底等高”是两种形体的图像直接关系，这也是体积数量固定关系成立的基础。所以，案例设计了圆柱中削圆锥的实践活动，并通过“你观察到了什么，想到了什么”等开放的问题，让学生自发建立了圆柱与圆锥的关系认知。再进一步引发学生思考，产生其倍数关系，为圆锥体积计算公式出炉铺就了厚实的基础。这样抓住教材“留白”，主动开放的解读方法，让学生真正经历了知识的生成与发现过程。
四、抽取“主线”，深化实施
主题图是低段教材中最醒目的内容。从低年级学生的特点看，这些图是孩子兴趣调动及知识建构都所必需的。但是阅读时我们要读图明意，这种“意”就是“课堂主线”，即一堂中能贯穿始终的一种载体，并且最终可能是孩子思维表象物的东西。所以，面对主题图，我们要深读，并结合知识内容，抽取“主线”。
前测，就是在教学之前利用不同方法对学生的知识水平进行测试，如掌握学生的学习经验是什么、找到学生的最近发展区等，以便及时调整教学设计。正常情况下，我们都会采用以下几种前测的方法：（1）测试。课前出一张测试卷，了解学生相关的知识情况，以便在教学时可以及时调整教学设计，进行有针对性的教学。（2）访谈。课前随机走进学生当中，与学生交流相关情况，从访谈中了解学生的真实水平，以便在教学时选择最为有效的教学策略。（3）测试与访谈相结合。这种方法是在学生测试之后，针对学生在测试中出现的情况，通过访谈来了解产生的原因，这样可以更加具体、清晰地了解学生的学习起点。（4）作业痕迹分析。作业是在一种自然、自主的情况下发生的学习行为，在很大程度上反映出学生真实的学习水平。从学生的作业中，可以看出哪些学生已经掌握了知识、哪些是学生还没有掌握的内容等，学生错误的原因也可以通过分析作业来获取信息。
二、前测案例呈现及分析
下面，笔者就结合作业痕迹分析法来谈谈如何有效把握学生的学习起点。请看下面几个学生的作业错例：
■
通过对上述四个作业错例进行分析，可以看出学生对圆锥的体积公式掌握不牢，或者说学生还没有更清晰地理解圆锥体积的计算公式。如第一个错例，学生忘记圆锥的体积计算是用底面积来乘的，而不是用半径来乘的;第二个错例，学生忘记了圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，这样求出来的不是圆锥的体积，而是与它等底等高的圆柱体积;第三个错例，学生忘记了圆锥的体积计算公式是半径的平方，而不是直径乘以直径，所以错误产生的原因是没有把直径转化成半径来解答;第四个错例，直接用圆锥的半径平方来乘以高，忘记乘以3.14先求出圆锥的底面积了。通过学生所列的算式，可以看出学生已经基本掌握了圆的相关知识，但是由于粗心，计算圆锥体积时忘记乘以3.14了。
三、根据前测信息设计教案及点评
教学目标：
1.进一步掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，能正确熟练地运用公式计算圆锥的体积。
2.进一步培养学生运用所学知识解决实际问题的能力和动手操作的能力。
3.进一步熟悉圆锥的体积计算。
教学过程：
1.回顾旧知。
（1）学生作业痕迹分析。
（2）今天我们就一起来学习圆锥的体积练习。
2.实际应用。
判断：图中圆锥与哪个圆柱的体积相等？
■
（1）先让学生自己分析，再小组交流。
（2）全班交流，得出结论。
3.拓展提升。
（1）能将直角三角形转成圆锥吗？如果能，请你算算，它的体积是多少？可以闭上眼睛想一想，也可以在纸上画一画。
（2）如下图，有一根圆柱体的木料，底面积为6平方分米，长20分米，沿着木料的中点，把头部加工成一个圆锥。已知削去部分的体积是40立方分米。求加工后木料的体积是多少？
■
4.全课总结。
师：通过今天的学习，你有什么收获？
……
通过前测，发现学生对圆锥的体积公式记得不牢，没有厘清圆锥与圆柱体积计算方法之间的区别和联系，计算时出现丢三落四等现象，在复杂的问题中不能细心、细致地分析数量之间的关系。所以，上述教案完全是根据对学生前测之后所获取的信息进行设计的。上述教学中，回顾旧知时简要地与学生一起分析作业错误的原因，让学生意识到自己的错误，使学生形成要在本节课努力听讲、认真学习的决心与信心。接着，在实际应用环节中，让学生分析圆锥与哪个圆柱的体积相等。这一环节的设计，既来源于学生已经学习过的圆锥体积计算公式，又高于圆锥体积计算公式的应用。学生要想解答这一道题目，就必须牢记圆锥的体积计算公式。这样教学，让学生从更特别的思维角度来厘清圆柱与圆锥体积之间的关系，强化了圆锥体积一定是与它等底等高圆柱体积的三分之一，加深了学生对圆锥体积公式的理解与掌握，为学生能够熟练运用这一公式来解答数学问题奠定了基础。拓展提升环节中的两道题可以促使学生从更广阔的背景出发，加强对圆锥体积的认识。通过这一节课的练习，使学生能够灵活运用圆锥体积计算公式解决生活中的实际问题。
四、教学反思
通过上述前测分析与依据前测设计的教案，笔者认为，可以通过前测完成以下几个方面的任务。
1.明确学生学习起点，恰当安排教学内容。
通过前测，可以知道学生的学习起点是什么，这样教学内容的难易程度就要根据学生的学习起点来安排，不能过难，也不能没有思维含量。如上述案例中，学生的学习起点就是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能灵活运用圆锥体积计算公式解决问题，一遇到复杂的问题时就不知道如何解决了。所以设计教案时，我从学生的这一学习起点出发，让学生重新梳理圆柱与圆锥体积之间的关系，这样就可以从一个新的角度来引导学生理解所学知识，有效地激发了学生探究的积极性。
2.明确学生知识缺陷，灵活调整教学内容。
前测的一个重要功能就是了解学生对所学知识的掌握情况，这样教师就可以根据前测所获取的信息，灵活调整教学内容，有针对性地为学生查漏补缺。如上述教学通过前测，了解学生产生错误的原因是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能够灵活运用圆锥体积计算公式来解答相关的数学问题。但是从前测来看，学生对圆的面积计算公式的运用还是比较到位的。就好比最后一道题，学生可以通过周长来求一堆沙子的底面周长，但是对圆锥体积的计算公式却会出现不同的错误，这就是学生知识上的缺陷。所以，在设计教学时，教师要灵活调整教学内容，让学生从不同的角度灵活运用圆锥体积计算公式解决不同的数学问题。
3.明确前测内容要求，有效组织前测工作。
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）35-033
教学片断一：
师：请每组同学拿出圆柱和圆锥学具，先比一比圆柱和圆锥的底。
生：一样大。
师：请大家再比一比它们的高，怎么样？
生：一样高。
师：下面，我们用等底等高的圆柱和圆锥做实验，看看会发现什么样的规律。
生1：我们组先向圆柱装满水，然后倒入圆锥中，倒三次后倒完，说明圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。
师：应该说清楚什么样的情况下圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。
生1：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
生2：我们组先给圆锥装满沙子，然后倒入圆柱中，倒三次就倒满了，这说明圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
师：圆柱与圆锥的底和高怎么样？说清楚了吗？
生2：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
师出示判断题：圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（全班一半学生判断此题正确）
……
教学片断二：
师：请同学们拿圆锥和圆柱学具，这节课我们就用圆锥和圆柱做实验，看看能不能通过实验发现圆锥和圆柱体积之间的关系。下面，我们开始分组做实验。（生动手操作）
生1：我们组做了两个实验。第一个实验：选择两个等底等高的圆柱和圆锥容器，先给圆柱装满水，然后倒入圆锥中，倒三次正好倒完，发现等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一；第二个实验：选择两个不等底、不等高的圆柱和圆锥容器，方法和第一个实验相同，最后发现不等底、不等高的圆锥体积是圆柱体积的七分之一。
生2：我们组做了三个实验。第一个实验：选择两个等底等高的圆柱和圆锥容器，先给圆锥装满沙子，然后倒入圆柱中，倒三次正好倒满，发现等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一；第二个实验：选择底面积相等、高不相等的圆柱和圆锥容器，方法和第一个实验相同，发现等底不等高的圆锥体积是圆柱体积的五分之一；第三个实验：选择底面积相等、高不相等的圆柱和圆锥容器，方法与前两个实验相同，发现等底不等高的圆锥体积是圆柱体积的四分之一。
师：各小组做了这么多的实验，有相同的结论吗？
生3：有，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
师：不等底等高的圆柱体积和圆锥体积之间的关系，结论是五花八门，没有一定的规律，所以只有等底等高的圆柱和圆锥体积才有以下关系：圆锥体积=圆柱体积×1 / 3。
师出示判断题：圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（全班学生判断此题错误）
……
反思：
不同的教学理念，教学设计不一样，其教学效果更是不同。如上述两个教学片断，笔者认为不同之处主要表现为以下两个方面。
1.机械性操作和自主性操作
教学片断一中，学生犹如机器，机械地执行教师发出的操作指令，实际上并不清楚为什么要用等底等高的圆柱和圆锥容器做实验。这样的实验操作没有思维含量，严重束缚了学生的操作自由，阻碍了学生的思维发展。教学片断二中，教师敢于“该放手时就放手”，为学生提供自主实践探究的机会，这样学生的实验活动是自由的，思维是发展的，目标是明确的。学生经历了亲身体验，清晰的数学概念就形成了，教师在教学中就不用花大力气、费口舌反复强调“等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一”。
师：（出示两个用土豆削成的圆柱体）它们是什么形体？
生：圆柱体。
师：它们是完全相同的两个圆柱体底和高分别相等。
（用刀子将其中一个削成圆锥）
师：这是什么形体？
生：圆锥。
师：你有什么办法知道这个圆锥的体积吗？
生：把它放进盛水的量杯里，看水面升高多少，就可以知道这个圆锥的体积。
师：如果要测量建筑屋上圆锥形尖顶的体积，还能用这种方法吗？
学生讨论。
【设计理念】如果每个圆锥都这样测不现实，让学生感觉到排水法的局限性，产生推导圆锥体积计算公式的需要。苏霍姆林斯基认为，在人的内心深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的世界里，这种需要特别强烈。
二、联想、猜测
师：想一想，我们会计算哪些图形的体积？
生：……
师：假如让你来研究圆锥的体积，你认为圆锥的体积可能和什么图形的体积有关？
生：圆锥的体积可能与圆柱有关。
师出示四组不同的容器教具。第一组：等底等高的圆柱和圆锥。第二组：等底、圆锥的高是圆柱的高的3倍的圆柱和圆锥。第三组：等高不等底的圆柱和圆锥（任意）。第四组：不等底不等高的圆柱和圆锥（任意）。
师：猜一猜，第一组等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系？
生：圆锥的体积可能是圆柱体积的二分之一。
生：可能是三分之一。
生：可能是五分之二。
师：第二组呢？第三组、第四组呢？
师：下面就让我们一起来试验，探究一下圆锥和圆柱体积之间的关系。
【设计理念】数学学习的内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理与交流。要结合学习内容为学生准备丰富典型的操作材料和工具。
三、实验探究
师：各小组要自主选择材料，讨论选择怎样的操作方法，分析研究操作的结果。
各小组讨论、实验、分析、交流。
实验结果：第一组用圆锥容器装水（或沙）倒入等底等高的圆柱容器中，刚好倒三次；第二组用圆锥容器（高是圆柱的三倍）装水（或沙）倒入等底的圆柱容器中，刚好装满；第三组和第四组则不存在第一组和第二组那样的关系。
【设计理念】数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考，掌握有效的学习方法。学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测 、验证、推理、计算、证明等活动过程。
四、导出公式
师：通过第一组（等底等高的圆柱和圆锥）你发现等底等高的圆柱和圆锥的体积有什么关系？你能用字母表示出它们的关系吗？
生：在等底等高条件下：V圆锥=1/3V圆柱=1/3sh
师：通过第二组：底相等，圆锥的高为圆柱的高的3倍时，圆柱和圆锥的体积有什么关系？
生：体积相等。
师：你怎样解释？
【文献标识码】 C
【文章编号】 1004―0463（2016）
11―0106―01
教学过程是师生情感交流、知识共享的过程，既包括预设性生成过程，也包括非预设性生成的过程，教师只有正确把握这一过程，教学中所提出的三维目标才有可能得以实现。当前数学课程资源的多样性与认识的片面性并存，教师机械预设而忽视课程资源、对学生的反应回馈控制不当等问题大量存在。而开放的生成性资源，要求打破传统的课堂秩序与平衡，这对已习惯于“灌输式”和“控制式”教学的教师来说，无疑是严峻的挑战。只有通过教师的捕捉、引领、提炼，使课堂向着高效的目标深化发展，才能演绎出更精彩的课堂。
一、放弃 “预设”，灵动生成
在教学活动中，教师精心预设的教学过程，往往与教学活动的发展有差异，甚至截然不同。当教学不能再按照预设展开，教师不应该牵强地掩盖矛盾，将教案进行到底，而应该果断地放弃预设，机智地生成新的教学方案。
如教学“循环小数的意义”时，笔者按照课前的预设施教：第一步讲故事，第二步找规律，猜图形。“这些图形是有规律的，下面的除法竖式呢？”笔者话锋一转，“请动手计算7÷9，58.6÷1l这两道竖式题。”随后，把学生求的商工工整整地写在黑板上。“第一题的商从小数第几位开始循环？第二题的商呢？”一切都按原先计划的那样推进，和预设的完全吻合。“老师，我们学循环小数有什么用啊？”一位学生突然一问，班上哗然了。出乎意料的问题，打乱原本正常的教学步骤。笔者马上镇静下来，调整了教学设计，把原先要在课堂上做的竖式题放到课外，让学生选用自己喜欢的计算器完成；把课后的作业“联系生活实际，说说生活中有哪些现象也是依次不断重复出现”移到课堂。引导学生们投入到对自然现象和生活实际的探索中，并探究春夏秋冬、日出日落、周一至周日、地球绕着太阳转、月球绕着地球转等自然现象的规律，对于这类课堂偶发事件，若坦然处之，并把它作为宝贵资源加以利用，就能取得良好的效果。
二、利用 “错误”，促进生成
教学中随时可能发生的“错误”是一道道亮丽的风景，有效地挖掘利用好这种动态资源，可以引发学生参与的热情，激起学生探究的心理需求和问题意识，能更好地促进学生的认知和心理发展。
例如，教学“复合应用题”时，笔者出示这样一道题：“ 一个车间要装配288台电视机，工人们每天装配36台，经过了5天，还有多少台没有装配？”这道题一般解法是：288-36×5=108（台）。可是一位学生在黑板上把算式错误地列成288÷36。在下面的学生沉不住气了，纷纷举手要求发言。面对此景，笔者微笑着说：“其实他没有错，只是还没有做完。”教师这么一说，学生们都愣住。这时，有个学生站起来说：“老师，我明白了，他这一步算的是总时间，现在装了5天，还要装8-5=3（天）才能完成任务，即剩下没有装的就是36×3=108（台）。”学生纷纷表示赞同。以上教学过程中，笔者面对学生的错误，非但没有否定学生，而是通过巧妙点拨，既开拓了学生思维，又保护了学生的自尊心，为学生的成长与发展提供了新的契机。
一、通读教材，熟悉整体架构
课堂教学的有效性，主要取决于教师对教学内容的整体把握和掌控。对于课堂教学来说，只有当教师对教材进行整体把握以后，才能够根据编排体系获得相应的教学思路和教学策略，进而设计有效的教学环节，为学生思维的发展搭建合理的“脚手架”。
例如，教学“长方体的认识”一课时，针对长方体的透视图，学生显然存在理解上的难度，一方面是因为教材没有单列专题进行研究，另一方面是由于学生的空间观念还没有建立有效的链接。而且，在平时的教学中，大多数教师对学生空间观念的建构不予以重视，只是在讲台上随便画一下，导致学生的体会比较肤浅，容易造成认知误区。针对这些现状，我校在进行集体研讨时对教材的整体架构做了分析，发现在二年级初次接触平面几何时，学生已经通过观察物体认识到“从不同的位置既可以看到不同的形状，也能看到不同的面，而且最多可以看到三个面”；而在三、四年级时，学生通过对物体的观察，建立了空间观念的初步认识——想要准确把握物体的形状，可以从正面、上面和左侧来观察感受。
通过对教材编排体系的整体研讨，我校教师对“长方体的认识”中长方体透视图的教学设计做了如下改进：先让学生上台观察长方体，看看从自己的角度能够看到几个面。学生根据自己所站的不同方向，可以分别看到正面、侧面和上面。教师追问：“那么，从一个角度观察，你最多能看到几个面？长方体一共有几个面？为什么最多只能看到三个面？”此时已有的认知经验很快有了用武之地，根据之前学过的观察物体的方法，学生发现长方体的六个面从一个方向观察并不能全部看到，最多只能看到三个面，如果要在平面图上表示出来的话，可以将看到的三个面直接画出来，将看不到的面用虚线来代替表示。从上述教学可以看出，教师对教材有了系统的解读和掌控，既突破了直观认识的教学模式，又根据教材的整体编排体系，发挥了学生的已有经验，还在沟通新旧知识间的联系时，实现了思维的连接和拓展，使学生自主建立了空间观念。
二、把握教材，设计有效活动
根据《数学课程标准》（2011版）对数学教学的要求，教师要在丰富学生学习经验的基础上，从有效的教学活动入手，使学生积累基本的数学活动经验。这里有两个方面的考量：其一，要引导学生掌握基本的数学知识和技能；其二，要促进学生的数学理解。这就需要教师对教材进行深入研究，并在读懂、读透的基础上把握其中的重、难点，然后根据学生的认知特点，设计有效的教学活动。因此，在课堂教学中，教师要引导学生深入探究，积累有效的数学活动经验，使他们自主建构数学概念。
例如，教学“圆锥的体积”一课时，根据以往的教学经验，学生计算圆锥的体积时往往容易忽略公式中的1/3，原因何在？我从教材入手，发现其研究模式如下：先直接出示问题并引导学生围绕问题形成初步猜想（圆柱体积=底面积×高，那么圆锥体积是它的几分之几呢），再让学生通过实验验证的方法，发现圆柱和圆锥体积之间存在1/3的关系，最终推导出圆锥体积的计算公式，即V＝1/3Sh。根据教材的安排，我发现了问题所在，很显然，学生对1/3这个倍数关系的理解存在难度。那么，能否将教材中呈现与圆锥等底等高的圆柱的思路重新梳理，先让学生自主发现这个特殊的圆锥是从同一个圆柱中得到的唯一一个与之同底等高的圆锥后，再进行两者关系的猜测和推导呢？
由此，我设计了两个教学活动：活动（1），让学生通过学具进行动手操作和画草图，思考圆柱和圆锥体积之间的关系——将一块圆柱形木材削成圆锥形，可以削成什么样的圆锥？学生得到以下四种答案（如下图），并得出结论：与圆柱同底等高的圆锥只有唯一的一个。
活动（2），让学生观察图，并对等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系进行猜想。学生提出等底等高的圆柱和圆锥的体积之间存在倍数关系，有的认为是2倍，有的认为是3倍。此时，我进行追问：“是不是所有等底等高的圆柱和圆锥体积之间都有这样的关系呢？”学生进行验证操作，将圆锥中的水倒入圆柱后，发现圆柱中的水只有刻度的三分之一。这验证了学生的猜测，并由此推导出了圆锥的体积计算公式，即V＝1/3Sh。在随后的练习环节中，我发现学生计算圆锥体积时没有一人忽略公式中的1/3，并且很多学生根据自己的理解，知道Sh（即圆柱的体积）除以3的由来。上述教学，我从教材入手，把握学生的学习难点所在，并掌握其中的两个关键：一是让学生认识圆柱和圆锥在同底等高的条件下具有唯一性；二是让学生建立圆锥和圆柱体积之间关系的猜想验证模式，然后设计有效的活动来激活学生的思维，促进他们对概念的理解。
三、整合教材，促进思维发展
教材就好比是一个压缩的范例，而教师的教学则是一个解压缩的过程，不仅要将不同版本的教材进行整合，而且要根据学生的实际情况，在尊重文本的前提下超越文本，使学生获得丰富的体验和感悟，从而促进学生思维的发展。
例如，教学“正比例”一课时，学生的学习难点是如何通过数量的变化体验，理解并确定变量之间存在的正比例关系。苏教版教材并没有针对两种变化的量进行专门的内容过渡安排，但在北师大版教材中则有一个过渡课时。为此，我根据班级学生的实际情况，将北师大版教材中针对生活情境中的变量关系进行整合，作为帮助学生积累基本数学活动经验的素材，唤醒学生看图找关系的相关经验，引导学生学会用联系、变与不变的思维方式来表征变化的量。于是，我设计三个层次的活动丰富学生的思维表象：（1）出示生活中小明体重的变化图（如下），让学生学会用不同的观察角度审视表格中的数据，培养学生的数学思维能力。
（2）出示骆驼的体温随时间变化的图（如下），让学生感受变化量的特点，并与第（1）个活动进行关联，培养学生的比较思维。
（3）运用关系式理解并确定数量之间的关系（如下图），使学生经历语言文字叙述变量关系转变为数学符号的过程。
【文章编号】0450-9889（2012）05A-0050-01
教材是教师教学的一种依据，是学生从事学习活动，实现学习目标的重要资源。《数学课程标准》强调，教师不应只做教材忠实的实施者，而要做教材的开发者和建设者。教师要根据学生的认知规律和实际情况，创造性地使用教材，对教材进行大胆取舍、重组，合理教材结构。使教材成为学生活动的素材，培养学生能力的载体。
一、 挖掘教材中的思维“亮点”，培养学生的创新思维
教材中的许多公式，性质都有着极严谨的推理过程。如果教师“照本宣科”，把教材中的数学知识和推理过程直截了当地呈现在学生面前，就会掩盖数学知识发生发展的思维过程，学生就很难进行“积极思考”和“主动建构”。例如，教学“圆锥的体积”时，最传统快捷的教法是让学生熟记公式便进行练习应用。现行教材是利用实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系，主要步骤是：（1）各组准备好等底等高的圆柱圆锥形容器；（2）用倒水或倒沙子的方法试一试；（3）通过实验，仔细发现等底等高的圆锥、圆柱的体积有什么关系。你能用字母表示出它们的关系吗？要求学生自己在实验基础上归纳得到V=1/3sh。但实际上，教过这部分内容的老师都知道，尽管是让学生自己动手实验推导得出了圆锥体积计算公式，在实际问题的解决应用中还是会有很多学生忘记这个1/3，因为学生对圆锥体积的运用还是靠机械模仿来完成。学生对于实验中为什么刚好倒3次就满了、圆柱和圆锥为什么会存在这个3倍关系，其实并不是真正的明白。如果我们在实验操作前增加一个新的环节：将一块圆柱形木料削成圆锥形，你能削出怎样的圆锥体？请画出草图。通过课前动手操作及画图记录，让“等底等高”、“等底不等高”、“等高不等底”、“不等底不等高”四类情况全面展示，让学生发现从一个圆柱中削出的与其等底等高的圆锥是唯一确定的，这就为探寻它们的体积关系的确定打通了思路。这样的教学设计让学生自己经历“建构—解构—再构”的过程。使学生积极主动的投入观察和思考，最终在一致认同的“关系”基础上，自主发现得出了V=1/3sh的结论。这样教学后，学生的作业极少出现计算圆锥体积时遗漏1/3的现象。只有让学生经历知识的形成过程，挖掘教材思维的“亮点”，引导学生进行“再创造”，才能让学生真正的理解掌握知识。
二、寻找新旧知识间的内在联系，提高学生的思维水平
数学知识间的内在联系是很紧密的，各部分知识都不是孤立的，而是一个结构严密的整体。
如在学习“梯形的面积”之前，学生已学习了“平行四边形面积”和“三角形面积”的内容，掌握了平行四边形、三角形面积公式的推导过程。因此，在设计教学时可先通过回顾平行四边形面积和三角形面积公式的推导过程，提炼并归纳方法，利用新旧知识间的内在联系，放手让学生拿出学具与同桌合作交流，自主探究。并用自己的语言讲述探究的方法、过程与结论，使学生在和同学相互交流中体验到学习的乐趣，获得成就感，同时也成就了学生思维的成长。
三、设计开放习题，拓展提升学生的思维
随着新课改的深入发展，广大一线教师广泛认识到开放的课堂设置能让学生放飞思维，能驱动他们深入学习与探索，从而达到迁移知识、生成能力、培养学生创新意识的教学目的。但是在教学实践中，设置开放性问题需要我们把握有度原则，否则就可能沦为漫无目的、偏离“双基”的盲目创设，这样只会让学生感到盲目无从，浪费课堂时间。鉴于此，现结合一线教学实际讨论如何在小学数学课堂中进行有度有节的开放性课堂设置。
一、明确目标，把握教学角度
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”一堂数学课切入和引导的方式很多，但是收到的课堂效果却各不相同。这就要求我们务必要明确教学目标，根据学生的实际认知规律从恰当的角度整合教学内容进行有针对性的引导。
比如针对长方形的面积这一教学内容，我们的教学目标是让学生理解长方形面积与长和宽之间的密切关系，体验面积公式的由来，掌握面积的计算方法。学生初次接触面积的概念，理解起来有点抽象，如果我们沿袭传统的公式背诵法，同学们在解决实际问题时候肯定联想不到公式运用。所以我们应该从动手体验的角度进行引导和启发。
我们可以让大家先画一个长方形，比如长6 cm、宽3 cm，然后让大家在长方形内均分出边长是1 cm的正方形，大家经过细分进而发现均分之后，长边正好分6个，宽边分3个，一共分成18个。这样我们再引导1 cm边长的正方形面积就是1 cm2。那么，该长方形的面积就是长方形囊括多少1 cm2的单位面积。这样引导和设置，能让学生明确目标，形象认识面积的概念，懂得面积计算公式的由来，从而能进一步将知识运用于生活实际。
二、盯住火候，掌控教学难度
数学教学中，教师启发和引导问题的难度要契合学生的实际承受能力，如果难度太大就会让学生产生畏葸不前的消极情绪，而难度过低，又让他们觉得无压力，容易滋生懒惰情绪，不利于知识的掌握和能力的形成。因此，在创设教学设置时，一定要注意对难度的把握。
比如，有位老师在教学圆锥的体积时，给出了同底的一个圆柱和一个圆锥模型，然后让学生猜想它们的体积有怎样的联系。这样的问题开放度太大，让学生无所适从，无法得到想要的教学效果。所以在课堂设置时一定要注意难易火候的掌控。可以通过多媒体展示一个圆柱形容器和一个同底同高的圆锥体，通过视频动画模拟将圆锥体中装满水，然后再将水倒入圆柱体容器中，如此换做任意其他组同底同高的圆柱体和圆锥体，结果大家会发现圆锥体的体积是圆柱体的三分之一。这样的灵活设置，生动、形象，可以化难为简，更容易使学生理解抽象知识，掌握具体的数学概念。
三、参照认知，调控训练深度
习题训练是学生掌握巩固基本概念、熟悉初步运用技能的主要途径，它是问题反馈的窗口，也是教师把握教学深度的重要参考依据。新课改告诉我们学生才是学习的主体，所以在教学和训练中要根据学生的实际认知规律设定教学内容的深度，这样才能有度有节地引导他们拾级而上，逐步巩固基础知识，形成发散思维，生成运用技能。所以教学中我们不能单纯地追求深奥，应从实际出发，生成多层次、多角度、立体化的开放型实践练习。
有一位老师教学小数乘法后，这样布置练习：小李去复印店印两页资料，一页资料要印12份，一页资料要印30份。参照下表，通过计算回答小李怎样印比较合算。
他设置开放性问题的初衷非常好，但是他忽略了学生初步学习小数的乘法，距离应用型综合问题的探究与解答还有很长的距离，所以这个问题是超过理解深度的。他应该尽量给学生摒除繁杂的信息，让他们先掌握基本的小数乘法的算法。比如可以这样进行有度有层次的设置：
①56缩小（ ）倍是0.056 0.056扩大（ ）倍是56
②1.5+1.5+1.5=（ ） 1.5×3=（ ）
③铁丝一米卖1.5元，晓红想买3米需要多少元？该怎样列算式？
这三个层次逐步引导学生回顾小数乘法的意义和计算原理，并通过最简单的生活情境引导学生初步运用技能。这样设置才能让学生循序渐进，全面掌握小数乘法的相关知识和运用，有效提升课堂效率。
总之，把握有度就是把握学生实际认知规律。课堂教学中我们不能盲目地照搬别人的理论学说，应立足实际，有针对地整合教学资源，让知识呈现的方式契合学生的最近认知发展区，只有这样才能实现课堂中质和量的统一，让学生在和谐中建构知识，迁移技能。
一、缺乏教师引导,思维方向无序
在许多示范课堂上,经常可以见到教师这样鼓励:“你喜欢用什么方式想就用什么方式想。”一些教师认为学生回答的问题越多就越生动。实践证明,自主学习更需要教师发挥教育智慧,当教学实际脱离预定轨道时,教师要恰当地把学生引导到课堂的焦点上,把关注点提升到思想领悟,智慧开启的点上来,而不是让学生随波逐流,比如:一位教师在教学“长方形的面积”时,当学生比较出大小不同的两个长方形的面积后,教师又出示了近似的长方形,让学生比较它们面积的大小,这时一位学生说:“我知道只要用长乘宽算出它们的面积就可以比较了。”师:“既然同学们都知道了长方形面积的计算方法,老师就不讲了,下面老师来考考你们,敢接受挑战吗?”生:(异口同声)“敢!”于是课堂教学转入了练习巩固的环节。
对策是:教育以生为本,更要用心引导。
上面的案例只是在对长方形面积猜想的基础上就开始练习活动,而课堂的精华自主活动验证已经缺失了。我觉得可以这样引导:
当学生说出长方形面积公式时,可以继续问:“那么长方形面积与什么有关呢?”生:“长与宽”。师问:“长方形面积与长与宽有关,你是怎么验证的呢?”这时教师就向学生说明:“可以利用课前发的若干1平方厘米摆一摆,看一看,想一想,说一说。”教师完全可以在摆完后继续问:为什么长方形面积只需长乘宽就可以了?通过追问,加深学生对长方形面积的理解。
缺乏引导成问题的原因,在于广大教师对“自主探究学习”认识上的偏激,在传统“教师中心论”的封闭教学受到人们抨击的同时,人们好像一下子又走向另一极端――“学生中心”。这不能不引起我们的进一步思考:自主探究学习就一定要完全由学生自己去做吗?我们在教学活动中,要提高探究活动的有效性,只有教师有针对性地引导,学生才能真正自主参与、主动发现。
二、缺乏探究价值,思维深度不够
如一位教师在教学《圆锥的体积》时,让学生拿出等底等高的圆柱和圆锥容器进行实验,“探索”圆锥的体积公式。教师拿出一个圆柱、一个圆锥,以及黄沙,问圆柱与圆锥有什么样的关系。学生回答:“等底等高。”“那么圆锥的体积公式是怎样的呢?请同学们做实验来验证。”而后,学生开始利用圆柱和圆锥以及黄沙开始做实验,在教师的引导下,当然答案也很容易得出。
对策是:设计有效开放,凸显活动价值。
案例中学生的操作活动只是依照教师的提供的工具机械操作,他们并无选择,仅仅是被动执行教师的指令而已。这样的操作活动,缺少探索价值,阻碍学生的思维,扼杀学生的想象力。要想开放学生的思维,首先教师的思维要开放,这就体现在教学设计之中。
如:教师可准备大量的实验材料:各种容器、填充物等。
师:“根据你已学过的知识设想你能大胆猜想圆锥的体积公式吗?”
生:“圆锥的体积等于1/3底面积乘高。(师追问:能解释一下吗?)圆锥的体积等于圆柱体积的1/3。”
这时教师要求学生验证,在操作的过程中,学生发现圆锥体积并不是圆柱的1/3,教师再引导什么情况下才是这样,学生再通过实验发现两者需等底等高。这时教师再一次让学生推导圆锥公式就有了更深刻的理解。
此案例的设计首先体现在开放性上,教师提供了大量选择材料,所以学生在思考圆锥体积公式就不得不开放自己的思维,去分析,去判断。而这一过程并不是一帆风顺的过程,正是这些失败促使学生进一步思考,或者合作,在强烈的探究欲望之下,直至寻到答案。而这一种答案的得出体现了数学思想之一的精髓,即猜想、选择、验证、成功,而自主活动的探究价值也就体现出来了。
三、缺乏创造性,思维后继乏力
有的教师在上数学课时,纯粹为了自主活动而活动。比如:一位教师在教土豆体积的计算时,学生说可以把土豆切成块,然后计算。教师并未否定,而只是暗示学生用现有的量杯或长方体容器和水。学生见状,配合老师上课的本事也挺大,指出把水倒入容器中,再放入土豆,求出上升的水的体积即可。
对策是:鼓励大胆创新,收获成功体验。
如此简单教法,怎能提升学生的思维,又怎能让学生发挥其创造性?所以我觉得可以这样设计:
