时间：2022-03-17 15:10:54
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（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；
（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；
（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.
3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于等差数列的教学建议
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．
②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．
③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项可看作项数的一次型（）函数，这与其图像的形状相对应．
⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．
⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．
⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．
等差数列通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；
2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；
3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.
教学重点，难点
教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．
教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？
等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项.
（2）已知等差数列中，首项，则公差
（3）已知等差数列中，公差，则首项
这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
（1）已知等差数列中，，求的值.
（2）已知等差数列中，，求.
若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量.
教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.
如：已知等差数列中，…
由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题
（3）已知等差数列中，求；；；；….
类似的还有
（4）已知等差数列中，求的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出
3.研究等差数列的单调性
，考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数，其单调性取决于的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如
（1）已知数列的通项公式为，问数列从第几项开始小于0？
（2）等差数列从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1.用方程思想认识等差数列通项公式；
2.用函数思想解决等差数列问题.
四.板书设计
等差数列通项公式1.方程思想的运用
重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可(这里n≥1,且n∈N*)
2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈N*).
3.等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项(从第2项起)与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，-3，-6，……
，，，，……
12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差”
二、得出等差数列的定义：(见P115)
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1.名称：AP首项公差2.若则该数列为常数列
3.寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为当时(成立)
注意:1°等差数列的通项公式是关于的一次函数
2°如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成AP
证明：若它是以为首项，为公差的AP。
3°公式中若则数列递增，则数列递减
4°图象：一条直线上的一群孤立点
三、例题：注意在中，，，四数中已知三个可以
求出另一个。
例1(P115例一)
例2(P116例二)注意：该题用方程组求参数
例3(P116例三)此题可以看成应用题
四、关于等差中项：如果成AP则证明：设公差为，则例4《教学与测试》P77例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP，求此数列。
解一：是-1与7的等差中项
又是-1与3的等差中项
又是1与7的等差中项解二：设所求的数列为-1，1，3，5，7
五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1.定义法：即证明例5、已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
当时时亦满足首项成AP且公差为6
2.中项法：即利用中项公式，若则成AP。
例6已知，，成AP，求证，，也成AP。
证明：，，成AP
化简得：
=，，也成AP
3.通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。
例7设数列其前项和，问这个数列成AP吗?
解：时时数列不成AP但从第2项起成AP。
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法
六、作业：P118习题3.21-9
七、练习：
1.已知等差数列{an}，(1)an=2n+3,求a1和d(2)a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.
2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。
注：不能只计算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。
3.在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。
4.在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。
分析：本题可采用两种方法来解。
(1)用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据
相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。
(2)用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
5.在数列{an}中,a1=1,an=,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.证明数列是等
差数列，并求Sn。
分析：只要证明(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化
为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。
6.已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2),且a1=1，则这个数列的第10项为()
A18B19C20D21
7.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为()
A2n-5B2n+1C2n-3D2n-1
8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列;命题乙：ma+p、mb+p、mc+p
成等差数列，那么甲是乙的()
A充分而不必要条件B必要而不充分条件
C充要条件D既不必要也不充分条件
9.(1)若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=
(2)首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是
(3)在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是
10.已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。
11.设数列{an}的前n项Sn=n2+2n+4(n∈N*)
(1)写出这个数列的前三项a1,a2,a3;
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）26-0119-03
新课程将课堂教学视为师生互动的过程，对互动的关注、对过程的强调、对探究的重视，使课堂教学越来越处于一种变化、动态的场景中。然而，在现实教学中，师生间的交流总是受到某种程度的阻碍。因此。如何创设多维互动的学习状态，增进师生间的交流，是值得研究的课题。
一、学生情况
教学对象为2012级五年制大专财会专业学生，女生36人，男生4人，整体学习水平高于中专班。学生有一定的分析和解决的能力，但学生层次参差不齐，个体差异较明显；对职业学校学生来说，数学学习是一个难题，特别对于女生，虽然学习习惯优于男生，但抽象思维能力相对较弱。
二、教材内容
1.教材的地位和作用
《数列》是初等数学的重要内容之一。通过学习，有利于加深对函数知识的理解，为今后学习极限做好准备，同时为财会专业相关知识的学习奠定基础。本课对第二节《等差数列》进行研究，具有承前启后的作用。观察、猜测、抽象、概括、论证等多种数学思想方法都在本章节中有所体现；数、式、方程、不等式、函数、简易逻辑等数学知识也在这一章节中有充分的应用。
2.教学目标的确立
以等差数列第一课时为例，本着以“学生发展为本”的理念，根据教学大纲的要求和对教材的分析，笔者设定如下教学目标：
（1）知识目标。理解等差数列的概念和通项公式的含义，会用等差数列通项公式解决简单的实际问题。
（2）能力目标。在概念形成的过程中，培养学生的观察能力和归纳能力。通过观察、猜测、归纳探索通项公式，感悟演绎推理，体会“由特殊到一般，由一般到特殊”的思想。
（3）情感目标。让学生养成细心观察、认真分析、勇于探索、善于总结的良好思维习惯，培养学生自主解决问题的能力，以及积极主动、勇于探索的精神，不断增强学习数学的兴趣和自信心。
3.教学重难点的确立
（1）教学重点：等差数列的概念，以及通项公式的理解和应用。
（2）教学难点：等差数列通项公式和前n项和公式的推导。
三、教法与学法
叶圣陶先生指出：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导，必令学生运其才智，勤学练习，领悟之源广开，纯熟之功弥深，乃为善教者也。”根据本单元教材内容和学生特点，笔者运用了以下教法：情境引入法――营造课堂氛围，激发学习兴趣；启发引导法――紧扣本课主题，鼓励积极思考；互动教学法――教师指点迷津，达到教学同步；讲练结合法――符合认知规律，教学做的合一。
新课程的重要理念，就是要培养学生的自我学习能力，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。因此，在本课教学中，让学生运用自主探究、合作讨论、自我评价等方法。
四、教学过程设计
1.课前准备
（1）教师准备。以小组为单位，学生按要求预习。调整例题、练习的顺序和难度，制作教案，以现代化的教学手段制作课件。
（2）学生准备。预习教材：什么是等差数列？有什么特性？等差数列的每一项和首项有什么关系？等差数列的通项如何表示？小组合作，资料搜集。生活中能找到哪些等差数列？
2.教学过程
本着“教学内容模块化，学习问题任务化，知识技能情景化”的原则进行设计：
（1）等差数列的概念。
第一，创设情境。
情景1.5月12号为了感谢母亲，买了一盒DOVE巧克力，共21块。每天吃掉一块，剩下的块数组成了一个数列①：21，20，19，18，17，…
情景2.6月16号是父亲节，打算为父亲买双鞋，市面上的鞋码了解多少呢？根据男鞋码对照表，脚长*2-10=鞋码。数列①：24，24.5，25，25.5，26，26.5，
27，27.5；数列②：38，39，40，41，42，43，44，45。
提问：观察上述3个数列，相邻两项之间有什么共同特点？
回答：相邻两项的差为同一个常数。
板书：an-an-1=常数。
第二，形成概念。①投影：2-1=3-2=4-3=…=n-n-1=d（n∈N+，n≥2）；②投影：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，则称这个数列为等差数列，这个常数称为公差，用d表示；③板书：强调关键词，从第2项起、每一项、差、同一个常数；④板书：强化表达式n-n-1=d或n=n-1+d。
第三，定义拓展。
试一试。判断以下各数列是否为等差数列，若是，请求出首项及公差。①2，5，8，11，14；②-2，-2，-2，-2，-2；③1，0，-1，0，1，0，-1，0…
说一说：根据课前预习，请说出两个等差数列，说明它的首项和公差.
第四，精讲精练。判断下列数列是否为等差数列①an=3n-2；②bn= ，说明理由。
第五，课堂练习。①判断下列数列是否为等差数列，若是，请求出首项及公差。n=7n-5、bn=-1；②已知下列数列都是等差数列，填出所缺的项，并求其公差。a.5， ， ， ，25，d=…， ；b.7，3， ， ， ，…，d= 。
（2）等差数列的通项公式。
第一，问题提出。问题①：已知等差数列的首项为7，公差为-4，你能够很快写出这个数列的第6、7、8项吗？问题②：已知等差数列的首项1，公差为d，你能用1和d表示数列的任意一项n吗？
第二，师生探究。
第三，归纳小结。等差数列的通项公式：n=1+（n-1）d（n∈N+），量的含义：an第n项的值，1第一项（首项），n项数，d公差。
第四，精讲精练。已知等差数列{n}的首项是1，公差是3，求数列的第11项。变题：根据已知条件求等差数列{n}的通项公式，①1=1，n=31，n=11求d；②11=31，d=3，求1。思考：已知1=1，d=3，你能求出该数列的通项公式吗？
第五，自主学习。①等差数列10，8，6，4，2，…中，首项 1= ，公差d= ，通项n= ；②等差数列{n}中，1=20，d=-3，则这个数列从第 项开始为负；③数列{n}中，1=3，n+1=n-2，则8= 。
第六，情景拓展。母亲节的巧克力，一盒有21颗，每天吃1颗，几天可以吃完？你能够用数学的眼光来看吗？如何操作？如果每天吃3颗呢？
3.课堂总结，布置作业
（1）课堂总结。等差数列的概念2-1=3-2=4-3=…=n-n-1=d（n∈N+，n≥2），等差数列通项公式n=1+（n-1）d（n∈N+），等差数列通项公式的推导方法：不完全归纳法。
（2）布置作业。
第一，自我反思。本节课学了哪些内容？掌握了什么技能？有哪些收获？还有哪些内容需要进一步理解？
第二，巩固训练。
a.下列数列是等差数列的是（ ）
A.1，-1，1，-1，1，-1，…
B.1，-1，-2，-3，-4，-5
C.1，1，1，1，1，1，…
D.1， ， ， ， ， ， ，
b.判断下列数列是否为等差数列，n=-3n+1、n=2n、n=2（n+1）+3，并说明理由。
c.已知数列{n}为等差数列：①若1=1，d=4，求20；②若1=6，8=27，求d；③3=16，7=8，求此数列的通项公式。
d.某学校的阶梯教室有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，那么第一排有多少个座位？
第三，预习课本。P11-13等差数列前n项和公式。
第四，数学阅读。麦田怪圈之迷http：///20121114/n357611375.shtml.
五、反思
公开课虽然结束了，但课题研究才刚刚开始，笔者对这次课做了如下教学反思：
1.成功之处
“因为喜欢老师而喜欢数学”是笔者所追求的境界，希望学生不要因为害怕数学而不喜欢数学教师。
评课说1：“引例很感动，立足生活，能够抓住一个点‘5月感恩季’，对学生进行感恩教育，是学校德育亮点的体现。”
评课说2：“本课两大块，教师从练习2入手，找出衔接点引入通项，非常得体自然，很棒！”
评课说3：“情景拓展部分回归生活，用‘数学的眼光’看问题，很有创意。”
2.不足之处
发挥课堂作用，提高课堂实效，值得继续研究。
评课说1：“学生观察生活的能力还不高，让学生‘找生活中的等差数列’，学生的理解明显狭隘。”
评课说2：“学生上课讨论有气氛，但个体差异不明显，要面向全体就prefect了。”
二、在教学中帮助学生拓展思维
类比是联想的典型表现形式，它表现为由此及彼再及彼的思维拓展运动。学生通过类比思维可以将以前所学过的数学公式、定理和新的知识进行研究性的对照，在这一过程中，教师的职责就是让学生通过类比和联想从已经掌握的数学知识和经验迁移到即将学习的高中数学知识上，这有利于学生快速学习新的高中数学知识。实践表明，利用类比来进行联想式教学，能够帮助学生启迪思维，锻炼科学的思考方法，养成严谨的推理习惯，拓展学生的知识视野和范围，加强他们的逻辑思维能力，提高他们对于学习数学的主动性和积极性。比如，在讲到等比数列的时候，我就用等差数列来进行类比。我们知道，等差数列是高中生最早接触到的最简单的数列，但它也是最基础的数列，能为学生建立最初的数学模型。等差数列的规律是，从数字的第二项开始，后面每一项与前一项的差都是一个有规律的常数的数列。这个数列具有代表性，揭示了数列的基本特征。解题时，我先将一个等差数列和一个等比数列书写到黑板上，请学生认真观察这两组数列，并说出他们的相同点和不同点。学生利用所学过的等差数列的概念和模型去感知新的数列，发现从第二项开始，后面每一项与前面一项的比值是一组固定常数的数列。其相同点在于后项与前项发生关系产生新的常数，并且这个数是固定的，不同的地方在于前者的关系是差，后者的关系是比。利用类比联想教学可以让学生利用旧有知识快速接受新知，增强学生的思维活跃性，在学生进行广泛联想和类比的过程中不知不觉地拓展思维习惯，帮他们建立起牢固的数学模型。这样，学生得到的不再仅仅是考试的能力，更提高了自身素质。
三、建立和谐的师生关系，鼓励学生勇于创新
和谐的师生关系是平等的学习者关系。在传统的教学中，教师是权威，不容辩驳，也不容质疑，就算在教师模棱两可的情况下，只要是教师说出的答案，学生就会无条件地接受并记在笔记里。很多时候，这并不是教师强迫学生如此，而是在长期的师生教学中形成的思维惯式。由此可见，教师的教学行为与学生的学习行为之间仍然存在脱节现象，教师讲完课之后，就布置作业给学生，教师的“教”与学生的“学”被生硬地分离开来。这就使得教师与学生、“教”与“学”之间缺乏有机联系，缺乏必要的互动关系，因而导致教师的“教”和学生的“学”变得孤立而盲目、散漫而无章法。一道复杂的数学题就像是拥有多条路径的城池，虽然我们在经验里认为路途有远近之分，坦途与坎坷之分。但是，在基础教育阶段的中学数学教学中，不应该由教师来决定哪条路是捷径，是简便方法，哪条路是最正确的道路。因为正如上文所言，教师教学的目的不是到达那个城堡，不是简单地为了获得结果，而是侧重学生学习的过程，在这个过程中要充分尊重作为学习个体的学生的个性差异所带来的思维习惯的不同与解题思路的不同，最大限度地激发学生学习的潜力，调动学生思维的积极性。
1000， 1100，1210，1331，……
如果按照这个规律发展下去，下一年应给国家制造多少利税？
以处引出由1000，1100，1210，1331，……所确定的数列，研究这一数列的特点，给出等比数列的定义，这种以实例引入新课的方法自然突出了数学的应用性，同时还可以从中进行爱国主义教育。
方案二，以具体的等比数列引入，先给出四个数列： 1，2，4，8，16，……
1，-1，1，-1，1，……
-4，2，-1， ……
1，1，1，1，1，……
由同学们自己去研究这四个数列中。
每个数列相邻两项之间有什么关系？
这四个数列有什么共同点？
由此引导学生自己去观察、研究，去归纳，从中发现规律，突出了以学生为主体的思想，训练和培养了学生的归纳思维能力。
方案三，以等差数列引入，开门见山，明确地告诉学生，“今天我们这节课学习等比数列”，它与等差数列有密切的联系，同学们完全可以据已学过的等差数列来研究等比数列。
什么样的数列叫等差数列？
你能类比猜想什么是等比数列？试举出一两个例子，试说出它的定义。
方案三比二“更带有激发性，学生参与的程度更强，在几乎没有任何提示的情况下，让学生自己动脑动手去研究，从思维类型来看，这种方法重要是训练和培养学生的类比思维，可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
由此引发的思考。
如何通过对教材内容的学习，以实现培养能力和提高素质的目的。
从目前高考改革的方向来看，逐步加强对能力的考查，因此，课堂教学的改革也应该以培养能力和提高素质为主线，使“素质教育”和“应试教育”有机的结合起来。可我们在平时的教学中比较重视解题教学，对新课的引入过程，对新知识的形成过程重视不够，将好多可以进行能力培养和训练的机会放过了，认为课堂教学时间紧，能力培养见效慢，不如“精讲多练”实惠，对如何使用课本进行能力培养的问题，也有模糊认识，认为课本怎么写我就怎么讲，既省时又省事，更省力，这些想法带有一定的普遍性。
课堂教学设计的出发点是什么？
由于同一个内容可以产生不同的教学设计，说明不同的教学设计一定有不同的考虑，会实现不同的目的。
教师在备课时，一般容易单纯从教学内容出发，考虑如何掌握所教教学内容为主，对深层次的教学目的考虑不周或不去考虑，这确实是值得我们深思的问题，在这种思想指导下的教学设计经验只停留在知识内容或方法上，而忽视能力和素质要求，缺乏深层次的思考，淡化了过程。 怎样科学、合理地进行教学设计
我们知道，教学质量的关键在于课堂教学，而课堂教学的好坏，关键在于备课，可以说教学的过程是从备课开始的，因此抓好备课这个起始环节是至关重要的。这样摆在我们面前的问题就是如何科学地、合理地进行教学设计，真正把好备课关。
当前的问题是有些老师对备课还重视不够，个别老师的教案是使用多年不变，有的老师只备例题和习题，没有能力培养的意识，也有的老师将能力训练和素质培养纳入教学轨道，但经验不足，训练不知如何下手。因此，我们觉得有必要对如何进行教学设计开展研究和讨论。
课堂教学过程设计要素
在课堂教学设计过程中，既要注重知识、方法和能力的关系，又要突出能力的地位和作用。为此，我们认为教学过程设计的主导思想是有利于学生能力的形成和素质的提高，这是教学改革的方向。
要分析班级的整体状况。
不同的学校，不同的班级的学生的知识基础、能力水平、学习习惯、学习速度、课堂
气氛,……，都有差异，因此在进行课堂教学设计考虑能力要求时，应随学生的思维水平有所区别。在进行具体的教学过程设计时所设问题的大小、难易程度也要因学生而异。 如果一个班级基础很差，就很难在教学过程中设计一个由学生讨论、发现、论证的完整的教学环节。相反，若一个班级的学生的学习兴趣浓厚，有良好的发言习惯，又有一批较好掌握论证技巧的学生，最有可能安排设计讨论的环节，引导学生自已归纳推导出某些数学命题，充分发挥学生的创造性。总之，教学过程的设计要符合学生的实际，要有利于提高他们的思维水平。
师：回顾等差、等比数列的前n项和求和公式，并解答下列小题。
1．若an=n,则a1+a3+a5+…+a11=；若an的前n项和为Sn，则Snn的前n项和Tn=。
2．1+(1+2)+(1+2+4)+(1+2+4+8)+…+(1+2+4+…+2n－1)=。
同学们开始认真思考，并积极回答问题。但在解题时错误主要体现在对公式中字母含义的理解。
师：同学们将公式记得都很熟练，但希望大家不仅能用符号语言表达，也能用文字语言表达。比如，等差数列前n项和可说成（大家随着老师指着公式中的字母齐声回答）二分之首项加末项乘以项数，那么其他公式可以说成……
同学们能齐声回答，气氛热烈。
点评：作为教师，通过学生对本题的解答了解他们对这一知识的认识情况，了解到他们获得的经验和存在的问题，在学生原有的基础上有针对性地进行教学，也更贴近学生的需要，有更好的效果。作为学生，同时也可以通过本题，不仅回顾了知识，调动了从前的学习经验，同时也了解到了自己在知识掌握方面有问题的地方，对知识进行进一步地钻研和再认识，从而达到高效复习。
二、一题多变，师生互动
例1已知等差数列an的通项公式为an=n，已知等比数列bn的通项公式为bn=2n。
（1）若cn=1anan+2，则数列cn的前n项和为；（2）若cn=14an2－1，则数列cn的前n项和为。
学生解答（1）的过程：cn=1anan+2=1n(n+2)=12(1n－1n+2)，前n项和为12［(1－13)+(12－14)+(13－15)+…+(1n－1n+2)］=34－2n+32(n+1)(n+2)。
学生解答（2）的过程：cn=14an2－1=1(2an+1)(2an－1)=12(12n－1－12n+1)，前n项和为12［(1－13)+(13－15)+(15－17)+…+(12n－1－12n+1)］=12(1－12n+1)=n2n+1。
同学们积极讨论，并口头表述解题思路。但在解题过程中也出现了一些错误，如：（1）中12(1n－1n+2)的12是怎么来的，（2）中为什么要变形为1(2an+1)(2an－1)，教师也顺势给出了通项公式的分子为常数，分母为等差数列连续两项相乘都可以用裂项求和法。
点评：课堂上，当学生口头表述出解题的主要方法之后，如果能就势让学生大胆地尝试，完整地展示其思考过程，这样的教学不仅有利于激发学生自主探究、主动学习的热情，也有利于活跃课堂气氛，增加学生参与课堂的积极性。至于教师讲什么？应该讲解学生思维中暴露出的不足之处，适度点拨，在“精”字上下工夫，起到“点睛”的作用。
首先，影响高中数学课堂教学有效性最重要的一个因素就是教师的综合能力素质。目前，在教学过程中，很多老师仍采用传统的教学方法，对现代化的教学工具不甚了解。
其次，教师的知识结构也会对课堂教学有效性的效果产生影响。很多教师的综合知识面不够广，缺乏对除文化课以外知识的了解。并且教师所掌握的知识非常的有限，并且陈旧，对先进的技术和教学理论不够了解，大多只依照课本和教案进行讲授。
2.学生因素
首先，学生学习动机会影响数学课堂教学有效性。一是因为学习活动需要由学习动机向前推进，这样才能激发学生的学习兴趣，对数学学习产生积极性；二是因为动机对学习行为有着非常关键的作用，只有具有学习的动机才能进行学习相关的活动，并且一直朝着这个方向前进。学习的动机一般情况下都是多变的，在经理某一件事情或者挫折时，由相关动机引起的学习活动有效性会受到很大的影响。
其次，学生注意力不够集中也会对课堂教学的有效性产生影响。注意力是学习的重要保障，注意力不集中，对知识的掌握就不够全面。例如在课堂中说话、弄小动作都会影响课堂有效性的效果。
3.环境因素
对于数学这种逻辑性和抽象性较强的学科，学校并没有增设课时；同时高中数学课程难度增大，但是在总结方面仍需学生自己思考；课堂知识点较多，复习压力较大。很多学生都无法掌握数学的学习方法，这就导致高中数学课堂教学有效性效果低于预期效果。
二、如何提高高中数学课堂教学有效性
1.明确教学目标，调控课堂教学
教学目标对实施有效的课堂教学有着调控的作用，会直接影响课堂教学的效率。因此，构建有效课堂教学，必须制定完整、明确、科学的教学目标，将知识与技能、过程与方法、情感和态度这三个目标领域相结合，提高高中数学课堂教学的有效性。
2.加强对教师的培训，提升教师综合素质和能力
随着新课程改革的推进，对高中数学教师的要求也越来越高。想要教师适应教育的发展，就必须对教师进行严格的培训，改变教师传统教育理念。首先，要加强对教师继续的管理，在新课程改革中出现了很多新的知识点和教学理论，只有通过学习，教师才能提高自身的能力和水平，关注新的教育理念和内容。其次，在校内组织教研活动，教材导入、教学方式、应用设备，内容难度的设定等都是教研活动的内容。
3.激发学生对数学学习的兴趣，提高主动学习能力
激发学生对数学的兴趣和积极性是实现有效教学的重要手段。例如，可以利用趣味性教学方法提高学生对数学知识的兴趣，在学习等差数列时有这样一到题：A、B、C三个人的年龄正好构成一个等差数列，且三人的年龄和为120岁，C的年龄比A的四倍还多五，求三人的年龄。通过分析得到：三个数形成等差数列，且知道三个数的和，可以讲三个数设为a-b、a、a+b，这样可以方便求出a，进而解决其他两个数。可以让三个学生分别扮演这三个人，学生就会很快对其做出判断。通过这样的趣味性学习，将大大提高学生的兴趣和主动学习能力。
4.对教学进行反思，使课堂内容更加深入
在有效教学中，教师作为教学的研究者和实践者，需对教学中所涉及的问题进行分析，在此基础上重新规划教学方法。并在教学中总结经验，形成良好的反思教学习惯，在长期的经验积累中，课堂教学的有效性定会大大提升。
一、爱国主义教育
高中数学教材中，有丰富的爱国主义教育素材，在教学中适时地、自然地利用它们对学生进行思想教育，会达到事半功倍的效果。
1.利用数学中的应用题和一些数学模型，通过一些具体的数据计算，让学生了解为什么要控制人口，实行计划生育，保护环境和生态平衡的重要性及迫切性。
2.利用数学课外活动，组织学生到农村进行实地调查，了解分析农村情况，用自己掌握的材料写一些小论文。使学生认识到国家“三农”政策的英明。
3.适时的介绍我国的数学发展史。介绍我国在数学方面取得的成绩和杰出的数学人才及他们取得的数学成果（如杨辉、祖冲之、祖恒、秦韶九、华罗庚、陈景润等的成就和事绩）。数学发展史蕴藏着宝贵的精神财富，能够激发学生的爱国热情，增强民族自豪感和责任感，从而培养学生学习兴趣。
二、辩证唯物主义思想
数学学科蕴含着极其丰富的辩证思想，它较其它学科更为具体和广泛，这是数学学科的一大特点，结合教学实际可以对学生进行辩证唯物主义教育。如函数的定义、轨迹的概念等都是运动和变化的思想在数学中的具体体现；数的对立统一（实数与虚数），量变到质变（圆锥曲线离心率e的变化得出不同的圆锥曲线）、运算法则的互逆关系（指数运算与对数运算）都是对立统一规律的具体反映；一些定理、定义、公式、法则之间相互制约、相互联系、相互依赖，都反映了普遍联系的规律；还有反证法的思想，实际上是矛盾中否定之否定规律的体现。
高中生正处于世界观逐渐形成的阶段，为了让学生有一个正确的世界观，用辩证唯物主义思想去认识世界，教师在讲授相应新课的同时，适时地、恰当地渗透些辩证唯物主义思想教育，不仅有利于学生对数学知识的深刻理解和对数学方法的熟练掌握，更重要的是有助于学生形成良好的思维品质和科学的世界观。可以从以下几方面进行：
1.掌握学情，精心设计教案，特别是新授课中要注意加强学生知识形成过程的教学，强调逻辑推理能力的同时，注重实验和直观增强感性认识，循序渐进，以适应学生的认知规律。如在概率教学时由大量实验培养学生的认识概率，概率可以帮助人们更客观地认识世界（如破除迷信、揭示谎言等）。
2.数学中应多“授之以渔”，重视思维方法的教学，特别是强化未知向已知转化的内在联系，培养观察能力和猜想能力，教会学生动手和动脑的能力。如在等差等比数列的教学时特别是求和求通项，如、已知在中求。
解：由已知
可形为
以上各式累加得：当n2时：
=
=
当n=1时21-1=1也适合所以
在此题的教学过成中可以由等差数列的定义出发，发现其中的差异以及推导等差数列通项公式的逐差累加法。再结合数求和，即能解决。
3.教学中充分借助“动”和“静”的相对性分析问题，比如“移动中看空间图形”。参变量的选取大都是根据运动的需要设置的，这些体现动与静的统一的思想在函数、三角、复数、数列、解析几何等数学的各个分支上举不胜举。老师应注意让学生应用。
4.提倡一题多解，一题多变，作好解题后的总结和思考。
如在讲解习题：已知数列是一个等差数列，且
（1）求的通项公式an；（2）求前n项和的最大值。
在求解的二问的时候，我们可利用第一问的结果判断正负项，在求解，也可以求出前n项和公式利用函数性质进行求解。解题后应对两组公式的作用有深刻认识。同时我们将已知条件该变，再去求前n项和的最值问题，就应该有一定的方向性，我们要求出通项公式，或前n项和公式。
三、意志品质、道德品质、价值取向
高中阶段是学生道德观、价值观形成的关键时期，仅靠政治课、班团活动和班主任工作使学生形成正确的道德观、价值观是不够的，在数学学科教学中把握时机，有目的、有意识地培养学生的道德观、价值观可以从下几个方面进行。
1.意志品质的培养。通过数学概念的形成，结论的推证，问题的求解，引导学生经历困难、挫折，培养学生学习上不怕吃苦，勇于面对挑战，不畏困难，百折不挠的顽强的意志品质。
现代教育理论认为，课堂教学是一个动态的、不断发展的过程，是师生智慧碰撞、思想交流、情感沟通的过程，在这个过程中，往往会产生一些意料之外而又有意义的信息，学生经常会涌现出一些创造性思维的火花，这是教师课前无法预设的生成性资源。这种稍纵即逝的生成性资源，如果利用得当，往往可以激发学生的学习兴趣，提高课堂的教学效益，使课堂更加灵动和精彩。那么，作为一名数学教师，该怎样捕捉和利用好课堂上的生成性资源，使教学更加有效呢？
一、善待“意外”资源，让课堂更灵动
教师的课堂教学一般都会按照课前的预设进行，但是常常不可避免地会出现一些“节外生枝”的突发事件，使得教学活动偏离事先预设的轨道，产生课堂“意外”。这种“意外”不是偶然的，而是教学过程中的常态和必然。教师必须正视和善待这种“意外”，将其看作一种有益的教学资源，在充分尊重学生的前提下，恰当地调整或改变原来的教学预设，引领学生开展探究活动，让课堂在师生互动中展示个性，显现灵动，演绎精彩。
【案例1】 在学完高中数学必修五“不等式”的知识后，为了帮助学生熟练掌握不等式的证明方法，我安排了一节习题课，选择了一道例题：已知a>b>c，求证：■+■+■>0。
在笔者的启发下，学生比较顺利地运用比较法、分析法、综合法等方法完成了这一不等式的证明，正当笔者准备给出新的例题时，突然，一个学生举手发言：“我有一个想法，观察不等式中三个分式的分母，一定有0■，■>■，所以■+■-■>0，即■+■+■>0。这样证明行吗？”
听完这位学生的发言，我心中不禁一阵窃喜，既为学生勇于发言、敢于思考的精神叫好，又为学生强烈的问题意识和创新能力所折服。面对学生的这一“节外生枝”，应该怎么办？我因势利导，让学生对这一问题展开进一步的探索。我首先肯定该学生的证明，表扬他很聪明，具有创造性，接着反问全体学生：“大家能不能在这个问题的基础上，进一步提出一个值得我们研究的新问题？”不一会儿，学生提出了许多值得探究的问题。
在这里，笔者抓住了学生的创新思维，适时地调整教学进程，突破了预设教案对课堂教学的束缚，利用突发的“意外”资源，引导和启发学生展开一系列的探究活动。这样做，虽然打乱了原来的教学计划，但激活了学生的思维，摩擦出创新的“火花”，创生了新的教学资源，学生的学习智慧在课堂上得到了尽情的展现，课堂真正成了师生智慧飞扬的天地，成了师生共同创造的舞台。
二、把握“分歧”资源，让课堂更和谐
教学活动中，教师要允许学生对同样的数学内容有不同的理解和表达方式，对学生“求异”和“钻牛角尖”甚至是“刁难”等要小心呵护。在学生的价值取向出现分歧时，教师可以巧妙地采用让学生辩论的方式解决问题，这样既尊重了学生的独特体验，又培养了学生的多种能力，有效地落实了新课程的教学理念。这样对课堂生成性问题的处理，关注了学生的心理和认知兴趣，才是真正的教学艺术。通过讨论验证，使学生的“分歧”成为鲜活的教学资源。
【案例2】 “随机事件及其概率”的教学。
师：刚才，A同学抛了10次硬币，发现正面朝上的有6次，反面朝上的有4次，那么，同学们猜想一下，如果A同学一直抛下去，到100次、1000次、10000次……正反面朝上的次数可能会是怎样的结果？
生1：我想如果抛100次，那么正面朝上和反面朝上的次数比可能是60∶40；如果1000次就是600∶400；10000次就是6000∶4000，依次类推。
生2：不一定！抛的次数越多，可能反面朝上比正面朝上的概率高，因此10次太少，说明不了问题。
生3：我猜抛的次数越多，正反面朝上的概率差不多。
……
教师1的教学处理：每个人都有自己的道理，我们就来验证一下，先统计100次的情况，我们采用4人小组合作的形式，每人各抛25次，做好记录，然后把每个人的结果相加就是100次的统计情况了，现在开始。
教师2的教学处理：每个人都有自己的道理，可猜想毕竟只是猜想，接下来，我们就应该……
生（异口同声）：验证！
师：好的，说说你们想怎样验证。
生1：要标准一点，就抛10000次试试看。
生2：不行！10000次耗时太多，我看抛100次再说。
生3（立刻反驳）：每人100次难道耗时还不多吗？
（课堂上片刻沉默。）
生4：有办法！我们可以采用4人小组分工合作的方法。
师：这办法不错！怎么分工？
（课堂气氛立刻活跃起来，多数学生跃跃欲试。）
生4：4个人每人抛25次，并分别做好记录再汇总统计，就能得出结论。
生5：生4的方法非常好！按照他的操作思路，每一个小组测出100次的结果，那么，取我们班10个小组的测试结果的总和，就能知道抛1000次的结果了。
生6（迫不及待）：对！对！对！取这样的10个班级就能算出抛10000次的结果了。
……
教师2在实施教学时，没有像教师1教学时那样，就此切断学生的争论，而是面对学生的分歧，耐心倾听，顺势引导，让学生明确：有了猜想还需要用事实来验证自己的观点。之后也不急于组织学生开展合作学习，而是进一步追问“你想怎样验证”，巧妙地把合作学习的内容与方法抛给了学生。一石激起千层浪，课堂上形成了一波又一波的探究，学生的学习热情得到了有效的调动，导致精彩不断涌现，产生了一个和谐融洽、高效生成的课堂。
三、捕捉“亮点”资源，让课堂更真实
真实的课堂能够如实地反映学生的学习情况，在师生互动、丰富多彩的课堂中难免会出现学生对所学知识的“联想”和“推测”，时常会引发一些非常有价值的“生成性的教学资源”。这些资源往往是隐性的、潜在的，如果教师的敏感性不强，课堂上不注意倾听，它们将会“昙花一现”，悄然逝去，给人留下诸多的遗憾。作为教师，在教学活动中，要能充分发挥教育机智，及时捕捉课堂上生成的、变动的各种有价值的信息，努力将这些“亮点”资源转化为课堂教学的“”，从而让课堂充满活力。
【案例3】 在学习了基本不等式以后，笔者设计了如下的问题供学生练习：已知x，y∈R+且2x+3y=4，求■+■的最小值。
学生经过尝试后很快得出这个问题的解法：■+■=■（2x+3y）（■+■）=■（5+■+■）≥■（5+2■），当且仅当■=■2x+3y=4即x=2■-4y=4-■■时取等号。所以■+■的最小值为■+■。
学生解答的过程，反映出学生已初步掌握了基本不等式的应用，我感到很满意，对学生的解法给予了充分的肯定后，就准备转入下一个问题的研究。谁知这时有一位学生提出：若问题的条件不变，不求■+■的最小值，而是变为求■+■的最小值，又如何求解呢？
面对这一突如其来的问题，怎么办？若解答这一问题，则影响教学进度。敷衍过去，显然会打击学生学习的积极性，更严重的是学生要失去一次难得的探究活动的好时机和好题材。这位学生课前肯定作了预习，对这个问题有了一些思考，而且敢于提出问题，这种精神值得提倡。于是，我决定把球抛给学生，鼓励学生进行自主探究。但为了便于问题的解决，我将条件变得简单一些：把2x+3y=4改为x+y=2。两分钟后，就有几位同学获得了解决问题的途径。
在教学过程中，教师要善于捕捉和诱发学生在学习过程中的奇思妙想，对于他们别出心裁的构思、违反常规的解答、标新立异的想法要及时地给予肯定，并将其纳入教学设计之中，巧妙地运用于教学活动之中，使一个不经意的随机事件成为有用的、鲜活的教学资源，服务于教学。教师要能够理解学生的异见，鼓励学生的创见，宽容学生的误见，肯定学生的灼见，让学生在激情与激情的碰撞中产生灵感的火花，实现能力与情感的升华。
四、挖掘“错误”资源，让课堂更精彩
英国心理学家贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用则是不能原谅的。”学生的年龄特征与认知水平，决定了他们在课堂学习中难免存在一定的偏颇、缺陷和错误，教师要成为学生学习的引领者，善待学生的“错误”，尽可能挖掘出学生“错解”中的合理成分，因势利导，组织学生在争辩、交流和反思的过程中产生思维碰撞，从而寻找出错误的原因，并予以修正，从而不断地深化知识内容，完善知识结构，拓展知识内涵，促进学生的成长和发展。
【案例4】 在学习了等差数列以后，笔者设计了这样一道习题：已知数列an和bn都是等差数列，Sn和Tn分别是它们的前n项之和，且■=■，求■的解。
生1：因为■=■，因此，可设Sn=4n+3，Tn=2n+5，于是a8=S8-S7=4×8+3-（4×7+3）=4，b8=T8-T7=2×8+5-（2×7+5）=2，故得■=■=2。
生2：因为■=■，因此，可设Sn=k（4n+3），Tn=k（2n+5），于是a8=S8-S7=k（4×8+3）-k（4×7+3）=4k，
b8=T8-T7=k（2×8+5）-k（2×7+5）=2k，故得■=■=■=2。
师：生1和生2运用了两种不同的解法，所得的结果都是2，他们的解法对吗？
生3：生1的结论对，但解法不对，因为由■=■不能得到Sn=4n+3，Tn=2n+5，生2的解法是对的。
生4：生2的解法也不对，等差数列如果不是常数列，它的前n项Sn是一个形如an2+bn的二次式，因此，应该设Sn=kn（4n+3），Tn=kn（2n+5），这样a8=S8-S7=k×8
×（4×8+3）-k×7×（4×7+3）=63k，b8=T8-T7=k×8×（2×8+5）-k×7×（2×7+5）=35k，故得■=■。
生5：可以设等差数列an和bn的公差分别为d和d′，由已知恒等式，令n=1，得■=■=1，①令n=2，得■=■=■=■，②令n=3，得■=■=■=■，③由①②③解得a1=b1，d=2d′，b1=■d′，a8=a1+7d=b1+14d′=■d′+14d=■d′，b8=b1+7d′=■d′+7d′=■d′。故可得■=■。
师：很好。生5抓住等差数列的基本量，运用从特殊情况入手的思想方法，很有创意。
……
教师从学生的错误出发，由学生的慧眼识错，到师生的辩证、探究，到最后水到渠成地得出漂亮的结论，整个过程都是在教师的巧妙引导之下，帮助学生从“错”中拣出合理成分，探索了正确的解题方法与新的结论，实现了“深入探索精妙处，自有创新奇葩开”的佳境，收到了意想不到的效果。因此，在课堂教学中，教师不仅要善待学生的错误，还要敏锐地发现错误背后的原因，引导学生挖掘“错误”的价值，让“错误”服务于教学，让“错误”生成美丽，以促进学生的发展，提高教学的效益。
五、开发“疑惑”资源，让课堂更高效
学起于思，思源于疑，疑问是人类探索未知的原动力。没有疑问，不善思考，就谈不上求知，也就无法做到有所发现、有所创造、有所进步。在实施课堂教学的过程中，学生的一个疑问、一个困惑，往往会打乱教师的预设，甚至影响到某些课时的教学进度和教学任务。但是，教师不能因此而无视学生的疑惑，而应把它作为一种教学过程中的生成资源，更要注意给学生提供自由发展的时间和空间，让课堂上鲜活的“质疑”资源绽放出生命的光彩。
【案例5】 在高中数学必修五“数列的概念与简单表示法”的教学中，笔者选用了这样一道习题：已知数列an的通项公式an=3n2-28n，求这个数列中最小的项。
师：一般地，求数列an中的最大项或最小项an，可通过不等式组an≥an+1an≥an-1或an≤an+1an≤an-1来确定。
原以为对数列初学者来说，获得“函数法”和“不等式法”的粗浅认识后，就会很满足，所以教师事先也没做严密思考，没想到学生却没有我们预想的那样简单和含糊。
生：若一个数列是摆动数列，也能用列不等式组的方法来求出其最大项或最小项吗？
学生的这一意外发问非常好，激起了师生的疑惑与争论。最后，经过师生的交流讨论，得出结论。
疑问的解除，不仅让学生更深刻地认识了数列的概念，还让学生的类比联想、推理论证、运算求解等基本能力经受了很好的锻炼，质疑和批判的精神得到了有效的培养。
总之，课堂教学不应当是一个封闭系统，也不应拘泥于预先设定的固定不变的程式。它是开放的，不是封闭的；它是生成的，不是预设的。艺术家罗丹曾说：“生活中并不缺少美，缺少的是发现美的眼睛。”在此借用为：教学中并不缺少资源，缺少的是开采资源的“妙手”和“妙笔”。作为教师，我们应该在教学中敏锐地捕捉富有生命气息的教学资源，反思教学行为，及时调整预设方案，把课堂还给学生，让课堂充满生命活力。
【参考文献】
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【文章编号】 1004―0463（2015）24―0105―01
课堂教学作为师生活动的中心环节和基本的组织形式，是学生获取知识、锻炼能力和提高各种技能的主要途径。如何构建优质高效课堂，是每位数学教师理应思考、探索的课题。课堂教学的高效性就是通过课堂教学活动，学生在认知上，从不懂到懂，从不知到知，从不会到会;在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。下面，笔者结合教学实践，就新课程背景下如何构建高效数学课堂，谈些自己的体会和看法。
一、备好每一节课是构建数学高效课堂的前提
要实现课堂高效，必须下足课前准备功夫。备课不是单纯地备教案，还必须备教材、备学生。不仅要花功夫钻研教材、理解教材，仔细琢磨教学的重、难点，还要了解学生的实际情况，根据学生的认知规律选择课堂教学的“切入点”，合理设计教学活动。除此之外，还要仔细考虑课堂教学中的细节问题，对于课堂上学生可能出现的认知偏差要有充分的考虑，并针对可能发生的情况设计应急方案，确保课堂教学顺利进行。还要设计高质量的、有针对性的课堂练习，再根据教学的实际需要制作好教学需要的教具、课件及学生操作的学具等。
二、让学生认识数学的应用价值是构建数学高效课堂的基础
在当今这个充满挑战的时代，工业化要求不断改进产品的数量和质量，工作岗位也将较少体力劳动而更多脑力劳动，较少机械化更多电子化，较少例行公事更多随机应变，较少的稳定性和更多的易变性，这些都要求每个人为了生存而更多地思考。数学是思维的体操，学习数学可以培养、锻炼学生的逻辑思维能力。按新课标提倡的精神，不仅要让学生学会必要的知识，更重要的是让学生掌握一定的技能，为学生将来谋生打下一定的基础。这足以说明，数学并非真像有些学生说的那样无用。教师要想方设法提高数学的魅力和趣味，让学生充分认识到数学的重要性。实践证明，只有让学生充分认识到数学知识的重要性和必要性，他们才会刻苦学习，并保持持久的学习动力。
三、精彩导入是构建数学高效课堂的法宝
“好的开端是成功的一半。”教学也是如此，一堂课开头几分钟往往影响整堂课教学的成败。因此，教师在新课进行前必须别出心裁地进行引入，以激发学生的学习兴趣，让学生积极、主动地投入学习。
比如，教学 “等差数列的求和公式”时，笔者以大数学家高斯小时候的一个故事引入课题：有一次，高斯的小学数学老师想考验一下学生，就让学生算“1+2+3+…+100”。不料几分钟后，高斯就举手回答：“5050。”教师大吃一惊，详细问之。原来高斯以首尾两数相加为101，共有50对，结果自然是101×50=5050。学生意犹未尽的时候，笔者继续说：“这种思想方法充分体现了等差数列求和的思想方法。今天，我们就来推导公式，用理论来说明问题，比高斯进一步，怎么样？”学生马上进入积极思考的状态，他们认真思考，积极动脑，在轻松愉快的气氛中获取了所学知识，有效提高了学习的效率。
一、任务单的制作和完善设计是实现高效数学课堂的先决条件
孔子曰：“工欲善其事，必先利其器. ”由于学校通过提倡教研组集中备课，深刻研究学科教材，大家紧紧围绕项目课题与教学大纲目标要求进行研究讨论，仔细设计好课堂教学的任务单，但是要让全班学生在有限的45分钟里的数学学习达到效果最大化，即数学老师要能够将“高效课堂”这只大船驾驶到目的地，就必须要依据自己所教班级学生已经掌握知识的具体情况来用好“修改完善任务单”这一张帆. 教师进行第二次备课的目的就是为了能够作出让数学任务单达到自己班级上学生的现有知识水平和现实需要，有目的地进行讲授，高品质地完成授课任务目标. 我们数学老师在备课时，要做到每个教学环节都要有目的地进行启迪，振聋发聩地唤醒，科学地点评、提升，并在各方面的都要有应对方案，对学生在课堂讨论中动态生成的问题有专题文字回复的打算. 课堂教学中每一个活动要围绕四个基本环节：独立自主学习、小组通力协作探索、成果显示、自我提升. 在小组具体活动时，步骤明确，分工到位. 老师对活动中的练习题，仔细设计，少不了要进行自编自拟练习题，这样的练习题才能够增强练习的目的性，减少学生的负担，增强课堂教学效果就更加显著. 学生在独立自主学习、小组通力协作探索、成果显示、自我提升和老师评价的基础上更加稳固学习效果，进而达到淋漓尽致地发挥师生活动的最高效益.
二、组织学生有效参与数学活动是实施数学高效课堂的关键
教师认真备课是完成好教学任务的第一因素，要达到上课学生学习和教师教学的高效益，则学生这个主体需要真正全部参与到学习活动中来，才能取得最大效益和最佳效果. 每一节课教师根据教学内容把“任务单”分成两个活动，活动要将数学学科的知识性、数学的应用性和数学专业的趣味性融合起来，学生才较轻易接近和掌握，这样还可以达到激励学生主动学习的目的. 在进行一个完整的小组活动学习时，基本方式是：课前独立预习――与他人共同探索――研究成果分享――各自进行完善――共同归纳提升――师生共同评价. 学生在课前预习时遇到许多不懂的问题，他们带着要搞明白问题的心理在课堂上和小组内的成员一起讨论，经过与他人合作探索，大部分学生可以弄明白70%以上的原来不懂的东西. 如讲解“几个基本初等函数”时，在理解函数的定义后，本人设计了一个让学生学习“幂函数、指数函数、对数函数及其图像”后再进行讨论的活动，要求学生将这些函数从定义上加以比较、从性质上加以区别、从运算方法上加以联系和从图像的分布上进行整理. 通过学生积极参与此活动，既增加了新旧知识的联系，又提高了学生学习的兴趣，从而使教学过程变得生动有趣. 在课堂活动过程中，对那些注意力不集中的学生，老师可以通过手势、眼色等肢体语言进行提示；还把班级课堂纪律与学习内容有机联系在一起，如请思想开小差的同学说说对任务单上知识的理解，等等.
