时间：2022-12-21 07:30:50
序论：速发表网结合其深厚的文秘经验，特别为您筛选了11篇圆柱和圆锥的关系范文。如果您需要更多原创资料，欢迎随时与我们的客服老师联系，希望您能从中汲取灵感和知识！
第1题（本题为教材中的例题）：工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥，这堆沙子大约多少立方米？（得数保留两位小数）
第2题：你会求圆锥的体积吗？你是怎么知道的？
结果统计如下表。
■
根据前测信息，学生的学习起点简析如下。
经验起点：理解圆锥体积与底面积和高有关。在“不能正确列式计算”的学生中，两班分别有一定比例的学生虽然不会正确列式计算，但能猜测圆锥体积是“底面积×高”，或认为是“底面积×高÷2”。
知识起点：圆锥体积计算方法的学习已不是本课最重要的目标。两个班分别有78.3%和66.0%的学生已经会正确列式计算圆锥的体积，学习的途径也很多，其中“预习学会”的几乎占50%，说明学生已有较好的学习习惯。
认知起点：圆锥体积计算方法的探究过程需加强，需不断丰富活动经验。由于本课是在学习了圆柱的体积后进行的，部分学生受直观定式的影响，对圆锥体积计算方法的猜测出现偏差。
二、教学对策
1.学生的学习起点是什么？
很显然，如果仅以“使学生掌握圆锥体积的计算方法”作为本课的教学目标是不够的。在学习圆锥体积计算方法的同时，需要创设有效环节帮助学生发展空间观念。
2.怎样帮助学生获得丰富的操作经验并理解知识？
需要组织行之有效的操作活动，让每一位学生参与其中，经历操作过程，积累操作经验，从而获得感悟。操作器材的选择与提供尤为重要。
三、教学实践
1.复习准备，直接揭题
2.切割猜想，初步沟通圆柱与圆锥的联系
（1）如果要用木料加工（切削）成一个这样的圆锥（课件出示），它的底面直径是10厘米，高是15厘米。选择怎样形状的木料加工最方便？
（2）为什么选择圆柱形木料？你是怎么想的？
（3）这里有4个不同型号的圆柱形木料，选择底面直径和高分别是多少的圆柱形木料加工最方便？为什么？先独立思考，再同桌交流。
■
（4）选择第3个圆柱加工。猜测：这个圆锥的体积和圆柱有怎样的关系？并说说你的想法。（课件出示：■）在这两个容器中倒满水，再猜测它们的体积有什么关系。
3.探究圆锥体积的计算方法
操作材料说明：同桌两人合做。全班共提供24套学具。其中22套中有3组不同型号等底等高的圆柱、圆锥，还有1套等底不等高的圆柱、圆锥和1套等高不等底的圆柱、圆锥。
（1）引入：这个圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系呢？你打算怎么做试验？要注意什么？
（2）同桌合作，先思考准备怎么做，再动手试一试。
（3）反馈：你们小组是怎样做试验的？把你的过程和结果介绍给大家。
生1：把圆锥装满水后倒入圆柱中，一次又一次重复，重复倒了3次，正好把圆柱装满。以此说明圆锥体积是圆柱体积的■。
生2：在圆柱里灌满水，然后倒进圆锥，圆锥里的水满后，倒回桶里。再把圆柱中的水倒进圆锥，满后再倒进桶里，再把圆柱里剩下的水倒进圆锥中，正好又倒满。
师（追问）：倒了几次？你得到什么结论？
生2：正好倒3次。说明圆柱体积是圆锥体积的3倍。
生3：先将圆柱灌满水，圆锥不灌水，把圆锥轻轻地放入圆柱中，此时圆柱中的水会溢出来。再把圆锥轻轻地拿出来，这时圆柱中的水面会下降。用尺量出圆柱中空出部分的高，看看与圆柱的高有什么关系。
师（追问）：溢出的水就是什么？空出部分的高与圆柱的高有什么关系？
生3：溢出的水就是圆锥的体积。空出部分的高是圆柱高的■。说明圆锥的体积就是圆柱的■。
生4：先把圆锥装满水，倒进圆柱里。然后用尺量出圆柱中水的高度，最后用量出的数据除以圆柱的高度。
师（追问）：你们倒了几次？结果如何？
生4：只倒了1次。结果水面的高度正好是圆柱高度的■。
师（再次追问）：说明什么？
生4：圆锥的体积是圆柱体积的■。
生5：把圆锥装满水后，倒进圆柱中，用笔做个记号。然后再把圆锥装满水后倒进圆柱，再做个记号。我用尺量了一下，这两个记号正好把圆柱的高平均分成三份。说明圆锥体积是圆柱的■。
生6：我们前面猜测圆锥的体积是圆柱的■。所以根据圆柱上标出来的线，倒■的水。
师（追问）：你是怎么知道是■的水？
生6（举起试验圆柱）：这上面有红色刻度的，正好是在高的■处。
师（评价）：哦！你们小组做试验的圆柱上有已经做好标记的红线。你们能根据自己的猜测进行试验，验证了猜测是正确的。这种猜想、验证的做法正是我们做学问的态度和方法。如果你一直用这种方法和态度进行学习，相信你会越来越出色的！
生7：我们组开始用圆锥灌满水倒进圆柱里，感觉误差大。就换了一种，把圆柱灌满水，往圆锥里倒，刚刚好倒了3杯。说明圆柱体积是圆锥的3倍，也就是圆锥体积是圆柱体积的■。
师（评价）：真了不起！你们小组不但完成了试验任务，得出了结论，而且发现了做试验减少误差的方法！
师（追问）：还有不同的发现吗？
生8：我们的试验结果和他们的不一样。我们也是做倒水试验，可是用圆锥装满水倒入圆柱，倒了4次多才倒满。
生9（另有一组的学生）：我们才倒了2次半就倒满了。（其他学生都静下来）
师：请你们两组把你们做试验的圆柱、圆锥拿上来，当着大家的面再做一次。（这两组学生当着全班学生的面又做了一次，结果仍然和原来相同。）
师：这是怎么回事呢？
生10（兴奋地）：我知道啦！（走到讲台前，边指边说）他们这两组的圆柱、圆锥和我们做试验的不一样。
师（追问）：什么不一样？
生10：这个圆锥比圆柱矮，所以要倒4次多才能倒满。这个圆锥的底比圆柱大，所以倒了2次半就倒满了。（其余学生若有所思）
师：那你们做试验的圆柱、圆锥之间有什么关系呢？请你们仔细观察。（学生纷纷观察自己小组做试验的器材）
生10：我们做试验的圆柱、圆锥的底是相等的，高也是相等的。
师：你们的发现和他的一样吗？
生：一样！
师：底相等，高也相等，我们叫做等底等高。其他同学还有什么想说的呢？
生11：必须是等底等高的圆柱和圆锥，做试验时，才正好倒3次。
师（小结）：只有等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的三分之一，圆柱体积是圆锥体积的3倍。
（4）课件演示试验过程，并根据过程推导圆锥体积计算方法。V圆锥=■V圆柱=■Sh。
（5）计算如右图所示圆锥的体积。
反馈时追问：3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？
引导：看着这个圆锥，先想像和它等底等高的圆柱的形状，再用手比划。（课件出示：■）
思考：削去了多少体积？你是怎么想的？根据这幅图，你还想到什么？
4.练习巩固
（1）课件出示：工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥，这堆沙子大约多少立方米？要计算这个沙堆的体积，需要知道哪些信息？结合生活实际想一想：底面半径、直径和周长，哪一个信息便于测量？为什么？（出示：底面周长是12.56米，高1.2米。反馈时追问：12.56÷3.14÷2和3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.2分别表示什么意思？）
（2）想一想，做一做。
出示：■已知圆锥的体积是56.52立方厘米，底面积是28.26平方厘米。它的高是多少厘米？
追问：56.52×3或56.52÷■表示什么意思？
课件演示一： ■
课件演示二：圆柱右移■
思考：圆柱与圆锥的体积有什么关系？如果要使它们的体积相等，并且保持原来的形状，你有什么办法？可以画图说明。
（3）观察、猜想。
课件依次出示：■；■；……
思考：根据这节课的学习，你有什么猜想？
5.总结提升
四、反思
在教学过程中，学生的表现极其出色：操作到位、感悟深刻、回答精彩。这都得益于整堂课的设计都立足于学生已有的学习起点，真正做到尊重学生的需求。
1.立足学生的经验起点
六年级的学生，他们已积累了一定的生活与活动经验。因此在教学时要重视唤醒学生已有的经验。
首先，唤醒学生的生活经验。学生的生活经验迁移到学习活动中，往往是一种直觉。这种直觉，可能是正确的，也可能是错误的，但不管如何，这些都是学生进一步学习的“土壤”，等待着知识“种子”的播撒。如在上课伊始，让学生思考“如果要用木料加工（切削）成一个这样的圆锥，它的底面直径是10厘米，高是15厘米。选择怎样形状的木料加工最方便？”学生根据生活经验，马上想到要用圆柱形的木料加工，因为它们的底都是圆的。这种根据两个形体间基本特征的联想，是多么可贵啊！接着让学生从提供的4个不同型号的圆柱木料中做出选择，学生能在潜意识中关注它们的底面直径与高的数值作出判断，这是生活经验的又一次提升，明确了“圆锥从哪里来”的问题。
其次，关注基本活动经验的积累。活动经验具有不可替代性。而在日常教学中，我们往往容易犯“经验替代”的过错，造成了学生只知道圆锥体积的计算方法，而不会主动沟通圆柱与圆锥的联系。为了避免这种现象，在上述课例中，我设计了让学生同桌合作的环节。通过合作，学生反馈的信息异常丰富，概括起来有三个层次：（1）两种常规的倒水法；（2）“排水法”和“量高法”；（3）操作方法的优化提升。学生通过操作发现，用圆柱容器往圆锥容器中倒水，比用圆锥容器往圆柱容器中倒水误差小。这是多么可贵的发现啊！试想，如果没有实物操作，只让学生看课件和看教师操作，他们能有这样的体会和这些发现吗？正因学生有如此丰富的经验积累，才使圆锥体积的计算方法水到渠成！
2.立足学生的知识起点
“圆锥的体积”是学生在小学阶段学习的最后一个形体，在此之前，学生已积累了较为丰富的知识经验。尤其是经过长方体、正方体、圆柱体积的学习之后，学生对“柱体”的体积计算有了一定的认识，“底面积×高”的思想已逐渐树立。但在会求圆锥体积的学生中有相当一部分只是记住了计算方法，而对为什么这样算不清楚，也就是说学生公式推导过程的经验几乎为零。此外，由于圆柱与圆锥在形体上有一定的联系（底面都是圆的），学生会很自觉地对这两个形体进行沟通，寻求它们之间的联系。因此在教学中，如何让学生进一步深化这两个形体之间的联系显得尤为重要，这也成为本课的一个重要的教学任务。如在学生尝试列式计算圆锥的体积后追问：“3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？”他们会不自觉地想到与圆锥等底等高的圆柱的体积，并用手势比划出圆柱的形状，从而初步感悟等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系。接着让学生观察■，从不同的角度分析圆柱、圆锥、削去部分的体积之间的关系，进一步深化了等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系。这些新知的获得，都是立足于学生原有的知识基础，是学生自主地生发出来的。
3. 立足学生的认知起点
学生的认知随着年龄的增长而不断丰富，他们的认知起点包括心理起点与思维起点。
师：（出示两个用土豆削成的圆柱体）它们是什么形体？
生：圆柱体。
师：它们是完全相同的两个圆柱体底和高分别相等。
（用刀子将其中一个削成圆锥）
师：这是什么形体？
生：圆锥。
师：你有什么办法知道这个圆锥的体积吗？
生：把它放进盛水的量杯里，看水面升高多少，就可以知道这个圆锥的体积。
师：如果要测量建筑屋上圆锥形尖顶的体积，还能用这种方法吗？
学生讨论。
【设计理念】如果每个圆锥都这样测不现实，让学生感觉到排水法的局限性，产生推导圆锥体积计算公式的需要。苏霍姆林斯基认为，在人的内心深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的世界里，这种需要特别强烈。
二、联想、猜测
师：想一想，我们会计算哪些图形的体积？
生：……
师：假如让你来研究圆锥的体积，你认为圆锥的体积可能和什么图形的体积有关？
生：圆锥的体积可能与圆柱有关。
师出示四组不同的容器教具。第一组：等底等高的圆柱和圆锥。第二组：等底、圆锥的高是圆柱的高的3倍的圆柱和圆锥。第三组：等高不等底的圆柱和圆锥（任意）。第四组：不等底不等高的圆柱和圆锥（任意）。
师：猜一猜，第一组等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系？
生：圆锥的体积可能是圆柱体积的二分之一。
生：可能是三分之一。
生：可能是五分之二。
师：第二组呢？第三组、第四组呢？
师：下面就让我们一起来试验，探究一下圆锥和圆柱体积之间的关系。
【设计理念】数学学习的内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理与交流。要结合学习内容为学生准备丰富典型的操作材料和工具。
三、实验探究
师：各小组要自主选择材料，讨论选择怎样的操作方法，分析研究操作的结果。
各小组讨论、实验、分析、交流。
实验结果：第一组用圆锥容器装水（或沙）倒入等底等高的圆柱容器中，刚好倒三次；第二组用圆锥容器（高是圆柱的三倍）装水（或沙）倒入等底的圆柱容器中，刚好装满；第三组和第四组则不存在第一组和第二组那样的关系。
【设计理念】数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考，掌握有效的学习方法。学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测 、验证、推理、计算、证明等活动过程。
四、导出公式
师：通过第一组（等底等高的圆柱和圆锥）你发现等底等高的圆柱和圆锥的体积有什么关系？你能用字母表示出它们的关系吗？
生：在等底等高条件下：V圆锥=1/3V圆柱=1/3sh
师：通过第二组：底相等，圆锥的高为圆柱的高的3倍时，圆柱和圆锥的体积有什么关系？
生：体积相等。
师：你怎样解释？
《数学课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”师生、生生之间的互动与交往，应互相分享彼此的思考、见解、方法和知识，交流彼此的情感，丰富教学内容，从而达到共识、共享、共进，实现教学相长。在数学课堂教学中，我注重让学生充分参与课堂教学，让学生表现为“我能学”，实现师生、生生之间的互动与交往。
例如，在教学“圆锥的体积”时，为了帮助学生进一步弄清圆锥体积公式的推导过程，我先让学生用硬纸板各做了一个等底等高的空心圆柱和圆锥，让学生找出圆柱和圆锥之间有什么关系。学生发现：圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。我及时表扬学生爱动脑筋，会观察。这时，学生兴致高涨，我马上问：“现在你想它们俩帮助我们解决什么问题?”“我们会计算圆柱的体积，我想知道圆锥有没有体积，怎么计算。”“哪位同学可以帮帮他?”学生回答踊跃：“物体所占空间的大小就是它的体积，圆锥也要占空间，所以有体积。”“那你知道怎样求圆锥体积吗?”学生分组讨论，兴致很浓。
学生汇报时，甲组说：“老师，我们想做一个实验，用圆柱做量筒，把圆锥装满水，再把水倒入圆柱中，看倒几次可以将圆柱装满水，从而得出圆柱和圆锥的体积关系。”全班同学鼓掌表示赞同他们的方法，我高兴极了。乙组同学说：“老师，我们也想到用实验来得出结论，可我们是准备用沙子做实验。”此时，我趁机接过学生的话：“我们的同学真的很不错，想的办法都很好，老师为你们做好了准备，我这里有沙子和水，你们组想要什么实验器材，请组长来领。但是老师有要求，请大家听清楚，做实验的时候大家要服从组长的安排，要团结协作，每组派一个同学做好记录，并注意保护好场地卫生，现在马上开始行动。”
同学们专心致志地分组做实验，老师巡视，了解实验情况。汇报时甲组的代表说：“我们把圆锥装满水，再倒入圆柱中，这样反复倒了3次，圆柱里面的水正好满了，这就说明圆柱的体积是圆锥体积的3倍。”我将他说的关系式板书：圆柱的体积=圆锥体积×3；乙组的代表也是同样的说法。我问：“同学们还有什么要补充的吗?”没有同学发表看法。这时我拿出两个不是等底等高的空心圆柱和圆锥，让学生猜一猜这时的圆柱体积是不是圆锥体积的3倍。学生有的说是的，有的说不是的，争执不下。有学生提议：我们再试一试就知道了。这时我用圆锥装满水倒人圆柱中，反复进行，证明这时的圆柱体积不是圆锥体积的3倍，让学生找出原因。有个细心的学生说：老师，我们开始做实验用的圆柱和圆锥是等底等高的，可后来用的不是等底等高的，我觉得要强调：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的1/3。这时我露出满脸的笑容，竖起大拇指夸奖他们是小小数学家，并板书：圆锥体积=1/3圆柱体积。这样的师生互动，使学生明白了圆锥与圆柱之间的体积关系。课后有一个学生很高兴地对我说：“老师，我们自己也能学习新的知识，真是好极了!”通过这样的互动活动，数学课堂变得宽松、活跃，极大地激活了学生内在的求知欲望。
良好的师生互动，不仅能使学生获得认知方面的发展，而且使学生在学习过程中享受到乐趣，融知、情、意、行于一体，增进了学生间的感情，让他们在科学领域挥舞创新的翅膀，茁壮成长。
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-022
数学学习是从感性认识开始的，所以在数学课堂中，教师应加强直观演示的教学，引导学生对学习素材进行多层面、多角度、多维度的观察、比较、选择与归纳。下面，以“圆柱与圆锥”单元教学为例，谈谈如何通过直观教学，培养学生的数学思维。
一、操作，激发学生的思维
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”课堂教学中，教师可通过动手操作，激活学生的思维，引导他们深入探究，真正理解所学知识。
师：圆柱的体积计算公式是什么？
生1：圆柱的体积=底面积×高。
师：我们是怎样推导圆柱的体积计算公式的？
生2：我们把圆柱转化成等底等高的长方体，通过长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。
师：今天，我们探究圆锥的体积计算方法。猜一猜，圆锥的体积可以怎样求？它与哪些条件有关？
生3：只要把圆柱上面的一个圆缩成点就变成了圆锥，说明圆锥的体积和圆柱是有联系的。
生4：可以把圆锥转化成已经学过的立体图形——圆柱，由于圆柱体积=底面积×高，那么圆锥的体积计算可能与它的底面积和高有关系。
……
我国数学家徐利治曾说过：“直观就是借助于经验观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。”教学“圆柱的体积”时，把圆柱的体积转化成已学过的长方体体积，这样能有效唤醒学生的学习潜能，使学生去观察、反思、梳理，为后续推导圆锥的体积计算埋下伏笔。由圆柱体积的推导过程，学生能想到圆锥的体积是不是能转化成已学过的立体图形进行计算，这样就会产生一种学习新知识的需求。学生由于生活经验和认知水平的局限，更易于接受直观的事物。因此，直观演示更利于学生进行观察、比较、分析和想象，并在此基础上展开更加丰富多彩的直观推理，进而洞察相关联物体之间的联系与区别，获得必要的结论。
二、实验，促进学生的思维
学生的感悟因经历而丰富，视野因思维更拓展。因此，课堂教学中，教师应以实验为媒介，促进学生的数学学习与数学活动有机融合。
师（出示许多大小不等的圆柱和圆锥形容器）：你打算将圆柱与圆锥如何转化？如果让你在这么多的圆柱与圆锥中选择两个来探究，你打算选择什么样的圆柱和圆锥？说说你选择的理由。
生1：刚才把圆柱的一个底面缩成点就变成了圆锥，其中圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等，所以应选择底面积相等、高相等的圆柱和圆锥进行探究。
师：为了便于我们研究圆锥体积，每个组都准备了一个圆柱和一个圆锥，比一比，它们有什么相同的地方？（生操作演示，如下图）
师：你发现了什么？底面积相等，高也相等，用数学语言来说就叫等底等高。既然圆锥与圆柱等底等高，能不能直接用圆柱的体积计算公式求出圆锥的体积呢？
生2：不行，把圆锥放入圆柱形容器中，发现圆锥比圆柱的体积小。
师：这位同学真了不起。请你再猜一猜，圆锥与它等底等高的圆柱体积有什么样的关系呢？
生3：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/2。
师：还有其他的猜想吗？
生4：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：有什么好办法验证自己的猜想是正确的呢？先在小组里交流，再做实验验证你的猜想。（生动手操作）
师：谁来汇报一下？
生5：我选择等底等高的圆锥和圆柱，发现把圆锥装满水倒入圆柱里，倒满了三次，说明圆锥体积是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：其他组实验的情况也和他们一样吗？
生：一样。
师（出示两组大小不同的圆柱和圆锥，如下图）：这两组圆柱和圆锥，圆锥的体积还是圆柱体积的1/3吗？为什么？
生6：这里的圆锥体积不是圆柱体积的1/3，因为它们不是等底等高。
师：这说明了什么？
生7：不是任何一个圆锥的体积都是圆柱体积的1/3。
师：什么样的圆锥与圆柱体积才有1/3的关系呢？
生8：等底等高的圆锥和圆柱。
……
数学抽象地反映了客观世界。在数学学习过程中，学生由于受知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的数学问题，这时候直观图形或者直观模型就能够给学生提供形象的思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的数学事实外显化。学生通过操作、实验去验证自己的想法是否正确，不知不觉中，学生的认识变得更丰富了，理解变得更深刻了，思维变得更灵活了，体验变得更强烈了。这样教学，顺应了学生的思维发展，使他们真正掌握了解决问题的策略。
三、观察，发散学生的思维
系统的发散训练，能适当降低思维的难度，给学生的自主学习搭建一个“脚手架”，有利于学生内化数学思想方法，提升思维能力。
例1 如右图，正方形OABC的面积是10平方厘米，O是圆心，求圆的面积。
由图可知，正方形的面积就是r 2，圆的面积就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右图，正方形ABCD的面积是40平方厘米，求圆的面积。
由于有了例1的铺垫，学生能把例2转化为例1——画两条与正方形邻边互相垂直的直径（如右图），这样就把大正方形平均分成了四个小正方形，可以先求出每个小正方形的面积，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圆的面积，所以圆的面积πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右图，求大正方形、圆、小正方形的面积比。
教学目标
1.在操作和探究中理解并掌握圆锥的体积计算公式。
2.引导学生探究、发现，培养学生的观察、归纳等能力。
3.在实验中，培养学生的数学兴趣，发展学生的空间观念。
教学重点
圆锥体积的计算公式的推导过程。
教学难点
圆锥体积计算公式的理解。
教学过程
一、情景铺垫，引入课题
教师出示画面，画面中两个小孩正在商店里买蛋糕，蛋糕有圆柱形和圆锥形两种。圆柱形蛋糕的标签上写着底面积16cm2，高20cm，单价：40元/个；圆锥形的蛋糕标签上写着底面积16 cm2，高60 cm，单价：40元/个。
出示问题：到底选哪种蛋糕划算呢？
教师：图上的两个小朋友在做什么？他们遇到什么困难了？他们应该选哪种蛋糕划算呢？谁能帮他们解决这个问题？
学生明白首先要求出圆锥形蛋糕的体积。
教师：怎样计算圆锥的体积？这节课我们一起研究圆锥体积的计算方法。
揭示课题。板书课题：圆锥的体积
二、自主探究，感悟新知
1.提出猜想，大胆质疑
教师：谁来猜猜圆锥的体积怎么算？
2.分组合作，动手实验
教师：圆锥的体积和圆柱的体积之间究竟有没有关系呢？如果有关系的话，它们之间又是一种什么关系？通过什么办法才能找到它们之间的关系呢？带着这些问题，请同学们分组研究，通过实验寻找答案。
教师布置任务并提出要求。
每个小组的桌上都有准备好的器材：等底等高空心的或实心的圆柱和圆锥、河沙或水、水槽等不同的器材，以及一张可供选用的实验报告单。四人小组的成员分工合作，利用提供的器材共同想办法解决问题，找出圆锥体积的计算方法。并可根据小组研究方法填写实验报告单。
学生小组合作探究，教师巡视指导，参与学生的活动。
3.教师用展示实验报告单
教师：你们采用了哪些方法研究等底等高的圆柱和圆锥之间的关系？通过实验，你们发现了什么？
方案一：用空心的圆锥装满水，再把水倒在与这个圆锥等底等高的空心圆柱形容器中，倒了三次，刚好装满圆柱形容器，因为圆柱的体积=底面积×高，所以圆锥的体积=1/3×圆柱的体积。
方案二：方法与一小组的方法基本一样，只不过装的是河沙。我们的结论和一小组一样，圆锥的体积也是这个等底等高圆柱体积的三分之一。
教师：二个小组采用的实验方法不一样，得出的结论都一样。老师为你们的探索精神感到骄傲。
教师把学生们的实验过程演示一遍，让学生再经历一次圆锥体积的探究过程。
4.公式推导
教师：圆柱的体积怎样计算？圆锥的体积又怎样计算？
教师引导学生理解只要求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积，再乘以三分之一，就得到圆锥的体积。
板书：圆柱的体积=底面积×高
V=S×h
〖4〗〖6〗
圆锥的体积=1/3×底面积×高
V=1/3×S×h
教师：圆柱的体积用字母V表示，圆锥的体积也用字母V表示。怎样用字母表示圆锥的体积公式？
抽学生回答，教师板书：V=1/3Sh
教师引导学生理解公式，弄清公式中的S表示什么，h表示什么。
要求学生阅读教科书第39页和第40页例1前的内容。勾画出你认为重要的语句，并说说理由。
5.运用所学知识解决问题
教学例1。
一个铅锤高6cm，底面半径4cm。这个铅锤的体积是多少立方厘米？
学生读题，找出题中的条件和问题。
引导学生弄清铅锤的形状是圆锥形。
学生独立解答。抽学生上台展示解答情况并说出思考过程。
三、拓展应用，巩固新知
1.教科书第42页第1题
学生独立解答，集体订正。
2.填一填
（1）圆柱的体积字母表达式是（ ），圆锥的体积字母表达式是（ ）。
（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的（ ）倍。
抽生回答，熟悉圆锥的体积计算公式。
3.把下列表格补充完整
学生在解答时，教师巡视指导。
4.教科书第42页练习九第2题
分组解答，抽生板算。教师带领学生集体订正。
5.应用公式解决实际问题
教师：现在我们再来帮助这两个同学解决他们的难题。
要求学生独立解答新课前买蛋糕的问题。
抽学生说出计算的结果。明白两个蛋糕的体积一样大，因此买两种形状的蛋糕都可以。
四、课堂总结
关键词：圆锥 圆柱 体积
一、教材依据：人教版九年义务教育小学数学教科书第十二册第二单元第25-28页《圆锥的体积》。
二、设计思路：
指导思想：以《小学数学新课程标准》、《新课程改革实施纲要》为指导。
设计理念：以新课程理念指导教学，运用现代教学理论，以此来处理主导和主体，知识和能力，过程和结论的关系，充分调动了学生的积极性。引导学生动脑、动口、动手来探索、体验学习的全过程。
教材分析：《圆锥的体积》是新课标人教版第十二册第二单元的内容。本节课属于空间与图形知识的教学，也是小学阶段几何图形知识的重点和难点。从教材的编写可以看出，教材加强了与现实生活的联系；加强了在操作中对空间与图形的思考，使学生在经历观察、联想、猜测、操作实验、推理等过程中理解和掌握圆锥的体积的计算方法，进一步发展空间观念。
学情分析：美国教育心理学家奥苏伯尔说：“如果我不得不把教育心理学还原为一条原理的话，影响学习的最主要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。”本节课是学生在认识了圆锥特点的基础上学习的。学生在分组操作时，借助倒水（或沙子）的实验，亲身感受到等底等高的圆柱与圆锥之间的3倍关系。但是他们不易发现的是圆柱体积和圆锥体积之间具备3倍的关系前提，为了凸现这一条件，可借助体积关系不是3倍的实验器材，引导学生经历去粗求精、去伪求真、由表及里、层层逼近的过程，进行深度的信息加工。
三、教学目标
知识技能目标：
1、使学生探索并初步掌握圆锥体积的计算方法和推导过程；
2、使学生会应用公式计算圆锥的体积并解决一些实际问题。
方法与途径目标：
提高学生实践操作、观察比较、抽象概括及逻辑推断的能力，发展空间观念。
情感与评价目标：
1、培养学生的合作意识和探究意识；
2、使学生获得成功的体验，体验数学与生活的联系。
四、教学重点：
使学生掌握圆锥体积的计算方法并解决一些实际问题
五、教学难点：
正确探索圆锥与圆柱体积之间的关系。
六、教具、学具准备：
不同型号、相同型号的圆柱、圆锥实物和容器各5套、沙子、水、尺子、多媒体课件。
七、教学流程
（一）创设情境，导入新课。
1、（课件出示）夏天，森林里闷热极了，小动物们都热的喘不过气来，一只小白兔去“动物超市”购物，它在冷饮专柜熊伯伯那儿买了一个圆柱形的雪糕，这一切都被躲在一旁的狐狸看见了，他就去熊伯伯的专柜里买了一个圆锥形的雪糕。小白兔刚张开嘴，满头大汗的狐狸拿着它的圆锥形雪糕一溜烟的跑了过来。（图中圆柱形与圆锥形雪糕是等底等高的。）
2、引导学生围绕问题讨论。
问题一：狐狸贪婪的问：“小白兔，用我手中的雪糕跟你换一下，怎么样？（如果这时小白兔和狐狸交换了雪糕，你觉得小白兔有没有上当？）
问题二：（动画演示）狐狸手上又多了一个同样大小的圆锥形雪糕。（小白兔这时和狐狸交换雪糕，你觉得公平吗？）
问题三：如果你是森林中的小白兔，狐狸手中的圆锥形雪糕有几个时，你才肯和它交换？
3、过渡：小白兔究竟和狐狸怎样交换才公平合理呢？我们需要怎么做？（预设：看圆柱和圆锥体积究竟有什么关系？）那么，我们这节课就来学习圆锥的体积。
（设计意图：数学课程要关注学生的生活经验和已有的知识体验，在引入新知时，创设了一个有趣的童话情境，捕抓课堂问题的生成。让学生在猜想中交流，在交流中感悟，引发了进一步探究的强烈欲望。）
4、揭示题目。
（二） 自主探索，操作实验。
1、圆锥体积公式的推导
1）请学生拿出第一组圆柱形，圆锥形的容器(等底等高)进行实验，探究其之间的关系。
a、观察圆柱形，圆锥形的容器的特点。
b、（课件出示）实验要求。
C、学生分组实验。
d、学生汇报实验结果。
板书：圆柱体积是圆锥体积的3倍。
圆锥体积是圆柱体积的1/3。
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高×1/3
e、课件演示公式推导过程。
（设计意图：这一环节是在学生前面猜想的基础上，通过小组合作动手实验―具体操作―验证得出等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系，是本节课的重点知识，让每位同学都经历了知识的形成过程，体现了“动态生成”，为抽象的理论提供了感性材料。）
2）诱导反思。
提问：是不是所有的圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的1/3呢？请同学们拿出第二组圆柱形，圆锥形的容器（等底不等高、等高不等底、不等底不等高）进行试验，探究其之间的关系。
a、观察圆柱形，圆锥形的容器的特点。
b、学生分组实验。
C、学生汇报实验结果。
板书：等底等高
（设计意图：学生亲身感受到了等底等高圆柱体积与圆锥体积间的3倍关系。但是他们不易发现实验中的“等底等高”是3倍关系成立的前提，为了凸现这一条件，这一环节我又准备了等底不等高、等高不等底、不等底不等高3组实验器材让学生进行试验，引导学生经历去粗求精、去伪求真、由表及里、层层逼近的过程，进行深度的信息加工。以此来突出重点，突破难点。）
3）用字母表示圆锥的体积公式。
板书：V=1/3sh
2、思考：要求圆锥的体积必须知道哪些条件？
指名回答。
（设计意图：新课程要关注所有学生的发展。这个问题的设计，会使不同层次的学生作出不同深度的回答，使每位学生都会得到不同的进步和发展。）
3、问题解决。（课件出示例题）
例：在打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆，测得底面直径是4米，高是1.2米。这堆小麦有多少立方米？
学生独立完成,集体订正。
（三）巩固练习、拓展提高。
1、基本练习。
计算下面圆锥的体积。(单位:厘米)
1）r=2 h=8 2)d=6 h=3 3)c=6.28 h=6
2、综合性练习 。
工地上运来 6 堆同样大小的圆锥形沙堆，每堆沙的底面积是18.84平方米，高是0.9米。这些沙有多少立方米？如果每立方米沙重1.7吨，这些沙有多少吨？
（设计意图：这一环节是对所学知识的再创造，由浅入深，循序渐进，学生的思维逐步得到发展。）
3、实践性练习。
让学生把实验用的沙土，堆成圆锥形沙堆，合作测量计算出它的体积。
（设计意图：这道题就地取材，给了学生一个运用所学知识解决实际问题的机会，让学生动手动脑解决身边的实际问题，提高了学习数学的兴趣。）
4、开放性练习
（1）变式思维：（出示等底等高的圆柱圆锥图）
思考后反馈：圆柱和圆锥等底等高，它们的体积又怎样的关系？如果要使圆柱体积和圆锥体积相等，只改变圆柱或圆锥底和高中的一个量，你有什么方法？
（讨论、交流、反馈后出示下面的结论）
a、圆柱的高缩小3倍。
b、圆柱的底缩小3倍。
c、圆锥的底扩大3倍。
d、圆锥的高扩大3倍。
（2）一段圆柱形钢材,底面直径10厘米,高是15厘米,把它加工成一个圆锥零件。根据以上条件信息,你想提出什么问题?能得出哪些数学结论?(可小组讨论)
（设计意图：这一环节题目的设计，是要求学生从不同的方面来思考问题、解决问题，提高了题目的灵活性，发散了学生的思维，将本节课推上。）
（四）这节课你收获了什么？
（五）作业布置。
板书设计：
圆锥的体积
生：它们的底和高都相等。
师：同学们准备了沙子或米，请同学们自己动手试一试，你能不能利用这些工具来得出圆锥的体积与圆柱的体积之间的关系？
（小组活动）
师：同学们研究得特别认真，你们有什么发现吗？圆柱的体积和圆锥的体积有什么关系？
生1：我发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师：你是怎么发现的？
生1：我们把圆锥里面装满沙子倒在圆柱里面，倒三次才能倒满，说明，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师：这是什么样的圆柱和圆锥？
生1：空的。
生2：等底等高的。
师（兴高采烈的）：说得好，这是等底等高的圆柱和圆锥，虽再说说他们体积的关系？
生3：圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。
生4：等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。
师：别的小组也是这样吗？
生（异口同声地）：是。
……
评析：
改变学习方式是本次课程改革的核心，探究性学习作为新课程所倡导的学习方式，非常有利于挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和实践能力。然而，上面的探究，却大打了折扣，存在着几个明显问题。
1.目标不明。
探究性学习一般包括提出问题、确定策略、展开探究、交流结果几个过程。而在上面的片断中，问题的提出和确定策略两个环节全部省略。学生没有经过思索，只是稀里糊涂地按照老师的要求去操作，至于为什么这样做，学生根本不清楚。目标不明，导致了学生兴趣不浓，思维也根本没有被激活，整个探究的过程中学生只充当了被动的操作工。如果教学时先提出问题：探索圆锥的体积。在老师的启发引导下，学生们一定能够从形状的相似上发现圆锥和圆柱的关系最密切，可以借助圆柱来推导圆锥的体积公式。然后，让小组设计、交流研究方案，小组选择比较简便的操作方法展开探究。这样，学生的探究欲望会是多么强烈，探究的方法该是多么丰富多彩。
2. 空间太小。
探索的路总是充满艰辛的，正因为如此，探究的过程才更有魅力。可是，本节课的探究却是格外的一帆风顺，原因在于空间太小。等底等高的空心圆柱和圆锥，学生只需要装装沙子，就可以一下子发现教师需要的结果，没有一点波折，在学生的心里也就激不起什么波澜，狭窄的探究空间，还使得结论中的关键因素“等底等高”没能引起学生的主意，是在老师的追问、强调中学生才意识到的。其实探究中，老师可以选择一些非等底等高圆锥和的圆柱，这样，有的小组一定能得到3倍的结论，而有的小组一定是得不出3倍结论的：或许是圆锥和的圆柱的体积一样多，或许是4倍、5倍关系。在这种情况下，让学生观察实验所使用的工具，在分析比较、互动交流中学生恍然大悟：只有当圆锥和圆柱等底等高时，他们的体积关系才会出现三分之一（或者3倍）的关系。这样的设计，学生的思维才能在广阔的空间内自由驰骋，碰撞出智慧的火花，不仅发现规律，还能积累探究的经验，体验创造的乐趣，促进三维目标的有效达成。
3.没有适时的评价。
教学重点和难点：掌握圆锥体体积公式的推导。
教具准备：1、等底等高的圆柱体和圆锥体6套，大小不同的圆柱体和圆锥体6套、水槽6套。
2、多媒体课件设计
教学过程设计
(一)复习准备：
1．怎样计算圆柱的体积？(板书：圆柱体的体积=底面积×高)
2．一个圆柱的底面积是60平方分米，高15分米，它的体积是多少立方分米？
3．圆锥有什么特征？
学生回答后，教师用课件演示：屏摹上显示一个圆锥体，将它的底面、侧面、高和顶点闪烁。
（二）导入新课
今天我们就利用这些知识探讨新的问题-----怎样计算圆锥的体积（板书课题）
（三）进行新课
1、探讨圆锥的体积公式
教师：怎样探讨圆锥的体积计算公式呢？在回答这个问题之前，请同学们先想一想，我们是怎样知道圆柱体积公式的：
学生回答，教师板书：
圆柱------（转化）------长方体
圆柱体积公式--------（推导）长方体体积公式
教师：借鉴这种方法，为了我们研究圆锥体体积的方便，每个组都准备了一个圆柱体和一个圆锥体。你们小组比比看，这两个形体有什么相同的地方？学生操作比较。
（1）提问学生：你发现到什么？（这个圆柱体和这个圆锥体的形状有什么关系）
(学生得出：底面积相等，高也相等。)
底面积相等，高也相等，用数学语言说就叫“等底等高”。
(板书：等底等高)
（2）为什么？既然这两个形体是等底等高的，那么我们就跟求圆柱体体积一样，就用“底面积×高”来求圆锥体体积行不行？(不行，因为圆锥体的体积小)
教师：（把圆锥体套在透明的圆柱体里)是啊，圆锥体的体积小，那你估计一下这两个形体的体积大小有什么样的倍数关系？(指名发言)
的水和圆柱体、圆锥体做实验。怎样做这个实验由小组同学自己商量，但最后要向同学们汇报，你们组做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么样的倍数关系。
（3）学生分组做实验。
A.谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？
b.你们做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上发现有什么倍数关系？
(学生发言：圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍)
同学们得出这个结论非常重要，其他组也是这样的吗？
我们学过用字母表示数，谁来把这个公式整理一下？(指名发言)
（4）学生操作：出示另外一组大小不同的圆柱体和圆锥体进行体积大小的比较，通过比较你发现什么？
学生回答后，教师整理归纳：不是任何一个圆锥体的体积都是任何一个圆柱体体积的。(老师拿起一个小圆锥、一个大圆柱)如果老师把这个大圆锥体里装满了水，往这个小圆柱体里倒，倒三次能倒满吗？(不能)
为什么你们做实验的圆锥体里装满了水往圆柱体里倒，倒三次能倒满呢？(因为是等底等高的圆柱体和圆锥体。)
呢？(在等底等高的情况下。)
(老师在体积公式与“等底等高”四个字上连线。)
现在我们得到的这个结论就更完整了。(指名反复叙述公式。)
今后我们求圆锥体体积就用这种方法来计算。
(三)巩固反馈
1．口答。填空：
v(立方米)
v（立方米）
60
52
126
4.5
2．出示例题学生读题，理解题意，自己解决问题。
例一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米，这个零件的体积是多少？
A学生完成后，进行小组交流。
你是怎样想的和怎样解决问题。（提问学生多人）
C教师板书:
×19×12=76（立方厘米）
答：它的体积是76立方米
3．练习题。
一个圆锥体，半径为6cm，高为18cm。体积是多少？(学生在黑板上只列式，反馈。)
4、出示例2：要求学生自己读题，理解题意思。
在打谷场上，有一个近似于圆锥形的小麦堆/！/，测得底面直径是4米，高是1.2米，每立方米小麦约重735千克，这堆小麦约有多少千克？（得数保留整千克）
（1）提问：从题目中你知道什么？
（2）学生独立完成后教师提问。并回答同学的质疑：3.14×（）×1.2×表示什么？为什么要先求圆锥的体积？得数保留整千克数是什么意思？….
5、比较：例1和例2有什么地方不同？
（1）直接告诉了我们底面积，而（2）没有直接告诉，要求我们先求出底面积，再求出圆锥体积；（2）例1是直接求体积，例2是求出体积后再求重量。
我们已经学会了求圆锥体的体积，现在我们来解决有关圆锥体体积的问题。
四、巩固练习：
1、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重多少吨？
2、选择题。每道题下面有3个答案，你认为哪个答案正确就用手指数表示。。
(1)一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是(
)
⑴立方米②3a立方米③9立方米
(2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是(
)立方米
（1）6立方米（2）3立方米（3）2立方米
2、学生操作：
看看我们的教室是什么体？(长方体)
要在我们的教室里放一个尽可能大的圆锥体，想一想，怎样放体积最大？(小组讨论)
（1）学生在动手操作与小组交流等学习活动中，理解并掌握圆锥的体积计算公式，并能解决有关圆锥体积的简单实际问题。
（2）经历圆锥体积的推导过程，培养学生的观察、动手操作、分析归纳等能力。
（3）在猜想、实验、验证、推理等过程中渗透恒等、模型等数学思想和实践第一的辩证唯物主义思想，发展学生的空间观念。
（4）通过小组实验操作，汇报交流，分享成功的喜悦，增强学习数学的信心。
教学重点：理解圆锥体积的计算公式，能运用公式解决实际问题。
教学难点：圆锥体积计算公式的推导过程及圆锥体积等于等底等高的圆柱体积的三分之一的理解。
教学具准备：
多媒体课件、等底等高的圆柱和圆锥、河沙、提水桶装水、实验报告单等。
教学过程：
一、创设情境，引入新知
1.复习旧知
师：孩子们，今天老师带了两个可爱的朋友想与大家一起学习，你们也欢迎它们吗？（出示圆柱的图片）看看，认识它吗？你了解圆柱吗？都知道些什么呢？
学生畅谈有关圆柱的知识。
师：孩子们对圆柱真是太熟悉了。那这个朋友呢？（出示圆锥图片）你又了解了些什么？
学生大胆交流有关圆锥的知识。
师：孩子们真是太棒了，把鼓励的掌声送给自己！
2.引入新知
师：孩子们喜欢上手工课吗？用橡皮泥做过学具吗？看看在一节手工课上发生了什么？在一节手工课上，小红和小芳用橡皮泥做学具。小红做了一个底面积为15平方厘米，高为6厘米的圆柱；小芳做了一个底面积为15平方厘米，高为18厘米的圆锥。小红说：“你做这么高，用的橡皮泥太多了。”小芳说：“你的圆柱要粗的多，用的橡皮泥更多”她们俩究竟谁用的橡皮泥多呢？学生猜猜看。
师：要比较她们俩谁用的橡皮泥多，可以通过计算圆柱圆锥的什么来判断？
生：体积。
圆柱的体积等于什么？（底面积乘以高），那圆锥的体积也等于底面积乘以高吗？究竟该怎样计算圆锥的体积？这节课我们一起来研究圆锥体积的计算方法。
揭示课题：圆锥的体积
二、小组操作，探究新知
1.提出猜想，大胆质疑
师：大家猜猜看，圆锥的体积与我们以前学过的哪种形体的体积有关？
2.小组合作，动手实验
师：圆锥的体积和圆柱的体积之间究竟有没有关系呢？如果有关系的话，它们之间又是一种什么关系？通过什么办法才能找到它们之间的关系呢？带着这些问题，请同学们分组研究，通过实验寻找答案。
在小组探究前，请看清要求：（多媒体出示）
1.六人小组的成员必须分工合作（实验员，填表员，汇报员各司其职），利用提供的器材共同想办法解决问题，找出圆锥的体积的计算方法。
2.根据小组研究的方法填写实验报告单。
温馨提示：装沙的时候，轻轻的把圆锥装满即可，用尺子水平的将多余的沙子轻轻刮掉，再轻轻的倒入圆柱。装水注意装满。
师：明白了吗？请在组长的带领下，开始行动吧！
附：（ ）组的实验报告单
记录人：
实验方法：我们组是用的是空心圆锥装（）的方法实验的。
实验步骤：
（1）用等底等高的（ ）装满（ ）倒入（ ）中。
（2）我们组共倒了（ ）次，正好装满。
（3）我们的发现：用等底等高的（）装满（）倒入（）中，（）次刚好能装满。
实验结论：圆锥的体积等于等底等高的（）体积的（）
学生小组合作探究，教师巡视指导，参与学生的活动。
3.展示汇报，导出新知
师：哪个小组来交流你们的实验方法和结果？
至少抽三个小组汇报，老师注意引导组员补充与教师的跟进。
结合学生的交流，师板书：圆锥的体积等于等底等高的圆柱的体积的[13]。反过来说，圆柱的体积等于等底等高的圆锥体积的3倍。
4.公式推导，理解新知
师：圆锥的体积=圆柱体积的[13]，如果用字母v锥表示圆锥的体积，圆柱的体积用v柱表示，则v锥=[13]v柱，而圆柱的体积v柱=sh，所以v锥=[13] sh。公式中的s表示什么，h表示什么？圆锥的底面是什么形状？怎样计算它的底面积？所以圆锥的体积公式还可以怎样表示？
v锥=[13]π[r2]h学生齐读公式，并记住公式。
5.实验质疑，拓展新知
师 ：是不是所有的圆锥的体积都是圆柱体积的三分之一呢？我们来做个实验。
师请两个学生做实验演示：用两个等底不等高的圆柱和圆锥装水，结果没有得到圆锥体积是圆柱体积的三分之一，让学生进一步体会等底等高的含义。
6.问题解决，应用新知
孩子们能用我们自己研究的成果来解决问题吗？
出示例1：一个铅锤高6厘米，底面半径4厘米。这个铅锤的体积是多少立方厘米？
孩子们默读题目后问：能独立解答吗？学生独立解答后抽学生的作业展示汇报。
三、拓展应用，巩固新知
1.填一填
（1）圆柱的体积字母公式是（），圆锥的体积字母公式是（）。
（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的（）倍。
（3）圆锥的底面积是15平方米，高9米，体积是（）。与它等底等高的圆柱的体积是（）立方米
2.教科书第42页第一题。（课件出示）
学生独立解答，集体订正。
3.刚才小红和小芳的争议，同学们能帮她们解决了吗？谁用的橡皮泥多？
中图分类号：G623 文献标识码：A
深度学习是相对于浅层学习所提出的一个概念，是一种基于理解的学习，它强调学习者要批叛地学习新知识，把它们纳入原有的认知结构，从而帮助决策，解决问题。深度学习鼓励学生积极地探索、反思和创造。与浅层学习相比，它凸显了学生由被动学习向主动学习的转化，关注了学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的能力。下面，结合《圆锥的体积》一课的教学，谈谈教师如何引导学生进行深度学习。
1激发学生主动探究的欲望
赞可夫说过：“单纯地听教师讲解，不能调动学生学习的精神力量。”教师的主导作用就在于激发他们的学习热情，促使其积极主动地探索知识。所以，上课伊始，教师可以利用新旧知识的连接点激发学生对圆锥体积探索的兴趣：（1）让学生说说长方体、正方体、圆柱体积的计算方法。因这三个物体的体积都可以用底面积乘高来进行计算，这个问题为下面学生的猜想作了铺垫。（2）让学生猜想：怎样计算圆锥的体积？学生很自然地想到用“底面积乘高”的方法来计算。但有的同学提出了质疑：底面积乘高是计算圆柱体积的，很明显，圆锥体积不能用同样的方法来计算。（3）在学生的讨论中，新的问题油然而生：那么怎样计算圆锥的体积？圆锥的体积与圆柱的体积有什么关系呢？这几个问题激发了学生探究的兴趣，学生有了问题才会有探索，只有主动探索，才会有创造。
2引导学生真正参与探究过程
利用学生已有认知经验，组织学生研究是学生自主学习的良好方式，但在课堂上往往受时空的限制，有时很难有效地完成，要么蜻蜓点水，要么变成个别同学的研究。对于圆锥体积的计算方法，在课堂教学中，很多老师常常是拿来一个圆柱容器、一个与圆柱容器等底、等高的圆锥形容器，老师演示：往圆锥容器中装水或者谷粒，装满后倒入圆柱容器中，让学生仔细观察几次能装满。老师装完，学生也数完，需三次才能装满，于是师生共同得出结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。从课堂教学来看，只是老师在做，学生在看，学生只是一个旁观者，没有参与到研究的过程中去，这种学习是机械地、被动地，是一种浅层的学习。
苏霍姆林斯基说过：“在的人内心深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者，研究者、探索者，而在儿童的精神世界中这种需要特别强烈。”只有让每个孩子都动起来，在动手做的过程中，引发思考、启迪思维，学生才会进行深度学习。
我们可以设计这样的探究活动：
2.1课前制作容器
课前让学生用硬纸板制作一个圆柱容器，再做与这个圆柱等底等高、等高不等底、等底不等高，不等底不等高的圆锥容器各一个。别小看这简单的制作活动，在制作容器的过程中，学生需要测量、计算、剪、粘，在动手、动脑的过程中，对圆锥、圆柱的底面积和高又加深了认识，对“等底等高”这个概念有了深入的认识，为新课的学习打下了基础。
2.2课堂演示操作
课堂上以小组为单位，让每个学生都亲自动手操作：用各种圆锥容器为测量工具，往圆柱容器中装谷粒，记录下装满的次数，并填好表格。
将与圆柱与关的四种圆锥罗列出来，让学生分别都动手做一做，旨在让学生明确“与圆柱等底等高”这一前提的唯一性。
2.3组织学生交流
操作完成后组织学生交流各组操作后的发现，学生从自己小组里的信息可发现，只有与圆柱等底等高的圆锥需3次才能将圆柱容器装满，而其它的次数各不相同，这是不是偶然现象呢？教师再汇总全班各小组的数据让学生观察并思考：观察表中数据，会发现什么？学生会发现：所有组与圆柱等底等高的圆锥都需要3次才能将圆柱装满，而其它圆锥装的次数各不相同。
这样在课堂上组织学生交流分享，碰撞研究火花，学生在独立研究的基础上，与同伴在共赢共进中进行深度学习。
2.4启发思考，得出结论
引导、启发学生思考：你发现了什么？圆锥体积和什么样的圆柱体积有关系呢？有什么关系呢？怎样计算圆锥的体积呢？学生从交流中自己会发现：圆锥体积只和与它等底等高的圆柱体积有关系，而且总是这样圆柱体积的三分之一，于是利用圆柱的体积公式推导出：圆锥的体积=底面积赘住？
学习情境的真实展现，学生学习过程的真实展开，是学生自我建构知识结构的必备条件，只有真正经历用已有数学活动经验，不断解决新问题的过程，学生的深度学习才有生命力。
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）33-0070-02
【作者简介】1.张云，江苏省镇江市丹徒实验学校（江苏镇江，212028）副校长，高级教师，江苏省优秀教育工作者；2.朱君，江苏省镇江市丹徒实验学校（江苏镇江，212028）教师，一级教师，镇江市丹徒区骨干教师。
每个学科都有自己独特的美，语文有人文之美，音乐有节奏之美，美术有意境之美，而数学则应闪烁着“理性”之美。
前不久，笔者曾观摩一位教师执教的苏教版六下《圆锥的体积》一课，基本环节是：回顾铺垫，通过复习圆柱的知识、触摸立体图形等活动，创设学习新知识的情境；提出问题，通过触摸新事物，使学生产生问题，然后教师出示本课的学习目标；观察实验，发现圆柱和圆锥体积之间的关系，得出圆锥体积的计算方法；巩固练习，师生共同总结。教者的基本功扎实，课件设计得精美、巧妙，教学过程如下：
师：请同学们拿出一个圆柱与圆锥，看看它们有什么关系。
生：等底等高。
师：这组等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相等吗？你能看出这个圆锥的体积是这个与它等底等高的圆柱体积的几分之几吗？
生：体积不相等，圆锥体积大致是与它等底等高的圆柱体积的二分之一或三分之一。
师：到底是几分之几呢？下面我们来做一个实验，验证一下。
接着教师在课件上演示：一个圆锥装满了水向一个等底等高的圆柱里倒，连续倒了三次刚好倒满。
师：通过观察上面的实验，你有什么发现？
生：圆锥体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
教师指导学生学习书本上的实验以及公式推导的过程，巩固所学知识，同时体会探究问题的，鼓励学生继续探索。
【困惑】
一节课上得很热闹，学生看着制作精美的多媒体课件，学习热情高涨。但听完课后，不由得让笔者疑惑：
这是一堂数学课还是观影课？这节课最重要的环节“通过研究圆锥与同它等底等高的圆柱的关系，推导圆锥体体积的计算公式”，学生没有亲身实验，而是观看多媒体课件。这节课更像是一节观影课。
课件演示的实验结果是否真实可信？有课件制作常识的人都知道，“一个圆锥装满了水向一个与其等底等高的圆柱里倒，连续倒了三次刚好倒满”可能是教师刻意制作的结果。对学生而言，这样的教学缺少动手操作和理性思考的过程。
基于以上两点感受，笔者认为现代教育媒体虽然给数学教学带来了诸多方便，将原本枯燥、抽象的数学变成了形象、具体、富有动感的数学，大大提高了学生学习数学的兴趣。但是，如果教师过于依赖多媒体，学生的探究能力和提出问题、分析问题、理性思考的能力都将无法得到提高。
如何提高学生的综合能力，打造高效的数学课堂，彰显数学知识所蕴含的数学价值？为了回答这个问题，同样教学“圆锥的体积推导”这一内容，笔者设计了如下教学环节：
1.明确为什么要做实验。
师：你们已经会求圆柱的体积了，如果让你求圆锥的体积，你会求吗？你有什么方法？说出来交流一下。
生1：可以将这个圆锥装满水，倒到量杯里量一量，就知道它的体积了。
师：你真聪明，但这样做求出来的是容积。
生2：如果圆锥不是空的怎么办？所以我觉得可以把它放到一个量杯里，溢出来的水的体积就是圆锥的体积。
生3：有那么大的杯子幔空庑椒ǘ疾恍小N颐且找到一个计算公式。只要知道圆锥的高和底面积，就可以求出圆锥的体积。
生4：用底面积乘以高吗？那不是圆柱的体积计算公式吗？
生5：我想三角形和平行四边形有关系。圆柱和圆锥是不是也有关系呢？它们的体积是不是也存在着几分之几的关系呢？
师：那怎么办呢？
生：可以用实验来验证！找等底等高的圆柱和圆锥，看看它们的体积存在着怎样的关系？
2.明确为什么要找等底等高的圆柱和圆锥。 师：为什么要找等底等高的圆柱和圆锥来做实验呢？不是等底等高就不行吗？
生：那样研究出来也没有什么意义呀，不能推导出一般的计算公式。
3.明确实验步骤和相关注意点。
师：那如何来实验呢？
生：我们可以将圆锥装满米，倒入圆柱中，看看需要倒几次；也可以将圆柱装满米，倒入圆锥中，看看需要倒几次。
师：我们做实验时要注意什么？
生：实验的准确性。如：米要装满，刮平，倒时不漏到外面等。
【反思】
1.用数学的思维方式组织教学。
学生学习数学的目的是什么？笔者认为数学学习的目的至少包括：第一，理解和掌握数学基础知识，为学习更高层次的数学知识打好基础；第二，解决实际生活中的一些问题，从而更好地为学生的生活服务；第三，通过数学知识的学习和运用，培养学生的数学思维方式、创新意识和创造能力，同时使学生的情感、态度与价值观得到发展。在这三条中，笔者认为最核心的就是培养学生的数学思维方式，促使学生进行理性的思考。数学是思维的体操，数学课区别于其他学科课程的显著特征之一便是严谨的思维方式。圆锥体积计算公式的推导不应牵着学生的鼻子走，而应让学生明白为什么这样做，这样做的目的是什么。那么，如何使学生通过实验分析问题、思考问题，使其思维走向深刻、理性呢？教师在教学时应及时捕捉课堂生成资源，激发学生思考的欲望，促进其思维的发展，使数学课多一些“数学味”。
2.把思考的主动权交给学生。
儿童的智慧在他的指尖上。加强动手操作能力的培养，是帮助学生解决问题的捷径。放手让学生在有限的时间里多动手、多思考、多实践，成为真正的探索者，才能切实提高课堂教学效率，提高学生的综合能力。教师不应低估学生的潜能，而应把思考的主动权交给学生，由学生按照自己的想法动手实验得出结论。
