时间：2022-02-10 18:53:16
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25、根据所给信息，分别求出每只小猫和小狗的价格. (4分) 买 一共要70元,买 一共要50元. 26、如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明。（适当添加辅助线，其实并不难）（6 分） (1) (2) (3) (4)
27..如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，-2），B（1，1），C（-3，1），A1B1C1是ABC向下平移2个单位，向右平移3个单位得到的．（1）写出点A1、B1、C1的坐标，并在右图中画出A1B1C1；（2）求A1B1C1的面积．
A、2x+y=2xy B、
C、(2ab)2=4a2b2 D、(-x-y)(x+y)=x2-y2
2、下列几何体的主视图与众不同的是()
3、下面四个标志属于中心对称的是()
4、下列命题正确的是()
A、垂直于半径的直线一定是圆的切线
B、正三角形绕其中心旋转180°后能与原图形重合是必然事件
C、有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D 、四个角都是直角的四边形是正方形
5、如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是()
A、a+b>0 B、ab>0 C、a-b>0 D、|a|-|b|>0
6、为创建园林城市,盐城市将对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔6米栽1棵,则树苗缺22棵;如果每隔7米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是()
A、6(x+22)=7(x-1) B、6(x+22-1)=7(x-1)
C、6(x+22-1)=7x D、6(x+22)=7x
7、如图，点A的坐标为(6，0)，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰RtOBF，等腰RtABE，连接EF交y轴于P点， 当点B在y轴上移动时，PB的长度为()
A、2 B、3C、4 D、PB的长度随点B的运动而变化
二、填空题((每小题3分，共30分)
1、震惊世界的M H370失联事件发生后第30天，中国“海巡01”轮在南印度洋海域搜索过程中首次侦听到疑是飞机黑匣子的脉冲信号，探测到的信号所在海域水深4500米左右，其中4500用科学记数法表示为_____
2、单项式-4x2y5的次数是_______
3、分解因式2x3-8x=______
4、函数 的自变量x的取值范围是______
5、用一张面积为60π的扇形铁皮，做成一个圆锥容器的侧面(接缝处不计)，若这个圆锥的底面半径为5，则这个圆锥的母线长为_____
6、如图，半径为 的O是ABC的外接圆，∠CAB=60°，
则BC=_____.
7、如图，边长为2正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形 ，则在旋转过程中点D到D’的路径长是____
8、已知 ，则 =____
9、某菱形的两条对角线长都是方程x2-6x+8=0的根，则该菱形的周长为___
10、如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC上的点，且线段EF过矩形对角线AC的中点O，且EFAC，P F∥AC，则EF：PE的值是____
九年级下册数学教学反思(一)经过三年的努力，在今年的中考中，我所教248班的数学成绩比以往的任何一届有了一定的提高，下面就是本人的一些做法和体会。
一、吸引每个学生，上好每一节课。我想这个才是最重要的，我们时常要求学生学会听课，那么自己的课堂是不是能吸引住学生，能不能让每个学生真正的参与到教学中，只有充分备好课，力争让每一节课都有一个亮点，让学生感觉每节课都象是很新鲜，渴望求知的欲望若能给吊起来，这样的课应该成功一半了。我的具体做法有以下几种：
1、案例分析法。
比如上课前将上节课学生作业中的错题展现在黑板上，让学生来进行分析，让学生讲比我们老师讲的效果要好得多，同时也会不时产生新的做法，若能将几种做法再加以优化效果会更好，这样的反馈效果也应该是最好的;将学生的好的做法在课堂前展现也是不错的方法，这样做的目的不仅是推广了一种好的做法，而且是一种榜样，是一种激励，不仅能影响到受表扬的学生，更会激起更多的学生去探索好的做法，好的思路，好的角度等等，在课堂前都能受到老师的表扬，在课堂前都能让全班同学向自己学习，那心情就别提会有多好，整个班级的氛围会相当不错。
2、调动学生的积极。
为了让学生掌握一个知识或者是一种技能，或者是一种你认为很有必要的数学思想，一定要在接受新知识前，发挥自己语言的优势，煽动性越强越好，比如我在讲一元二次方程中的公式法时，我在课堂上说，“直接开平方法解方程你没学好没关系，因为它太特殊了，配方法你也可以不会，因为它太繁，今天我们将学习一种万能的方法，它就象是一个模板一样，代入直接出结果，相当方便，非常智能化。”有了这样导入语后，什么层次的学生都想学会，因为它万能呀?这样做对于教学效果的提高有很好的作用。
3、要善于探索。
一个优秀的老师不是看你上课讲了多少，而是让学生悟出了多少，最智慧的老师会给学生留下足够多的时间让学生自己去捉摸，所以探索很有必要，想要突出的问题不要我们用最大气力，花费最多的时间去讲，而是让学生自己去尝试错误，让学生们自己探索，让学生向权威挑战，所以作为毕业班的老师更应该给学生充分尝试错误的机会和空间。
二、要提高教学质量，还要做好课后辅导工作，初中的学生爱动、好玩，缺乏自控能力，常在学习上不能按时完成作业，有的学生抄袭作业，针对这种问题，就要抓好学生的思想教育，并使这一工作惯彻到对学生的学习指导中去，还要做好对学生学习的辅导和帮助工作，尤其在后进生的转化上，对后进生努力做到从友善开始，比如：看到学生时，主动跟他们打招呼，课余时间主动跟他们聊天，拉近心里的距离，做这他们的好朋友。还要从赞美着手，所有的人都渴望得到别人的理解和尊重，所以，和差生交谈时，对他的处境、想法表示深刻的理解和尊重，还有在批评学生之前，先谈谈自己工作的不足。让师生关系和谐起来，信其人，顺其道。
三、虚心向别人学习。
1、向同事学习。
大家都会有一种感觉，无论什么时间，什么地点每听同事们一节课，假若你是抱着一种学习的态度的话，你总会从中学习到一点或者是几点，所以有时间听听同科老师的课，课余时间与同年级的教师谈谈学生学习的态度、方法，与同科的教师探究更好的解题方法，是非常有必要的，活到老学到老，一点不错，只有这样自己才会不断的进步。三年来我们备课组在这一点做得是非常好的，每次的教研会，大家都会畅所欲言，将各种想法从分散到统一，再从统一到分散，真正做到了资源共享，分工合作，相信每一个同志经过三年都会有一定的提高。
2、向学生学习。
从学生的课堂解答思路，作业解答过程，检测的解答方法，对于学生好的思考角度，好的做法，我都会用另外的一个本子专门记录学生的好的做法，好的思路， 尽量做到“你有我优，你优我先，你先我简，你简我全”，这就是向学生学习的标准，也是进行科学研究的基础和遵循的游戏规则。学生数学的兴趣，课堂上讲练结合，布置好课外作业，作业少而精，减轻学生的负担。
经过三年的努力，248班的数学成绩有了一定的提高，特别是韦雪芬、周立斌、黄嘉慧、凌航、周保宏、韦婷婷、韦晓敏等同学，在这次的中考中都考到了A等分，并且考上高中都进入宏志班或民族班。当然经过一轮教训还是很多的，在今个学期我教的252班(也是毕业班)中我将改进以下几个方面：
1、树立高标意识。
由于我学生的问题，所以在平时的教学中对优秀学生这一块没有做的精中更精，在拓展方面做的不是很到位，练习量不是太足。
2、面向全体学生。
对于中等生和后进生都要关注，不要认为班里有6、7个成绩差不多的就行了，没有能面向全体，从而丧失了更多的可能，所以要关注每一个学生的发展，按照新课标的具体要求去做，真正让每一个学生学习到必要的数学知识。
走进新课改，学校对教师的素质要求更高，在今后的教育教学工作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点，开拓前进，为美好的明天奉献自己的力量。
九年级下册数学教学反思(二)本学期担任初三的数学教学工作，工作中有得也有失，现反思如下:
一、教育教学中的得：
1、能制定正确教学目标:
平时教学中，不仅根据教学大纲的要求更注重多数学生的学习基础、水平来制定教学目标。根据班级实际情况，我把平时的教学目标要求定在中等偏下水平，重点内容适当提高，使素质高的学生能取得较好成绩，对于基础太差的学生，对他们的复习目标只要求达到教学大纲的最基本的要求，强调熟记重要的概念、定理、公式等基础知识，并能掌握基础题的基本解法。通过努力，使全班学生的数学成绩均有所提高。
2、寓复习于平时教学过程中:
为了完成复习任务，又要减轻学生在集中复习时间的负担，我把复习内容有计划地分散在平时学习中。从初三开始教学就有目的地回顾总结。复习了与初三知识相关联的初一、初二年级的重要数学知识，结合教材，因势利导进行复习。平时在课堂复习、提问、小测验、有目的的检查复习初一、初二等知识点。这样做能使初一、初二等已学过的重要知识反复在学生头脑中出现，可以减少遗忘率。
3、编写切合学生实际的训练题:
目前初三学生每人手中均有学习资料，这些资料中基础知识偏少，较难的题目偏多，解题方法着重技巧性而不突出基本思路和方法，总的情况是要求偏高、偏深，脱离我校学生的实际，也不符合我校的学习要求。因此平时在备课中我注意重点备好学生的练习及复习训练题。布置作业做到了有布置就一定有批改,提高了学生的作业质量.自编习题要求中等偏下，多数题目是基本训练，重点题型反复训练，逐步提高，达到了预期的教学效果。
4、注重课堂教学信息的及时反馈和矫正:
由于学生之间思维的差异及基础知识掌握的差异特别大，给课堂教学带来了很大的难度，因此课堂教学必须从学生实际水平出发，分层次、有针对性地进行复习指导，最终使不同层次的学生通过复习学习达到不同水平。因此我在课堂教学中，注重了解学生的思维过程，对于学生回答的问题要进一步追问，对学生做的选择题和填空题的答案要进一步追问为什么。课堂教学中对学生的练习及时给予积极的评价，提高学生的内驱力，同时及时矫正学生中存在的问题，这样既加深了对知识的理解，同时又使学生及时纠正错误，达到复习的基本要求。
二、教学工作的失:
错误的估计了学生的学习情况，乐观的认为学生的学习过程及作业过程是正常化的，结果导致走了一段弯路。在初三数学教学过程中，为了赶教学进度,因此课堂教学中还是出现了讲的多、练的少的现象。没有很好的把握教育管理与初三数学教学的关系。平时在初三数学教学中花的时间较少，特别是后进生的辅导工作没有真正落到实处。有时对存在问题讲道理多了，具体辅导工作少了。章节考试及模拟考试注重了学生的得分情况分析，对学生知识缺漏情况少了统计及分析，少了针对性的评讲，更少了针对性的进行跟踪训练及检查。
三、三阶段复习的做法：
1、注重了课本知识，进行了查漏补缺。
全面复习基础知识，加强基本技能训练的第一阶段的复习工作我们已经结束后，在第二阶段的复习中，反思和总结上一轮复习中的遗漏和缺憾，会发现有些知识还没掌握好，解题时还没有思路，因此要做到边复习边将知识进一步归类，加深记忆;还要进一步理解概念的内涵和外延，牢固掌握法则、公式、定理的推导或证明，进一步加强解题的思路和方法;同时还要查找一些类似的题型进行强化训练，要及时有目的有针对性的补缺补漏，直到自己真正理解会做为止，决不要轻易地放弃。
另外，现在中考命题仍然以基础题为主，有些基础题是课本上的原题或改造了的题，有的大题虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题或习题，是课本中题目的引申、变形或组合，课本中的例题、练习和作业题不仅要理解，而且一定还要会做。同时，对课本上的《阅读材料》《课题研究》《做一做》《想一想》等内容，我们也一定要引起重视。
2、注重了课堂学习，提高了学习效率。
在任课老师的指导下，通过课堂教学，要求同学们掌握各知识点之间的内在联系，理清知识结构，形成整体的认识，通过对基础知识的系统归纳，解题方法的归类，在形成知识结构的基础上加深记忆，至少应达到使自己准确掌握每个概念的含义，把平时学习中的模糊概念搞清楚，使知识掌握的更扎实的目的，要达到使自己明确每一个知识点在整个初中数学中的地位、联系和应用的目的。上课要会听课，会记录，必须要把握每一节课所讲的知识重点，抓住关键，解决疑难，提高学习效率，根据个人的具体情况，课堂上及时查漏补缺。
3、夯实了基础知识，学会思考。
在历年的数学中考试题中，基础分值占的最多，再加上部分中档题及较难题中的基础分值，因此所占分值的比例就更大。扎扎实实地夯实基础，通过系统的复习，我们对初中数学知识达到“理解”和“掌握”的要求，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。
4、注意了知识的迁移，学会融会贯通。
课本中的某些例题、习题，并不是孤立的，而是前后联系、密切相关的，其他学科的知识也和数学有着千丝万缕的联系，我们要学会从思维发展的最近点出发，去发现、研究和展示这些知识的内在联系，这样做不仅有助于自己深刻理解课本知识，有利于强化知识重点，更重要的是能有效地促进自己数学知识网络和方法体系的构建，使知识和能力产生良性迁移，达到触类旁通的效果，通过探究课本典型例题、习题的内在联系，让我们在深刻理解课本知识的同时，更有效地形成知识网络与方法体系。例如一元二次方程的根的判别式，不但可以解决根的判定和已知根的情况求字母系数，还可以解决二次三项式的因式分解、方程组的根的判定及二次函数图象与横轴的交点坐标。
5、复习形成了梯度，选择典型习题。
如果说第一阶段是中考复习的基础，是重点，侧重了双基训练，那么第二阶段的复习就是第一阶段复习的延伸和提高，这个阶段的练习题要选择有一些难度的题，但又不是越难越好，难题做的越多越好，做题要有典型性，代表性，所选择的难题是自己能够逐步完成的，这样才能既激发自己解难求进的学习欲望，又能使自己从解决较难问题中看到自己的力量，增强学习的信心，产生更强的求知欲望。
6、重视基础知识，注重解题方法。
基础知识就是初中数学课程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求同学们掌握各知识点之间的内在联系，理清知识结构，形成整体的认识，并能综合运用。每年的中考数学会出现一两道难度较大，综合性较强的数学问题，解决这类问题所用到的知识都是同学们学过的基础知识，并不依赖于那些特别的，没有普遍性的解题技巧。
四、今后的教学思路:
(一)进一步激发学生的学习动机，培养学生良好的学习习惯
(二)融洽师生情感，提供平等的学习机会，诚心实意的为学生提供优质的服务。
(三)健全学生完整的知识结构。一方面加强基础知识教学，注重抓盲点,，另一方面重视解题模式的总结，注意突破难点,这是数学学习的关键。
(四)切实做好提优补差工作。对后进生格外关心，注意辅导其学习方法，并针对其学习上的缺漏予以辅导纠正,做好测验及模拟考试中成绩不理想的学生知识缺漏情况的统计及分析，进行针对性的评讲，并进行针对性的跟踪训练和检查.
(五)继续贯彻学校领导的工作决策，不断注重教育教学的理论学习，使之教学质量有所提高。
(六)进一步发扬教学工作中的优点，改正过去工作的不足，虚心学习，不断提高运用多媒体辅助教学的能力，扩大课堂教学容量。
九年级下册数学教学反思(三)反思一学期的教学总感到有许多的不足与思考。从多次考试中发现一个严重的问题，许多学生对于比较基本的题目的掌握具有很大的问题，对于一些常见的题目出现了各种各样的错误，平时教学中总感到这些简单的问题不需要再多强调，但事实上却是问题严重之处，看来还需要在平时的教学中进一步落实学生练习的反馈与矫正。
在平时的教学过程中，我们要求学生数学作业本必须及时上交，目的是为了及时发现，及时设法解决学生作业中存在的问题，认真落实订正的作用，将反馈与矫正要落到实处，切实抓好当天了解、当天解决、矫正到位，也就是说反馈要适时，矫正要到位。另外我们还应注意反馈来的信息是否真实，矫正的方法是否得力，因为反馈的信息虚假或不全真实，那么我们就发现不了问题，就不能全面地了解学生的情况，也就不会采取及时、正确的矫正措施。我认为要注意以下几个方面：
一、注意反馈矫正的及时性。
课堂教学中应注意引导学生上课集中精力，勤于思考，积极动口、动手。可利用提问或板演等多种方式得到学生的反馈信息，一般我们应把提问、解答、讲评、改错紧密的结合为一体，不要把讲评和改错拖得太长。最好当堂问题当堂解决，及时反馈在一日为好。
二、注意反馈矫正的准确性。
在教学中我们必须经常深入到学生中去了解他们的困难和要求，积极热情地帮他们释疑解难，使他们体会到师长的温暖，尝试到因积极与老师配合、真实地提供信息而尝到学习进步的甜头。
三、注意反馈矫正的灵活性。
我们在教学中可采用灵活多样的反馈矫正形式。咳提前设计矫正方案，也可预测学生容易出错的地方，在获取信息后，认真分析其问题的实质，产生问题的原因，然后有针对性地实施矫正方案。在作业的检查过程中，要求进一步落实学生是否存在抄作业现象，是否认真订正作业。总之，反馈矫正一定要落在实处。
我们要主动辅导，及时令其矫正。进一步培养学生的主动性和自觉性，当然，如果我们只强调学生的主动和自觉，而不注意自身的主动和自觉，结果也会不如人意。
四、运用新的教学方法和现代教学理念。
新课程倡导自主、探究、合作的学习方式，追求平等、合作、对话的师生关系。在数学教学中，通过不同的数学活动的教学，不断完成师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。在数学课堂教学中，要创设有助于学生自主学习的生活情景，激发学生的探究欲望，引导学生通过实践、思考、探索、交流，从而获得知识，形成技能，培养学生的发散思维能力，让他们学会学习，从中认识到学习的乐趣。
五、营造平等融洽、师生互动的教学氛围。
一、选择题 （每小题3分，共24分）1．下列各组数中，能够组成直角三角形的是 【 】A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，82．若式子 － ＋1有意义，则x的取值范围是 【 】A．x ≥ B．x ≤ C．x＝ D．以上答案都不对3．在根式① ② ③ ④ 中，最简二次根式是 【 】A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．① ④4．若三角形的三边长分别为 ， ，2，则此三角形的面积为 【 】A． B． C． D． 5．如图所示，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 【 】A． B．2 C．3 D．4
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OEAB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的大小为 【 】A．75° B．65° C．55° D．50 °7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长是 【 】A． 4 B． 6 C． 8 D．10 8．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正 方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边（x ＞ y），请观察图案，指出下列关系式不正确的是 【 】A． B． C． D．二、填空题（ 每小题3分，共21分） 9．若 x，y为实数，且∣x＋2∣＋ ＝0，则（x＋y）2017的值为 ．10．计算： ．11. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则∣a－b∣－ ． 12．若x＝2－ ，则代数式（7＋4 ）x2＋（2＋ ）x＋ ＝ ．13．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（－3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．14．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DEa于点E，BFa于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝ ．15．如图，RtABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B＇重合，AE为折痕，则E B＇＝ ． 三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分）16．（每小题4分 共8分）计算：（1） ； （2）a2 ．17．(8分) 如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么要使式子 有意义， x的取值范围是什么？ 18．（9分）如图，每个小正方形的边长都是1，（1）求四边形ABCD的周长和面积（2）∠BCD是直角吗？
19．(9分)如图所示，在ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且CE＝AF，（1）求证：ABE ≌ CDF；（2）求证：四边形AECF是平行四边形． 20．(10分) 如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD的中点，（1）求证：ABE ≌ CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．
21．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）OD＝CF；（2）四边形ODFC是菱形．22．（10分）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OFAD于点F，OF＝2cm，AEBD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长． 23．（11分）在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于M，求证：（1）BH＝DE； （2）BHDE． 一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C C B D B C D二、填空题题号 9 10 11 12 13 14 15答案 1 1 b 2＋ （5，4） 7 三、 解答题16．（1） （4分） （2） （4分）17．a＝5； ……………………3分 5≤x≤10 ……………………8分18．（1）周长 ……………………3分 面积14.5 ……………………6分（2）是……………………7分，证明：略．……………………9分19．（1）略 5分 （2）略 9分20．（1）略 5分 （2）证出AE是高 8分，AE ＝ 2 10分 21．证明：（1）CF∥BD ∠DOE＝∠CFE，E是CD的中点，CE＝DE在ODE和FCE中， ，ODE≌FCE（ASA）OD＝CF．……………………6分（2）由（1）知OD＝CF ，CF∥BD ，四边形ODFC是平行四边形在矩形ABCD中，OC＝OD，四边形ODFC是菱形．……………………10分22．解法一：四边形ABCD为矩形，∠BAD＝90°， OB＝OD，AC＝BD，又OFAD，OF∥AB，又OB＝OD ， AB＝2OF＝4cm，BE︰BD＝1︰4，BE︰ED＝1︰3 ……………………3分设BE＝x，ED＝3 x ，则BD＝4 x ，AEBD于点E ，16－x2＝AD2－9x2……… ………6分又AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，16－x2＝16 x2－16－9x2，8 x2＝32x2＝4，x＝2 ……………………9分BD＝2×4 ＝8（cm），AC＝8 cm ． ……………………10分解法二：在矩形ABCD中，BO＝OD＝ BD，BE︰BD＝1︰4，BE︰BO＝1︰2，即E是BO的中点 ……………………3分又AEBO，AB＝A O，由矩形的对角线互相平分且相等，AO＝BO ……………………5分ABO是正三角形，∠BAO＝60°，∠OAD＝90°－60°＝30° ……………………8分在RtAOF中，AO＝2OF＝4，AC＝2AO＝8 ……………………10分23．（1）提示：证明：BCH≌DCE（SAS） ……………………6分 （2）由（1）知 BCH≌DCE ∠CBH＝∠EDC 设BH，CD交于点N，则∠BNC＝∠ DNH ∠CBH＋∠BNC＝∠EDC＋∠DNH＝90°∠DMN=180°-90°＝90° BHDE．……………………11分
一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1. －5的绝对值是…………………………………………………………( )A. -5 B. 5 C. D. 2. 有一组数据如下：3，6，5，2，3，4，3，6.那么这组数据的众数是………（ ）A. 3或4 B. 4 C. 3 D. 3.53.如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的左视图为（） A． B． C． D． 4．抛物线 的顶点坐标是…………………………………（ ）A.（1，3） B.（3，1） C.（—3，1） D.（—3，—1）5.因式分解 的结果是…………………………………………… ( )A. B. C. D. 6. 如图，反映的是某中学七（3）班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图（部分）和扇形分布图，则下列说法不正确的是 …………………………… ( )A．七（3）班外出步行的有8人 B．七（3）班外出的共有40人C．在扇形统计图中，步行人数所占的圆心角度数为82°D．若该校七年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的约有150人 7．已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的取值范围是……………………………………………………………………………( )A. ； B. ； C. ； D. ．8．下列命题中真命题是……………………………………………………( )（A）任意两个等边三角形必相似；（B）对角线相等的四边形是矩形；（C）以400角为内角的两个等腰三角形必相似；（D）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形9.为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得…………………………………( )A． B． C． D． 10.将一张矩形纸片沿着它的一条对称轴按如下方式对折。那么在图④中下列说法不正确的是………………………………………………………………( )A. ∠ABC=60° B. ∠ADC=90° C. AD=BD=DC D. ∠ABC=45°二.填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11. 计算 = .12将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是 13.点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），则BC= AC．14.一艘船由A至B顺水航行每小时走v1千米，由B至A逆水航行每小时走v2千米，则此船在A、B间往返一次平均每小时走 千米。
15. 如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A、B，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为 （第15题） （第16题）16.如图，AB是半圆直径，半径OCAB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；② ；③ODE∽ADO；④ ．其中正确结论的序号是 ．三.解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）（1）计算：(5-1)0+2cos60°－ (3)2;（5分）（2）解方程：4x2+8x+1=0 （5分）18．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C.(1)请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连接AD，CD；(2)请在(1)的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C__________，D__________；②D的半径＝____________(结果保留根号)；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为______(结果保留π)；19．（8分）如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．20.（9分） 某校将举办“心怀感恩•孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图． （1）本次调查抽取的人数为_______，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上(含40分钟)的人数为_______； （2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
21．（9分）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为450 ：如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300 .求小华的眼睛到地面的距离。（结果精确到0.1米，参考数据： 1.732）. 22. （10分）如图，O是ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？请说明理由；（2）当DP为O的切线时，求线段DP的长．23.（12分） 我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼.有关成本、销售额见下表 (1)2010年，王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩，求王大爷共收益多少万元？(收益＝销售额-成本)(2)2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元.若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3)已知甲鱼每亩需要饲料500 kg，桂鱼每亩需要饲料700 kg.根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次.求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg？ 24．（14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DMx轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使BPF与FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷题号 题型 分值 试题难度 主要知识及主要思想方法 A 易 B中 C难 一 1 选择题 4 √ 求一个数的绝对值 2 4 √ 能找出一组数据的众数 3 4 √ 能根据几何体确定三视图 4 4 √ 根据顶点式求抛物线的顶点 5 4 √ 用公式法分解因式 6 4 √ 根据统计图的学习发表自己的看法 7 4 √ 圆和圆的位置关系 8 4 √ 真假命题的判断 9 4 √ 根据实际问题的数量关系，建立数学模型，列出二元一次方程组 10 4 √ 轴对称性质及三角形内角和性质二 11 填空题 5 √ 整式的乘法运算 12 5 √ 平移性质 13 5 √ 黄金线段比 14 5 √ 列代数式及分式的化简 15 5 √ 根据反比例函数原点对称性求解析式 16 5 √ 圆周角定理、平行线判定、等腰三角形性质、相似三角形判定及性质 A 易 B中 C难 三 17 解答题 5 √ 数的零次幂、三角函数、平方运算 5 √ 解一元二次方程 18 8 √ 尺规作图、建立平面直角坐标系、写出点的坐标、勾股定理、圆锥侧面展开图与原图对应量之间的关系并进行相应的计算 19 8 √ 轴对称变换的性质及菱形的判定方法 20 9 √ 根据频数分布图提供信息出相应的量，会画树状图或列表格求概率 21 9 √ √ 解直角三角形、列一元一次方程 22 10 √ √ 垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理、切线判定、三角形相似判定及性质 23 12 √ √ √ 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用。 24 14 √ √ √ 求抛物线、直线的解析式、三角形相似、分类讨论、等腰直角三角形性质等综合运用 22. （10分）解：（1）当点P是 的中点时，DP是O的切线．………1分理由如下：连接PAAB=AC， = ，又 = ， = ， PA是O的直径，……………3分 = ， ∠1=∠2，…………4分又AB=AC， PABC，……………5分又DP∥BC， DPPA， DP是O的切线．……………6分（2）连接OB，设PA交BC于点E．由垂径定理，得BE=BC=6，在RtABE中，由勾股定理，得：AE= = =8，…………7分设O的半径为r，则OE=8﹣r，在RtOBE中，由勾股定理，得： r2=62+（8﹣r）2，解得r= ，……………8分DP∥BC，∠ABE=∠D，又∠1=∠1， ABE∽ADP，……………9分 = ，即 = ，解得：DP= ．……………10分 23.（12分）解答：解：（1）2010年王大爷的收益为：20×（3﹣2.4）+10×（2.5﹣2）=17（万元），答：王大爷这一年共收益17万元．………………………2分（2）设养殖甲鱼x亩，则养殖桂鱼（30﹣x）亩则题意得2.4x+2（30﹣x）≤70 ………………………3分解得x≤25， ………………………4分又设王大爷可获得收益为y万元，则y=0.6x+0.5（30﹣x），………………………6分即y= x+15．函数值y随x的增大而增大，当x=25时，可获得收益．………………………7分答：要获得收益，应养殖甲鱼25亩，桂鱼5亩．………………………8分（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a㎏由（2）得，共需要饲料为500×25+700×5=16000㎏，根据题意得 ﹣ =2，………………………10分解得a=4000㎏．………………………11分答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000㎏．……………………12分
一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角 的正弦值和正切值（ ）A.都缩小 B.都扩大2倍 C.都没有变化 D.不能确定 2. 如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边BC的长为（） A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm 3.一辆汽车沿坡角为 的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ） A.500sin B. C.500cos D. 4.如图，在 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，则点 到 的距离是（ ）A.10 5 B.5+5 C.15 5 D.15 10 5. 的值等于（ ）A.1 B. C. D.2 6.计算 的结果是( )A. B. C. D. 7.如图，在 中， 则 的值是( )A. B. C. D.
8.上午9时，一船从 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达 处，如图所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么 处与小岛 的距离为（ ）A.20海里 B.20 海里 C.15 海里 D.20 海里9. （2012•山西中考）如图，AB是O的直径，C、D是O上一点，∠CDB=20°，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（） A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 第9题图10. 如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连结 交 于点 ,连结 ,若∠ ＝45°,则下列结论正确的是（ ） A． B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分）11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如果测角仪高1.5 m， 那么旗杆的高为________m. 12.如果sin = ，则锐角 的余角是__________. 13.已知∠ 为锐角，且sin = ，则tan 的值为__________. 14.如图，在离地面高度为5 m的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的长为__________m(用 的三角函数值表示). 15.（2014•成都中考）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD切O于点D，连结AD，若∠ =25°，则∠C =__________度.16.（2014•苏州中考）如图，直线l与半径为4的O相切于点A， P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl，垂足为B，连结PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的值是 ．17. 如图所示， ， 切O于 ， 两点，若 ，O的半径为 ，则阴影部分的面积为_______. 18. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中正方形的边长为 ，则正方形A，B的面积和是_________．三、解答题（共66分） 19.(8分)计算:6tan230°－cos 30°•tan 60°－2sin 45°+cos 60°. 20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 处的距离 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵站能否建在 处? 21.(8分) 如图所示，AB为O的直径，点C在O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连结DC，试判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若cos B= ，BP=6，AP=1，求QC的长.22.(8分)在Rt 中，∠ =90°，∠ =50°， =3，求∠ 和a(边长精确到0.1).23.(8分) 在 中， ， ， ．若 ，如图①，根据勾股定理，则 .若 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论． 24.(8分)某电视塔 和楼 的水平距离为100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m). 第24题图25.(8分) 如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上，且 ，∠ °.（1）求证： 是 的切线；（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积.26.（10分）（2014•北京中考）如下图，AB是O的直径，C是弧AB的中点，O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交O于点H，连结BH.（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长.
期中检测题参考答案一、选择题1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角 的各三角函数均没有变化．故选C．2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC= 根据三角函数定义可知：tan∠BAC= ，则BC=AC tan∠BAC=30× =10 (cm)．故选C．3.A 解析：如图，∠ = ， =500米，则 =500sin ．故选A． 第3题答图 第4题答图4.C 解析：如图，作ADBC，垂足为点D.在Rt 中，∠ =60°， = ． 在Rt 中，∠ =45°， = ， =（1+ ） =10．解得 =15﹣5 ．故选C．5.C 6.D 解析： .7.C 解析： . 第8题答图8.B 解析：如图，过点 作 于点 ． 由题意得， =40× =20（海里），∠ =105°．在Rt 中， = • 45°=10 ． 在Rt 中，∠ =60°，则∠ =30°， 所以 =2 =20 （海里）．故选B．9.B 解析：连结OC，如图所示. 圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC， ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°， ∠BOC=40°，又 CE为 的切线，OCCE，即∠OCE=90°， ∠E=90° 40°=50°． 故选B. 10. A 解析： 是 的直径， 与 切于 点且∠ ＝ , 、 和 都是等腰直角三角形. 只有 成立.故选A. 二、填空题11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m，测角仪高1.5 m，故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．12.30° 解析： sin = ， 是锐角， =60°． 锐角 的余角是90°﹣60°=30°．13. 解析：由sin = = 知，如果设 =8 ，则 17 ，结合 2+ 2= 2得 =15 ． tan = ．14. 解析： 且 =5 m，∠CAD= ， = ． 15.40 解析：连结OD，由CD切O于点D，得∠ODC= . OA=OD, , 16. 2 解析：如图所示，连结 ，过点O作 于点C，所以∠ACO=90°.根据垂径定理可知， .根据切线性质定理得， .因为 ，所以∠PBA=90°, ∥ ,所以 .又因为∠ACO=∠PBA，所以 ∽ ,所以 即 ，所以 ，所以 = ， 所以 的值是2.17. ， 切 于 ， 两点 ，所以∠ =∠ ，所以∠ 所以 所以阴影部分的面积为 = .18.25 解析：设正方形A的边长为 正方形B的边长为 则 ，所以 .三、解答题19.解：原式= .20.解： =50，∠ =15°，又sin∠ = ， = •sin∠ = 50sin 15°≈13 10，故抽水泵站不能建在 处.21. 分析：（1）连结OC，通过证明OCDC得CD是O的切线；（2）连结AC，由直径所对的圆周角是直角得ABC为直角三角形，在RtABC中根据cos B= ，BP=6，AP=1，求出BC的长，在RtBQP中根据cos B= 求出BQ的长，BQ BC即为QC的长.解：（1）CD是O的切线.理由如下：如图所示，连结OC， OC=OB， ∠B=∠1.又 DC=DQ， ∠Q=∠2. PQAB， ∠QPB=90°. ∠B+∠Q=90°. ∠1+∠2=90°. ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180° 90°=90°. OCDC. OC是O的半径， CD是O的切线.（2）如图所示，连结AC， AB是O的直径， ∠ACB=90°.在RtABC中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× = .在RtBPQ中，BQ= = =10. QC=BQ BC=10- = .22.解：∠ =90° 50°=40°. sin = ， =3， sin ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3.23.解：如图①，若 是锐角三角形，则有 .证明如下：过点 作 ，垂足为点 ，设 为 ，则有 .根据勾股定理，得 ，即 . . ， ， .如图②，若 是钝角三角形， 为钝角，则有 . 证明如下：过点 作 ，交 的延长线于点 .设 为 ，则有 ，根据勾股定理，得 ，即 . ， ， . 24.解：设 = m， =100 m，∠ =45°， •tan 45°=100(m). =(100+ )m.在Rt 中，∠ =60°，∠ =90°， tan 60°= ， = ，即 +100=100 ， =100 100 73.2(m)，即楼高约为73.2 m，电视塔高约为173.2 m.25．（1）证明：连结 . ， ， . , . . 是 的切线. （2）解: ， . .在RtOCD中, . . 图中阴影部分的面积为 π. 26. （1）证明：如图，连结OC. C是弧AB的中点，AB是 的直径， OCAB. BD是 的切线， BDAB, OC∥BD. AO=BO, AC=CD.(2)解： OCAB，ABBF, OC∥BF， ∠COE=∠FBE. E是OB的中点， OE=BE.在COE和FBE中， COE≌FBE(ASA). BF=CO. OB=OC=2， BF=2. AB是直径， BHAF. ABBF, ABH∽AFB. ,
第一单元
数与式
第1讲
实
数
知识点一：实数的概念及分类
关键点拨及对应举例
1.实数
（1）按定义分
（2）按正、负性分
正有理数
有理数
有限小数或
正实数
负有理数
无限循环小数
实数
实数
正无理数
负实数
无理数
无限不循环小数
负无理数
（1）0既不属于正数，也不属于负数.
（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.
（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.
知识点二
：实数的相关概念
2.数轴
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数ó
a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等
a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.
例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.
4.绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质：|a|=
a
(a≥0)；
|a-b|=
a-b(a≥b)
-a(a＜0).
b-a(a＜b)
（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.
例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.
5.倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)
（2）代数意义：ab=1óa,b互为倒数
例：
-2的倒数是-1/2
；倒数等于它本身的数有±1.
知识点三
：科学记数法、近似数
6.科学记数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
例：
21000用科学记数法表示为2.1×104；
19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.
7.近似数
（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例：
3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.
知识点四
：实数的大小比较
8.实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而
小.
（3）作差比较法：a-b＞0óa＞b；a-b=0óa=b；a-b＜0óa＜b.
（4）平方法：a＞b≥0óa2＞b2.
例：
把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.
知识点五
：实数的运算
9.
常见运算
乘
方
几个相同因数的积;
负数的偶（奇）次方为正（负）
例：
（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.
失分点警示：类似
“的算术平方根”计算错误.
例：相互对比填一填：16的算术平方根是
4___,的算术平方根是___2__.
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x=.
10.混合运算
先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，
使问题简单化
第2讲
整式与因式分解
一、知识清单梳理
知识点一：代数式及相关概念
关键点拨及对应举例
1.代数式
（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．
（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．
求代数式的值常运用整体代入法计算.
例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.
2.整式
（单项式、多项式）
（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.
（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
（3）整式：单项式和多项式统称为整式.
（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
例：
（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.
（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是
__1
.
知识点二：整式的运算
3.整式的加减运算
(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
(2)去括号法则:
若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.
(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.
失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
4.幂运算法则
(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；
(2)幂的乘方：(am)n＝amn；
(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n
(a≠0).
其中m,n都在整数
(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.
（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.
5.整式的乘除运算
(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
(2)单项式×多项式：
m(a+b)=ma+mb.
(3)多项式×多项式:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（6）乘法
公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
变形公式：
a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】
/2
6.混合运算
注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．
例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.
知识点五：因式分解
7.因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.
(1)
因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；
(2)
因式分解与整式的乘法互为逆运算．
第3讲
分
式
二、知识清单梳理
知识点一：分式的相关概念
关键点拨及对应举例
1.
分式的概念
（1）分式：形如
(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.
例：下列分式：①;②;
③;④，其中是分式是②③④；最简分式
③.
2.分式的意义
(1)无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；
(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；
(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0.
失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.
例：
当的值为0时，则x＝-1.
3.基本性质
(
1
)
基本性质：(C≠0)．
（2）由基本性质可推理出变号法则为：
；
.
由分式的基本性质可将分式进行化简：
例：化简：=.
知识点三
：分式的运算
4.分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，
即；
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即
分式通分的关键步骤是找出分式的最
简公分母，然后根据分式的性质通分.
例：分式和的最简公分母为.
5.分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝；
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝.
例：
＝－1.
6.分式的乘除法
(1)乘法：·＝；
(2)除法：＝；
(3)乘方：＝
(n为正整数).
例：＝；＝2y；
＝.
7.分式的混合运算
(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
第4讲
二次根式
三、知识清单梳理
知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.
(2)两个重要性质：
①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根：
(a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14；＝2；
=；=2
；
知识点二
：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
例：计算：＝.
4.二次根式的乘除法
（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；
（2）除法：
=
(a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计算：＝1；4.
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
例：计算：(+1)(
-1)=
1
.
第二单元
方程(组)与不等式(组)
第5讲
一次方程(组)
四、知识清单梳理
知识点一：方程及其相关概念
关键点拨及对应举例
1.等式的基本性质
(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c
.
(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.
例：判断正误.
(1)若a=b,则a/c=b/c.
(×)
(2)若a/c=b/c，则a=b.
(√)
2.关于方程
的基本概念
(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．
(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．
(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．
在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.
例：若(a-2)是关于x的一元一次方程，则a的值为0.
知识点二
：解一元一次方程和二元一次方程组
3.解一元一次方程的步骤
(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；
(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：移项要变号；
(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；
(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.
失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.
4.二元一次
方程组的解法
思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.
例：
已知则x-y的值为x-y=4.
方法：
(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；
(2)
加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.
知识点三
：一次方程(组)的实际应用
5.列方程(组)
解应用题的一般步骤
(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设未知数；
(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；
(4)解方程(组)；
(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；
(6)作答：规范作答，注意单位名称．
（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.
（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.
6.常见题型及关系式
（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
（4）行程问题：路程=速度×时间.
①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；
②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.
第6讲
一元二次方程
五、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.
一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2
的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
(
2
)因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
(
3
)公式法:一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察，
先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
知识点二
：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
3.根的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝
例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
*4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是≥0.
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时=b2-4ac≥0.
知识点三
：一元二次方程的应用
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；②
设未知数；③
列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
第8讲
一元一次不等式(组)
六、知识清单梳理
知识点一：不等式及其基本性质
关键点拨及对应举例
1.不等式的相关概念
（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.
（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.
2.不等式的基本性质
性质1：若a＞b,则
a±c>b±c；
性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；
性质3：若a＞b,c
牢记不等式性质3，注意变号.
如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.
知识点二
：一元一次不等式
3.定义
用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.
例：若是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.
4.解法
（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.
失分点警示
系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.
（2）解集在数轴上表示:
x≥a
x＞a
x≤a
x＜a
知识点三
：一元一次不等式组的定义及其解法
5.定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．
（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.
6.解法
先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分
7.不等式组解集的类型
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小，小大中间找
无解
大大，小小取不了
知识点四
：列不等式解决简单的实际问题
8.列不等式解应用题
（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.
（2）应用不等式解决问题的情况：
a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；
b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案
注意：
列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.
第9讲
平面直角坐标系与函数
七、知识清单梳理
知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．
（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．
点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).
2.点的坐标特征
(
1
)各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：
点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；
点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；
点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；
点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.
（2）
坐标轴上点的坐标特征：
①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.
（3）各象限角平分线上点的坐标
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：
①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；
③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．
（5）点M（x,y）平移的坐标特征：
M（x,y）
M1(x+a,y)
M2(x+a,y+b)
（1）坐标轴上的点不属于任何象限.
（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.
（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.
3.坐标点的距离问题
（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．
（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：
点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；
点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．
平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.
知识点二：函
数
4.函数的相关概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.
（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．
失分点警示
函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.
例：函数y=中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.
5.函数的图象
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，
再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.
第10讲
一次函数
八、知识清单梳理
知识点一
：一次函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.一次函数的相关概念
（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b
＝0时，称为正比例函数．
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.
例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,
2.一次函数的性质
k，b
符号
K＞0，
b＞0
K＞0，
b＜0
K＞0，b=0
k
b>0
k
b
k
b＝0
（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.
（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.
例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
3.一次函数与坐标轴交点坐标
(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是(0，b)；
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
例：
一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.
知识点二
：确定一次函数的表达式
4.确定一次函数表达式的条件
（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：
①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；
②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
③解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型：
①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.
(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题.
如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.
5.一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.
例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．
知识点三
：一次函数与方程（组）、不等式的关系
6.一次函数与方程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
例：
（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.
（2）一次函数y=-3x+12中，当x
＞4时，y的值为负数．
7.一次函数与方程组
y=k2x+b
y=k1x+b
二元一次方程组
的解两个一次函数y=k1x+b
和y=k2x+b图象的交点坐标.
8.一次函数与不等式
（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
知识点四
：一次函数的实际应用
9.一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式确定函数增减性根据自变量的取值范围确定最值.
10.常见题型
（1）求一次函数的解析式.
（2）利用一次函数的性质解决方案问题.
第11讲
反比例函数的图象和性质
九、知识清单梳理
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝；②y=kx-1;
③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质
k的符号
图象
经过象限
y随x变化的情况
（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
k>0
图象经过第一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.
k
图象经过第二、四象限
（x、y异号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.
3.反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在“、“不在“)
4.待定系数法
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.
知识点二
：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.
6.与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.
例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：SAOC=SOPE＞SBOD.
知识点三：反比例函数的实际应用
7
.一般步骤
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
第12讲
二次函数的图象与性质
十、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二
：二次函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.
例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7
.
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标
增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
①
a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
③
2a+b的符号，需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、
b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，
-b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三
：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
知识点四
：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.二次函数与不等式
抛物线y=
ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
第13讲
二次函数的应用
十一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的应用
关键点拨
实物抛物线
一般步骤
若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
①
据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
③根据图象，结合所求解析式解决问题.
实际问题中
求最值
①
分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
②
研究自变量的取值范围；
③
确定所得的函数；
④
检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
⑤解决提出的实际问题.
解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；
②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.
结合几何图形
①
根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
②
根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
③
利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
第四单元
图形的初步认识与三角形
第14讲
平面图形与相交线、平行线
十二、知识清单梳理
知识点一：直线、线段、射线
关键点拨
1.
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
例：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线.
知识点二
：角、角平分线
2.概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
例：
（1）15°25＇＝15.5°；
37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇.
（2）32°的余角是58°，32°的补角是148°.
3.角的度量
1°＝60′，1′＝60＇＇，1°＝3600＇＇
4.余角和补角
(
1
)
余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；
(
2
)
补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
知识点三
：相交线、平行线
5.三线八角
（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察
6.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
例：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6组对顶角.
7.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
例：如图所示，点
A到BC的距离为AB，点B到AC的距离为BD，点C到AB的距离为BC.
8.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等两直线平行
②内错角相等两直线平行
③同旁内角互补两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
（1）如果出现两条平行线被其中一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线.
（2）在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用.
知识点四
：命题与证明
9.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成“如果p，那么q“的形式，其中p是题设，q是结论.
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.
例：下列命题是假命题的有(
③
)
①相等的角不一定是对顶角；
②同角的补角相等；
③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题；
④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题.
第15讲
一般三角形及其性质
十三、知识清单梳理
知识点一：三角形的分类及性质
关键点拨与对应举例
1.三角形的分类
（1）按角的关系分类
（2）按边的关系分类
失分点警示：
在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.
例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.
2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.
4.三角形中的重要线段
四线
性
质
（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.
（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.
角平分线
（1）
角平线上的点到角两边的距离相等
（2）
三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
中线
（1）
将三角形的面积等分
（2）
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
中位线
平行于第三边，且等于第三边的一半
5.
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AEBC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.
知识点二
：三角形全等的性质与判定
6.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS（三边对应相等）
SAS（两边和它们的夹角对应相等）
ASA（两角和它们的夹角对应相等）
AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
失分点警示
如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用
SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得ACD≌EBD，则AC=BE.在ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
例：
如图，在ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.
第16讲
等腰、等边及直角三角形
十四、知识清单梳理
知识点一：等腰和等边三角形
关键点拨与对应举例
1.等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
如：如左图，已知ADBC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.
如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
2.等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则ABC是等边三角形.
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.
例：ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则ABC的周长为9.
知识点二
：角平分线和垂直平分线
3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1
＝∠2，PAOA，PBOB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
例：如图，ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.
4.垂直平分线图形
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
知识点三：直角三角形的判定与性质
5.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2)
30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
(3)
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
(4)
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即
a2＋b2＝c2
.
（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
6.直角三角形的判定
(1)
有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则ABC是Rt；
(2)
如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则ABC是Rt
(3)
勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则ABC是Rt.
第17讲
相似三角形
十五、知识清单梳理
知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
1.
比例
线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.
2.比例
的基本性质
(1)基本性质：⇔
ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中
的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
例：若，则.
3.平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.
例：如图，已知D，E分别是ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则ADE∽ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm．
知识点二
：相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1)
两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则ABC∽DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2)
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
如图，若∠A＝∠D，，则ABC∽DEF.
(3)
三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则ABC∽DEF.
6.相似
三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
例：(1)已知ABC∽DEF，ABC的周长为3，DEF的周长为2，则ABC与DEF的面积之比为9：4.
(2)
如图，DE∥BC，
AFBC,已知SADE:SABC=1:4，则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
第18讲
解直角三角形
十六、
知识清单梳理
知识点一：锐角三角函数的定义
关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数
正弦:
sinA＝＝
余弦:
cosA＝＝
正切:
tanA＝＝.
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
知识点二
：解直角三角形
3.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
例：在RtABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，
tanA＝.
知识点三
：解直角三角形的应用
5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
（如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
（1）
叠合式
（2）背靠式
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
6.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
第五单元
四边形
第19讲
多边形与平行四边形
十七、
知识清单梳理
知识点一：多边形
关键点拨与对应举例
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解.
例：
(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．
(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．
2.多边形的内角和、外角和
(
1
)
内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.
(
3
)
正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
知识点二
：平行四边形的性质
4.平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.
利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
例：
如图，ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.
5.平行四边形的性质
（1）
边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD
且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
6.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到ABF为等腰三角形，即AB=BF.
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中ABD≌CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中AOD≌COB,AOB≌COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②AOE≌COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
（3）
如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得SBEC=SABE+SCDE.
（4）
根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
知识点三
：平行四边形的判定
7.平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是.
例：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形.
第20讲
特殊的平行四边形
一、知识清单梳理
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定
关键点拨及对应举例
1.性质
（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）
矩
形
菱
形
正方形
(1)矩形中,RtABD≌RtDCA≌RtCDB≌RtBAC;
_两
对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.
（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；RtABO≌RtADO≌RtCBO≌RtCDO;若∠ABC=60°，则ABC和ADC为
等边
三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.
（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.
（1）四个角都是直角
（2）对角线相等且互相平分.即
AO=CO=BO=DO.
（3）面积=长×宽
=2SABD=4SAOB.
（1）四边相等
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角
（3）面积=底×高
=对角线_乘积的一半
(1)四条边都相等，四个角都是直角
(2)对角线相等且互相垂直平分
(3)面积=边长×边长
=2SABD
=4SAOB
2.判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形
（2）有三个角是直角
（3）对角线相等的平行四边形
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形
（2）对角线互相垂直的平行四边形
（3）四条边都相等的四边形
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形
（2）一组邻边相等的矩形
（3）一个角是直角的菱形
（4）对角线相等且互相垂直、平分
例：判断正误.
邻边相等的四边形为菱形.（
）
有三个角是直角的四边形式矩形.
（
）
对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
（
）
对边相等的矩形是正方形.（
）
3.联系
包含关系：
知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳
4.中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.
5.特殊四边形中的解题模型
（1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则AOE≌COF,S1=S2.
（2）正方形:如图②，若EFMN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO.
（变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.）
图①
图②
图③
图④
第六单元
圆
第21讲
圆的基本性质
十八、
知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
知识点二
：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①
弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④ABCD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三
：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四
：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图a,
∠A=1/2∠O.
图a
图b
图c
(
2
)推论：
①
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②
直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③
圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.
例：如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．
第22讲
与圆有关的位置关系
十九、
知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d
⇔点在O内；(2)d＝r
⇔点在O上；(3)d>r⇔点在O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二
：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
例：如图，AB、AC、DB是O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四
：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则SABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
第七单元
图形与变换
第24讲
平移、对称、旋转与位似
二十、
知识清单梳理
知识点一：图形变换
关键点拨与对应举例
1.图形的轴对称
（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.
2.图形的平移
（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；
③平移不改变图形的形状和大小，
只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．
画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
3.图形的旋转
（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．
（2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．
4.图形的中心对称
（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．
（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
5.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
知识点二
：网格作图
2.坐标与图形的位置及运动
图形的平移变换
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可.
例：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.
图形关于坐标轴成对称变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
图形关于原点成中心对称
1. cos60°的值是（ A ）
A . 1 2 B
. 2 C
. 2 D
. 3
2. 在ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则AB 的值是（ D ） AC
C .
A . 1 B . 2 D
. 3
3. 在ABC 中，∠C=90°，cosA=0.6，AC=6，则AB 的长是（ B ）
A . 8 B . 10 C . 12 D . 14
4.(2015重庆) 如图，AC 是电杆的一根拉线，测得BC=4米，∠ACB=60°，则AB 的长为（ B ）
A . 8米 B .
C . 6米 D . 2米
5. 如图，为了测量河岸A ，B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC=a，∠ABC=α， 那么AB 等于（ D ）
A . a sin α B . acos α C . atan α D . a tan α
6. 如图，先锋村准备在坡度为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ B ）
A . cosα B . 5 cos α C . 5sinα D . 5 sin α
7. 如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1
BC=10m，则坡面AB 的长度是（ C ）
A . 15m B .
C . 20m D . 10m
8. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为（ D
）
A .
B .
C .
D
.
9. 如图，在ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD AB ，垂足为D ，CD=1，则AB 的长为（ D ）
A . 2
B . 2
C 1
D
10.(2016武汉改编) 如图，在四边形ABCD 中，∡A=∡C=45°，∠ADB=
∠ABC=105°，若AB+CD=2 ，则AB 的长为（
C ）
A B . 2
C
D .
解：过D 作DE AB 于E ，过B 作BF CD 于F ，利用特殊角证明AB=CD..
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 如图，在ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB 的值是 (2)
12. 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 . (0.5)
13. 在ABC 中，若|cosA-0.5|+(1-tan B )=0，则∠C 的度数是. (75°)
14. 如图，在ABC 中，AB 为O 的直径，∠ABC=50°，∠C=70°，则∠ODB =_____. (21) 2
3，则tan ∠B 的值为______. 5
2 ()
315. 如图, 在Rt ABC 中，∠C=90°，AM 是BC 边上的直线， sin ∠CAM=
16. 如图，在正方形ABCD 外作等腰Rt CDE ，DE=CE，连接AE ，则sin ∠AED=____
. () 5
[解]作AM DE 于M .
三、解答题（共8题，共72分）
17.(本题8分) （2015株洲）计算： (-2)2+tan45°+2016 .
解：原式=4+1+1=6.
18. (本题8分) 如图，在Rt ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，解这个直角三角形
.
解：AB=12，
19. (本题8分) 如图，ABC 中，AD BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=3
4，
求sin C 的值
.
解：在直角ABD 中，tan ∠BAD=BD
AD =3
4. BD=ADtan ∠BAD=12×3
4=9，CD=BC-BD=14-9=5，
，sin C=AD
AC =12
13.
20. (本题8分) 在ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C=45°，sinB=1
3，AD=1. 求BC 的长.
解：在Rt ABD 中，sinB=AD 1222=，又AD=1，AB=3, BD =AB -AD ， AB 3
在Rt ADC 中，∠C=45°，CD=AD=1，
.
21.(本题8分) 如图，ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，已知∠BDC=45°，
AB=20，求∠A 的度数.
解：在Rt BDC 中，因为sin ∠BDC=BC ，BC=BDsin ∠
=10， BD 在Rt ABC 中，因为sin ∠A=BC 101==，∠A=30°. AB 202
22. (本题10分)(2016武汉原创题) 已知：AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的点，C 是优
弧 ACD 的中点，CE DB 交DB 的延长线于点E .
（1）如图1，判断直线CE 与O 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若CE=4，BE=3，连BC ，CD ，求cos ∠BCD 的值.
解：（1）直线CE 与O 相切，连AD ，则∠ADB=90°，∠E=90°，CE ∥AD ，连CO 并延长交
，CM AD . ∠ECO=90°，CE 与O 相切. AD 于M ， AC =CD
（2）连AC 、AD ，则∠ACB=90°，证∠CBE=∠CAD=∠CDA=∠CBA ，BC=5，cos ∠CBE
=cos∠CBA ，EB BC 3525=，=，AB=，延长CO 交AD 于M ，CM AD ， BC AB 5AB 3
AM=DM=CE=4，∠ADB=90°，cos ∠BCD=cos∠BAD=AD 24=. AB 25
23.(本题10分) 如图1-3是由边长为1的小正方形组成的网络，点A ，B ，C ，D 都在网络的格点上，
AC ，BD 相交于点O .
（1）填空：如图1，当AB=2，连接AD ，tan ∠AOD=_______；如图2，当AB=3，作AH BD 交
BD 的延长线于H 点，则AH=_____，tan ∠AOD =_____；如图3，tan ∠AOD =_____；
（2）猜想：当AB=n(n＞0) 时，tan ∠AOD =_____；（结果用含有n 的代数式表示），请证明你的结论. 解：（1）图1中，∠ADO=90°，tan ∠AOD =3，图2中，
AH=，tan ∠AOD =2，图3中，
OB=， 25
tan ∠AOD =5； 3
（2）tan ∠AOD =n +1，过A 作AH BD 交BD 的延长线于H ，则
AH=BH=，AB ∥DC ， n -12
OB AB nBD AH n +1
(n-1) ===n，OB==，
OH=-=，tan ∠AOD = OD DC OH n -1n +
1n +12n +
12(n+1)
24. (本题12分) 如图，抛物线y=x -2x-2顶点为M ，与y 轴的负半轴交于点A , 点B 在此抛物线上，
且横坐标为3.
（1）求点M ，A ，B 的坐标；
（2）连接AB ，AM ，BM ，求∠ABM 的正切值；
（3）点P 是此抛物线上一点，且位于其对称轴的右侧，设PO 与x 轴正半轴的夹角为α，
当α=∠ABM 时，求点P 的坐标.
2
解：（1）顶点坐标为M(1，-3) ，A 的坐标为（0，-2），B 坐标为（3，1）；
（2）过点B ，M 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，则EB=EA=3，∠EAB=∠EBA=45°，
AM AF 1==，∠EAB=∠FAM=45°， AB AE 3
AM 1=； ∠BAM=90°，Rt ABM 中， tan ∠ABM=AB 3同理∠FAM=∠FMA=45°，F AM ∽EAB ，
（3）过点P 作PH x 轴，垂足为H ，设点P 坐标为(x，x -2x-2) ，α=∠ABM ， 2
11x 2-2x -21=，解得x 1=-（舍去）tan α=tan∠ABM=，①当点P 在x 轴上方时， ， 33x 3
-x 2+2x +21=，
点P 的坐标为（3，1），②当点P 在x 轴下方时，解得x 1= x 2=3，x 3（舍去），x
2
，点P
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0113-02
笔者立足于小学数学课堂教学的实际工作，论述小学数学课堂教学现状，并在“生本教育”理念下系统地对小学高年级数学课堂教学的策略进行了探索研究。
一、深入探究小学数学课堂教学现状
本次统计学生的问卷总数为400份，经筛选，选出来有效问卷376份，其中男生203人，占总人数的百分比为55.4%，女生173人，占总人数的百分比为44.6%。
（一）大多数小学数学教师忽略学生的内心情感。
根据调查数据显示，学生关于对数学的感情中，对数学比较喜欢的比例为34%，不讨厌的比例为48%，明确表示不喜欢数学的比例为18%。由此可见，大多数学生对数学多多少少有一些喜欢，但是教师对于学生的内心情感没有足够重视，结果导致学生的学习积极性较差。因此，要在“生本教育”理念的指导下，以喜欢数学的学生作为实施生本教育的基础。让喜欢、不讨厌数学的学生更加喜欢数学，同时那些讨厌数学的学生，要弄清楚他们不喜欢数学的原因，对症下药，让他们改变印象，进而喜欢上数学课堂，提高数学成绩。
（二）大多数小学数学教师忽略学生的主体地位。
调查显示出来，如今的课堂，仍然78%的是以老师讲课为主，而以学生参与为主的课堂和师生互动的课堂仍只占22%。而84%的学生很想自己参与到课堂之中来，喜欢与老师互动，与同学合作的这种教学模式。
综上分析，由于大多数小学数学教师忽略学生的主体地位，导致学生认为老师讲太多了，自己不能参与其中。因此，做为老师可以对此加以改善，及时改变数学课堂的教学模式。老师和学生多沟通、多交流、多接近，这样对课堂的教学效果有所帮助。
二、打造生本课堂， 把握“五个教学策略”
教师在打造小学高年级数学生本课堂，要重点用好以下五项教学策略：
第一是面向全体策略。
所有的教学策略，要求教师在教学中必须面向全体学生，学生学习的主体地位，充分尊重学习活动，整个过程都必须以“生本教育”理念为指导，使全体学生参与到教育教学活动。运用面向全体策略，“以学生为中心”，构建一个非常安全的学习氛围，调动每一个学生的积极性，激发全体学生的学习兴趣。这样不仅能够充分激发学生学习的动力，同时也进一步挖掘学生思考问题的创造性潜能。
第二是互动探究策略。
这一教学策略是教师“授之以渔”，而不是传统的“授人以鱼”，这样做，充分体现了“以学生为本”的教育理念。互动探究教学策略，能够激发学生的实践精神和创新能力。教师应具备高度的责任感，为每个学生的学习和成长负责，精心设计教学方案，设置不同的发展目标，使用不同的方法和手段与学生互动探究，使教学真正满足每个学生的需要和成长。
第三是因材施教策略。
因材施教，是指老师在数学的课堂教学过程中，针对不同层次、不同水平的学生进行有区别地、有针对性地指导，鼓励学生得到最大可能的发展。在班级课堂教学中，由于不同的学生存在知识水平、认知能力、智力因素等条件的差别，增加了课堂教学的某些困难，只有按照“因材施教”的教学原则，才能实现教学目标，促进学生发展。当然，运用因材施教的教学策略，也还要注意有效克服接受式教学的不足。
第四是概括总结策略。
概括总结策略，是指老师和学生，在教学过程中的双向活动，要坚持“以人为本”实时地进行沟通以及信息传递的教学策略。概括总结，能够全面巩固和加强我们所学的和所获得的技能知识。这个概括总结策略，能掌控课堂教学过程中的最新动态，当堂调整教学行为，更有针对性地达到教学目标。
第五是多元评价策略。
多元评价策略是指教学过程中，老师通过激励、肯定、鼓励等各种各样的方法，让学生在心理上获取尊严、自信和胜利的经验；积极的鼓励，多元化的评价不仅具有指导作用，以及教育和激励功能。所以，我们应该重视多元评价，跟踪系统，不仅要关注学生的考试成绩、学习成就，而且要发现和培养学生多方面的兴趣爱好和特长才能，塑造良好的个人品德，培养拥有健全人格和健康心理的新一代的素质人才。
三、结语
总之，在打造学生数学生本课堂过程中，面向全体学生运用五项教学策略，是义务教育和素质教育的主旨，同时也是关键策略之一。教师在数学课堂教学中，要合适地运用各项教学策略，充分发挥教育机智。一切从实际出发，实事求是，避免华而不实，让学生的情感态度与价值观得到“双丰收”。
纵观各个学校的数学课堂，不管是在课堂气氛、教学模式还是师生关系的处理上都存在诸多问题。面对中考与新课改的双重要求，教师与九年级学生都背负着较大的压力。
一方面，教师为了使学生达到快速有效的复习效果，往往采取灌输的方式，进行大量的问题讲解以及布置较多的课后练习。这使得学生的自主学习能力不断弱化，对于问题的发现与解决也过多地依赖于老师，违背了新课改的最初理念。而另一方面学生本身相对于初中刚入学时，对于学习的积极性与新鲜感也不断下降，所以当前的九年级数学课堂大多较为沉闷无趣，师生关系相对紧张。这对于学生来说实际上是一个恶性循环。
二、 如何实现九年级数学的有效复习
1.打破章节，合理地安排复习顺序
数学的复习不同于教授新课程，无需严格地按照课本的具体章节进行。教师可根据教材内容将各个有关联的章节整理在一起，进行统一地比较学习。这种授课模式不仅让学生打破了死记课本的传统学习方式，而且将知识归纳得较为系统，各个章节联系紧密，更能加深学生学习的印象，有助于知识的牢固化。例如，在浙教版的教材中可以在复习时将方程类的知识统一讲解，包括七年级上册第五章一元一次方程，七年级下册的第四章二元一次方程组以及八年级的不等式和一元二次方程。在分类讲解中，教师针对每一类方程都给出较为典型的例题，注意对比每种方程的解题步骤，总结整理，使得知识在学生头脑中更加牢固。
2.与时俱进，将数学复习与现实有效融合
与社会现实相结合，使数学学习更加有效正是新课改的一大目的。当今的数学学习还存在一些问题，其中之一便是与社会较为脱节。新课改也正在加大力度改变此现状，所以近年来的教材编排以及考试题目，与社会现实相关的问题越来越多。细看浙教版的数学教材确实出现了许多与实际相联系的应用类例题，例如商品买卖、最优问题、借款贷款、行程问题等涉及社会的各个方面，使数学的学习更贴近生活，也使数学知识更具现实意义。以浙教版一个典型的中考题为例：为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨。该市小明家5月份用水12吨，交水费20元。请问：该市规定的月用水标准量是多少吨？
此题便是一个典型的贴近生活的问题，题目中出现的阶梯收费问题也是每个家庭都要面临的问题。这一类的问题不仅使学生乐于完成题目本身的解答，而且还引发他们对这一问题背后现实意义的思考，他们可能会去关心阶梯收费本身的意义，也有可能会去思考如何节约用水，实现水费的更加合理化，这些都是新课改所要达到的一个目的。
信息时代，信息技术教育目的是培养和提高学生的信息素养，树立和掌握进行信息处理的意识和能力。从教育部颁布《关于中小学普及信息技术教育的通知》和《中小学信息技术课程指导纲要》开启我国信息技术教育的改革开始，信息技术课程的系统建设和实施不断开展、深入发展。
一、高中信息技术教学的现状及问题
1.课堂教学条件差
由于我国各地经济发展状况存在差距，各地学校在教学设备上的投资水平参差不齐。例如，在城市和发达的东部沿海地区，多媒体教学已经十分普遍，信息技术教学水平也较高。而在农村和偏远落后地区计算机还未得到普及，许多学校并未配备也没能力配备计算机机房来实现信息技术教学。另外，现在许多学校虽然有自己的计算机机房来实现信息技术教学，但是算机软硬件早已落后现在飞速发展的信息技术革命，而且计算机维护不及时，从而影响正常的教学活动。
2.教师水平、学生基础的差异
在当下的高中信息技术教学中，任职教师很大一部分是“半路出家”。他们并没有熟练掌握信息技术教学大纲所要求的教学内容，他们只是了解一些简单的电脑等信息技术产品操作，在讲授课程时只是根据教材进行生硬无聊的讲解，忽略了信息技术教学是以研究和开发为目的的教育。另外，是现在许多学生从小就接触电脑等信息技术产品对信息技术十分了解，其所具备的信息技术知识甚至比教授他知识的教师还要丰富。相反地，有些学生则从未接触过电脑等信息技术产品，这让他们在学习信息技术知识时处于十分被动的位置。基于两方面原因，导致许多熟悉信息技术知识学生因教师水平限制而对信息技术学习失去兴趣，或者对信息技术不甚了解的同学因与高水平同学有差距并且教师水平不高，因此也对信息技术学习失去兴趣。
3.课堂教学手段单一，理论与实践不统一
传统的教学模式不适用于信息技术教学。信息技术教学是一门知行合一的学科，而传统的教学模式只注重教师在课堂上的理论教学，既单调乏味又与实践相脱离。在这种趣味性和实用性极度缺乏的课堂上，怎么可能充分调动起学生的积极主动性！这就使大部分学生对信息技术教学没有了兴趣，信息技术教学也因此处于一个尴尬的地位。再者，信息技术教学所使用的教材质量不高，其内容多为文字介绍缺乏软件应用讲解，导致其结构不完善趣味性低的特点。
二、顺应时展潮流，提升高中生的信息素养
信息时代的到来使得计算机教育逐步向信息技术教育转变，在这一转变过程中，培养学生的信息素养已经成为国际共识，培养具有信息素养的新时代公民成为各国的目标。信息素养不仅包括信息处理能力、信息问题解决，还包括信息交流和信息创建，高中信息技术课程改革的目标之一就是培养高中生的信息处理能力，通过该门课程的学习使高中生掌握信息获取、加工、管理、交流和表达的技能，感受信息的魅力，提升信息意识，培养创新能力和实践操作能力。
三、以新课程的实施为契机，创造良好的信息环境，打造终身学习平台
信息技术包含内容广泛，涉及计算机和网络在内的各种媒体、通信和沟通方式，在高中信息技术课程中不可能包含全部的信息技术内容，只需综合反映信息技术中最为核心和关键的内容即可，掌握这些技术和内容，可为学生的终身学习奠定基础。学校需要借助各种手段和条件创设良好的信息学习环境，注重技术和方法的教学，培养学生掌握基础技能的能力。信息环境的创设不仅包括硬件、软件设备的创设，还包括信息观念层面的创设，借助多方力量，引导高中生参与，使学生安全、负责的使用信息技术。信息技术课程改革对推动我国经济不发达地区的信息技术教育意义重大。
四、采用合理的教学方法，促进学生自主学习
1.适时采用演示、教授、任务驱动等教学方法，提高教学效率
在具体教学中，将信息技术的教学与任务驱动模式结合起来，有利于促使学生主动向老师、向同学请教，将被动变为主动，提高了学生主动获取知识的能力。我们常说教无定法，那么学习也是没有定法的，只要是适合学生的就是最好的。我们平时所运用的演示法、教授法等都可以与任务驱动结合起来，更好地提高课堂教学效率。
2.合理运用组内合作、竞争等教学模式，提高教学效率
鉴于学生之间的个体差异性，每位学生都有着这样或那样的不同，所以教师在进行统一演示时，并不能取得显著的教学成果。此时，我们可以运用分组合作交流或竞争的方式来弥补学的不足。在划分小组时，教师要根据学生的兴趣、爱好、能力等进行均质分组，保持各小组之间的能力均衡。由每组成员自己选出组长，在分组讨论或探究学习的过程中，小组长要明确分工，制订目标，保证每位学生都能充分发挥其特长，并领到符合其实际情况的学习任务，当组内每位成员都完成既定目标之后，这一分组协作的学习方式才算是取得了成功。这种学习模式，不仅促进了学生参与学习的积极性，也培养了学生团结协作、互帮互助的精神。
3.建立科学的教学平台，提高学生自主学习的能力
信息技术教师要充分利用信息技术课程的上机优势，建立一个集指导、学习、作品、经验交流等为一体的网络教学平台，利用动态的网络信息，优化信息技术教学过程。具体表现为：教师可以根据自己的教学特点和教学实际，创建属于自己的网络平台，在平台上设置一些栏目版块，例如：教学指导、作品发表、信息资源、星级任务、锦囊妙计、学习心得等，并针对不同的版块制作不同的PPT，增强学生的视觉效果，让他们在直观形象的动态知识演示中，提高自主学习探究的积极性。这一教学平台的创建，不仅开阔了学生的视野，使他们从课堂走向了课外，也增进了学生与教师之间的交流，有助于课堂教学效率的提高。
